Kanoniczne kwantowanie i jego interpretacja w terminach cząstek

Rozdział 4. Kanoniczne kwantowanie i jego interpretacja w terminach cząstek.

§ 4.1 Rzeczywiste pole Kleina-Gordona.

W rozdziale 2 równanie relatywistyczne Kleina-Gordona rozpatrywaliśmy jako równanie dla jednej cząstki.

Przedstawiliśmy również następujące problemy związane z tym równaniem : 1) istnieją rozwiązania z ujemną energią

2) prąd jµ nie był związany z dodatnio określoną gęstością prawdopodobieństwa ρ, tak jak to było w przypadku Schrödingera.

Z tych powodów musieliśmy zrezygnować z interpretacji równania Kleina-Gordona jako jednocząstkowego równania ( Historycznie właśnie te przyczyny pobudziły Diraca do wyprowadzenia swojego równania )

Czy można jednak nadać jakikolwiek sens równaniu Kleina-Gordona ?

Jakkolwiek by nie było istnieją cząstki o spinie 0 ( π, K, η itp. ), tak więc w zasadzie powinna istnieć możliwość rozsądnej interpretacji tego równania.

Przyjmiemy, że równie Kleina-Gordona opisuje pole φ(x). Ponieważ nie istnieje klasyczna analogia, pole φ(x) jest polem ściśle kwantowym. Tym niemniej na początku będziemy przyjmowali go jako pole klasyczne, tak jak to robiliśmy w poprzednim rozdziale i przyjmiemy, że problemy z ujemną energią nie istnieją. Dalej, uwzględnimy w pełny sposób tą własność, że φ(x) jest polem kwantowym, rozpatrując go jako operator, spełniający określone zależności komutacyjne, analogiczne do zależności komutacyjnych standardowej MQ.

Taką procedurę często nazywa się „drugim kwantowaniem”, jednakże ja nie będę używał tego pojęcia. Istnieje bowiem tylko jedna teoria kwantowa , a nie dwie. Należy pamiętać, że zajmujemy się kwantowaniem pola, a nie ruchem oddzielnej cząstki, tak jak to miało miejsce w MQ.

Okazuje się, że istnieje oczywista interpretacja kwantowania pola jako podejścia wielocząstkowego i jest to, właśnie takie podejście jakiego potrzebujemy. W doświadczeniach fizyki wysokich energii liczba cząstek danego typu ( powiedzmy o spnie 0 ) nie jest stała, jako przykład takiej sytuacji może służyć rozpad π0 → 2γ.

Dlatego nie mamy żadnych podstaw oczekiwać, ze teoria jednocząstkowa będzie adekwatna do rzeczywistości.

W nowej interpretacji teorii pola wielkość | φ |2 będzie proporcjonalna do liczby występujących cząstek.

Jak zobaczymy dalej, po skwantowaniu pola odpadną obie trudności związane z jednocząstkowym równaniem Kleina-Gordona.

Rozpoczniemy od tego, że obliczymy energię ( „klasycznego” ) pola Kleina-Gordona. Otrzymamy ją z tensora energii-pędu θµν [ wzór (3.10) ] i dla rzeczywistego pola skalarnego ma ona postać :

H =

∫

θ00 d3x = ½

∫

_{[ ( ∂0φ )2 + ∇φ •} ∇φ + m2 φ2 ] d3x (4.1)

Przy czym lagranżjan dany jest poprzez zależność (3.10).

W przypadku zespolonego pola skalarnego mamy :

H =

∫

_{[ ( ∂0φ* ) ( ∂0φ ) + ∇φ* •} ∇φ + m2 φ*φ ] d3x (4.2) W obu przypadkach energia ( hamiltonian ) jest dodatnio określona.

Zatem, w przypadku pola skalarnego nie występuje problem ujemnych energii, który to gnębi teorie jednocząstkową.

Jednakże teraz, gdy energia pola jest dodatnio określona pojawia się pytanie : w jaki sposób związana jest ona z energią stanów jednocząstkowych ?

Odpowiedzi należy szukać w tym fakcie, że kwantowanie pola zmusza nas do interpretacji pola jako układu kwantowego, a nie jako układu klasycznego. Zgodnie z tym faktem pole φ(x) musimy rozpatrywać jako operator hermitowski, którego rozkład Fouriera możemy zapisać w postaci :

φ(x) =

∫

d3k / (2π)3 2ωk [ a(k) e-ikx + a†(k) eikx ] (4.3)

gdzie : ωk = ( k2 + m2 )1/2

Współczynniki a(k), a†(k) również są operatorami.

Wybór miar w wyrażeniu podcałkowym związany jest z wymogiem relatywistycznej inwariantności.

Dla pola spełniającego równanie Kleina-Gordona, mamy warunek „powierzchni masowej” (* mass-shell *) : k2 = k02 – k2 = m2 ( ħ = c = 1 )

W związku z czym inwariantny element przestrzeni fazowej przy k02 > 0 ( warunek dodatności energii ) ma postać : [ d4k / (2π)4 ] 2πδ( k2 – m2 ) θ(k0 ) = [ d4k / (2π)3 ] 2πδ( k02 – ωk2 )θ(k0 ) =

= [ d4k / (2π)3 ] 2πδ[ ( k0 – ωk ) ( k0 – ωk ) ] θ0 (k0 ) = [ d4k / (2π)3 ] (1/2k0 ) [ δ(k0 + ωk ) + δ( k0 – ωk ) ] θ(k0 ) =

= [ d3k dk0 / (2π)3 2k0 ] δ(k0 – ωk ) = d3k / (2π)3 2ωk (4.4)

Wielkość φ(x, t) odgrywa w teorii pola rolę analogiczną do wektora położenia x w MQ. Kwantowanie mechaniki zadaje się poprzez heisenbergowskie zależności komutacyjne :

[ xi , pj ] = iδij ( i, j = 1, 2, 3 ) (4.5)

[ xi , xj ] = [ pi , pj ] = 0 (4.5)

gdzie pęd pi określony jest kanonicznie poprzez zależność ∂L/∂xi.

Operatory x i p odpowiadają położeniu i pędowi cząstki, mierzonym w jednej i tej samej chwili czasu.

W teorii pola skalarnego wielkość φ(x, t ) odgrywa rolę analogiczną do roli x(t) i opisują układ o nieskończonej liczbie stopni swobody, ponieważ w każdej chwili czasu φ przyjmuje niezależne wartości w każdym punkcie przestrzeni.

Aby zbudować przybliżenie do takiego ciągłego przypadku, rozbijemy przestrzeń na komórki, każda z których posiada objętość δVr , niech φr(t ) – będzie wartością średnią funkcji φ(x )w komórce r w chwili czasu t.

Niech średnia wartość lagranżjanu w danej komórce będzie równa £r. Wtedy zmienna pędowa pr sprzężona z φr będzie równa :

pr (t) = ∂L /∂φr^•(t ) = δVr [ ∂£r / ∂φr^•(t )] = δVr πr(t ) (4.6) gdzie π( x, t ) – pole określone jako :

π( x, t ) = ∂£ / ∂φr^•(x, t ) (4.7)

πr(t ) – jest średnią dla komórki r.

Z komutacyjnych zależności Heisenberga wynikają następujące równości :

[ φr(t ), ps (t ) ] = iδrs (4.8)

Zależności te nazywają się jednoczesnymi zależnościami komutacyjnymi (JZK ) (* ang. equal –time commutation relations (ETCR) *)

Wykorzystamy te relacje aby znaleźć zależności komutacyjne dla operatorów a(k ) i a†(k ) wchodzących do wyrażenia (4.3).

Na początku z wyrażenia (4.7) oraz jawnej postaci lagranżjanu (3.10) otrzymamy :

π(x ) = φ^•(x ) (4.10)

Jak łatwo się przekonać, rozwiązania o dodatniej energii ( nazywane również rozwiązaniami dodatnio częstotliwościowymi ) (* ang. positive frquency *) :

fk (x ) = { 1/ sqrt[ (2π )3 2ωk ] } e-ikx (4.11)

tworzą układ ortounormowany :

∫

fk* (x ) i ∂0↔ fk’(x ) d3x = δ ( k – k‘ ) (4.12) gdzie :∂0↔ jest operatorem działającym w następujący sposób :

A(t) ∂0↔ B(t ) = A(t) [ ∂B(t) /∂t ] – [ ∂A(t)/∂t ] B(t) (4.13)

Rozkład pola (4.3) możemy zapisać w postaci :

φ(x ) =

∫

d3k / [ (2π)3 2ωk ]1/2 [ fk(x ) a(k) + fk* (x ) a†(k) ] (4.14) Odwracając tę zależność z pomocą (4.12) znajdujemy :

a(k ) =

∫

d3x [ (2π)3 2ωk ]1/2 fk* (x ) i∂0↔ φ(x ) (4.15) a†(k’ ) =

∫

d3x’ [ (2π)3 2ωk’ ]1/2 φ(x’ ) i∂0↔ fk’ (x’ ) (4.15) Z uwzględnieniem wzorów (4.9), (4.10) i (4.15) otrzymamy :

[ a(k ) , a†(k’ ) ] =

∫

d3x d3x’ (2π)3 ( 4ωk ωk’ )1/2 [ fk* (x ) i∂0↔ φ(x ) , φ(x’ ) i∂0↔ fk’ (x’ ) ] =

= (2π)3

∫

d3x d3x’ ( 4ωk ωk’ )1/2 fk* (x, t ) ∂0↔fk’ (x, t ) [ φ(x, t ) , π(x’, t ) ] =

= (2π)3

∫

d3x d3x’ ( 4ωk ωk’ )1/2 fk* (x ) i∂0↔fk’ (x ) = (2π)3 2ωk δ3 ( k – k’ ) (4.16a) W analogiczny sposób łatwo możemy pokazać, że :

[ a(k ) , a(k’ ) ] = 0 ; [ a†(k ) , a†(k’ ) ] = 0 (4.16b)

Operatory a(k ) i a†(k ) odgrywają kluczową rolę w wielocząstkowej interpretacji KTP.

Na początku naszych rozważań zbudujemy następujący operator :

N(k) = a†(k ) a(k ) (4.17)

Jak łatwo zauważyć, operatory N(k) i N(k’ ) komutują :

[ N(k) , N(k’ )] = a†(k ) [ a(k) , a†(k’ ) ] a(k’ ) + a†(k’ ) [ a†(k ) , a(k’ ) ] a(k) = [ a†(k ) a(k) – a†(k )a(k) ] δ( k – k‘ ) = 0 Na skutek czego ich stany własne można wykorzystać w celu zbudowania bazy.

Wartości własne oznaczymy przez n(k) :

Operator N(k) – jest operatorem ilości cząstek ( lub ściślej operatorem gęstości liczby cząstek ) i aby dowieść słuszności jego nazwania zauważmy, że wyrażenie dla energii pola, które otrzymujemy przy podstawieniu (4.3) do (4.1) ma postać : H =

∫

[ d3k / (2π)3 2k0 ] ½ k0 [ a†(k ) a(k ) + a(k ) a†(k ) ] =

∫

[ d3k / (2π)3 2k0 ] k0 [ N(k ) + ½ ] (4.21) ( przy kk = ωk ), analogiczne wyrażenie dla pędu pola ma postać :

P =

∫

[ d3k / (2π)3 2k0 ] k [ N(k ) + ½ ] (4.22) Wyrażenia te potwierdzają interpretacje N(k) jako operatora liczby cząstek o pędzie k i odpowiednio o energii k0 przy warunku, że N(k) nie może być ujemne.

Aby dowieść tego, że istotnie N(k) jest nieujemne, należy zauważyć, że stan a(k) | n(k) > powinien ( tak jak i każdy stan należący do przestrzeni Hilberta ) posiadać nieujemną normę :

[ a(k ) | n(k) > ]†[ a(k ) | n(k) > ] = < n(k ) | a†(k ) a(k ) | n(k ) > = n(k) < n(k) < n(k) | n(k) > > 0 tak, że jeśli norma stanu | n(k) > jest nieujemna, to wartość n(k) powinna być dodatnią lub równą zeru.

Jednocześnie z zależności (4.20) wynika, że operator a(k) zmniejsza wartość n(k) o 1, a powtórne zastosowanie tego operatora prowadzi do dalszego zmniejszania wartości. Jedyny sposób zapobiegnięciu temu, aby wielkość n(k) stała się ujemną, to przyjęcie istnienia stanu podstawowego | 0(k) > , lub krócej | 0 >, spełniającego warunek :

a(k ) | 0 > = 0 (4.23)

Wtedy otrzymamy :

N(k ) | 0 > = a†(k ) a(k) | 0 > = 0

tj. stan podstawowy ( próżnia ) nie zawiera cząstek o pędzie k.

Operator a†(k ) podwyższa wartość wielkości N(k) o jeden, tak że N(k) jest liczba całkowitą. Tym kończymy omówienie interpretacji wielkości N(k) jako operatora liczby cząstek, a tym samym wielocząstkową interpretacje KTP.

Czytelnik zapewne zauważył analogię między przeprowadzoną analizą i oscylatorem kwantowo-mechanicznym . (* Zobacz np. [12] Wykład 3 *)

W istocie, łatwo pokazać, że nasz hamiltonian (4.21) jest równoważny hamiltonianowi oscylatora harmonicznego : H = ½ P2(k) + ½ ωk2 Q2(k )

W tym celu należy podstawić :

P(k) = ( ½ ωk )1/2 [ a(k ) + a†(k ) ] , Q(k) = [ i / ( ½ ωk )1/2 ] [ a(k ) – a†(k ) ] Zatem, pole Kleina-Gordona jest równoważne nieskończonej sumie oscylatorów.

Operatory a(k) i a†(k ) nazywają się odpowiednio operatorem anihilacji i kreacji kwantów pola. Okoliczność, że wielkość N(k) jest nieujemna, oznacza, że energia kwantowanego pola (4.21) jest nieujemna, tak jak było to pokazane w przypadku klasycznego pola Kleina-Gordona. Bardzo ważne jest to, że własność ta została zachowana. W rzeczywistości energia zawiera nieskończony wkład wszystkich oscylatorowych stanów podstawowych. Ponieważ poziom zerowy energii może być wybrany dowolnie, wkład ten można odjąć bez żadnych fizycznych następstw. W związku z tym przeformułujemy hamiltonian do następującej postaci :

H =

∫

[ d3k / (2π)3 2ωk ] ωk N(k ) (4.24) Łatwo się przekonać [ z uwzględnieniem równości (4.23) ], że taki hamiltonian spełnia warunek :

< 0 | H | 0 > =

∫

[ d3k / (2π)3 2k0 ] k0 < 0 | a†(k ) a(k ) | 0 > = 0

Formalnie przejście do nowego hamiltonianu jest równoważne zapisowi wszystkich operatorów anihilacji po prawej od operatorów kreacji. Takie uporządkowanie nazywamy uporządkowaniem normalnym, (* normal ordering *)

oznaczamy go symbolicznie jako : :

Rozkładając φ(x) na dodatnie i ujemnie częstościowe części, tak jak we wzorze (4.14) :

φ(x) = φ(+) (x) + φ(-) (x) (4.25)

gdzie :

φ(+)(x) =

∫

[ d3k / (2π)3 2ωk ]1/2 a(k ) fk (x ) φ(-)(x) =

∫

[ d3k / (2π)3 2ωk ]1/2 a†(k ) f*k (x )

otrzymamy :

: φ(x)φ(y) : = φ(+)(x) φ(+)(y) + φ(-)(x) φ(+)(y) + φ(-)(y) φ(+)(x) + φ(-)(x) φ(-)(y) (4.26) Teraz pokażemy, że cząstki, które są kwantami pola Kleina-Gordona, podlegają statystyce Bose-Einsteina.

Z zależności (4.19) widać, że stan a†(k ) | n(k ) > jest proporcjonalny do stanu | n(k ) + 1 >, co zapiszemy jako : a†(k ) | n(k ) > = c+ ( n(k )) | n(k ) + 1 >

lub ściślej :

a†(ki ) | n(k1 ), n(k2 ) , ... , n(ki ), ... > = c+ ( n(ki )) | n(k1 ), n(k2 ) , ... , n(ki ) + 1 , ... >

gdzie : c+ ( n(k )) – jest współczynnikiem, który określamy z warunku, że wszystkie stany są unormowane :

| c+ ( n(k )) |2 < n(k ) + 1 | n(k ) + 1 > = < n(k ) | a(k )a†(k ) | n(k ) > = [ n(k ) + 1 ] < n(k ) | n(k ) >

Odpowiednio :

| c+ ( n(k )) |2 = n(k ) + 1

Zatem, z dokładnością do czynnika fazowego mamy c+ ( n(k )) = [ n(k ) + 1 ]1/2.

Analogiczne rozważania z wykorzystaniem a(k ) i odpowiedniego współczynnika c- ( n(k )) dają : c- ( n(k )) = [ n(k )]1/2. Mamy zatem :

a(ki ) | n(k1 ), n(k2 ) , ... , n(ki ) , ... > = [ n(k )]1/2 | n(k1) , n(k2 ), ... , n(ki ) – 1 , ... > (4.27) a†(ki ) | n(k1 ), n(k2 ) , ... , n(ki ), ... > = [ n(k ) + 1 ]1/2 | n(k1) , n(k2 ), ... , n(ki ) + 1 , ... > (4.28) Stan próżniowy nie zawiera ani jednej cząstki, posiadającej niezerowy pęd, mamy zatem :

| 0 > = | 0, 0, ... >

Dowolny stan unormowany, zawierający n(k1 ) cząstek o pędzie k1 , n(k2 ) cząstek o pędzie k2 itd. można zapisać w postaci :

| n(k1 ), n(k2 ) , ... > = [ 1/ ( n(k1 )! n(k2 )! ... )1/2 ] [ a†(k1 )]n(k1) [ a†(k2 )]n(k2 ) ... | 0 > (4.29) Oczywiście, że nie istnieje żadne ograniczenie dla wielkości n(k ). W stanie o jednej i tej samej wartości pędu może znajdować się dowolna liczba cząstek. Cząstki te są zatem bozonami. Zauważmy, że takie wyprowadzenie w sposób prosty wynika z pierwotnie zapostulowanych zależności komutacyjnych (4.9), z czego dalej wynikają zależności (4.16), które właśnie wskazują na to, że rozpatrywane cząstki są bozonami.

To oznacza, ze jeśli chcemy rozpatrywać fermiony musimy zmienić te zależności komutacyjne.

W przypadku, kiedy chcielibyśmy kwantować pola Diraca, to w istocie jesteśmy zmuszeni zmienić zależności komutacyjne (4.16), jeżeli chcemy aby energia była dodatnia. Zatem, cząstki diracowskie z konieczności okazują się fermionami. To ważne zagadnienie jest znane jako zagadnienie dotyczące związku spinu ze statystyką [10].

Po raz pierwszy postawił go Pauli.

Z zależności (4.16a) wynika normalizacja stanu jednocząstkowego. Przy | k > = a†(k ) | 0 > mamy :

< k | k’ > = < 0 | a(k ) a†(k’ ) | 0 > = < 0 | [ a(k ), a†(k’ ) ] | 0 > + < 0 | a†(k’ ) a(k ) | 0 > = --- 0 ---

= (2π)3 2k0 δ3( k – k’ ) (4.30)

Taka normalizacja jest kowariantna, co oczywiście nie powinno być dziwne, jeśli tylko uwzględni się fakt, że do wyrażenia (4.3) wchodzi miara inwariantna lorentzowsko.

Alternatywna ( niekowariantna ) normalizacja, wykorzystywana w wielu książkach, ma postać :

< k | k’ > = δ3( k – k’ )

Wyrażenie to otrzymujemy, jeśli w miejsce (4.16a) wykorzystamy następującą zależność komutacyjną : [ a(k ) , a†(k’ ) ] = δ3( k – k’ )

którą, to otrzymuje się przy odpowiednim przedefiniowaniu a(k ).

W wykorzystanym przez nas unormowaniu 1-cząstkowa funkcja falowa ψ(x) odpowiadająca pędowi p ma postać : ψ(x) = < 0 | φ(x) | p > =

∫

[ d3k / (2π)3 2ωk ] [ < 0 | a(k) | p > e-ikx + < 0 | a†(k ) | p >eikx ] =

=

∫

[ d3k / (2π)3 2k0 ] [ < k | p > e-ikx ] =

∫

d3k e-ikx δ3( k – p ) = e-ipx (4.31) Pokażemy teraz, że dane unormowanie odpowiada przypadkowi, kiedy w jednostce objętości mamy 2p0 cząstek

( być może jest to nieco nieoczekiwane ! )

Cała istota tego zagadnienia tkwi w tym, że potrzebujemy normalizacji inwariantnej lorentzowsko.

W przypadku nierelatywistycznym, jeśli S – jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w jednostkowej objętości, to unormowanie na jedną cząstkę w jednostce objętości ( v = 1 ) ma postać :

∫

S d3r = 1 (4.32)

V=1

I jeśli S = ψ*ψ i ψ ~ eikr to daje to ψ = eikr

Jednakże nie można danego rozumowania przyjąć jako relatywistyczne, ponieważ wzór (4.32) nie jest inwariantny lorentzowsko. Aby zachodziła taka inwariantność, wielkość S powinna być czasową składową 4-wektora Sµ i odpowiednio do tego warunek normalizacji ma postać :

∫

S0 dx’ dx2 dx3 = 1

lub w jawnie kowariantnej postaci : (1/4! )

∫

_{εµνκλ S}µ dxν dxκ dxλ = 1 co można przepisać następująco :

∫

Sµ nµ dV = 1

gdzie : V – przestrzennopodobna hiperpowierzchnia o normalnej nµ.

Oczywiście, że warunek ten jest relatywistycznie inwariantny. Jednakże jeśli ψ jest polem skalarnym, to wielkość ψ*ψ jest skalarem, a nie czasową składową 4-wektora.

4-wektor prądu prawdopodobieństwa Sµ ma postać : Sµ = i ( ψ*∂µ↔ψ ) 2pµ ψ*ψ

Odpowiednio do tego, jeśli w objętości V mamy jedną cząstkę, to warunek normalizacji ma postać :

∫

_2p0 ψ*ψ d3r = 1 i zatem ( przy V = 1 ) : ψ = [ 1 / (2p0 )1/2 ] eipr

Możemy jednak wybrać unormowanie nakładane na 2p0 cząstek w jednostce objętości, co daje :

∫

_2p0 ψ*ψ d3r = 2p0 ψ = eipr

Jest to warunek (4.31), który odpowiada zatem liczbie cząstek w jednostce objętości równej 2p0

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 84-88)