Widok Tom 67 Nr 4 (2015)

418

MATERIA£Y CERAMICZNE /CERAMIC MATERIALS/, 67, 4, (2015), 418-420

www.ptcer.pl/mccm

1. Wprowadzenie

Złożoność opisu matematycznego i obliczeń procesu rozdrabniania ziaren wynika przede wszystkim z faktu, że przebieg procesu ma charakter losowy. W młynach auto-genicznych, w których występuje rozdrabnianie swobodne, opis procesu staje się jeszcze bardziej złożony, ponieważ materiał rozdrabniany jest jednocześnie materiałem rozdrab-niającym. Rozdrabnianie materiału zachodzi w tym przypad-ku podczas zderzeń grubych ziaren z drobniejszymi ziar-nami materiału, które ulegają rozbiciu. Duże ziarna także mogą ulegać rozbiciu podczas zderzeń. Intensywność roz-drabniania zależy od zawartości grubych ziaren w nadawie, co wpływa na celowość zastosowania nieliniowych modeli kinetycznych do opisu procesu rozdrabniania swobodnego w młynach autogenicznych [1-4].

2. Stochastyczny model procesu

rozdrabniania swobodnego

W bilansie masowym populacji ziaren [5-7] nieliniowość modelu występuje pod postacią zależności funkcji rozdrab-niania od składu ziarnowego materiału rozdrabnianego. Bi-lans masowy populacji ziaren dla rozdrabniania periodycz-nego przyjmuje następującą postać macierzową:

Fk+1 _{= PF}k ₍₁₎

gdzie: F = {f1,f2…fn}

T _{– wektor składu ziarnowego materiału}

(nadawy), P = P(F) – macierz rozdrabniania o wymiarach n × n, zależna od składu ziarnowego materiału w komorze młyna, n – liczba klas ziarnowych.

Proces rozdrabniania analizowany jest w następujących po sobie, krótkich odstępach czasowych Δτ (czas przejścia).

H

O

1

_{*, V}

_{P. Z}

2

_{, D}

_Z

1

_{, A}

_{N. B}

2

1_{Politechnika Częstochowska, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki, Instytut Maszyn Cieplnych, al. Armii} Krajowej 21, 42-201 Częstochowa,

2_{Ivanovo State Power University, Faculty of Electromechanics, Department of Applied Mathematics, Rabfakovskaya 34,} 153003 Ivanovo, Russian Federation

*e-mail: otwinowski@imc.pcz.czest.pl

Bilans masowy populacji ziaren w modelowaniu

rozdrabniania swobodnego

Streszczenie

Podczas rozdrabniania swobodnego materiał rozdrabniany jest jednocześnie materiałem mielącym. Intensywność tego procesu w du-żym stopniu zależy od zawartości ziaren grubych, które pełnią rolę mielników. W związku z tym w matematycznym modelu rozdrabnia-nia swobodnego należy zastosować nieliniowe równarozdrabnia-nia kinetyki procesu, które umożliwiają uwzględnienie wpływu rozmiarów ziaren materiału mielonego na intensywność procesu. Modelowanie procesu rozdrabniania swobodnego zostało oparte na bilansie masowym populacji ziaren. W artykule przedstawiono model stochastyczny, w którym funkcja rozdrabniania wyrażona jest przez iloczyn prawdo-podobieństwa obciążenia ziaren i prawdoprawdo-podobieństwa rozdrobnienia obciążonych ziaren. Na podstawie prób eksperymentalnych prze-prowadzono identyfi kację parametryczną modelu. Opracowany model umożliwia obliczenie składu ziarnowego produktów rozdrabniania swobodnego w dowolnie wybranym czasie, a także pozwala na formułowanie i rozwiązywanie zagadnień skutecznego kontrolowania i efektywnego sterowania procesem mielenia.

Słowa kluczowe: rozdrabnianie swobodne, bilans masowy populacji ziaren, energia rozdrabniania, młyn autogeniczny

POPULATION BALANCE MODELLING OF FREE GRINDING

During free comminution, a material to be ground plays the role of grinding medium simultaneously. The intensity of this process is mainly determined by the content of large particles in the feed that act as the grinding media. Therefore, in a mathematical model of the free comminution, nonlinear kinetics equations must be used which allow describing the infl uence of the comminuted material on the intensity of grinding. Modelling of the process of autogenous grinding is carried out on the basis of the population balance model. The article presents a stochastic model, in which the breakage function is represented as the product of the probability of particle loading and the probability of breakage of load particle. The parametric identifi cation of the model is carried out on the basis of experimental tests. The proposed model allows calculating the particle size distribution of free comminution products at any time, and also formulating and solving problems of the eff ective monitoring and the effi cient control of the grinding process.

MATERIA£Y CERAMICZNE /CERAMIC MATERIALS/, 67, 4, (2015)

419

B

W związku z tym bieżący czas będzie wyrażony w nastę-pujący sposób:

τk = (k + 1)Δτ (2)

gdzie liczba całkowita k (numer przejścia) stanowi odpo-wiednik czasu bieżącego. W rozpatrywanym przypadku parametr k wskazuje numer komórki, dla której oblicza się skład ziarnowy materiału.

Macierz rozdrabniania określa się przy użyciu funkcji roz-drabniania i funkcji selekcji [8]:

P = [(I – S) + SB] (3) gdzie: S, B – funkcja selekcji i funkcja rozdrabniania w po-staci macierzowej, I – macierz jednostkowa.

W celu uwzględnienia wpływu składu ziarnowego nada-wy na funkcję rozdrabniania zakłada się, że rozdrobnienie ziaren związane jest z dwoma kolejnymi zdarzeniami: ob-ciążeniem ziaren i rozbiciem obciążonych ziaren. Prawdo-podobieństwo obciążenia ziarna (doprowadzenia energii do ziarna) jest określone przez funkcję selekcji. Rozkład roz-drobnionych ziaren określa funkcja rozdrabniania. Elementy macierzy P = {pij} określone są za pomocą przedstawionych

funkcji prawdopodobieństwa: obciążenia ziarna S = {sij} oraz

rozkładu ziaren mniejszych od i-tej klasy produktu rozdrab-niania j-tego ziarna B = {bij}:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

<

=

+

−

=

j

i

j

i

b

s

j

i

b

s

s

p

j ij j j ij

,

0

,

,

1

(4)

Przy określeniu funkcji rozdrabniania dla rozdrabnia-nia swobodnego (autogenicznego) zakłada się, że ziarna w komorze młyna ulegają rozbiciu na dwie klasy: grubą (x0, xmax), której ziarna mogą ulegać dalszemu rozdrobnieniu lub mogą rozbijać drobniejsze ziarna; i drobną (0, x0), której ziarna mogą ulegać rozdrobnieniu podczas oddziaływania z grubszymi ziarnami. Przy tworzeniu modelu zakłada się, że strumień energii pochodzący od ziaren grubej klasy jest doprowadzany do rozdrabnianych ziaren materiału przez po-wierzchnię przepływu energii Ak_{. Powierzchnia ta jest równa}

sumie powierzchni, przez które przekazywana jest energia od pojedynczych ziaren:

∑

= α = n i i i i k i k _{V f Y} A 0 (5) gdzie: fj

k _{– udział i-tej klasy materiału w nadawie w k-tej}

chwili czasu, V – objętość materiału, Yi – powierzchnia

wła-ściwa klasy ziarnowej, αi – udział powierzchni ziarna, przez

którą zachodzi przepływ energii, i0 – numer klasy ziarna granicznego.

Zakłada się, że udział powierzchni przepływu energii, przez którą przekazywana jest energia do rozpatrywanej klasy ziarnowej, jest proporcjonalny do udziału masowego tej klasy w materiale zawartym w komorze młyna. W związku z tym liczbę ziaren ni i-tej klasy, uczestniczących w

przeka-zywaniu energii można określić z następującego równania:

i i k i k i a f A n 0 α = (6)

gdzie a0i – powierzchnia pojedynczego ziarna materiału. Liczba wszystkich ziaren i-tej klasy w komorze młyna jest równa: i k i i v Vf N 0 = (7)

gdzie v0i – objętość ziarna.

Prawdopodobieństwo obciążenia ziaren klasy można określić jako stosunek liczby obciążonych ziaren do całko-witej liczby ziaren rozpatrywanej klasy w komorze młyna:

∑

= α α = = n i i i i k i i i i i i k i f Y a v N n s 0 0 0 ₍₈₎

Całkowita energia rozdrabniania jest równa sumie energii pochodzącej od wszystkich ziaren grubych klas:

∑

= = n i i i k i i k v f e V E 0 0 2 ₍₉₎

gdzie e2i – energia rozdrabniania pochodząca od pojedyn-czego ziarna i-tej klasy.

Energię doprowadzoną do rozdrabnianego ziarna od ziaren grubej klasy można określić z iloczynu gęstości po-wierzchniowej strumienia energii przez pole powierzchni przepływu energii do rozpatrywanego ziarna:

i i k k k i

a

A

E

e

₁

=

α

₀ (10)

Jeśli rozdrabniane ziarna mają kształt kul o średnicy di,

dla których Yi = 6/di, v0i = πdj3/6, to równanie (10) przyjmie

następującą postać:

∑

∑

= − = −

α

α

=

n i i i i k i n i i i k i i i i k i

d

f

d

f

e

d

e

0 0 1 3 2 2 1 (11)

Wyznaczona na podstawie modelu entropijnego [9] zmia-na wartości energii doprowadzonej do ziaren umożliwia ob-liczenie prawdopodobieństwa rozkładu produktu mielenia według rozmiarów, czyli określenie funkcji rozdrabniania:

( )

( )

∑

μ

μ

=

j ij i ij i k ij

e

e

b

~

exp

~

exp

₍₁₂₎

gdzie μi – współczynnik, e~ij – energia niezbędna do rozbicia

ziaren klasy j do rozmiaru z klasy i, którą określa się na podstawie energetycznych hipotez rozdrabniania [9].

Wartość współczynnika μi wyznacza się wykorzystując

warunek normalizacji dla funkcji rozdrabniania bij oraz bilans

energii [9]:

∑

=

j ij ij k j

e

b

e

₁

~

(13)

3. Weryfi kacja eksperymentalna modelu

rozdrabniania

Przedstawiony nieliniowy model kinetyki rozdrabniania umożliwia obliczenie składu ziarnowego produktów

rozdrab-420

MATERIA£Y CERAMICZNE /CERAMIC MATERIALS/, 67, 4, (2015)

H. O , V. P. Z , D. Z , A. N. B

Opracowany model umożliwia obliczenie składu ziarno-wego produktów rozdrabniania swobodnego w dowolnie wy-branym czasie, a także pozwala na formułowanie i rozwiązy-wanie zagadnień skutecznego kontrolowania i efektywnego sterowania procesem mielenia.

Podziękowania

Badania, przedstawione w niniejszym artykule, wy-konane zostały w ramach badań statutowych nr BS/PB 1-103-3020/11/P pt. „Fluidyzacja, przeróbka mechaniczna i wymiana ciepła w urządzeniach energetycznych”, które prowadzone są w Instytucie Maszyn Cieplnych, na Wydziale Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Politechniki Często-chowskiej.

Literatura

[1] Valery, W., Morrell, S.: The development of a dynamic model for autogenous and semi-autogenous grinding, Minerals

En-gineering, 8, 11, (1995), 1285-1297.

[2] Morrell, S.: A new autogenous and semi-autogenous mill model for scale-up, design and optimization, Minerals

Engi-neering, 17, 3, 2004, 437-445.

[3] Gupta A., Yan D.: Mineral processing design and operation:

an introduction, Elsevier Science Ltd, Netherland, (2006). [4] Burgess D.: A Method of Calculating

Autogenous/Semi-Au-togenous Grinding Mill Specifi c Energies Using a Combina-tion of Bond Work Indices and Julius Kruttschnitt Parameters, then Applying Effi ciency Factors, Proc. of 11th _{AusIMM Mill}

Operators’ Conference, Hobart, Tasmania, (2012), 37-44. [5] Sedlatschek, K., Bass, L.: Contribution to the theory of milling

processes, Powder Metallurgy Bulletin, 6, (1953), 148-153. [6] Ramkrishna, D., Mahoney, A. W.: Population balance

model-ling. Promise for the future, Chemical Engineering Science, 57, (2002), 595-606.

[7] Ramkrishna, D., Singh, M. R.: Population balance modeling: Current Status and Future Prospects, Annual Review of

Chemical and Biomolecular Engineering, 5, (2014), 123-146. [8] Mizonov, V., Zhukov, V., Bernotat, S.: Simulation of Grinding:

New Approaches, ISPEU Press, Ivanovo, (1997).

[9] Otwinowski, H.: Entropia informacyjna w modelowaniu

pro-cesu rozdrabniania, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne Akademii Górniczo-Hutniczej, seria: Rozprawy Monografi e, nr 124, Kraków, (2003).

niania swobodnego w młynach autogenicznych w dowolnym czasie. Wyniki przykładowych obliczeń przedstawiono na Rys. 1 w postaci składu ziarnowego materiału w komorze młyna dla różnych czasów. Intensywność rozdrabniania w znacznym stopniu zależy od udziału ziaren grubych, który zmniejsza się podczas mielenia. Ubytek masy ziaren gru-bych klas prowadzi do zmniejszenia intensywności rozdrab-niania, skład ziarnowy materiału w komorze młyna stopnio-wo stabilizuje się i, jak wykazały badania eksperymentalne, po 20 obciążeniach praktycznie przestaje się zmieniać.

W celu ilościowej weryfi kacji przedstawionego modelu przeprowadzono badania eksperymentalne rozdrabniania węgla poprzez wielokrotne zrzucanie na sito, z określonej wysokości, ziaren o rozmiarach powyżej 25 mm. Spraw-dzenie rozmiaru rozdrobnionych ziaren przeprowadzono przez pomiar masy pozostałości na sicie kontrolnym o roz-miarach oczka 25 mm. Wyniki badań eksperymentalnych w postaci zależności odsiewu na sicie kontrolnym od liczby zrzutów ziaren materiału przedstawiono na Rys. 2 punktami. W trakcie obliczeń przeprowadzonych zgodnie z równania-mi (1)-(13) na podstawie równania-minimalnego odchylenia danych obliczeniowych i eksperymentalnych wyznaczono wartości parametru identyfi kacji modelu, którym jest dolna granica grubej klasy ziarnowej nadawy, odpowiadająca minimalne-mu rozmiarowi ziarna, ulegająceminimalne-mu rozbiciu przy zrzucaniu z określonej wysokości. Wyznaczona wartość parametru identyfi kacji dla badanych warunków rozdrabniania wynosi 25 mm. Wyniki obliczeń po przeprowadzeniu identyfi kacji modelu przedstawiono na Rys. 2 linią ciągłą.

4. Wnioski

Badania eksperymentalne procesu rozdrabniania swo-bodnego potwierdziły, że zawartość grubych ziaren w komo-rze młyna wywiera istotny wpływ na intensywność procesu rozdrabniania swobodnego. Z porównania danych ekspery-mentalnych i teoretycznych wynika, że maksymalne odchy-lenie tych danych wynosi 2,1%, co świadczy o adekwatnym opisie procesu rzeczywistego przez przedstawiony model.

Rys. 1. Wyniki obliczeń składu ziarnowego materiału w komorze młyna dla różnych czasów rozdrabniania: 1 – k = 0 (nadawa), 2 – k = 1, 3 – k = 2, 4 – k = 3, 5 – k = 20.

Fig. 1. Calculation results of particle size distribution of the material in the mill chamber for diff erent times of grinding: 1 – k = 0 (feed), 2 – k = 1, 3 – k = 2, 4 – k = 3, 5 – k = 20. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 R25 n model eksperyment

Rys. 2. Zależność odsiewu na sicie kontrolnym od liczby zrzutów ziaren materiału.

Fig. 2. Residue of control sieve as a function of the number of material grains falls.

