Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy pierwsze 26 maja 2007 r.
1. Wykaza´c, ˙ze je´sli x i y sa liczbami ca lkowitymi, to liczba, xy5− x5y
jest podzielna przez 30.
2. Na przeciwprostokatnej AB tr´, ojkata prostok, atnego ABC zbudowano dwa kwadraty, ABKL i ABM N , przy czym kwadrat ABKL nie ma wsp´olnych punkt´ow wewnetrznych, z tr´ojkatem ABC, za´s kwadrat ABM N zawiera tr´, ojkat ABC. Niech S, T b, ed, a ´srodkami, tych kwadrat´ow (tzn. punktami przeciecia ich przek, atnych). Wykaza´, c, ˙ze tr´ojkat SCT jest, prostokatny i wyznaczy´, c d lugo´sci jego bok´ow wiedzac, ˙ze |BC| = a, |AC| = b oraz a > b.,
3. Na okregu rozmieszczamy liczby wed lug nast, epuj, acej zasady. W pierwszym kroku wpisu-, jemy liczby 1 i 2 tak aby le˙za ly naprzeciw siebie (tzn. na ko´ncach pewnej ´srednicy). W drugim kroku, na ´srodku pomiedzy ka˙zdymi dwiema s, asiednimi liczbami wpisujemy ich, sume (zatem po dw´, och krokach w czterech punktach okregu b, ed, a wpisane liczby 1, 3,, 2, 3). Czynno´s´c te kontynuujemy, tzn., w k-tym kroku na ´srodku pomiedzy ka˙zdymi, dwiema sasiednimi liczbami, wpisanymi we wcze´sniejszych k − 1 krokach, wpisujemy ich, sume. Wyznaczy´, c sume wszystkich liczb rozmieszczonych na okr, egu po wykonaniu n krok´, ow.
Odpowied´z uzasadni´c.
4. Wewnatrz prostok, ata ABCD wybrano dowolny punkt X. Niech K, L, M i N oznaczaj, a, kolejno rzuty prostokatne punktu X na boki AB, BC, CD i DA. Wykaza´, c, ˙ze przynaj- mniej jeden z prostokat´, ow AKXN lub CM XL ma pole nie wieksze ni˙z jedna czwarta pola, prostokata ABCD.,
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 29 maja 2007r.
1
