Ponieważ naszym celem jest zachowanie kowariantności, to wszystkie cztery składowe wektorów Aµ i πν będziemy rozpatrywać i będą one spełniały kowariantne zależności komutacyjne :
[ Aµ(x, t), πµ (x’, t ) ] = igµν δ3(x – x’ ) (4.72)
[ Aµ(x, t), Aν (x’, t ) ] = [ πµ(x, t), πν(x’, t ) ] = 0 (4.73)
w których gµν – jest tensorem metryki w przestrzeni Minkowskiego i : πµ = ∂£/∂A•0
Jednakże od razu spotykamy się z trudnością, ponieważ dla lagranżjanu (4.54) : π0 = ∂£/∂A•0 = 0
, a zatem nie można spełnić zależności (4.72) dla składowych A0. W rzeczywistości, ponieważ wielkość A0 komutuje z π0 jest ona c-liczbą, a nie operatorem i od razu tracimy kowariantność !
Aby zdefiniować kanoniczny pęd π0, nie równy zeru musimy zmienić postać lagranżjanu.
Taki nowy lagranżjan, oczywiście nie będzie dawał równania Maxwella. Pytamy – co otrzymamy w zamian ? Jedyna rozumna odpowiedź polega na tym, że będą to równania Maxwella (4.53) dodać kowariantny warunek cechowania , tj. warunek Lorentza (4.55). Razem dają one równanie Aµ = 0
Zatem, poszukujemy lagranżjanu, który daje to równanie ruchu i w którym „już uwzględniono” warunek cechowania Lorentza. Jak łatwo się przekonać, lagranżjan o postaci :
£ = - ¼ Fµν Fµν – ½ (∂µ Aµ )2 (4.74)
spełnia te warunki, ponieważ :
∂£/ ∂(∂µ Aν ) = - ∂µ Aν + ∂ν Aµ – gµν ∂λ Aλ , ∂£/ ∂Aµ = 0
Zatem, równania Eulera-Lagrange’a mają postać :
Aµ = 0 (4.75)
czego właśnie potrzebowaliśmy.
Dodatkowy człon – ½ (∂ • A )2 w wyrażeniu (4.74) nazywa się „członem ustalającym cechowanie”
(* gauge fixing term *)
W rzeczywistości moglibyśmy dodać do (4.54) człon, ustalający cechowanie o ogólniejszej postaci : - ½ λ (∂ • A )2 , tj. rozpatrzyć lagranżjan o postaci :
£ = - ¼ Fµν Fµν – ½ λ (∂µ Aµ )2 (4.76)
który prowadzi do niemaxwellowskiego równania ruchu :
Aµ – ( 1 – λ ) ∂µ(∂ν Aν ) (4.77)
Przypadek λ = 1, który nazywa się “cechowaniem Feynmana”, daje ponownie równanie (4.75).
Człony ogólnej postaci ustalające cechowanie, okazują się użyteczne, kiedy przejdziemy do kwantowania pól nieabelowych.
Powrómy teraz do lagranżjanu (4.74) i obliczymy π0 :
π0 = ∂£/∂A•0 = – ∂µ Aµ (4.78)
Jednakże wyrażenie to nie jest odpowiednie, ponieważ zeruje się ono przy cechowaniu Lorentza.
Wyjście z tej sytuacji polega na tym, aby zapostulować, że warunek Lorentza nie jest spełnione jako tożsamość operatorowa. Zamiast tego jednak nałożymy słabszy warunek, polegający na tym, że stanów fizycznych stanów | ψ >
wielkość ∂µ Aµ powinna posiadać zerową wartość średnią :
< ψ | ∂µ Aµ | ψ > = 0 (4.79)
Dalej wyprowadzimy następstwa wynikające z tego założenia.
Na początku zauważmy, że rozwiązanie równania (4.75) ma postać : 3
Aµ(x ) =
∫
[ d3k / [ (2π)3 k0 ] ΣΣΣΣ εµ(λ) (k ) [ a(λ)(k) e-ikx + a(λ)†(k) eikx ] (4.80) λ=0Wchodzące tu 4-wektory polaryzacji εµ(0), εµ(1), εµ(2), εµ(3) są unormowane w sposób relatywistyczny, przy czym wektor ε0 jest czasopodobny , a wektory εµ(1), εµ(2), εµ(3) są przestrzennopodobne :
ε(λ) • ε(λ) = εµ(λ)εµ(λ’) = εµ(λ)gµν εν(λ’) = ε0(λ)ε0(λ’ ) – ε1(λ)ε1(λ’) – ε2(λ) εµ(λ’) – ε3(λ) ε3(λ’) = gλλ’ (4.81) W układzie odniesienia, w którym foton ( antycypujemy tu interpretacje w terminach cząstek ) poruszają się wzdłuż trzeciej osi, mamy kµ = ( k, 0, 0, k ) oraz :
Przy czym :
k •ε(1, 2) = 0 (4.83)
Fotony spolaryzowane zgodnie z kierunkiem wektora ε(0), nazywają się „skalarnymi” lub „czasowymi”, fotony
spolaryzowane zgodnie z ε(3) – nazywają się „podłużnymi” (* longitudinal *) , a fotony spolaryzowane zgodnie z ε(1) i ε(2) – nazywają się „poprzecznymi” (* transverse *). Fotony skalarne i podłużne, są oczywiście niefizyczne.
Znajdziemy teraz, wyrażenie dla komutatora [ a(λ) (k) , a(λ’)†(k’ ) ]. Z lagranżjanu (4.74), otrzymujemy pęd kanoniczny
π0 = ∂£/∂A•µ = Fµ0 – g µ0 ( ∂ν Aν ) (4.84)
lub :
π0 = - A•0 + (∇∇∇∇ • A) , πi = ∂iA0 – A•i (4.85)
Z (4.73) wynika, że przestrzenne iloczyny 4-wektora Aµ komutują przy równych czasach, dlatego też różny od zera komutator (4.72) przyjmuje postać :
[ Aµ(x, t), Aν (x’, t ) ] = igµν δ3(x – x’ ) (4.86)
Podstawiając tutaj rozkład (4.8) otrzymujemy następującą zależność :
[ a(λ) (k) , a(λ’)†(k’ ) ] = -gλλ’ 2k0 (2π)3 δ3(x – x’ ) (4.87) [ tj. „kowariantną“ formę zależności (4.86) ]
Pozostałe komutatory są równe zeru.
Interpretacja operatorów a i a† jako operatorów anihilacji i kreacji przy λ = 1, 2, 3 , tj. dla fotonów podłużnych i poprzecznych, nie napotyka na żadne trudności i może być zbudowana w standardowy sposób, jednakże zależność dla fotonów skalarnych :
[ a(0) (k) , a(0)†(k’ ) ] = -2k0 (2π)3 δ3(x – x’ ) (4.88)
wiąże się z pewnymi trudnościami na skutek obecności znaku minus po jej prawej stronie.
Jedną z takich konsekwencji jest to, że norma stanu z jednym fotonem skalarnym jest ujemna. W tym przypadku zależność ta ma postać :
| 1 > =
∫
[ d3k / [ (2π)3 2k0 ] f(k ) a(0)†(k) | 0 >Z uwzględnieniem zależności (4.88) otrzymujemy :
Analogicznie otrzymujemy, że stan | nt > z nt jako fotonami czasowymi posiada normę < nt | nt > = (-1 )nt
Przestrzeń Hilberta ( w tym przypadku jest to przestrzeń Foka ) posiada nieokreśloną metrykę. (* indefinite metric *) Jest to nadzwyczaj niedogodna okoliczność, utrudniająca kwantowo-mechaniczną interpretacje takich stanów.
Drugie następstwo tego faktu polega na tym, że fotony skalarne dają ujemny wkład do energii. Przeprowadzając obliczenia analogiczne do tych, jakie dały nam zależność (4.71), otrzymujemy :
3
H =
∫
[ d3k / [ (2π)3 k0 ] k0 [ ΣΣΣΣ a(λ)†(k) a(λ)(k ) – a(0)†(k) a(0)(k ) ] (4.90) λ=1W rzeczywistości istnieje tu pewna subtelność, związana z tym, że operator gęstości liczby cząstek dla fotonów czasowych nie jest równy a(0)†(k) a(0)(k ) ale – a(0)†(k) a(0)(k ).
Rozpatrzmy stan z jednym fotonem czasowym :
| 1 > =
∫
[ d3k / [ (2π)3 2q0 ] f(q ) a(0)†(q ) | 0 >Wymagamy, aby spełniona była równość N | 1 > = | 1 >, gdzie N – jest całką od operatora gęstości liczby cząstek.
Uwzględniając wspomniany już znak minus, otrzymujemy :
Zauważmy, że jedyny istotny moment w powyższych rachunkach polega na tym, że znak minus w określeniu operatora gęstości liczby cząstek kompensowany jest przez znak minus w zależności komutacyjnej (4.88).
Dlatego operator Hamiltona (4.90) nie może posiadać ujemnych wartości własnych. Jednakże może on mieć ujemne wartości średnie. Przykładowo, łatwo pokazać, że :
< 1 | H | 1 > = -
∫
[ d3k / [ (2π)3 2k0 ] k0 | f(k ) |2 < 0 | 0 >Sposób, według którego możemy pozbyć się nieporządanych efektów, oparty jest na wykorzystaniu warunku Lorentza ( który niekiedy nazywa się warunkiem uzupełniającym )
Wcześniej zauważyliśmy, że warunek ∂µ Aµ nie może być rozpatrywany jako tożsamość operatorowa, ponieważ jest to sprzeczne z warunkami komutacyjnymi (4.72). Nadzwyczaj sztywny jest również wymaganie, aby stan fizyczny | ψ >
spełniał warunek ∂µ Aµ | ψ > = 0 , ponieważ rozkładając go na części dodatnio i ujemnie – częstotliwościowe, mielibyśmy :
∂µ Aµ | ψ > = ( ∂µ A(+)µ + ∂µ A(-)µ ) | ψ > = 0
jednakże ujemnie częstotliwościowy operator zawiera operatory kreacji, tak , że nawet próżnia nie może spełniać takiej tożsamości. Jednocześnie, ponieważ A(+)µ zawiera operatory anihilacji, możemy przyjąć mniej sztywny warunek :
∂µ A(+)µ | ψ > = 0 (4.91)
który próżnia spełnia w sposób automatyczny.
Stąd wynika, że wartość średnia wielkości ∂µ Aµ jest równa zeru :
< ψ | ∂µ Aµ | ψ > = < ψ | ∂µ A(+)µ + ∂µ A(-)µ | ψ > = < ψ | ∂µ A(-)µ | ψ > = < ψ∂µ A(+)µ | ψ* > = 0
Łatwo zauważyć, że warunek ten, po raz pierwszy sformułowany przez Guptę i Bleulera, rozwiązuje problem ujemnych wartości średnich dla energii pola. Podstawienie rozkładu (4.80) do (4.91) daje :
3
Stany fizyczne zawierają istotnie taką mieszankę podłużnych i czasowych fotonów, że spełniony jest warunek (4.92).
Nie dopuszczając, tak jak to zakładaliśmy wcześniej, istnienia (powiedzmy ) tylko jednego fotonu czasowego. Z warunku (4.92) wynika prosto, że :
< ψ | a(0)†(k ) a(0)(k ) | ψ > = < ψ | a(3)†(k ) a(3)(k ) | ψ >
i jak widać wkłady, podłużnych i czasowych fotonów do hamiltonianu (4.90) wzajemnie się znoszą, pozostają jedynie wkłady ( fizycznych ) poprzecznych stanów. Oczywiście, że formalnie ograniczenia wnoszone przez warunek
uzupełniający, można przedstawić, zamieniając wartość średnią < O > = < Φ , OΦ > pewnego operatora O na wielkość :
< O > = < Φ | ηO | Φ >
gdzie : η = „operator metryczny”, równy (-1)nt
Wtedy hamiltonian (4.90) będzie miał dodatnią wartoś średnią. Przy tym definicję normy N(Φ ) wektora stanu Φ zamieniamy na definicję :
N(Φ ) = < Φ | ηO | Φ >
W wyniku tego wszystkie stany przyjmują dodatnią normę. Zatem, widać, że trudności, pojawiającą się przy całkowicie kowariantnym podejściu do pola EM, nie są kłopotliwe przy warunku, że warunek Lorentza rozpatrujemy jako ograniczenie dla wartości średnich. Dokładniej formalizm Gupty-Bleulera wyłożono w książkach [5, 8, 9 ].