LISTA 36
Zadanie 1.
Oblicz pole obszaru zawartego między dwoma okręgami wzajemnie stycznymi zewnętrznie o promieniach 1 i 3 oraz ich wspólną zewnętrzną styczną.
Zadanie 2.
W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów, których współrzędne spełniają równanie 𝑙𝑜𝑔𝑥2+𝑦2(2𝑦) = 1 .
Zadanie 3.
W walec wpisano prostopadłościan. Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z krawędziami jego podstawy kąty 𝛼 i 𝛽. Oblicz stosunek objętości prostopadłościanu do objętości walca.
Zadanie 4.
Dane są dwa sąsiednie wierzchołki sześciokąta foremnego 𝐴 = (2, 0) i 𝐵 = (5, 3√3). Oblicz pole tego sześciokąta oraz wyznacz współrzędne punktu, będącego środkiem symetrii tego sześciokąta. Uwzględnij dwa przypadki.
Zadanie 5.
W układzie współrzędnych zilustruj zbiór punktów spełniających podaną nierówność
|𝑥 + 1| + |𝑦 − 1| ≤ 1 oraz oblicz pole powstałej figury.
Zadanie 6.
Dla jakich wartości parametru 𝑎 rozwiązaniem układu nierówności {(𝑥 − 𝑎 + 7)(𝑥 − 𝑎) ≤ 0 𝑥 ≤ 3
jest przedział o długości 4? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 7.
Uczestnik telewizyjnego show wybiera dwa sejfy spośród siedmiu (w dwóch z nich znajdują się podarunki). Ile razy prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednego sejfu z podarunkiem jest większe od prawdopodobieństwa zdarzenia, że oba wylosowane sejfy będą puste?
Zadanie 8.
Wyznacz 𝑥 tak, aby liczby 𝑥 + 4, 𝑥2+ 4𝑥, 10𝑥 + 4 były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych różnych od 0.
Zadanie 9.
Dany jest punkt 𝐴 = (1, 2). Znajdź równanie prostej, która przechodzi przez punkt 𝐴 i tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu 4,5. Napisz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych i przechodzącego przez punkt 𝐴. Rozważ wszystkie przypadki.
Zadanie 10.
Udowodnij, że dla dowolnych 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 prawdziwa jest nierówność 5𝑎2+ 4𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2+ 2 > 0.
