Rozmyślnie rozpatrywaliśmy takie przekształcenia cechowania, które zależne były od punktu przestrzeni. Dlatego naturalnym jest spróbować sprowadzić wszystko co do tej pory powiedzieliśmy na język geometryczny.
Właśnie to zamierzamy zrobić w niniejszym paragrafie.
Na początku przepiszemy wzór (3.119), opisujący obrót izowektora w izoprzestrzeni o kąt Λ : φ → φ‘ = φ – ΛΛΛΛ × φ
Zależność ta jest infinitezymalną formą prawa przekształcenia :
φ → φ‘ = exp ( iI • ΛΛ ) φ ΛΛ (3.143)
gdzie : I generatory macierzowe o postaci :
przy czym, jak łatwo zauważyć ich elementy macierzowe wyrażają się w następujący sposób :
( Ii )mn = -iεimn (3.145)
gdzie : εimn – standardowy symbol Leviego-Civity
Rozkład zależności (3.143) względem potęg Λ daje ( względem powtarzających się indeksów prowadzimy sumowanie ):
φ’m = ( 1 + iIi Λi )mn φn = ( δmn + εimn Λi ) φn = φm – εimn Λi φn = ( φ −−−− ΛΛΛΛ × φ )m co pokrywa się z (3.119).
Niech teraz ΛΛΛΛ zależy od xµ. Zależność (3.143) zapiszemy obecnie w postaci :
φ → φ‘ = exp[ iI • ΛΛΛ(x)] φ = S(x) φ Λ (3.146)
Macierze I są reprezentacja generatorów grupy O(3) [ lub SU(2) ] , a zatem, spełniają zależności komutacyjne o postaci :
[ Ii , Ij ] = iεijk Ik = Cijk Ik (3.147)
Zależność ta utożsamia wielkości iεijk ze stałymi strukturalnymi Cijk grupy SU(2). Ponieważ generatory Mi dowolnej grupy spełniają tożsamości Jakobiego :
[ [ Mi , Mj ] , Mk ] + [ [ Mj , Mk ], Mi ] + [ [ Mk , Mi ] , Mj ] = 0
stałe strukturalne Cijk ,które są całkowicie antysymetryczne względem indeksów i, j, k spełniają warunek :
Cłim Cmjk + Cłjm Cmki + Cłkm Cmij = 0 (3.148)
Reprezentacja, w której elementy macierzowe generatorów mają postać : ( Ii )mn = - Cimn
nazywa się dołączoną reprezentacją grupy. W szczególności, w przypadku grupy SU(2) jest to reprezentacja w której generatory mają jawną postać (3.144). Z teorii spinu, przedstawionej w poprzednim paragrafie wiemy, że izospinor ψ przekształca się według wzoru :
ψ → ψ’ = exp[ ½ ττττ• ΛΛΛΛ(x)] ψ = S(x)ψ (3.149) gdzie : S(x) – macierz 2 × 2 , τi – macierze Pauliego, lub ściślej ½ τi , spełniają one zależności (3.147) tak jak powinno to być dla reprezentacji grupy.
W ogólnym, n -wymiarowym przypadkiem zapiszemy :
ψ(x) → ψ’(x) = exp[ iMa Λa(x )] ψ(x) = S(x)ψ(x) (3.150) gdzie względem indeksu a prowadzimy sumowanie od 1 do 3 ; ψ jest n –składnikowym wektorem, a wielkości Ma są n × n – macierzami, przedstawiającymi generatory i spełniające zależności komutacyjne (3.147). Oczywiście, że wielkość ∂ µψ nie przekształca się kowariantnie :
∂µψ‘ = S(∂µψ) + (∂µS )ψ (3.151)
Problem polega na tym, że prowadzimy niezależne „izoobroty” w różnych punktach przestrzeni. Możemy to wypowiedzieć, mówiąc, że „osie” w przestrzeni izotopicznej zorientowane są w różny sposób w każdym punkcie.
Przyczyna z powodu której pochodna ∂ψ/∂xµ nie jest wielkością kowariantną jest taka, że ψ(x) i ψ(x + dx) = ψ(x) + dψ mierzone są w różnych układach współrzędnych ( zobacz rysunek 3.11 )
Rys. 3.11 Wielkość dψ niesie informacje zarówno o zmianie funkcji ψ jak i przekształceniu osi współrzędnych przy przejściu od punktu x do punktu x + dx.
Pole ψ przyjmuje różne wartości w różnych punktach, przy tym wielkości ψ(x) i ψ(x + dx ) = ψ(x) + dψ zmieniają się względem różnych osi współrzędnych. Zatem, wielkość dψ niesie informacje nie tylko o zmianie samego pola ψ wraz ze zmianą odległości, ale również o obrocie osi w przestrzeni izotopicznej przy przemieszczeniu z punktu x do punktu x + dx. Aby prawidłowo zbudować pochodną kowariantna powinniśmy porównać wielkości ψ( x + dx ) nie z ψ(x), a z wartością, które przyjęłoby pole ψ(x) w przypadku, jeśli byłoby ono „przemieszczone” z punktu x do punktu x + dx przy nieruchomych osiach w przestrzeni izotopicznej – możemy taką operację nazwać przeniesieniem równoległym w przestrzeni izotopicznej. Przeniesienie równoległe pokazano na rysunku 3.12.
Rys. 3.12 Wielkość δφ określona jest poprzez przeniesienie równoległe ( szczegóły – zobacz tekst )
Wektor wynikowy oznaczymy przez ψ + δψ. Zauważmy, że wielkość δψ jest różna od zera, ponieważ ψ + δψ - jest wektorem, który mierzony w lokalnym układzie izo-współrzędnościowym w punkcie x + dx jest równy ( „równoległy”
)wektorowi ψ, mierzonemu w lokalnym układzie izo-współrzędnościowym w punkcie x. Te układy współrzędnych nie pokrywają się, na skutek czego nie pokrywają się i same te wektory. Czemu równa jest wielkość δψ ?
Naturalnym jest założyć, że jest ona proporcjonalna do pola ψ, jak również do wielkości dxµ, tj. odległości na którą przemieszcza się wektor. Zatem, możemy założyć :
δψ = ig Ma Aaµ dxµ ψ (3.152)
gdzie : g – liczba wprowadzona po to, aby zapewnić prawidłowy wymiar ; Aaµ – pole dopełniające lub potencjał ( Feynman nazwał go „uniwersalnym wpływem” (* universal influence *) ), który mówi nam w jakim stopniu zmieniają się osie w izo-przestrzeni przy przejściu od jednego punktu do drugiego.
Mamy teraz dwa wektory w punkcie x + dx : ψ + dψ i ψ + δψ. „Prawdziwa” pochodna wektora ψ otrzymywana jest, jeśli weźmiemy różnicę tych wektorów :
Dψ = ( ψ + dψ ) – ( ψ + δψ ) = dψ – δψ = dψ – ig Ma Aaµ dxµ ψ
Dψ/dxµ = Dµψ = ∂µψ – ig Ma Aaµψ (3.153)
Poprzez wyrażenie (3.153) określona jest pochodna kowariantna dowolnego pola ψ, przekształcającego się według pewnej reprezentacji dowolnej grupy. Przy tym generatory tej grupy przedstawione są poprzez macierze Ma , odpowiadające reprezentacji, do której odnosi się ψ.
Przekonajmy się, że powyższe wyrażenie daje te same pochodne kowariantne, jakie dawały wyrażenie wcześniej znalezione.
Na początku rozpatrzmy przypadek grupy U(1). Porównując (3.55) i (3.150) widać, ze musimy przyjąć M → −1.
Oprócz tego przyjmując g → e, otrzymujemy :
U(1) : Dµ = ∂µ + ieAµ co jest zgodnie z (3.84). Dalej, w przypadku grupy SU(2) dla reprezentacji wektorowej, wykorzystując (3.145) mamy :
( Ma )mn = - iεamn (3.154)
gdzie indeksy przyjmują wartości 1, 2, 3 ( dla indeksów symetrii wewnętrznej nie czynimy rozróżnienia między indeksami górnymi i dolnymi )
Zatem, obliczając m-tą składową wyrażenia (3.153) otrzymujemy : Dµφm = ∂µφm − ig ( Ma )mn Aa
µ φn = ∂µφm − gεamn Aa
µφn = ( ∂µφ + gAµ × φ )m Lub
Dµφ = ∂µφ + gAµ × φ (3.155)
Co jest zgodne ze wzorem (3.122) ( w którym to potencjał oznaczono jako W , a nie przez A )
Na koniec, w przypadku spinorowym pochodną kowariantną można zapisać ( podstawiając Ma = τa /2 ) tak :
Dµψ = ∂µψ – ½ ττττ• Aµψ (3.156)
“Wyprowadzenie” pochodnych kowariantnych w przypadku grupy cechowania symetrii wewnętrznej, zaprezentowany powyżej, jest analogiczny do wyprowadzenia pochodnej kowariantnej wektora w OTW, gdzie osie czaso- przestrzenne w zakrzywionej czasoprzestrzeni zmieniają się przy przejściu od punktu do punktu. Pochodna kowariantna wektora (kontrawariantnego ) Vµ ma postać :
DµVµ = ∂µVµ + ΓµλνVλ (3.157)
Wielkości Γµλν które nazywają się „współczynnikami koneksji” oczywiście odgrywają rolę, podobną do roli
potencjałów wektorowych Aaµ. Nazwa – współczynniki koneksji, odpowiada temu, że wiążą one składowe wektora w jednym punkcie z jego składowymi w punkcie sąsiednim, z którego to przemieszczono dany wektor poprzez operacje przesunięcia równoległego, tak jak to opisano wcześniej (* w języku polskim nazwa koneksja niczego nie mówi,
jednakże jeśli odwołamy się do języka angielskiego – connection coefficients , to słówko connection łatwo przetłumaczyć jako powiązanie, stąd polskie koneksja *)
W związku z podaną analogią niektórzy fizycy nazywają wielkości Aaµ koneksjami.
Teraz wiemy już jak przekształca się dowolny wektor ψ, kiedy wykonujemy obrót w przestrzeni izotopicznej : ψ → Sψ. Ponieważ Dµψ jest pochodną kowariantną wektora ψ, przekształca się ona w ten sam sposób :
Dµψ → D’µψ’ = SDµψ (3.158)
Dla uproszczenia zdefiniujmy macierz :
Aµ = Ma Aaµ (3.159)
przy tym zależność (3.153) przyjmie postać :
Dµψ = ( ∂µ – ig Aµ ) ψ (3.160) Przejście do nowego układu współrzędnych w przestrzeni izotopicznej daje [ z uwzględnieniem zależności (3.158) ] :
( ∂µ – ig A’µ )ψ’ = S ( ∂µ – ig Aµ ) (3.161)
Podstawiając w tym równaniu ψ’ = Sψ, otrzymujemy :
A’µ = SAµ S-1 – (i/g )( ∂µS ) S-1 (3.162)
Jest to prawo przekształcenia cechowania potencjału. Należy podkreślić, że do prawej części tej zależności wchodzi pewien charakterystyczny niejednorodny człon. W przypadku grupy U(1) mamy S = e-iΛ , ∂µS = – i( ∂µΛ )e-iΛ i z zależności (3.162) wynika ( przy g → e i M = 1 ) równość :
A’µ = Aµ + (1/e )∂µΛ
co pokrywa się z (3.74). W przypadku grupy SU(2) mamy : S = exp( ½ i ττττ• ΛΛΛ ) Λ
Skąd d otrzymujemy :
∂µS = ½i ττττ• ∂µΛΛ S ΛΛ
po prostych przekształceniach zależność (3.162) daje ( przy nieskończenie małych ΛΛΛ ) : Λ A’µ = Aµ − ΛΛΛΛ × Aµ + (1/g ) ∂µ ΛΛΛΛ
co jest zgodne z (3.124).
Tak na marginesie można zauważyć, że prawo przekształcenia współczynników koneksji w OTW również zawiera człon niejednorodny. Odpowiednia forma wzorów przekształceń ma postać :
Γ’κ
λµ = (∂x’κ /∂xα )(∂xβ /∂x’λ ) (∂xγ/∂x’µ ) Γαβλ + ( ∂2xα /∂x’λ ∂x’µ ) (∂x’κ /∂xα ) (3.163) Jeśliby drugi człon ( nie jednorodny ) nie występował, to wielkości Γ przekształcałyby się jak tensor.
Teraz pojawia się pytanie – ponieważ przekształcenie wielkości Aµ są niejednorodne, to czy istnieje możliwość aby w wyniku pewnego przekształcenia można było je wyzerować w każdym punkcie, a zatem nie dawały żadnego fizycznego skutku ?
Aby wyjaśnić to zagadnienie dokonamy czterech nieskończenie małych przesunięć wzdłuż drogi zamkniętej ABCDA ( rysunek 3.13 ).
Rys. 3.13 Zamknięta droga, obchodzona za pomocą przeniesienia równoległego.
Wyjdziemy z punktu A, przy czym pierwotną wartość wektora ψµ oznaczymy przez ψA, 0.
Przeniesiemy ten wektor wzdłuż zamkniętej drogi, wykorzystując zasadę przeniesienia „równoległego”, opartą na pojęciu pochodnej kowariantnej, a następnie porównamy końcową wartość przeniesionego w ten sposób wektora z wartością początkową w punkcie A, tj. porównamy wielkości ψA, 1 a ψA, 0.
Jeśli wartości te będą się różniły, to będziemy rozpatrywali to jako wskazanie na fakt, że potencjał Aµ daje niezerowy fizyczny efekt.
Przeniesienie ψA, 0 do punktu B daje :
ψB = ψA, 0 + DµψH, 0∆xµ + ½ DµDν ψA, 0 ∆xµ ∆xν + ... = ( 1 + ∆xµDµ + ... )ψA, 0 W wyniku przeniesienia do punktu C, zachowując tylko człony pierwszego rzędu, mamy : ψC = ψB + δxµ Dν ψB = ( 1 + δxνDν ) ψB = ( 1 + δxνDν ) ( 1 + ∆xµDµ + ... )ψA, 0 Następne przeniesienie do punktu D i na koniec, do punktu startowego A, ostatecznie daje : ψD = ( 1 −∆xρDρ )ψC
ψA, 1 = ( 1 − δxσDσ )ψD = ( 1 − δxσDσ )( 1 − ∆xρDρ )( 1 + δxνDν )( 1 + ∆xµDµ )ψA, 0 =
= { 1 + δxµ ∆xµ [ Dµ , Dν ] } ψA, 0 (3.164)
Zauważmy, że w wyniku tej operacji otrzymaliśmy komutator operatorów różniczkowania kowariantnego. Z (3.160) mamy :
Wchodząca do zależności (3.163) wielkość δxµ∆xν jest polem prostokąta ∆Sµν i możemy z dokładnością do członów drugiego rzędu przepisać (3.164) następująco :
ψA, 1 = ( 1 − ig∆SµνGµν )ψA, 0 (3.168)
ψA, 1 – ψA, 0 = ∆ψA = − ig∆SµνGµν ψA (3.168)
Zatem ,widzimy, że jeśli pole cechowania jest różne od zera, to obejście po zamkniętej drodze prowadzi do efektu fizycznego – wektor ψ obraca się w izoprzestrzeni.
W przypadku grupy U(1) , tj. grupy abelowej, komutator jest równy zeru. Zatem, podstawiając G → F do wyrażeń (3.166), widzimy, że pole cechowania :
Fµν = ∂µAν− ∂νAµ
pokrywa się z polem EM (3.81).
W przypadku grupy SU(2) macierze Ma spełniają zależności komutacyjne (3.147), zatem : Gaµν = ∂µAa
Łatwo zauważyć, że ponieważ przy obrocie w izoprzestrzeni do wzorów przekształceń : ψA, 0 → ψ’A, 0 = SψA, 0
ψA, 1 → ψ’A, 1 = SψA, 1
wchodzi jeden i ten sam czynnik S, to pole Gµν przekształca się kowariantnie :
Gµν = SGµν S-1 (3.170)
Stąd wynika, że pola Gµν nie można sprowadzić do zera na drodze przekształcenia cechowania ; jeśli jest ono równe zeru w jednym cechowaniu, to jest ono równe zeru przy wszystkich cechowaniach.
Powracając jeszcze raz do analogii z OTW, widzimy, że wielkością analogiczną do tensora pola Gaµν jest tensor Riemanna-Chritoffela Rµρσλ :
Porównując to wyrażenie z (3.166) lub (3.169) widać pewną strukturalną zbieżność – pierwsze dwa człony są to pochodne współczynników koneksji (potencjału ) i jako całość są one antysymetryczne względem µ i ν.
Ostatnie dwa człony są iloczynami współczynników koneksji i są również jako całość antysymetryczne względem µ i ν.
Sposób w który wyprowadza się tensor krzywizny posiada również pewną analogię.
Przy przeniesieni równoległym wektora Vµ po zamkniętej drodze, różnica składowych początkowych i końcowych tego wektora jest równa :
∆Vµ = ½ Rµρσλ Vρ∆Sσλ
Gdzie : ∆Sσλ – pole powierzchni, ograniczonej konturem.
Wyrażenie to jest analogiczne do wyrażenia (3.168). Wielkości ∆Vµ są różne od zera tylko w tym przypadku, kiedy przestrzeń posiada wewnętrzną krzywiznę. Przykładowo, na powierzchni sfery ( w dwu wymiarowej przestrzeni ) wektor po obejściu po zamkniętej drodze będzie skierowany inaczej niż początkowo.
W przypadku powierzchni płaskiej, kierunek wektora po obejściu drogi zamkniętej nie zmieni się.
Tensor krzywizny posiada tę własność tensorową, że jeśli jest on różny od zera w jakimkolwiek jednym układzie współrzędnych ( posiada choćby jedną niezerową składową ), to będzie on różny od zera w dowolnym innym układzie współrzędnych. Niezerowość tensora krzywizny wskazuje na to, ze przestrzeń jest zakrzywiona. W OTW z takiego faktu wynika, że występuje pole grawitacyjne.
Na zakończenie wyprowadzimy interesującą tożsamość ( dowiedzioną przez Feynmana [24] ), którą spełnia pole cechowania.
Rozpatrzmy 3-wymiarową zamkniętą drogę, przedstawioną na rysunku 3.14.
Rys. 3.14 Zamknięta droga wykorzystywana przy wyprowadzeniu tożsamości Bianchi.
Przenieśmy wektor ψA, 0 pierwotnie zadany w punkcie A, wzdłuż drogi ABCDA, jak wiemy po tej operacji przyjmie on wartość ( wzór (3.168) ) :
ψA, 1 = ( 1 − ig∆SµνGµν ) ψA, 0
gdzie wielkość ∆Sµν = δxµ ∆xν jest polem powierzchni prostokąta ABCD.
Teraz przenieśmy wektor ψ do punktu P po odcinku prostej AP o długości dx, wtedy przyjmie on wartość :
ψP, 0 = ( 1 + dxρGρ ) ψA, 1
Dalej, przenosząc ten wektor po konturze PSRQP, otrzymujemy :
ψP, 1 = ( 1 + ig∆SµνGµν ) ψP, 0
gdzie znak plus odpowiada temu, ze kontur obchodzimy w odwrotnym kierunku.
Na koniec, przenosimy dany wektor ponownie do punktu A, otrzymując ostateczną wartość :
ψA, 1 = ( 1 − dxσDσ ) ψP, 1 = ( 1 − dxσDσ )( 1 + ig∆SµνGµν ) ( 1 + dxρDρ )( 1 − ig∆SµνGµν ) ψA, 0 =
= { 1 – ig∆Vρµν [ Dρ, Gµν ] } ψA, 0
gdzie : ∆Vρµν = dxρ δxµ ∆xν jest objętością równoległoboku.
Uwzględniając to, że operator różniczkowy działa również na ψA, 0 możemy zamienić komutator na iloczyn DρGµν : ψA, 2 = ( 1 − ig∆VρµνDρGµν ) ψA, 0
Zamknięta droga, przedstawiona na rysunku 3.14 składa się z konturów, obchodzących krawędzie dolne i górne
równoległoboku. Oczywiście, że istnieją jeszcze dwie podobne drogi, przechodzące wzdłuż krawędzie dwóch innych par przeciwległych krawędzi. Wzdłuż krawędzi wszystkich sześciu wymienionych krawędzie mamy kontur o postaci :
( ABCDAPSRQPA ) + ( ADSPABQRCBA ) + ( APQBADCRSDA ) (3.172)
To daje nam czynnik :
1 – ig∆Vρµν ( DρGµν + DµGνρ + DνGρµ )
który działając na wektor ψA, 0 prowadzi do nowego wektora ψA, 3 w punkcie A. Jednakże, jak łatwo się przekonać, droga (3.172) przechodzi każdą krawędź równoległoboku jednakową ilość razy w kierunku tam i z powrotem, tak więc dana droga jest równoważna drodze obchodzonej w przeciwnym kierunku, a zatem wektor ψ nie może się zmieniać zatem : ψA, 3 = ψA, 0 W ostatecznym wyniku mamy :
DρGµν + DµGνρ + DνGρµ = 0 (3.173)
Jest to nasza poszukiwana tożsamość [ odpowiada ona wzorowi (3.137) ].
Z uwzględnieniem zależności (3.167) jest ona równoważna tzw. tożsamości Jakobiego : ΣΣΣΣ [ Dρ , [ Dµ, Dν ] ] = 0 (3.174)
permutacje cykliczne
Jest to warunek, który spełnia tożsamościowo tensor pola.
W przypadku grupy abelowej U(1) przyjmuje on postać:
∂ρFµν + ∂µFνρ + ∂νFρµ = 0
tj. Pokrywa się z równaniem (2.233). Tym samym pokazaliśmy, że nasza tożsamość jest równoważna jednorodnym równaniom Maxwella.
W OTW istnieje analog tożsamości (3.173), nazywany tożsamością Bianchi : DρRκλµν + DµRκ
λµρ + Dν Rκ
λρµ = 0 (3.175)
Kierując się analogią równanie (2.233) moglibyśmy nazwać tożsamością Bianchi. Analogie między teoriami z cechowaniem i OTW, które omówiliśmy do tej pory zebrano w tabeli 3.2