τ(x1, x2 , … ,x2n+1 ) = 0 (6.63)
W przypadku parzystych n każda n-punktowa funkcja jest sumą iloczynów funkcji 2-punktowych :
τ(x1, x2 , … ,x2n ) =
ΣΣΣΣ
τ ( xp1, xp2 ) ... τ ( xp2k-1, xp2k ) (6.64) permutacjegdzie :
τ(x, y) = i∆F( x – y )
Ta ważna zależność, którą wyprowadziliśmy sposobem „kanonicznym”, wychodząc z zależności komutacyjnych dla operatorów nazywa się twierdzeniem Wicka. (* Wick theorem *)
W niniejszym paragrafie wyprowadzaliśmy funkcje Greena w teorii skalarnego pola swobodnego. Jednakże interesuje nas przypadek, kiedy istnieją oddziaływania. Jak w takim przypadku będą wyglądały funkcje Greena ?
Odpowiedź na to pytanie przybliży nas o jeden krok do obliczenia amplitudy przejść różnych procesów fizycznych.
§ 6.4 Funkcjonały tworzące dla pól oddziałujących.
Lagranżjan :
£ = ½ ∂µφ ∂µφ – ½ m2φ2 – (1/4!)gφ4 = £0 + £oddziaływania (6.55)
opisuje pole skalarne oddziałujące z samym sobą w związku z obecnością członu φ4.
Na początku pokażemy jak znaleźć funkcje Greena dla oddziaływania o dowolnej postaci £oddziaływania , następnie w kolejnym paragrafie zastosujemy te wzory do teorii φ4. Unormowany funkcjonał tworzący ma postać :
Z[J] =
∫
ℜφ exp( iS + i∫
Jφ dx ) /∫
ℜφ exp( iS ) (6.66)Gdzie : S =
∫
£ dxOczywiście przy £oddziaływania = 0 powyższe wyrażenie przechodzi w wyrażenie (6.43), które jak pokazaliśmy wcześniej, pokrywa się z (6.44). Wyrażenie (6.44) zapisane jest w postaci, jakiej jest dogodna dla różniczkowania funkcjonalnego względem J, a zatem w celu znalezienia funkcji Greena.
Naszym obecnym celem jest znalezienie wyrażenia odpowiadającego wzorowi (6.44), dla przypadku pól oddziałujących.
Postąpimy następująco : znajdziemy równanie różniczkowe, które spełnia Z[J], następnie wyrazimy jego rozwiązanie poprzez Z0[J].
Na początku zauważmy, że z (6.44) wynika następująca zależność : (1/i) δ/δJ(x) Z0[J] = -
∫
∆F( x – y ) J(y) dy exp( - ½ i∫
∆F J(x) dy )a ponieważ ∆F jest brane ze znakiem minus, operator odwrotny do operatora + m2 ma postać :
( + m2 ) (1/i ) δ/δJ(x) Z0[J] = J(x)Z0[J] (6.67)
Jest to równanie różniczkowe dla Z0[J].
Dalej, z wyrażenia (6.66) mamy :
(1/I) δZ[J]/δJ(x) =
∫
ℜφ exp( iS + i∫
Jφ dx ) φ(x) /∫
ℜφ exp( iS ) (6.68) Zdefiniujmy funkcjonał :Z^[φ] = eiS /
∫
eiS ℜφ (6.69)Wtedy :
Z[J] =
∫
ℜφ Z^[φ] exp( i∫
J(x) φ(x) dx ) (6.70)Dana zależność jest funkcjonalnym analogiem przekształcenia Fouriera.
Weźmiemy teraz pochodną funkcjonalną od Z^[φ] , uwzględniając, że :
S =
∫
( ½ ∂µφ ∂µφ – ½ m2φ2 + £oddziaływania ) d4x = −∫
[ ½ ( + m2 )φ – £oddziaływania ] d4x (6.71) Otrzymujemy :i ( δZ^[φ] /δφ(x) ) = iδ/δφ { exp[ −
∫
[ ½ ( + m2 )φ – £oddziaływania ] d4x ] } [∫
eiS ℜφ ]-1 == ( + m2 )φ(x) Z^[φ] – ( ∂£oddziaływania /∂φ ) Z^[φ] = ( + m2 )φ(x) Z^[φ] – £’oddziaływania (φ) Z^[φ] (6.72) gdzie : prim dla £’oddziaływania oznacza różniczkowanie po argumencie.
Pomnóżmy teraz obie strony równości (6.72) przez :
exp( i
∫
J(x) φ(x) dx, a następnie scałkujmy po φ. Prawa część daje nam :{ ∫
( + m2 )φ(x) exp( iS + i∫
Jφ dx )ℜφ /∫
eiS ℜφ } –{ ∫
£’oddziaływania (φ) exp( iS + i∫
Jφ dx )ℜφ /∫
eiS ℜφ } == ( + m2 ) (1/i) δZ[J]/ δJ(x) – £’oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ ] Z[J] (6.73) gdzie wykorzystano zależność (6.68), a argumentem operatora £’oddziaływania w miejsce φ jest (1/I) (δ/δJ ), ponieważ działa on na Z[J].
Lewa część równości (6.72) z uwzględnieniem zależności (6.70) daje :
i
∫
( δZ^[φ] /δφ ) exp( i∫
Jφ dx ) ℜφ = i exp( i∫
Jφ dx ) Z^[φ] |φ→∞ +∫
J(x) Z^[φ] exp( i∫
Jφ dx )ℜφ = J(x)Z[J] (6.74) Przyrównując do siebie wyrażenia (6.73( i (6.74), otrzymujemy :( + m2 ) (1/i) δZ[J]/ δJ(x) – £’oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ ] Z[J] = J(x) Z[J] (6.75) Musimy teraz rozwiązać to równanie względem Z[J].
W przypadku pola swobodnego mamy £’oddziaływania = 0 i powyższe równanie sprowadza się do równania (6.67) dla Z0[J]. Pokażemy teraz, że rozwiązanie równania (6.75) ma postać :
Z[J] = N exp[ i
∫
£oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ ] dx ] Z0[J] (6.76)Rozłożymy teraz funkcje F w szereg potęgowy : ∞
F(φ) = F(0) + φF’(0) + (φ2 /2!) F’’(0) + ... =
ΣΣΣΣ
(φn /n!) F(n)(0 )I dokonamy zamiany φ → (1/i) (δ/δJ).
Teraz na podstawie wzoru (6.78) łatwo pokazać, że słuszna jest następująca zależność :
[ J(x),
∫
F( (1/i) δ/δJ(y) ) dy ] = iF’( (1/i) δ/δJ(x) ) (6.79)Ponieważ w tym przypadku A komutuje z [A, B] [ zgodnie ze wzorem (6.79)] w prawej części równania (6.80) występują tylko dwa pierwsze człony i tożsamość (6.77) jest dowiedziona.
b) Teraz musimy dowieść, że wyrażenie (6.76) jest rozwiązaniem równania (6.75).
Z równania (6.76) i (6.77) wynika :
J(x)Z[J] = NJ(x) exp[ i
∫
£oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(y) ] dy ] Z0[J] = N exp[ i∫
£oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(y) ] dy ] [ J(x) –∫
£’oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(x) ] ] Z0[J]Pierwszy człon po prawej stronie przekształcimy za pomocą wzoru (6.67), a w drugim zmienimy kolejność czynników Exp( i
∫
£oddziaływania ) i £’oddziaływania następnie wykorzystamy wzór (6.76).Daje nam to :
J(x)Z[J] = NJ(x) exp[ i
∫
£oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(y) ] dy ] ( + m2 )(1/i ) (δZ0/ δJ(x)) – – N£oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(x) ] exp[ i∫
£oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(y) ] dy ] Z0[J] == ( + m2 )(1/i ) (δZ[J]/ δJ(x)) – £’oddziaływania [ (1/i ) δ/δJ(x) ] ] Z[J]
Tym samym dowiedliśmy zależności (6.75).
Teraz jesteśmy gotowi do obliczenia funkcji Greena w przypadku pól oddziałujących. Przy tym będziemy się opierali ( co jest standardem w KTP ) na metodzie teorii zaburzeń.
§ 6.5 Teoria φ4.
Jak już widzieliśmy [ wzór (6.65) ], lagranżjan oddziaływania w teorii φ4 ma postać :
£oddziaływania = - ¼ gφ (6.81)
Unormowany funkcjonał tworzący zapisujemy w postaci :
Wielkość :
Exp( i
∫
£oddziaływania )możemy rozpatrywać tylko jako rozłożenie względem potęg stałej sprzężenia g , tj. jako szereg teorii zaburzeń.
Podstawiając zależność (6.81) do (6.82) i rozkładając względem potęg g, otrzymamy licznik funkcjonału Z[J] w postaci :
Z dokładnością do g0 mamy już funkcjonał tworzący dla cząstki swobodnej Z0[J].
W pierwszym rzędzie po g zapisujemy :
Dane wyrażenie można przedstawić w postaci diagramu. Niech diagram :
odpowiada propagatorowi cząstki swobodnej. Wtedy wielkość ∆F(0 ) = ∆F(x – x ) możemy przedstawić za pomocą zamkniętej pętli :
Zależność (6.83) możemy zapisać w następującej postaci :
To, że na trzech diagramach (6.86) cztery linie schodzą się w jednym punkcie, jest następstwem tego, że £oddziaływania zawiera φ4. Współczynniki 3, 6 i 1 otrzymujemy z prostych rozważań symetrii. Przykładowo, pierwszy człon w
wyrażeniu (6.86) otrzymujemy w wyniku połączenia dwóch par linii trzeciego członu na wszystkie możliwe sposoby, a takich sposobów jest trzy. Drugi człon otrzymujemy poprzez połączenie dowolnych dwóch linii trzeciego członu, takich sposobów jest sześć. Takie współczynniki liczbowe nazywają się „współczynnikami symetrii” (* symetry factors *).
Pierwszy człon z dwoma zamkniętymi pętlami nazywa się grafem próżniowym (* vacuum graph *), ponieważ nie posiada on zewnętrznych linii. Człon z jedną zamkniętą pętlą posiada dwie zewnętrzne linie ( tj. dwa czynniki J ), a człon ostatni – cztery linie zewnętrzne ( tj. cztery czynniki J ). Teraz łatwo zapisać mianownik wyrażenia (6.82).
Podstawiając J = 0, wykluczamy drugi i trzeci człon w wyrażeniu (6.86) i otrzymujemy :
Zatem, funkcjonał tworzący (6.82) z dokładnością do g ma postać :
gdzie wykorzystaliśmy rozkład mianownika. Ważną okolicznością jest to, że diagram próżniowy zniknął z wyrażenia dla Z[J]. Okazuje się, że to samo odnosi się do wszystkich rzędów teorii zaburzeń, jest to ogólna własność wszystkich unormowanych funkcjonałów tworzących.
Funkcja 2-punktowa.
Funkcje dwupunktową definiujemy jako :
τ(x1, x2 ) = {δ0Z[J] / δJ(x2)δJ(x1) } |J = 0 (6.89)
Z wyrażenia (6.88) widać, że wkład pierwszego członu funkcjonału Z do wyrażenia dla τ jest równy ∆F( x1– x2 ).
Jest to swobodny propagator. Człon z krzyżykiem
××××
we wzorze (6.88) zawiera cztery mnożniki J i nie daje wkładu do funkcji dwupunktowej. Człon z_O_
jest równy :Różniczkując go otrzymujemy :
gdzie opuściliśmy człony, zerujące się przy J = 0.
Dalej mamy :
Z dokładnością do g wzór ten wyraża wpływ oddziaływania na propagacje cząstki swobodnej. Propagator takiej cząstki zgodnie ze wzorem (6.14) ma postać :
∆F( x – y ) = [ 1/(2π)4 ]
∫
[ e-ik (x – y ) / ( k2 – m2 + iε ) ] d4ka jego obraz Fouriera ma biegun przy k2 = m2. Tym samym ustalona zostaje masa cząstki – jako równa m.
Teraz możemy pokazać, że w wyniku oddziaływania masa fizyczna jest różna od m. W rzeczywistości, bowiem drugi człon w wyrażeniu (6.90) jest równy :
Dlatego też funkcja 2-punktowa (6.90) może być zapisana jako :
τ(x1, x2 ) = [ i/(2π)4 ]
∫
[ e-ik (x1 – x2 ) / ( p2 – m2 + iε ) ] { 1 + [ ½ ig ∆F(0 ) / ( p2 – m2 + iε )] } d4p (6.92) Formalnie człon w nawiasie klamrowym można przepisać następująco :{ 1 − [ ½ ig ∆F(0 ) / ( p2 – m2 + iε )] }-1 i wtedy otrzymamy :
τ(x1, x2 ) = [ i/(2π)4 ]
∫
[ e-ik (x1 – x2 ) / ( p2 – m2 + ½ig∆F(0 ) + iε ) ] d4p (6.93) Obraz Fouriera wielkości τ(x1, x2 ) będzie teraz miał biegun przy p2, równy :m2 + ½ig∆F(0 ) ≡ m2 + δm = mr2 (6.94)
gdzie :
δm2 = - ½i g∆F(0 ) (6.95)
Wielkość mr2 utożsamiamy z fizyczną lub zrenormalizowaną masą. Zmiana δm2 dla m2 jest wielkością kwadratowo rozbieżną (* quadractically divergent quantity *), ponieważ wyrażenie dla ∆F(0 )zawiera czwartą potęgę p w liczniku (d4p ) i druga potęgę p w mianowniku. Zatem, następuje renormalizacja masy do wielkości nieskończonej. Jest to jednak drugoplanowy fakt, ponieważ szczególna własność renormalizacji polega na tym, że wielkość fizyczna ( w danym przypadku masa ) nie pokrywa się z parametrem występującym w lagranżjanie w przypadku, kiedy istnieje oddziaływanie. Dokładniej o renormalizacji będziemy mówili w rozdziale 9.
Funkcja 4-punktowa.
Przejdziemy teraz do omówienia funkcji 4-punktowej, określanej [ wzór (6.45) ], jako :
τ(x1, x2, x3 , x4 ) = {δ0Z[J] / δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4) } |J = 0 (6.96) gdzie Z[J] – jest funkcjonałem tworzącym, zadanym wzorem (6.88).
Pierwszy człon ( rzędu g0 ) w τ jest taki sam jak w wyrażeniu (6.61) :
Jest to funkcja 4-punktowa cząstek swobodnych, która nie daje wkładu do rozpraszania. Następny człon w Z[J] ma rząd g i daje – jak łatwo się przekonać – następujący wkład :
Diagram zamienia sześć równoważnych członów wchodzących do poprzedniego wyrażenia. Każdy z tych członów daje wkład dwukrotnie, tak że „współczynnik symetrii” tego diagramu jest równy 12.
Drugi człon w Z[J] rzędu g jest równy : - (ig/4!) [ δ4 / δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4) ]
x
Zatem, pełna 4-punktowa funkcja rzędu g jest równa :
Pierwszy człon ma rząd g0 i nie daje on wkładu do rozpraszania. Współczynniki liczbowe otrzymujemy z prostej kombinatoryki. Podpowiada to prostszy sposób obliczania wszystkich diagramów danego rzędu.
Rozpatrzmy na przykład, wszystkie diagramy, dające wkład do funkcji 4-punktowej rzędu g w teorii gφ4/4!
Postąpimy następująco.
Na początku, ponieważ rozpatrujemy teorię φ4 mamy n wierzchołków rzędu gn :
Zgodnie z tym, że rozpatrujemy funkcje 4-punktową, przedstawmy cztery końce zewnętrzne :
Funkcja czteropunktowa rzędu g w teorii gφ4/4! Budowana jest za pomocą następującego subdiagramu :
( Nazwa subdiagram jest wykorzystywana, aby odróżnić go od rzeczywistego diagramu Feynmana )
Połączmy teraz między sobą wszystkie linie. Istnieją trzy topologicznie różne typy diagramów Feynmana, które to przedstawia rysunek 6.4
Rys. 6.4 Człony pierwszego rzędu dla funkcji 4-punktowej.
Krotność z jakim powinny być one uwzględnione ustanawiana jest następująco.
Aby otrzymać diagram a, łączymy x1z jednym z końców wierzchołka w subdiagramie (6.103). Istnieją cztery sposoby takiego połączenia. Następnie łączymy x2 z jednym z pozostałych końców – można to zrobić na trzy sposoby.
Wszystkich tych sposobów jest 4! = 24 i tyle jest sposobów budowy diagramu a, to pozwala nam ustalić współczynnik w wyrażeniu (6.100). Dalej, aby zbudować diagram b, łączymy x1 bezpośrednio z jednym z końców x2, x3, x4.
Istnieją trzy sposoby takiego połączenia. Wybierzmy jeden z końców wierzchołka i połączmy go z jednym z dwóch pozostałych punktów zewnętrznych. Istnieje 4 x 2 sposobów aby to wykonać. Połączmy następnie jeden z trzech pozostałych końców wierzchołka z ostatnim punktem. Istnieją trzy sposoby aby to zrobić. Na koniec połączmy dwa pozostałe końce ze sobą. Otrzymana krotność jest równa : 3 x 4 x 2 x 3 = 12 x 6, tj. tak jak w wyrażeniu (6.100).
Czytelnik łatwo przekona się w tym, że krotność diagramu c jest równa 3 x 3 = 9. Diagram ten nie wchodzi do wyrażenia (6.100) z tego powodu, że jest on proporcjonalny do diagramu próżniowego
OO
, a prawidłowo unormowanyfunkcjonał tworzący Z[J] nie daje diagramów próżniowych.
W wyniku tego rozumowania zasady Feynmana dla skalarnej teorii pola φ4 w przestrzeni współrzędnościowej formułowane są w następujący sposób :
Linia górna x y ∆F( x – y ) – ig (6.104) całkowanie po z
Współczynnik symetrii S/4!
Przy obliczeniach rzeczywistych procesów w których uczestniczą np. elektrony i fotony, cząstki nie są tożsame ze sobą, a zatem współczynniki symetrii nie występują. Wyprowadzenie zależności wiążącej macierz S z funkcjami Greena odłożymy do momentu, kiedy przejdziemy do rozpatrzenia takich rzeczywistych procesów.
Tym niemniej należy tutaj zauważyć, że pierwszy z dwóch diagramów postaci :
_O_
rzędu g, występujących w zależności (6.100), daje wkład tylko do trywialnej ( diagonalnej ) części macierzy S i dlatego nie jest interesujący. Opisuje on dwie cząstki, poruszające się niezależnie, a ich oddziaływanie prowadzi jedynie do modyfikacji propagatora jednej z tych cząstek. Taki graf nazywa się niepowiązanym (* disconnected *)
Drugi graf