§ 6.3 Funkcje Greena cząstek swobodnych.
Pokażemy teraz, że amplituda Z0[J] jest „funkcjonałem tworzącym” (* generating functional *) dla funkcji Greena cząstek swobodnych, które zdefiniujemy w dalszej kolejności.
Na początku rozłożymy wyrażenie (6.13) w szereg :
Dalej wprowadzimy przekształcenie Fouriera J(p ) źródła J(x ) :
J(x) =
∫
J(p )e-ipx d4p (6.34)Z uwzględnieniem zależności (6.14) otrzymamy :
gdzie wykorzystaliśmy ten fakt, że całkowanie po x i y daje dwie funkcje delta, a następnie całkujemy po p1 i p2.
Graficznie możemy to przedstawić za pomocą następujących zasad odpowiedniości ( zasad Feynmana w przestrzeni pędów ) (* Feynmaan rule in momentum space *) :
Porównajmy te zasady z zasadami (5.45). Ponieważ w obszarze nierelatywistycznym wyrażenie p2 – m2 jest równe 2m[ T – ( p2/2m) ], gdzie T – jest energią kinetyczną, ukazany powyżej propagator oczywiście jest propagatorem relatywistycznym jednej cząstki. Zatem, wyrażenie (6.35) odpowiada diagramowi :
Amplituda przejścia próżnia – próżnia (6.33) może być przedstawiona w postaci następujących diagramów Feynmana ( czynnik N opuszczono ) :
przy czym w ostatnim wierszu tej reprezentacji graficznej wykorzystaliśmy symbole przypominające te z rysunku 5.6.
Teraz pokażemy, że założenie które wprowadziliśmy na powyżej jest słuszne - innymi słowy, mamy słuszność przyjąć powyższy szereg jako opis propagacji jednej cząstki między źródłami, propagacji dwóch cząstek między źródłami itp.
Zatem, mamy teorię wielocząstkową, zgodną z naszą pierwotną metodologią – wychodzić od pola, które po
skwantowaniu będzie opisywać cząstki. Każdy człon ukazanego powyżej szeregu jest funkcją Greena, a zatem Z0[J] jest funkcjonałem tworzącym dla funkcji Greena w danej teorii.
Aby dojść do wymaganej przez nas interpretacji rozkładu potęgowego funkcjonału , na początku rozpatrzymy rozkład potęgowy pewnej funkcji, powiedzmy funkcji F( y1, ... ,yk ) k zmiennych y1, ... ,yk :
Przechodząc do przypadku, kiedy zmienne tworzą continuum : i → xi, yi ( i = 1, ... , k ) → −∞ < x < ∞ i
ΣΣΣΣ
i →∫
dx otrzymujemy rozkład potęgowy dla funkcjonału : ∞F[y ] =
ΣΣΣΣ ∫
dx1 … dxn (1/n! ) Tn( x1… xn ) y(x1) … y(xn ) n=0Gdzie :
Tn( x1… xn ) = δ/δy(x1 ) … δ/δy(xn ) F[y ] |y=0 (6.40)
Wielkość F[y ] nazywamy funkcjonałem tworzącym dla funkcji Tn( x1… xn ).
Powróćmy teraz do funkcjonału Z0[J]. Obecnie należy postawić zagadnienie jego normalizacji.
Wielkość Z0[J] jest oczywiście amplitudą przejścia próżnia – próżnia w przypadku obecności źródła J. Dlatego naturalnym jest unormować ją zgodnie z warunkiem Z0[J = 0 ] = 1.
W tym przypadku możemy zdefiniować [ wzór (5.61)] funkcjonał Z0[J] jako :
Z0[J] = < 0, ∞ | 0 , ∞ >J (6.41) Będzie on wtedy automatycznie spełniał warunek :
Z0[0 ] = 1 (6.42)
Wyrażenie (6.5) i (6.13) należy teraz przepisać do postaci :
Takie nowe określenia, oczywiście spełniają warunek (6.42).
Dalej, wielkość Z0[J] zadawana wzorem (6.44) jest oczywiście funkcjonałem tworzącym dla funkcji :
τ (x1… xn ) = (1/in ) { δn Z0[J] / δJ(x1) … δJ(xn ) }|J =0 (6.45) Teraz przypomnijmy sobie wyrażenie (5.76), które wprowadziliśmy po to, aby wykorzystać je właśnie teraz.
Uwzględniając nasze nowe unormowanie, otrzymamy :
{ δn Z0[J] / δJ(x1) … δJ(xn ) }|J =0 = in < 0 | T( φ(x1) … φ(xn )) | 0 > (6.46)
< 0 | T( φ(x1) … φ(xn )) | 0 > = (1/in ) { δn Z0[J] / δJ(x1) … δJ(xn ) }|J =0 (6.47) Porównując (6.45) i (6.47) otrzymujemy :
τ (x1… xn ) = < 0 | T( φ(x1) … φ(xn )) | 0 > (6.48)
Te średnie próżniowe iloczynów chronologicznych operatorów polowych nazywają się funkcjami Greena lub funkcjami n-punktowymi (* n-point functions *). Związane są one z elementami macierzy S; związek ten rozpatrzymy później, kiedy wprowadzimy oddziaływania.
Dalej mamy równanie : ∞
Z0[J] =
ΣΣΣΣ
(in / n! )∫
dx1 … dxn J( x1) … J(xn ) τ(x1, … , xn ) (6.49) n=0wyrażającą ten fakt, że Z0 jest funkcjonałem tworzącym dla funkcji Greena τ. Odpowiada ona zależności graficznej (6.38).
Obliczmy teraz pewne n-funkcje. Rozpoczniemy od funkcji 2-punktowej :
τ(x, y) = − { δ2Z0[J] / δJ(x) δJ(y )} |J = 0 (6.50) gdzie : Z0[J] – jest funkcjonałem, zadanym przez wyrażenie (6.44).
Jeszcze raz przypominamy, że mamy do czynienia ze swobodną teorią pola, ponieważ wychodziliśmy od lagranżjanu swobodnego, a mianowicie z wyrażenia (6.3). Dlatego też wyrażenia, które otrzymamy dalej odnoszą się do funkcji Greena cząstek swobodnych. Odpowiednie funkcje Greena dla pól z oddziaływaniem wzajemnym różnią się od nich i zostaną podane później.
Z (6.44) mamy :
Dla uproszczenia wykorzystaliśmy tutaj zapis skrócony dla wykładnika eksponenty.
Na koniec, zakładając J = 0, otrzymujemy :
(1/i ) δ/δJ(x) (1/i )δ/δJ(y) Z0[J] |J = 0 = i∆F( x – y ) lub
τ( x, y ) = i∆F( x – y ) (6.52)
Jaki jest fizyczny sens tej wielkości ?
Z (6.48) dla 2-punktowej funkcji mamy następujące wyrażenie :
τ(x, y) = < 0 | T( φ(x) φ(y)) | 0 > = < 0 |θ(x0 – y0 )φ(x)φ(y) + θ(y0 – x0 ) φ(y)φ(x) | 0 > (6.53) Wykorzystując wzór (4.14) możemy rozłożyć φ na części dodatnio- i ujemnie częstotliwościowe :
a fk(x) zadana jest wzorem (4.11).
Ponieważ a(k) i a†(k) – są operatorami, odpowiednio anihilacji i kreacji, w wyrażeniu dla średniej próżniowej (6.53) pozostają tylko człony postaci φ(+) φ(-) :
τ(x, y) = θ(x0 – y0 ) < 0 | φ(+)(x) φ(-)(y ) | 0 > + θ(y0 – x0 ) < 0 | φ(+)(y) φ(-)(x ) | 0 > (6.55) Pierwszy człon jest to amplituda prawdopodobieństwa tego, że cząstka kreowana jest w punkcie y w chwili y0, a
anihilowana jest w punkcie x w chwili x0 ( > y0 ). Drugi człon to amplituda prawdopodobieństwa tego, że cząstka kreowana jest w punkcie x w chwili x0, a anihilowana jest w punkcie y w chwili y0 ( > x0 ). Schematycznie przedstawiono to na rysunku 6.3.
Rys. 6.3 Interpretacja zależności (6.55) (* opis na rysunku – od góry – czas, na dole - przestrzeń *)
Teraz przekonamy się w tym, że suma tych członów pokrywa się z propagatorem feynmanowskim i∆F( x – y ).
W tym celu napiszemy nowe wyrażenie dla i∆F( x – y ). Z (6.14) wynika, że :
gdzie : ωk2 = k2 + m2.
Drogę całkowania po k0 pokazano na rysunku 6.1. Do wykładnika wchodzi czynnik e-tk0x0 i dlatego przy x0 > 0 możemy zamknąć drogę całkowania w dolnej półpłaszczyźnie k0 i wtedy wkład całki po półokręgu o nieskończonym promieniu będzie równy zero. Kontur ten obejmuje biegun, położony w punkcie k0 = ωk – iδ. Jednocześnie przy x0 < 0 zamykamy kontur całkowania w górnej półpłaszczyźnie, który otacza biegun położony w punkcie k0 = - ωk + iδ.
Twierdzenie Cauchy’ego daje nam :
∆F(x ) =
∫
[ d3k / (2π)3 ] ( eikx / 2ωk ) [ θ(x0)(-i ) e-iωkx0 – θ(-x0) ieiωkx0 ]Dokonajmy w drugim członie zamiany k → −k , co nie zmienia całki, ale w wyniku daje nam :
Jest to szukana forma zapisu propagatora ∆F( x – y ). Teraz podstawiając rozkłady (6.54), otrzymamy :
gdzie wykorzystaliśmy wyrażenie (4.11) dla fk(x).
I dalej, na podstawie zależności komutacyjnej (4.16a) z (6.56) otrzymujemy :
τ(x, y ) =
∫
[ d3k / (2π)3 2ωk ] [ θ(x0 – y0 ) e-ik( x – y ) + θ( y0 – x0 ) eik( x – y ) ] = i∆F( x – y ) (6.57) Zatem, dowiedliśmy jeszcze raz zależności (6.52), a przy tym daliśmy interpretacje funkcji 2-punktowej jako funkcji opisującej kreacje, propagacje z jednego punktu do drugiego , a następnie anihilacje omawianej cząstki.Zatem, zbudowaliśmy wyrażenie dla funkcji 2-punktowej.
Co reprezentuje sobą punkcja jednopunktowa ? Oczywiście :
τ(x) = < 0 | Tφ(x) | 0 > = < 0 | φ(x) | 0 > = (1/i ){ δZ0[J] / δJ(x) }| J =0 = 0 (6.58)
Znajdziemy teraz funkcje 3-punktową :
(1/i ) δ/δJ(x1) (1/i )δ/δJ(x2) (1/i )δ/δJ(x3 ) Z0[J] | J = 0 Wcześniej widzieliśmy, że [ wzór (6.51) ] :
Różniczkując to wyrażenie, otrzymujemy :
Przy J = 0 wyrażenie to zeruje się, z czego wynika że :
τ(x1, x2 , x3 ) = < 0 | T(φ(x1) φ(x2) φ(x3)) | ) > = 0 (6.60)
Aby znaleźć funkcje 4-punktową, postępujemy następująco : różniczkujemy (6.59) jeszcze raz i przyjmujemy J =0.
Mamy wtedy :
+ człony, zerujące się przy J = 0.
Zatem funkcja 4-punktowa ma postać :
τ(x1, x2 , x3 , x4 ) = < 0 | T(φ(x1) φ(x2) φ(x3) φ(x4 )) | ) > = - [ ∆F( x1– x2 )∆F( x3 – x4 ) + ∆F( x1– x3 )∆F( x2 – x4 ) +
+ ∆F( x1– x4 )∆F( x2 – x3 ) ] (6.61)
Jest to po prostu suma iloczynów funkcji 2-punktowej, którą można przedstawić w postaci :
Przechodząc do wyższych rzędów, łatwo zobaczyć, ze przy nieparzystych n wszystkie funkcje n-punktowe są równe zero :
τ(x1, x2 , … ,x2n+1 ) = 0 (6.63)
W przypadku parzystych n każda n-punktowa funkcja jest sumą iloczynów funkcji 2-punktowych :
τ(x1, x2 , … ,x2n ) =
ΣΣΣΣ
τ ( xp1, xp2 ) ... τ ( xp2k-1, xp2k ) (6.64) permutacjegdzie :
τ(x, y) = i∆F( x – y )
Ta ważna zależność, którą wyprowadziliśmy sposobem „kanonicznym”, wychodząc z zależności komutacyjnych dla operatorów nazywa się twierdzeniem Wicka. (* Wick theorem *)
W niniejszym paragrafie wyprowadzaliśmy funkcje Greena w teorii skalarnego pola swobodnego. Jednakże interesuje nas przypadek, kiedy istnieją oddziaływania. Jak w takim przypadku będą wyglądały funkcje Greena ?
Odpowiedź na to pytanie przybliży nas o jeden krok do obliczenia amplitudy przejść różnych procesów fizycznych.