Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 8, Heft 42

DER BAUINGENIEUR

Jahrgang 15. Oktober 1927 Heft 42

ZUR THEORIE DER SEITENSTEIFIGKEIT DER DRUCKGURTE OFFENER FACHW ERKBRÜCKEN.

Von D iplom -Ingenieur S. Kcisarnoivsky und Diplom-Ingenieur D. Zetterholm, Stockholm.

Ü bersich t. E s wird im folgenden nach dem Verfahren von Bryan- Timoschenko die Knicksicherheit der Gurte von Trogbrücken be­

handelt und, für die praktisch wichtigsten Fälle, Tafeln zur Berech­

nung derselben aufgestellt.

E i n l e i t u n g .

Das Problem der Seiten steifigk eit offener B rücken wurde zuerst 1884 von E n gesser behandelt. D ie Seitensteifigkeit wurde unterVoraussetzung von stetigen elastischen Stützen angenähert berechnet. E in e e x ak te re B erech n u n g unter gleichen V orau s­

setzungen gab Tim oschenko (Annales des ponts et chaussees 1913). Folgende E n tw ick lu n g en stü tzen sich a u f die M ethode von Tim oschenko und behandeln das gleiche Problem unter Annahme d iskontinuierlicher Seitenstützen, w ie es den w irk ­ lichen Verhältnissen bei Fach w erkbrü cken , wo die Seitenstützen durch V ertik alstäb e und Q uerträger gebildet werden, entspricht.

In neuerer B rü c k e n p ra x is w ird gewöhnlich fü r T rog­

brücken das T rap ezfach w erk m it p arallelen G urten und m it sechs oder acht F äch ern angew endet und für Spannw eiten von 20 bis etw a 40 m benu tzt (A bb. 1 und 2). B e i größeren S pan n ­ weiten wird gewöhnlich ein oberer W in dverband eingelegt.

Für die B erechnungen solcher F ach w erke, au f welche nachstehende E n tw icklu n gen sich beschränken, können fo l­

gende vereinfachende A nnahm en benu tzt w erd en:

1. D er Ü bergurt w ird als ein gerad er S ta b , der an den Oz O.t

V \ d

K—

!

Ol

03

^0-,

Abb.

1 .

I (Abb. 1) 11 (Abb. 2)

Spannweite . 21,0

^m

40,0

^m

Fachanzahl . 6 8

Stabkraft im Auflagerstab. . . — 92,2 t — I5D5 t in Brückenm itte . . — 110,4 t —217.5 t Stabquerschnitt im Auflager­ stab . . 166,1 cm2 255.8 cm2 Stabquerschnitt in Brücken­

mitte. . 166,1 cm2 309,0 cm2

Trägheitsradien (kon- ( i* . . .

^{1 2 ,1}

cm 19,5 cm

stant

für alle

^Stäbe)

\ i y . . .

^{l8 ,I}

cm 21,4 cm

— Trägheitsradius in bezug auf die h achse,

h — Trägheitsradius in bezug auf die achse.

Bau 1927.

ertikale Schw cr- E n d cn gelenkig und u n versch ieb­

lich gelagert ist, b etrach tet. Die infolge der ge­

brochenen Fo rm desselben (Abb. 1 und 2) notw en­

dige K orrektion w ird sp ä ter a n ­ gegeben.

2. Die D ru ck k ra ft und das T rägheitsm om ent im D ru ck ­ gurt werden als k on stan t angenom m en.

Für zwei neuere schw edische eingleisige Eisenbahnbrücken mit 6 bzw. 8 Fäch ern ergeben sich z. B . folgende B e ­ lastungen und A bm essungen der D ru ck gu rte:

T a f e l 1.

W ie aus der Zusam m enstellung ersichtlich, ist die D ru ck ­ kraftän derun g bei der B rü ck e m it sechs F äch ern 8 % und der Q uerschnitt des D ruckgurtes, som it auch das Trägheitsm om ent konstant.

B e i der B rü cke m it ach t Fäch ern ist die D ru ck k ra ft­

änderung 4 3 % und die Q uerschnitts- bzw . T rägheitsm om ent­

änderung 2 1 % . Unsere letzte A nnahm e w ird som it bei einer B rü ck e m it sechs Feld ern ziem lich genau erfü llt. B e i B rü cken m it acht Feld ern w ird die B erechnung unter gleichen Annahm en durchgeführt und zur K o n trolle eine U ntersuchung m it B e rü ck ­ sichtigung der Veränderung der D ru ck k ra ft und des Quer­

schnitts beigefügt.

3. D er W iderstand der elastischen Zwischenstützen, die in den vorliegenden F ä lle n durch biegungsfeste H alb- ralim en, die aus Q uerträgern und Ständern bestehen, ge­

bildet werden, sei konstant.

D iese ‘letzte Annahm e ist in der P ra x is m eistens erfü llt. A ls Maß des W ider­

standes eines H albrahm ens (A bb. 3) gegen die seitliche A usbiegung der D ru ckstäbe w ird die horizontale V e r­

schiebung eines S tä n d e r­

kopfes bei B ela stu n g m it einer H orizo n talk raft = 1 t in jedem G u rt angenom m en.

Diese A usbiegung w ird am größten, wenn die Seitenkräfte in einem H albrahm en beide nach innen oder nach außen gerichtet sind.

B ezeichnet m an m it b den A bstan d der H aup tträger, m it h die H öhe des Ständ ers zwischen den Schw erachsen des O bergurtes und Q uerträgers und m it Iq seine H öhe über der O berkante des Q uerträgers oder, falls A ussteifungen vorhanden sind, den A bstand zwischen der M itte der Steife und dem Schw erpunkte des O bergurtes, m it J t, J 2 die Trägheitsm om ente des Ständers und Q uerträgers, so w ird unter Voraussetzung, daß keine axialen D ru ck k rä fte in den V ertik alstäb en w irken:

(1) V

3 JiE

Die von S. Tim oschenko gegebene allgem eine F o rm e l1 fü r die kritische B elastu n g eines S tab es m it festen E n d stü tzen und elastischen M ittelstützen kann in unserem F a ll wie folgt geschrieben w erd en :

1 1

(2) p k r= y ^ ' 2 d x = E j j . y ^ " ' d x +

* ²

^{y »}

0 ö

E s bedeuten hierbei (siehe A bb. 4 ):

Pkr die K n ick la st des S tab es (kritische B elastu ng),

1

die Spannw eite des Stabes,

J y E seinen Steifigkeitsm odul in bezug au f die vertik ale Schwerebene,

y. y'> y " d‘e O rdinaten der K n ick u n g sk u rv e und ihre ersten und zweiten Abteilungen,

y „ die seitliche A usbiegung der n-ten M ittelstütze.

1 Timoschenko loc. cit.

6 3

764 K A S A R N O W S K Y / Z E T T ER H O LM , Z U R T H E O R IE D E R S E I T E N S T E I F I G K E I T . DEK BAUINGENIEUR 1927 HEFT 42

D ie K n ic k u n g sk u rv e w ird als eine Fo u riersch e R eih e d a r­

g e ste llt :

(

3

)

2

_{: 1}^{A m sin m ji}

w obei m eine ganze Zah l b ed eu tet und A vA 2, . . . , A ra K o n stan ten sin d . M an e rh ä lt nach A u sfü h ru n g d er In tre g a tio n e n :

m — 1 und

/

y " ~ d x = 71 N m4 A'!

J y 2 l3 >"

0 ftl — 1-

und nach A u flö su n g nach Pkr :

F k r ^{a2 J y E} l2

2 “ * * i +

2

^{m2 A 'm}

F ü lirt m an als H ilfsgröße

(

4

) x =

ein und setzt

2 l3 a4 J y E 8w

Pkr = J ^ J y E _ (u l)2 ein, so w ird

(

5

) E m4 A m _ + T E y jL

£

^{m2 A m}

t

k ann a ls d as V erh ältn is zw eier D urchbiegu ngen au fgefaß t werden. D en kt m an sich den S ta b A B in d er M itte m it einer H o riz o n ta lk ra ft = 1 b elastet, so w ird seine A usbiegung

1

* 2 P

48 J y E It4 J y E

r ist som it an gen äh ert d as V e rh ä ltn is d er D u rch biegu ng des D ru ck stab es infolge einer K ra fte in h e it in seiner M itte und der A usbiegu n g eines H albrahm ens fü r zwei en tgegen gesetzt ge­

rich tete K r ä ft e = 1.

(n

1

) ist die K n ic k lä n g e eines a u f zw ei Stü tzen frei a u fg e­

lagerten S ta b e s ohne Z w isch enstützen, d er im elastischen K n ickun gsbereioh die gleiche K n ic k la st au fw eist, w ie d er S ta b m it elastischen M ittelstü tzen.

In den folgenden E n tw ick lu n g en w ird a n s ta tt m itd e r K n ic k ­ k ra ft m it der K n ick lä n g e gerechnet, d a dadurch die V erw en d un g der fü r d as u nelastische G e b ie t angew endeten K n ickform eln erm öglicht w ird .

A m Schluß d er A rb e it w ird die G ü ltig k eit d er vorstehenden E n tw ick lu n g jen seits d er G renzen d er E u lerfo rm el besprochen.

In den vorliegenden F ä lle n sind die D ru ck stäb e in bezug auf ihre M itte sym m etrisch und haben sym m etrisch e Stü tzen . D ie K n ick u n g e rfo lgt deshalb entw eder nach a x ia l- oder nach p olarsym m etrisch en K u rv e n . D ie G leichung (3) kann som it nur G lied er m it ungeraden In d exen m (A xialsym m etrie) od er nur m it geraden m (Polarsym m etrie) enthalten.

E s genü gt in den folgenden F ä lle n fü r je d e K n ic k k u rv e nur zw ei G lied er zu berücksich tigen. Z u r K o n tro lle w u rden einige Stich berechnun gen m it drei G liedern d urch gefüh rt, w obei es sich zeigte, daß im u ngünstigsten F a lle nur ein U nterschied von 0 ,3 6 % zwischen beiden R ech n un gen a u ftra t.

f. D r u c k s t a b m it f ü n f e l a s t i s c h e n Z w is c h e n s tü t z e n u n d f e s t e n E n d s t ü t z e n (Abb. 4).

F/ast Stützen m it honst.

w7 / W iderstund Feste Fnd-

stützen 1 - K—

p

■

1

^-

A b b .

4

. (Sechs gleiche Feld er.)

B ei k on stan ter F e ld te ilu n g w erden die Ausbiegungen Y i y , der elastischen M ittelstü tzen , bei Berücksichtigung der G leich ung (3) und m it sin ^ =

54

un(d S4n = ^ ;

y - V

3

V

3

V.3

2

y 2 — / (Aj + A 2 + o

y i

= (A j — A 2 + o + A 4 — A s -f- o + A7)

A s + 0 r Aj A 5^{+ 0 + Aj;}

A

5

^{+ 0 —}

A7

A 5^{+ 0 + Aj)} y 5 = — A x — A 2 + A 3 — A,j + - - A 5 -

1

- o — 2 A, die Sum m e der Q u adrate von y 41 y 2, . ., v 5 erhält man nach A u srechnu ng au s obigen Gleichungen zu

E y n - 3 (A i

2

+ a

22

+ a3- + ... )

— 6 (A j A jj — A j A j3 + A 2

A 10

—

^{A .,}

A 14 +

A 3

Ag

— A3 A ä + A 4 A s — A 4 A 6 + A 5 A - Aj A ;).

D ie G leichung (5) geh t je tz t über in (6)

1 _ E m4 A m +

3

T C(A i2 + A 22 + - ) ~ 2 (A i A n + A 2A n>+ ■••)!

H2 “ ~ T - E m 2 A m

W ie vo rh in erw äh nt, w ird die w eitere Berechnung mit nur zw ei G liedern der R e ih e d u rch gefü h rt.

M an e rh ä lt fü r die erste K n icku n gsfo rm

I A 2 + I I 4 A j 2 + 3 T (A j2 + Aj j2 2 A j Aj j)

ll2 A j2 + 1 2 1 A ,J2

und m it A u = z : A i

(

7

) I I + I I

4

Z

2

+

3

T ( l — Z

)2

H

2

I + 1 2 I Z

2

z m uß d era rt b estim m t werden, daß | ~ 2 ) ein Minimum ">r^

d. h. f , ) = o, w oraus c z \ (12 /

(— ---- 3 ) -

\ T 1 2 1 / 1 2 1 z2 + 26?' (i i2 — I)|

folgt. R e ch n e t m an au s dieser G leich ung z für verschiedene W erte vo n z und setz t dieselben in G leichung (6) ein, so

erhäh

m an -„- als F u n k tio n vo n r. B e v o r m an diese

Rechnung

erster eines d u rch fü h rt, em p fieh lt cs sich, die W erte fü r (~t2) 111 A n n äh eru n g zu berechnen, d. h. u n ter Anwendung nur G liedes d er R e ih e (3).

HER BAUINGENIEUR

1927 HEFT 42 K A S A R N O W S K Y ! ZETTERH O LM , ZUR THEORIE D ER S E IT E N S T E IF IG K E IT . 765

Man erh ält aus G leich u ng (5) : für die 1 . K n ickun gsform

T a fe l 2.

1 + 3 7 3

(io)

und

N

und

1 _ 3 4_ + 94 7-2 + 3 x (1 — z)2 (i

2

9 +

8

i z

2

V i e r t e K n i c k u n g s f o r m : 1 = 44 + 84 z2 + 3 x (1 — z)‘-

H2 16 + 64 z2

z2 + 2 z • 6

( t —

^{I ) -}

Der prozentuale U ntersch ied zwischen der ersten und zweiten A nnäherung fü r denselben W e rt für • ergibt ein K ri- terium für die G en au igk eit der R ech n u n g. W ie aus folgender Tafel ersichtlich, w äch st d er prozentuale Unterschied m it x.

Zum Vergleich sind auch entsprechende W erte fü r — nach der Engesserschen F o rm el beigefü gt. (Die Engessersclie K u rv e

r = i . / r

*st, wie man sich leicht überzeugen kann, die E n velop p e des Linienzuges, der von den G eraden der Gleichungen (8) gebildet wird.)

2. ,. V? 0 —

4

+ 4

X x

3

>> ~~2 —

b2 9 4

----

3

x

3

4- „ 2 = i 6 + •; x

H2 16

Diese Gleichungen stim m en genau m it den von Tim oschenko gegebenen und fü r ste tig e Stü tzu n g geltenden überein, wenn man statt v, — x einsetzt (a = F ach w eite, 1

1

= Spannw eite des Stabes).

Die durch diese Gleichungen d argestellten G eraden schneiden sich bei x = 4/3, 12 und 48. D ie vierte K n icku n gs­

form schneidet den G renzw ert 36, den —- erreichen kann, bei b-

1 = 106,7.

Die höheren K n icku n gsfo rm en ergeben sich in zw eiter Annäherung a u f gleiche W eise w ie die erste (Gl. 6):

Z w e i t e K n i c k u n g s f o r m : (9) 1 ... + io 4 z2 + 3 x (r — z.)2

H2 4 + 100 z2

wobei z aus der Gleichung

z2 4- 2 z • 16 ( '* — ) — = o

\ x ip o / 100 bestimmt wird.

D r i t t e K n i c k u n g s f o r m :

T

X

.

—5- in erster b2

Annäherung (Timoschen- kos Kurve)

12 in zw eiter A n ­r

näherung

U nterschied zwischen erster und zw eiter A n ­ näherung in

0//o

1„ nach b E n gesser

4//

3

^{5,000 5,000 0 4,000}

12 13,0 0 0 13,0 0 3 0,023 12,000

48 25,000 24,503 2,00 24,000

. 96 34,000 3 1,7 8 0 , 6,50

32,434

13 6 4 7.320 3 5 ,18 3 14,80

40,398

D ie größte Abw eichung zwischen der ersten und der zweiten Annäherung b eträg t som it 14 ,8 % . Berech net m an — fü r

1 ii

= 13 6 in d ritter Annäherung, so findet m an = 3 5 ,1 1 2 . M-

D er Unterschied zwischen der zw eiten und dritten A nnäherung is t som it höchstens 0 ,2 % . D ie Berech nung m it zwei Gliedern der R eih e (3) gibt som it genügend genaue E rgeb n isse.

In folgender T a fe l sind, um die Zahlenrechnungen zu v e r­

einfachen, die W erte der K n icklängen lk = (/(

1

) als V ielfach e der F a ch w eite: lk = (/t

1

) = 6 / i a angegeben. D ie T a fe l gibt ohne w eiteres die K n icklän ge des w agrechten Teiles des Öber- gurtes. F ü r den A u fla g e rsta b o4 muß die K n icklän ge en t­

sprechend der größeren L än ge des S tab es vergröß ert werden.

M an kann hier, m it d = d er S tablän ge des A u flagerstabes o 1 die in Rech nun g zu setzende K n icklän ge desselben lk'

lk' setzen.

- (lk —- a) + d

T a fe l 3.

r*

F SC v~

% 2

2*o

"E

9

10.

ix 12

K n ic k ­ länge l k fü r o2u .o 3

3

2,67

D iff.

fü r x = i

3.0

2.0 2,67 a 2,5b 2,40 ,, 2,27 ,, 2 ,1 6 „ 2,06 ,,

1,97

1.90 x

.83

..

x.77 »

x .7 1 » 1,6 6 ,,

ISh

3

O c

12

78

16 20 22 24 26 28

30

1,6 6 a 1,62 ,,

1 , 5 5 „ 1 , 52 „ x . 4 9 1,4 6 ,, 1 . 4 3 1,4 0 ,, 1,3 8 „

0 ,17 0 ,16 0 ,13 o ,n 0 ,10 0,09 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05

0,02 0,02 0 ,0 15 o 0 15 o 0 15 0 ,0 15 0 ,0 15 0 ,0 15 0,01

>2

3

c

K n ic k ­ länge lk fü r osu .o 3 32 ! 1,3 6 a

34

38

38 4

<L

4

2

44

46 48

I>34

L

3

f

1

,

3

° 1,28 1,26

D iff.

fü r x = 1

£Ski rXO

"S

4

i

50

60

70

80

¿4

_O

'2v

90 100 1 1 0 1 1 6 1 1 6 12 0

13

°

1

14 0 ! 15 0 ; 1 6 1 !

1.2 4 ,, i 1,2 2 ,, i 1,2 X 1 ,, | 1 , 2 1 1 a 1,2 0 3 „ 1 ,16 5 „ U I

34

„ 1 ,1 0 5 „ 1,0 7 9 ,

1,057

,, 1,0 3 6 ,, 1.0 2 5 ,, 1.0 2 5 a 1,0 2 2 ,, 1 ,0 1 5 „ 1,0 10 „ 1,005 f f 1,0 0 0 ,,

0 ,01 0 ,01 0 ,0 1 o,or 0,01 0,01 0,01 0,005

0,0040 0,0038 0 ,0 0 31 0,0029 0,0026 0,0023 0,0021 0 ,0018

0,0008 0,0007 0,0005 0,0005 0,0005

63*

766

4 75

K A S A R N O W S K Y / Z E T T ER H O LM , Z U R T H E O R IE D E R S E I T E N S T E I F I G K E I T . DKIl BAUINGENIEUR 1027 HEFT 42

W ie aus T afel 3 ersich tlich , w ird der G renzw ert der K n ick ­ länge lk = a b ei ein em W ert v o n

^{x =}

161 erreicht. B ei au s­

gefü h rten B rücken ist

^x

bed eu ten d niedriger, so daß d ie K n ick ­ län ge der O bergu rtstäb e für K n icku n g au s der T rägerebene ste ts größer als die F ach w eite ist (vgl. Schw eda, B eitra g zur B erech n u n g der K n icksicherh eit offener B rücken, B au ingen ieu r 1925, H . 14).

B ei den in der B rü cken praxis vorliegen den F ällen erfolgt d ie K n ick u n g des D ru ckgu rtes m eisten s im u n elastisch en G eb iete.

D ie G ü ltigk eit der E u lersch en F orm el und so m it auch der vorsteh en d en E n tw ick lu n gen k an n b ei A n nah m e ein es m it der S p an n u ng verän d erlich en E la stizitä tsm o d u ls jen seits der S treck gren ze d es M aterials au sged eh n t w erden (siehe E n ­ gesser, „ D ie K n ick festig k eit gerader S täb e" , C en tralb latt der B au v erw altu n g 1891). D er S teifigk eitsm od u l J y E g eh t über in J y T , w obei

T < E .

B ei K n ick u n g außerhalb d es elastisch en B ereich s w ird daher der W ert für r größer als im elastisch en B ereich , da

2 l3

J y T 8 >

2 l3

1f j7 e ö

A u s G l. (1) ergib t sich

6 =

2.05

3 J ' ⁵³ r , ³ / ^3,00 \

, E L 2 \ 2,05 /

^4.902,05

und aus Gl. (4) m it Jy = 54 650 cm 1 2 l3 2 • 2 I,0 3

11 650 28 570

11 650

1 =

^-

3

,:

J Ji

78 3

E m

18,1 33 .o und für den A uflagerstab Oj m it d = 4,75 m .

lk' = 6,00 — 3,50 + 4,75 = 7,25 111:

und lk' 725

iy 181 = 4 °>°

D ie S ch lan k h eitsgrad e der O bergurtstäbe in der E b en e des H au p tträgers betragen 350 ^ 28,8 für o2 und o3 resp.

= 39,2 für Oj. D er O bergurt h a t d em n ach eine nahezu gleich e K n ick sich erh eit in b eiden E b en en .

II. D r u c k s t a b m it s ie b e n e l a s t i s c h e n S t ü t z e n und f e s t e n E n d s t ü t z e n

(ach t gleich e F eld er, k on sta n te D ru ck k raft und Quer­

sch n itt).

B eik o n sta n terF eld teilu n g w erd en d ieA u sb ieg u n g en y i,.. ,,y, der elastisch en M ittelstü tzen b ei B erü ck sich tigu n g der Gl. (3) und m it

[ 1 ] = s i n ' =

[2] = sin

[3] = sin ^

1

|/2

1 + / 2

M it V ergrößerung v o n

^r

verm in dert sich d ie K n icklän ge des S tab es, so daß b ei B erü ck sich tigu n g von z nach Gl. (4) ein e größere K n icklän ge erh alten w ird als der W irk lich k eit e n t­

sp rich t, sola n ge

^d

unveränd erlich b leib t.

B erü ck sich tig t m an aber, daß <5 in der N ä h e der K n ick ­ grenze sich vergrößern kann, h au p tsäch lich in folge der v erh ä lt­

n ism äß ig sch w achen N ieta n sch lü sse der S teifen an die Stän der und Q uerträger, v^obei d ie N ieten a u f Zug b ean sp ru cht w erden kön n en , so em p fieh lt es sich vorsich tsh alb er, d ie V erm inderung d es E la stizitä tsm o d u ls E d es G u rtstab es n ich t in R ech n u n g zu zieh en un d d ie K n ick län ge d es O bergurtes m it H ilfe v o n z nach G l. (4) zu berechnen.

U m den G ang der B erechn u n g zu erläutern, w ird die S eiten steifig k eit der in der T afel 1 aufgefü h rten B rü cke I u n tersu ch t:

S p a n n w e ite i = 21 m ; b = = 4 ,9 0 m ; h = 3 m ; h 1 = 2 ,0 5 m . T rägh eitsm om en t d es S tän ders Jj = n 650 cm 4.

T rä g h eitsm o m en t des Q uerträgers J2 = 285 700 cnr*.

>'1 = [1] A i + [2] A 2 + [3] A j + A 4 + [3] A 5 + . . . y 2 = [ 2] A l + A Z + [2] A3 — [2 ] A5 —- A 6 + - - -

usw .

D ie S u m m e der Q uadrate von

y lt

y 2, . . ., y , erh ält man nach A u srech n u n g aus obigen G leichungen zu

£ y„ = 4 (A 12 + A Z2 + A 32 + ■ • ■)

— 8 ( A j Aj5 — A j A j , -f- A 2 A j - — A „ A j „ + A 3 A ; 3 — A 3 A )9 - f ■

D ie G l. (5) g eh t je tz t über in (12)

J £ m* A m + 4 x [(Ai2+ A 23+ A 32+ ... ) - 2 (A 1A 1j + A 2A,4+--)]

g ; ‘

D ie B erechn u n g erfolgt auf die gleich e W eise w ie für den S ta b m it fünf elastisch en S tü tzen .

D ie ersten A n näh erun gen ergeben sich h ier zu

1

,-i4 J y E 8 97 . 4 i - 3,78 5 4 6 5 0

A us T afel 3 fo lg t d an n d ie K n icklän ge der G u rtstäb e o2 und o3 (A bb. 1)

lk = 1,72 - a und m it a = 3,50 m (F eld w eite) lk = 6 m .

D er Sch lan k heitsgrad der D ru ck stäb c o2 und o3 w ird som it

lk 600

( 13 )

1. K n icku n gsform

2.

3 - 4 - 5 -

6.,

h-

I + 4 T

,, = 9 +

,, = 16 +

„ = 25 +

„

^{= 36 +}

9

T

4 1 4

25 T

9

D ie durch d iese G leichungen dargestellten Geraden sch n eid en sich b ei

x —

1, 9, 36, 100 und 225.

D er G eradenzug sch n eid et den Grenzw'ert 64 bei r -

^{'- y}

A u ch hier w erden d ie zw eiten A nnäherungen

bestim m t

und

zur K o n tro lle in drei P u n k ten d ie d ritten Annäherungen ‘

rech n et. W ie aus folgen d er T afel 4 ersich tlich , ist hier

^*

U n tersch ied zw ischen erster und zw eiter A nnäherung gcrl,kl

als b eim S ta b m it fü n f M ittelstü tzen und b eträ gt höchstens 5,» >•

l.'KR BAUINGENIEUR

1927 HEFT 42

K A S A R N O W S K Y / ZETTERHOLM, ZUR THEORIE DER SEITENSTEIFIGKEIT.

T a fe l 4.

767

T

!.... 1 ij erster A n ­

näherung 1

~ Th- 1,1 7.w eiter A n ­

näherung

1 .

4

m.

t r dritter A n ­

näherung

- X„- nach h E ngesser

\i* r a

9

^{13 ,0 0 __ __ 12 ,0 0}

16 20,0 0 — - — 16 ,0 0

64 3 2 ,0 0

3

U

8

o — 32 ,0 0

100 4 1,0 0 40,30 ^{40,24 40,00}

2 10 58 ,60

5 5 ,3 8 5 5 ,2 3

^{57.9 6}

330

^{64,00 6 3 ,0 2 6 2,8 2 64,00}

V = (lk — a) + d angenommen w erd en .

T a fe l 5.

| K n ic k - D iff. K n ic k ­ D iff.

T i länge lk fü r T länge lk für

fü r o2u .o 4 T = I fü r o2u .o 4 T = I

¿4

1

0 g O t 8,00 a

0,763

2,082

0,0069 0,0061 0,0053 0,0046 0,0043 0,0038 c u o

,5

! 4,62 ,, a

50

1 , 5 ° ! a

H 1

1 3,58

„ 0 60 i ,

44

° „

1

3,58

a 0 ,31.1

’S0

70

1 ,3 8 7 ,,

2

3,27

„ bH 80 i .

34

i „

sM 3 3,02 ,, 0,242

*

4

*

90

^{1,2 9 8 ,,}

VH0

4 2,8 3 „ 0 ,19 5 0 ,16 2 0 ,13 7 0 ,1 1 8

IOO ^{1,2 6 0 ,,}

OE 5 2,67 ,, IOO 1,2 6 0 a

0,0021 0,0020 0 ,0019 0,0018 0 ,0 0 17 0 ,0 0 17 0 ,0016 0,0 0 15

W 6

2,53

„ 1 1 0 1,2 3 8 „

N

7

2 ,4 1 „ 12 0 1 , 2 1 8 , ,

8 2 ,3 1 ., 0 ,10 2

13 0 i , i

9 9

„

9

^{2,22 ,, 0,092 a 140} 1 , 1 8 1 , ,

9

2 ,2 18 a 0,036 0,036

<2

24

_O

’S

15 0 1 ,1 6 4 ,,

10 2 ,18 2 ,, 16 0 I . I

4 7

..

1 1 2 ,14 6 ,, « 17 0 i . i ß 1 „ 12 2 , 1 1 4 , , 0.033 «n 180 1 , 1 1 6 , ,

0,0014

13

2 ,0 8 1 „ 0,033 190 1 , 1 0 2 ,,

0,0014 T

4

^{2.050 „ 0 ,0 3 1}_0,028 ^{200 1,0 8 7 „} 0,0012

S 16

1.993

„ 2 10 1,0 7 5 „ 0 ,0 0 12

18 U

940

„ 0,026

2 15 1,0 6 9 ,,

O ₂₀

1,8 9 1 ,, 0,024

2 15 1,069 a

0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004 V 22 1,8 4 6 ,, 0,022

g 240 i ,o

5 3

„ CO

24

^{1,804 -, 0 ,0 2 1 M-iO}

0

260 1,0 4 1 „ 26 1,7 6 4 ,, 0,020

280 1,0 3 0 ,, 28 1,7 2 6 „ 0 ,0 19

0 ,0 16 0 ,0 16 ;

w 300 1,0 2 1 „

30

_{1,6 9 3 „} 0 320 1 ,0 1 2 ,,

32

1,6 60 ,,

344

^{1,0 0 4 ,,}

34

^{0,629 0 ,0 15}

0 ,0 14

¿4

1

344

^{1,004 a} _0,0004

■jSiSäSS

_36

1,600 ,,

'S g

354

^{1,0 0 0 ,,}

4

-Knick­

form

36

1,6 00 a

0,0076 W 0v-i

40 U

57

o „ 1^

Wie aus T a fe l 5 ersichtlich, w ird der G renzw ert der K n ic k ­ länge lk = a bei einem W ert von t = 354 erreicht.

U m den G ang der Berechnung zu erläutern, w ird die Seitensteifigkeit der in der T afel 1 aufgefü h rten B rü c k e I I untersucht:

Spannw eite 1 = 40 m ; b = 5 m ; h = 5,60 m ; hj = 4,55 m.

Trägheitsm om ent des Stän d ers J 4 = 3 3 8x8 cm 4.

Trägheitsm om ent des Q uerträgers J 2 = 330 000 cm 4.

Aus Gl. (1) ergibt sich

5,00 3 3 8 1 8

( ^{5 ,6 0}

⁾

\ 4 . 5 5 /

39 ,5 m J . E

3

Zwischen d ritte r und zw eiter A nnäherung ist der U n ter­

schied höchstens 0 ,3 2 % .

In folgender T a fe l sind die W erte der K n icklängen des horizontalen T eiles des D ru ckgutes lk = (n

1

) = (8 fT) • a als Vielfache der F a ch w eite angegeben. F ü r die A uflagerstrebe o4 muß die K n icklän ge entsprechend der größeren L ä n g e des Stabes vergröß ert w erden. W ie in vorh eriger B erechnung kann für den A u flagerstab Oj die in R ech n u n g zu setzende K n icklän ge

und aus G l. (4) m it J y

2 l3 2 • 40,0'

~~ Jt4 J y E ö

97.41

•

39.5

4.55 330

000 J

13 0 144 cm4 (S ta b o2 und o3) ,3 33 8 18

13 0 144 = 8,60.

A us der T a fe l 5 folgt dann die K n icklän ge der G u rtstäb e o2, o3 und o4 (Abb. 2). lk = 2,236 a und m it a = 5 m

lk = 1 1 ,3 0 m.

D er Sch lan kheitsgrad der D ru ckstäbe o2, o3 und o4 wird som it

lk

1130

,

_ _ _ : _ 5 2,6

ly 2 1,4

und fü r den A u fla g e rsta b o, m it d = 7,66 111 lk' = ( 1 1 ,3 0 — 5) 4- 7,66 = 13,9 6 m , l k ' 1 3 9 6

und — = ---= 65.

l v 2 1,4

D ie Sch lankheitsgrad e der O bergurtstäbe in der E bene des H au p tträgers betragen 500- = 25,6 für o2, o3 und o4 und

766 4

9,5

— = 39,5 für den A u flagerstab o4.

19,5

D ie K n icksicherheiten des D ru ckgu rtes in der E bene des H au p tträ ge rs und w in kelrecht hierzu weisen hier ziem lich große U nterschiede auf.

A ls ein anderes B eisp iel einer eingleisigen E isenbahn brücke m it acht Feldern, in der die Bedingun g der gleichen K n ic k ­ sicherheit des D ru ckgrates in beiden E benen besser e rfü llt ist, is t das von K u lk a angegebene B eisp iel einer 40 m - B rü cke (siehe: D ie B au tech n ik 19 26, H eft 4 2 : „ Z u r B erech nung elastisch gestützter D ru ckgu rte auf seitliches A u skn icken ").

M it unseren Bezeichnungen ist hier

1

= 40 m ; h = 4,25 m ; h4 = 3,90 m ; J 4 = 27 207 cm 4 und J 2 = 3 1 1 896 cm 4.

<5

wird zu —~ ~ r und r (m it einem m ittleren J y

= 100 000 cm 4) = 14,60.

Ji E

Die K n icklän ge lk ergibt sich hier lk 10 30

zu 10 ,30 m und der Schlankheitsgrad . =

5

8-

lv 17,76 D er

Schlankheitsgrad in der Ebene des H au p tträgers ist — Q = 40.500 1 2,40 I I I . D r u c k s t a b m it s ie b e n e l a s t i s c h e n Z w i s c h e n ­

s t ü t z e n u n d f e s t e n E n d s t ü t z e n

(acht gleiche Feld er, veränderliche D ru ck k ra ft und verän d er­

licher Q uerschnitt).

D ie in A b sch n itt I I du rch gefü h rte Berech nung eines D ru ck ­ stabes m it acht Feld ern, unter V oraussetzung kon stan ter D ru ck ­ k ra ft und konstanten Q uersch nitts entspricht, wie in der E in ­ leitu n g bem erkt, nicht den üblichen K o n stru k tio n sv erh ä lt­

nissen. U m die Zu verlässigk eit dieser R ech nu n g zu prüfen, w ird ein gleichartig au fgelagerter S ta b m it feldw eise verän d er­

licher D ru ck k raft und Q uerschnitt untersucht (A bb. 5).

Um die Rechnung nicht zu w eitläu fig zu gestalten, kann näherungsweise angenom m en werden, daß die Span n un g im

763 K A S A R N O W S K Y / ZET T ER H O LM , Z U R T H E O R IE D E R S E I T E N S T E I F I G K E I T . ganzen D ru ck gu rt k on stan t sei, eine A nnahm e, die im allge­

m einen ziem lich g u t e rfü llt ist. B e a c h te t m an w eiter, daß auch der frä g h e itsra d iu s i v des D ru ck gu rtes p rak tisch genomm en

D ER BAUINGENIEUR 1U27 H EFT 42

angenom m en werden. F ü h rt m an die In tegration en der Gl. (i-) und (16) aus, so w erden m it

. £ Fo

/!

" Fn

5

(

19

) s = —— AV T .

X :

0.45

^zl

uSir

N i — C1 A j2 + 4 A 22 - f 9 ^ 1 + - • ) A 32 + 16 A 4

Û + 25 +

A b b. S.

k onstan t ist, so kann die allgem eine Gl. (2) w ie folgt geschrieben

N. 2 s i 3 A , A 3 + 1 5 A 3 A 5 + 35 A 5 A , +

1 I

werden, wenn m an die Span n un g 0 = —I- = - 2- = k on stan t

Fj F 2

einführt, und m it ORr die kritisch e Span n u n g bezeich net:

1 1

\ r j F y ' 2 d x = iy2 e / f y / /2 d x + f ^ v l-

Bezeich n et m an m it F 0 einen beliebigen Q uerschnitt

F F 0

und m it j 1 = - ; r., = - 2 usw ., so wird

, i6 A 4 , 96 1

+ — A 2 A 4 + y A 4 Ae + ...|

R i = ( i + s ) A j2 + 2" A 22 + 3 ^ 1 — - - j A32 + 44 A 42 + ...

R 2 = — 2 s| 3 2 A j A , -f- I 5 2 A 3 A 6 + 3 5 2 As A 7 +

+ ~ 3 - A 2 A 4 + -3 ' y A 4 Ag .

Fn Fn

1 . 1

M) okr F „ / r y ' 2 d x = iy2 F 0 E f r r y " 2 d x + - L ^ y 2

F ü r d as p rak tisch w ich tigste G e b ie t zwischen r = 12 und 24 ist, w ie au s der T a fe l 5 ersichtlich, die d ritte Knickform m aßgebend. F ü r diese ergib t sich /i in zw eiter Annäherung zu

M it

(15)

(20)

(16)

u n d

1

Nl ^{= T}

₀^f*

[2 m2 cos2 m

^{7 1 ~}

f J d x

1

No = J ß m n A m A u cos m k cos n ji

— 1

d ü

i

Ri =

^{\ ß}

[ 2 m<t A?,i ‘in* m V *Jdx

o i

R 2 ~ I ß m2 n 2 Am A n sin m n sin n n d x

j

3

4 ( i “ ) +

5

4 ( t t ) 7'2

45

° s z -f-

4

T (i + z2)

3

2 | i + ^ ) +

5

2 ( i + ~ ) z2 — 30 s z z w ird w ie frü h er au s d er B ed in gu n g

0 Z

( v ^{) - 0}

bestim m t und ergib t sich aus

(21)

2 z r / i 7 60 I -)- s —

s { \ 60 15

l6 I

2 Î3

T1 (F 0 i y2) E i geh t Gl. (14) über in :

( 1 7 ) ö [ r = i E * î I ( R i + R j + r £ y - l2 ■ 1 (N + N ä)

und <7, — -_kr

iy2 E ⁰

( i E 2

fl, d as hier die geiche B ed eu tu n g w ie in vorstehenden A b ­ schnitten h at, kann je tz t aus d er Gleichung

(18) 1 J = R i + R 2 + T E y.'i

ß2 N , + N 2

bestim m t werden.

In^ unserem F a lle is t F 2 = F 3, som it r2 = r3 ; setz t man R z = ^o> s0 " i r d r2 = r3 = i . U m d ie R ech n u n g zu ve re in ­ fachen, kann

r2 — r, = r4 — r3 = A

}'(■ + s )} + [ f ( ' + 3 * ) - ” ] -

F ü r d as im A b sc h n itt I I behandelte

1

-te Beispiel ist

¿1 = 0 ,15 , som it s = 0,45 • 0 ,15 = 0,0675.

F ü r r = 12 erg ib t sich au s G l. (21) z = 0,003 und aus G l. (20) zu 13 ,8 2 und 8 fi = 2 ,1 5 2 . V ergleich t man diesen

/'z

W ert m it dem entsprechenden W e rt d er T a fe l 5, so erhält man eine um 1,9 7 % größere K n ic k lä n g e . Ä h nlich ergibt sich für

r = 24 ein U n tersch ied vo n 1 ,2 2 % .

D ie im A b sc h n itt I I gegebene B erech n u n g kann somit m it genügender G en au igk eit au ch im F a lle veränderlicher Q u ersch n itte und D ru ck k rä fte angew endet werden, wenn mau bei B erech n u n g von r d as T rägh eitsm o m en t des zweiten und d ritten G u rtsta b e s b erü ck sich tigt.

A. D im e n s io n ie r u n g d e s D r u c k g u r t e s m it Rücksicht a u f d ie S e i t e n s t e i f i g k e i t .

M it H ilfe d er T a fe ln 3 und 5 fü r B erech n u n g der Knicklänge lk kann die K n ick sich e rh eit des O bergurtes einer gegebenen K o n stru k tio n rasch e rm itte lt w erden.

B eim D im ensionieren des D ru ck gu rtes und der Halb- rahm en können folgende A n gaben , die sich auf eingleisige E ise n b a h n b rü ck e n beschränken, ben u tzt werden:

W ie die vorsteh en d en B eisp ie le zeigen, kann h, = V» 1 g e se tz t und d as T räg h eitsm o m en t des Stän d ers zu J, = !'r h angenom m en w erden. D er E in flu ß d er D eform ation des Quer-

PER IIAUINfiENIEUR

J027 ł l EF T 42 G L A S S E R , Ü BER R I S S E UND F U G E N A B S T Ä N D E IN B E T O N S T R A S S E N . 769 trägers auf 8 v a riie rt zwischen 25 und 3 0 % ; nim m t m an die

letztere Zahl an, so w ird

Ö = - 13 -

1

.

3 -4

3000 J y E

und 2 l3

* 4 J y E 8ly ] ■ 12 ,0 .

Für eine B rü ck e m it 6 F eld ern ergibt sich som it lk zu 1,66 a. Soll der D ru ck sta b in beiden E benen die gleiche Knicksicherheit haben, so muß die M aterialverteilung im Dnickgurt so geschehen, daß

4

^- = 7,66 w ird. D ies kann bei

ix

der in der P ra x is üblichen A usbild ung des D ru ckgurtq u ersch n itts ohne Schw ierigkeit erreicht werden.

E tw a s anders gestalten sich die V erh ältnisse bei einer B rücke m it 8 F e ld ern ; m it r = 12 erh ält m an hier lk = 2 , 1 1 a und das V erh ältnis der Trägheitsradien zu 2 , 1 1 .

Um einen solchen Q uerschnitt zu erhalten, muß der A b ­ stand zwischen den Stehblechen des O bergurtes etw as größer angenommen werden als in der P ra x is üblich, oder die S tän d er der H albrahm en und die Steifen k räftiger ausgebild et werden.

Jed en falls zeigt es sich, daß es ohne k on stru ktive Schw ierig­

keiten und ohne nennenswerten M aterialau fw an d m öglich ist, die notwendige K n icksich erh eit außerhalb der E ben e des T räg ers zu erhalten.

D as V erfahren von B ryan -T im osch en ko g e sta tte t es auch, bedeutend kom pliziertere Problem e der Seiten steifigkeit, z. B . die Seitensteifigkeit der G u rte eines P arab elträg ers oder eines L angerbalken s ohne Sch w ierigkeit zu lösen. E in e Beh and lung solcher Problem e wird einer späteren A rb eit Vorbehalten.

UBER RISSE UND FUGENABSTANDE IN BETONSTRASSEN.

Von Magistratsbaurat D r.-Ing. F elix v. Glaßer, Charlottenburg.

(Fortsetzu ng von Seite 753.)

v *d v

V. G r e n z lä n g e n d e r R a d i e n b e i r i n g f ö r m i g e n u n d g e ­ k rü m m te n S t r a ß e n s o w i e b e i g e s c h l o s s e n e n k r e i s ­

f ö r m i g e n P l a t z f l ä c h e n . a) R i n g f ö r m i g e S t r a ß e n .

Wir betrach ten die ringförm ige Straß e als einen K re is­

zylinder. D ie R ad ien d er beiden begrenzenden Zylinderflächen bezeichnen w ir m it rx und r2, rt sei der innere, r2 der äußere Radius; Die L ä n g e des Zylind ers, d. h. also die S tä rk e des Betonringes, kom m t nich t in B etra ch t. D as G ew icht der Volumeneinheit sei y, der E la stiz itä tsm o d u l E und das V e r­

hältnis der Q u erkontraktion zur Längenausdeh nung Die Normalspannungen an einer beliebigen Stelle in der E n tfern u n g r von der M ittelachse des R in g es seien er und v, und z w ar a in der R ich tu n g der Periph erie und v in rad ialer R ich tu n g. E ben so wie oben bei den geraden Straß en w erde hier d ie Span nung in der dritten R ich tu n g gleich N ull gesetzt. S ch u b ­ spannungen treten vo r der R iß ­ bildung nich t auf.

A u f die innere zylindrische B egren zun gsfläche eines K ö rp er­

in ra d ia le r R ich tu n g nach innen die K r a ft v r d <p d z, au f die äußere zylindrische Flä ch e von der Größe (r + d r) d q > d z die K r a ft ( v - f d v ) (r + d r ) d < p d z . In ta n ­ gentialer R ich tun g w irken a u f jed e der beiden Begrenzungs­

flächen von der Größe d r d z eine nach außen gerichtete K r a ft u d r d z , beide schließen den W in kel dę? ein und bilden zu­

sammen die rad ial nach innen gerichtete R esu ltan te 2 a d r d z sin (% d ip) = ^ a d r d c p d z .

Ben inneren K rä fte n w irk t bei der V olum enverkleinerung des Ringes die R e ib u n g sk ra ft /i y r d r d <p d z entgegen, wenn /i den R eibungskoeffizienten zwischen B eton und U nterbettun g bedeutet. E s w ird dann

— v r d <pd z + (v + di>) (r + d r) d 95 d z

— a d r d ę d z + / t y r d r d f d z = o.

Der Faktor d y d z h eb t sich, ebenso das Glied v r, und das

^lied d v d r läß t sich a ls G lied zw eiter Ordnung vernach- lässigen, so daß sich die G leichung vereinfach t auf

a d r — v d r -(- r d v + /( y r d r Abb.

11

.

dementes w irkt

oder

(1) ■ d v

W ir schlagen hier einen ähnlichen Rechnungsw eg ein, w ie ihn Großmann und G rübler bei der Berechnung von Spannungen von rotierenden Scheiben gegangen sind 25.

Zwischen den Spannungen und der Form än derun g be­

stehen folgende Beziehungen. Bezeichnen w ir m it v die V e r­

längerung, die der R a d iu s r infolge der Form än derun g erfah ren hat, so b eträgt die Ä nderung des U m fanges des K reiszylin d ers vom R ad iu s r : 2 (r + v) zt — 2 r n — 2 v a , folglich die D eh­

nung, d. i. das V erh ältnis der Längenänderung zur ursprüng­

lichen Län ge, - . D a das H ookesche Gesetz als gü ltig v o r­

ausgesetzt w ird, so ist

(2) o

~E '

W ird d as K örperelem cn t von der L ä n g e d r in rad ialer R ic h ­ tu ng um d v gedehnt, so b eträgt

(3) d v

T r v TT

Führen w ir den B e g riff d er reduzierten Spannung26 ein, so f o lg t :

E v 1

<Ued = -

7

- =

a ~ ~ v:

(

4

)

(

5

) i- d v

Ged = E 7 f r -

V-

m i

Bestim m en w ir aus den Gleichungen (4) und (5) die W erte für o und v, so fo lg t:

(• 7 i

E v ^und v = E —!— -)— — cf d r m und d a ra u s:

(

6

⁾ _ E m2 / v . 1 d v \ 0 — m2 — 1 \ r m d r / ’ ebenso aus (4) und (5):

E v 1 , t E d v l

o — --- v und 0 = 111 v — - 3---1

r m V d r /

d r ¡i y r

25 Prof. Dr. R . Großmann, Über den Ersatz der Schwungräder durch rotierende Scheiben, Verhandlungen des Vereins zur Beförde­

rung des Gewerbefleißes 1883, .S . 217. Prof. Grübler, Dresden, Der Spannungszustand in Schleifscheiben und Schmirgelsteinen, Zeitschr.

d. V. d. Ing. 1897, S. 860.

26 A. Foppl, Techn. Mechanik I I I (1914). S. 60.

und d a ra u s:

(

7

)

770

n u n BAUINGENIEUR

1927 H EFT 42

D ie ra d ia le S p an n u n g v b leibt fü r alle W erte rj < r < r„ positiv, nd b leibt kleiner v. G L A S S E R , Ü B E R R I S S E UND F U G E N A B S T Ä N D E IN B E T O N S T R A S S E N .

_ E m“ 1 (1 v i _vA

— in- — i \ d r m r I ' W i M . u

r ri + ] 2 Setzen w ir die W erte (6) und (7) in die Cdeiehung (1) ein,

so f o lg t :

1 E / v , d v \ 111E [ d v v \ d v :Z T (m r ' + d r ) = "iw2 I (m I r + 1 ) + 1 d 7 + ni

1112

ergib t sich aus G leichung (7) zu : d v _ m2 E _ / d2 v 1 _v j d r — 1112 — i \ d r2 . m 1- m

f i y r

sic e rh ä lt ih r M axim u m fü r r

als

D ie größ te A n stren gu n g des M a te ria ls e rg ib t sich für

°Ved' N ach E in setzen d er gefundenen W erte in Gleichung (4) und (5) fo lg t:

«, - ÜZ. r (l + 3 m) (r _ _ L)

3 111 L t rl + r2 ' 111 ' (15)

I d v

d

f

^).

r rl2 rł ( , , J _ \ \ _ r ~ 1 1 (r'i + r2) r2 \ + m '/ ni

J

’

ri in2 — i \ <! r- . m r- ■ m

es en tsteh t die D ifferen tialgleich u n g zw eiter O rdnung:

m2 — i

Setzen w ir r 14 und

(8) r d2 v d v

d r 2

+ 1 7

x , so fo lgt fü r die größte Span n u n g, die an d er In n en fläch e des R in g es und in der Rich­‘ 2 tu n g d er P erip h erie a u ft r it t :

D iese G leich ung is t hom ogen und lä ß t sich integrieren. D ie In te g ra tio n lie fe r t :

ß y r (m2 — 1)

red Ä a k - + + r2 (m — I) +

2(1 + 2 m)

i + x

)

(?)

hieraus

(IO)

^{d v}

d r T P + C >

3 E m2

l ß y r (1112 — 1) 3 E m2

M ithin erh alten w ir fü r die G renzlängc des äußeren Radius des R in g es bei einer Z u g fe stig k e it des B eto n s A au und fiir ein beliebiges .V erh ältnis des inneren zum äußeren R a d iu s —- — y.:

(16) Setzen w ir diese W erte in die G leichungen (6) und (7} ein, so ergib t s ic h :

( * = Ä [ # - I ) + C ' ( , + m ) ] - I W <4 + ” ;

1 ' i p r [ c:‘ (' +

Fassen w ir d ie k on stan ten F a k to re n m it den w illkürlichen In tegratio n sk o n stan ten zusam m en, so e n tste h t:

I ________

3

m (i + *) I T

77

y ’ [54(111 — i ) ( i + j«) + 2 ( i T

7

¡ ñ ) y F ü r den 00 dünnen R in g w ird x — 1 und r2 = £_fk

ß y . Dieser W ert e n tsp rich t d er G renzlänge fü r ein 00 dünnes gerades B eto n b a n d nach A b sc h n itt IV .

U m ein B ild über den V e rla u f d er Tangentialspannungen

¡11 einem M erid ian sch n itt des R in g es zu gew innen, setzen wir in G leich u n g (14) fü r — ~ x und — ß und erhalten:

To r0

(12)

’ - I E D

v

^{— Di}

+

§ j D

¿)LL

₃

₁₁₁ ^{(ln -j-}

^{3) ;} _'

. HJ.

(17) 0 — 3+11 r-2 [ i 1 +

2

m) (- ++ y + + ( I + T ) ^ )

-/?(m+2)],

7 3 m ‘

w oraus sich fü r alle W erte 0 < x < 1 und 0 < ß < i die Z u r B estim m u n g d er In tegration sk on stan ten D und D , benutzen

w ir die G renzbedingung, daß die ra d ia le Span n u n g v an der inneren und äußeren Z y lin d erfläch e für r = rx und r = r„

gleich N ull sein m uß. W ir setzen a lso : /

tan gen tialen Sp annu ngen in den R in gqu ersch n itten berechnen lassen. F ü r d as R a d ie n v e rh ältn is ll- = o ,2 , 35 = 2 ,3 , /< = 0,8

r 2

und m = 6 ergib t sich n ebenstehendes D iag ram m der Tan­

gen tialsp an n un gen a, A b b . 12 .

(13)

und e rh a lte n : D

D, + Di

D =

Di

UV r 3 m D ß y r r» • 3 m

ß y

( 1 + 2 111)

(111+ 2) = o,

( 1 + 2 111) = o

7

r22 . 3 m q + rj ’ /!-/(!

+ 2

m) _ I'i2 + r j r . + ry

3

m Fi + f2

und som it au s den G leichungen ( 12 ) :

' 7 -f-

1

, r2 -

4

- r22 ■ r,2 r„2 (I-I) '

/‘ V

3111

I +3 ™> ( 7 7 + 7 ’* + (IÍ T .) ■ - §m+37

2 r„2 \

) • ri + r 2

' = (1 + 2m ) ( r»' + r i F 2 + F l

3 m v 14 + r, rl r2

(r i + r2) r2

J e klein er r w ird , d esto größer w ird a, und w ir finden d as M a x i­

m um vo n a an d er inneren Z y lin d erflä c h e fü r r = r lt d as M ini­

m um an d er äußeren Z ylin d erfläch e fü r r = r2,

= M [ “ +

^{3 m)}

( -<“ +*>] ■

A b b .

12

. Tangentialspannungen in der ringförmigen Betonstraße für = 0 ,2 r2.

W ir entnehm en d er G leich ung (16), daß die Grenzlängen der äußeren R a d ie n m it d er Z u g fe stig k e it des Betons gerad­

lin ig w achsen. In T a b e lle I I I sind einige aus dieser Gleichung e rm ittelte Z ah len w erte un ter A n n ah m e vo n m = 6, y =

2’3

und ß — o, 8 zu sam m en gestellt w orden. E in e r geringen Zug­

fe stig k e it entsprechen auch h ier verh ältn ism äß ig große Grenz-

DER BAU IN G EN IEUR

1027 HEFT 42 u. G L A S S E R , Ü BER R I S S E UND F U G E N A B S T Ä N D E IN BETO N S T R A S S E N .

771

¡bei 30 cm starker

D eck e b ei 20 cm

starker D eck e

kg/cm2

längen der äußeren R ad ien , d ie w iederu m b ei einer b estim m ten Zugfestigkeit d es B eto n s m it w achsender B reite der R in g­

straße abnehm en, vgl. A bb. 13.

T ab elle III.

¿

— ~r L

^A

dk = 1 k g /cm 2 2 k g /cm 2 3 k g/cm 2 4 k g/cm 2 5 k g/cm 2 r2 G renzlängen der äußeren R adien r2 in m

0,1 4.05 ^8,10 12,15 16,20 20,25

0,2 4,32 ^8,64 12,96 17,28 21,60

0,3 4,55 ^9,10 13,65 18,20 22,75

0,4 4,76 9,52 ^{14,28 19,04 23,80}

0,5 4,93 ^9,86 14,79 19,72 24,65

0,6 5,°8 10,36 15,24 20,32 25,40

6.7 5,21 IO,42 _15,63 20,84 26,05

0,8 5,30 ^10,60 15,90 21,20 26,50

0,9 5,38 10,76 16,14 21,52 26,90

1,0 5,43 ^{10,86 16,29 21,72 27,17}

Zu den

^A

sind die in den A b sch n itten II und III er­

m ittelten W ärm e- und B elastu n gssp ann u n gen zu addieren,

, um die m aßgebende

f l

9

/ cm,

B eto n zu g festig k eit zu erh alten . D ie B ezie­

h ungen zw ischen den B eton zu g festigk eiten und den G renzradien der R in gstraß en sind aus folgender Z usam ­ m en stellu n g zu er­

seh en .

A us T ab elle IV ist z. B . zu en tn eh m en , daß b ei einer B e to n ­

zu g festig k eit von 17 k g/cm 2 der äußere D urchm esser einer u m b reiten und 20 cm sta r­

ken B eton rin gstraß e 38 m groß sein kann, ohn e daß R isse auf- treten m ü ssen ; bei 8 m Straß en b reite kann der Durchmesser 41 m b etragen. B ei Ü b ersch reitu ng der G renz­

radien w erden sich R isse quer zur M ittelach se der R in g­

fläche ein stellcn .

■

362

m

A bb. 1 3 . Ein flu ß d er B re ite n von rin g ­ förmigen Straß en a u f d ie G ren zrad ien .

D ie fugenlose R in gstraß e ste llt an den B eton ieru n g»’

Vorgang d ie F orderung, daß d ie gan ze Straße in einem A rb eits­

ab sch n itt h ergestellt w ird. Sobald m an eine A rb eitsfu ge a n ­ legt, ist der R ing n icht m ehr gesch lossen , und es treten dann R isse in A bständen auf, d ie den G renzlängen der gek rü m m ten Straßen hach dem folgenden A b sch n itt b en tsp rech en . In den m eisten F ällen w ird eine T agesarb eit n ich t ausreichen, so daß von vornherein die A nlage der k ü nstlich en F u gen in der R in g ­ straße zu em pfehlen ist.

b) G e k r ü m m te S tr a ß e n .

U m den A bstand der F ugen in den Straß en k rü m n iu n gcn zu bestim m en, m öge angenom m en w erden, daß d ie H alb ieru n gs­

linie der R eibungsfläche die L age n icht verän d ert. W erden nun die R eibungskräfte zu beiden Seiten dieser L inie einander gleich gesetzt, so ergibt sich, w enn h die D ick e der D eck e b e­

zeichnet,

r2 rm

H y

h d

<f

£ J r d r — J r d r J o

rm r(

und daraus;

; l/]

F ür die G renzlänge in der M ittellinie d es gekrüm m ten Straß en stü ck es wird a lsd a n n ;

i (u 4- rt) V

2

A b b .

14

.

w orin 1 d ie G renzlänge für die gerade S traße d arstellt. Ist z.

B . — = 0 ,5 ,

so wird 1

' = 0,95

1

.

D er U ntersch ied zw ischen

r 2

1 un d 1' ist gering, 1' b ew egt sich für o i l y ^ l zw ischen 0,7 1 und 1.

c) G e s c h lo s s e n e k r e is f ö r m ig e P la t z f lä c h e n . F ür die v o lle Scheibe m üssen für

^{= o}

d ie T an gen tial­

spannungen und R ad ialsp an n u n gen einander gleich sein. D ie im A b sch n itt V a en tw ick elten G leichungen lassen sich für d iesen G renzfall n ich t ohn e w eiteres verw enden. W ir schlagen d es­

halb ein en anderen W eg ein und b estim m en die R ad ialsp an ­ nungen aus der F orm änderungsarbeit in ähnlicher W eise w ie die H aup tsp an n u n gen des prism atisch en B eton b an d es.

D as K örperelem ent von der L änge x und D icke h h abe die B reite d y und w erde in der X -R ich tu n g um 'E gedehnt. D ie

X Ö

T ab elle IV .

Erforderliche reine Zugfestig­

keit des Betons vor Beendigung des Feuchthaltens

Erforderliche reine Z u g festig ­ k eit d es B etons

t r n r V p r l ’ p l i r c .

bei 20 cm starker

Decke

9

10 1 1

usw.

bei 30 cm

starker

Decke

1

_ 12— 15

1 3 — 16

14— 17 15— 18

1 1 - 12 - 1 3 -

14- -12

-13

-14

- L i

14.3 19,0

23,8

772

v. G L A S S E R , Ü B E R R I S S E UND F U G E N A B S T Ä N D E IN B E T O N S T R A S S E N . D ER TSAIilNfiKNlEUR 1927 H EFT 42

in dieser R ich tu n g zu leistende R e i­

bu n gsarbeit b e träg t d ah er für die V iertel- r

scheibe /i y h j~ x 2 d y, som it in der o

X - und Y -R ic h tu n g fü r die h albe Scheibe r

2 y h j” J ~ x 2 d y . Setzen w ir nun d as u

P o ten tial der elastischen K rä fte gleieh der R eib u n g sarb eit, so f o lg t :

E

^J

( V "' - m ”>) d

^{v = 2 l ‘ y}

h ß /fr2- J2) dy.

u 0

r- Ti h .

D a 0X ~ cfy und V r ist, erhalten w ir nach A u flösu ng d er In te g ra le fü r den G ren zrad iu s:

_ zlq k

3

* ( i — ¿ - ) 8 f ty

F ü r die Poissonzahl m = 6 w ird r = - , . /(y 16

In d er nachfolgenden T ab elle V sind einige G renzradien d er vo llen kreisförm igen P latzfläch en u n ter B erü ck sich tig u n g der S pannungen au s den W ärm esch w ankun gen und der V e r­

k eh rsbelastu n g fü r verschiedene Z u gfestigkeiten des B eto n s zusam m engestellt worden.

T ab elle V.

E rforderliche Z u g­ E rforderliche Z u g­

festig k eit d es B etons festig k eit d es B eton s vor B een d igu n g des

F euchthaltens vor V erkehrs­

ü bergabe G renzradien r für die

<tk )ei 20 cm

17 k bei 30 cm

0

k

b ei 20 cm

0

k

bei 30 cm

g esch lo ssen e k reisförm ige P latzfläche

starker stärker starker starker

D eck e D eck e D eck e D ecke

kg/cm - k g/cm 2 k g/cm 2 k g/cm 2 m

- 7 ⁸ io , 5 — > 3.5 9 . 5 — >o .5 5.3

8 9

1 1

£ — >4 ^{10 — 11 10,7}

9 ¹⁰ 12 — 14,5 11 — 12 16,0

10 11 >3 — >5

¹²

^{— 13} 21,3

I X 12 14 — 16 >3 — >4 ^26,6

usw . . •

A u s A b b . 1 3 ist fü r A = 4 kg/cm 2 die Größe der vollen kreisförm igen P la tz flä c h e zu ersehen.

D ie Z u sam m enstellu ngen lassen d eu tlich den E in flu ß der W ärm e- und B elastu n g ssp an n u n gen erkennen. D ie W ärm e­

spannun gen nehm en m it d er D ecken stärk e zu, w äh ren d die B elastu n g ssp an n u n gcn m it ihr abnehm en. D ie A bn ah m e d er letzteren is t a b er größer, so daß d ie s t ä r k e r e B e t o n d e c k e im V o r t e i l i s t . B e i gleich er Z u g fe stig k e it können danach die G renzlängen und G ren zradien für stä rk e re D ecken größer g e w ä h lt w erden als fü r solche geringerer D icke.

U nsere E n tw ick lu n g en der G renzlängen setzen eine ebene od er schw ach gekrüm m te B ettu n g sflä ch e vo rau s, a u f w elcher der B e to n bei V o lu m en verän d eru n g eine gleiten d e B ew egu n g a u s­

führen k an n . E in e auß ergew öhnliche B e la stu n g od er eine un­

ebene m it V e rstärk u n g srip p e n verseh en e U n terflä ch e kann die R e ib u n g sa rb e it in dem M aße erhöhen, daß d ie G renzlängen beein fluß t w erden. D a s k an n z. B . d u rch S ta p e ln von großen

Mengen M auerstein en oder E rd re ic h a u f d er Straß e geschehen.

S obald d er Sch w in d u n gsvo rgan g noch n ich t abgeschlossen ist oder d ie Z u g fe stig k e it noch nich t au sreich t, können sich un­

erw ü nsch te R isse einstellen . In folged essen muß die L a g e r u n g v o n g r o ß e n B a u m a s s e n o d e r d g l. a u f d e n B e t o n ­ s t r a ß e n v e r m i e d e n w e r d e n .

D ie R cib u n g sarb eit kann fern er durch d ie V erstärku n g der R ä n d e r erh öh t w erden, indem noch in lo trech ter Richtung eine H eb u n gsarb eit zu leisten ist. B e i d er fugenlosen Ring­

straß e und dem fugenlosen vollen P la tz ist-d ie V erstärkung der R ä n d er a u f der U n terfläch e zu verw erfen , b ei der geraden Straße v e rla n g t sie L än gsfu g en .

E in le iten d w a r ge sag t w orden, daß die Zerstörungen einer B eton d ecke von den F u g en ausgehen und daß m an deshalb b estreb t sein m üsse, die B re ite d er Fu g en re ch t k lein und ihre A b stä n d e m öglich st groß zu h alten . Ü b e r die Grenzabstände berichten die vorsteh en d en A b sch n itte. G erin gste Fugenbreiten lassen sich leich t dadurch erreichen, daß m an streckenweise b eto n iert und die Zw isch enstrecken e rst dann schließt, wenn die Sch w indu ng m öglichst w e it vo rgesch ritten ist. In den schw eizerischen E isen b eto n vo rsch riften ist d as Schwindmaß nach 14 T agen gleich d er h alb en G esam tsch w in d u n g gesetzt2’ . A u ch die vo n R ü th in d er M a te ria lp rü fu n g sa n sta lt Darmstadt fü r h ochw ertige P ortlan d zem en te au sgefü h rten Schwind­

m essungen28 haben ergeben, daß nach einem A lter von 14 T a g e n fa s t die H ä lfte , nach 28 T agen nahezu die gesamte Sch w indu ng erreich t ist. W o es d ie V e rh ä ltn isse zulassen, so llte m an erst nach 3 b is 4 W ochen die Zwischenstrecken schließen. D ie du rch d ie A u sd eh n un g des B eton ban d es ent­

steh en d en D ru ckspan nu n gen k an n b ekan n tlich der Beton schadlos aufnehm en. Z u r V erh ind eru ng des gegenseitigen A n h aften s d er einzelnen B eto n a b sc h n itte gen ü gt ein dünner L eh m an strich 29 oder ein dünnes d azw isch en gclegtes Fugen­

blech. D ie V erw end u ng stä rk e re r F u gen eisen 30 is t zu ver­

w erfen .

D ie vorliegenden B erech nu ngen beziehen sich nur auf die u n bew eh rte B eto n stra ß e . D e r W ert d er B ew eh ru n g wird heute v ie lfa c h an gezw eifelt, w eil m an versch ieden tlich festgestellt h at, daß d u rch die E isen ein lagen d ie R iß b ild u n gen in den B eto n stra ß e n eher b e gü n stigt als u n terd rü ck t w erden. Eine schw ach e n e tzartige B ew eh ru n g w ird unsch äd lich sein, solange die Zu gsp an n u n gen , d ie d u rch d as V o rh and ensein des Eisens beim Sch w inden des B e to n s entsteh en, vo n diesem aufgenommen w erden können. E s sei h ier a u f die D iagram m e über die Ver­

teilu n g d er Sch w in dsp annungen in einem E isen beton stabe ver­

schiedenen A lte rs a u f S. 38 der vo rtre fflich e n Sch rift von Leop old H crz k a in W ien h ingew iesen31. E in e stärkere B e­

w ehru ng fü h rt zu vielen feinen R isse n und d a m it zur allmäh­

lichen Z erstöru n g des B eto n s. G elin gt es einm al, Beton mit ganz gerin ger S ch w in du n g h erzustellen, so können die be­

w eh rten B eto n straß en noch eine große Z u k u n ft haben. Dm Z u g k rä fte au s den W ärm esch w anku n gen und V e rk e h rsb e ­

lastu ngen lassen sich leich t a u f die E ise n überleiten.

In den T a b e llen I I , I V und V sind d ie erforderlichen Zug­

festigk eiten des Straß en b eton s v o r B een d igu n g des Feucht­

h a lte n s und v o r d er V e rk eh rsü b ergab e angegeben worden. Die erstere m uß vo rh an d en sein, um d ie R eibu ngsw id erstände des B eto n b a n d e s von d er L ä n g e

1

a u f d er E rd b e ttu n g zu über­

w inden und gleich zeitig den vo rau ssich tlich auftretenden Spannungen au s den W ärm esch w an kun gen zu genügen. Das

27 Petry, Belgische Versuche über das Schwinden des Betons während der Erhärtung, Bauing. 1922, S. 32 1.

23 Prof. Dipl.-Ing. Rüth, Biebrich a. Rh., Versuche über die Verwendung hochwertigen Portlandzementes in der Praxis, Beton und Eisen 1924, S. 89.

21 Straßenbautagung auf der Leipziger Frühjahrsmesse, Tecnn.

Gem. B l. 1927, S. 17.

30 Im Gegensatz zu der Ausführung in: Deutsche BetonstraW 1925, S. 54, Selbstverlag der Studiengesellschaft für A u t o m o b il S tra ß en b au .

37 Leopold Herzka, Schwindspannungen in Trägern aus Eisen­

beton, 1925, Verlag Kröner in Leipzig.