6.7 Fermiony i metody funkcjonalne

padających przechodzi przy rozpraszaniu w cząstki wylatujące, całkowicie niezależnie od cząstek pozostałych.

Dla funkcji 4-punktowej mamy :

skąd w pierwszym rzędzie po g wynika :

Zależność (6.116) można uogólnić na funkcje n-punktowe, np. :

§ 6.7 Fermiony i metody funkcjonalne.

W paragrafie 4.3 widzieliśmy, że istnieje związek między spinem i statystyką i że fermiony spełniają zależności antykomutacyjne :

{ ψ(x), ψ(y) } | x0 = y0 = 0

( w rzeczywistości ograniczenie x0 = y0 nie jest konieczne – pola antykomutują przy dowolnych wartościach czasu ) W podejściu kanonicznym do teorii pola wielkości ψ(x) przyjmuje się jako operatory i zatem mamy do czynienia ze zbiorem operatorów antykomutujących. Jednakże w podejściu funkcjonalnym funkcjonał tworzący dla funkcji Greena zapisywany jest w postaci całki funkcjonalnej względem pól, które to przyjmujemy jako klasyczne funkcje , tj. c-liczby.

Zatem, uogólnienie metod funkcjonalnych na pola fermionowe wymaga, aby w całce funkcjonalnej pola takie rozpatrywać jako c-liczby antykomutujące.

Dla większości fizyków takie podejście wydaje się dziwne, jeśli nie sprzeczne, jednakże w literaturze matematycznej podobna konstrukcja jest znana już od 1855 roku, kiedy to pojawiło się w artykule Hermana Grassmanna dotyczącym algebry liniowej.

Generatory Ci n-wymiarowej algebry Grassmanna spełniają zależności :

{ Ci , Cj } ≡ CiCj + CiCj = 0 (6.119)

gdzie : i = 1, 2, ... , n W szczególności :

Ci2 = 0 (6.120)

Rozłożenie funkcji f(Ci ) zawiera skończoną liczbę członów. Przykładowo, w algebrze jednowymiarowej :

f(C ) = a + bC

ponieważ człon kwadratowy jest równy zero [wzór (6.120)].

Rozpatrzmy teraz pojęcie różniczkowania. Na mocy zależności antykomutacyjnych istnieją dwa typy różniczkowania : lewe i prawe. Ich definicje można wyprowadzić z dwóch poniższych przykładów.

Lewa pochodna iloczynu C1C2 jest równa :

∂L /∂Ci ( CiCj ) = δi1C2 – δi2C1 (6.121a) Prawa pochodna jest równa :

∂R /∂Ci ( CiCj ) = δi2C2 – δi1C1 (6.121b) Oczywiście, ze operatory różniczkowania powinny spełniać zależności :

{ ∂/∂Ci , Cj } = δij (6.122)

Przykładowo, w przypadku algebry jednowymiarowej : { d/dC, C } = 1

Zależność tą można sprawdzić, stosując ją do funkcji f(C).

W analogiczny sposób można pokazać, że :

{ ∂/∂Ci , ∂/∂Cj } = 0 (6.123)

Dalej, mamy równość ( ∂/∂Ci )2 = 0 z której wynika, że nie istnieją operacje, odwrotne do różniczkowania.

Na skutek tej własności definicja całkowania jest nieco sztuczna.

Najprostszym sposobem zdefiniowania zasad całkowania opiera się na założeniu, że operacja całkowania działa na funkcje tak samo jak operacja różniczkowania. To pozwala obejść wskazany problem.

Wtedy to, ponieważ dla przypadku jednego wymiaru mamy df/dC = b, powinna być spełniona równość :

∫

dC f(C) = b

Stąd mamy następujące warunki :

∫

dC = 0 ,

∫

_{dC C = 1}

lub w przypadku n-wymiarowej algebry :

∫

dCi = 0 ,

∫

dCi Ci = 1 (6.124)

Niech teraz η i η- – będą niezależnymi zmiennymi należącymi do algebry Grassmanna, zatem :

∫

dη =

∫

dη- = 0 ,

∫

dη η =

∫

dη- η- = 1 Ponieważ η2 = η-2 = 0 mamy :

exp( − ηη- ) = 1 – η-η zatem :

∫

dη- dη exp( − ηη- ) =

∫

_{dη- dη −}

∫

dη- dη η-η = 0 +

∫

dη- dη ηη- = 1

Znajdziemy teraz uogólnienie tego wzoru na przypadek większej liczby wymiarów. Rozpatrzmy w pierwszej kolejności przypadek dwu wymiarowy :

η = ( η1 ) , η- = ( η-1 ) ( η2 ) ( η

-2 )

Wykładnik eksponenty ηη- ( który, ściśle mówiąc, należy zapisywać w postaci η-Tη , gdzie T oznacza transponowanie ) ma postać :

Stosując dalej zasady całkowania, sformułowane powyżej, widzimy, że :

∫

dη- dη exp( − ηη- ) =

∫

_dη-1dη^-_{2 dη1dη2 η}^-_1η1η^-2η2 = 1 (6.125)

∫

dη1dη2dη1dη2 =

∫

dα1dα2dα1dα2 powinniśmy żądać spełnienia równości :

dη1dη2 = (det M )-1 dα1dα2 (6.127)

w odróżnieniu od standardowego prawa zamiany zmiennych. Podstawiając (6.126) do całki (6.125) i uwzględniając (6.127) dochodzimy do :

( det MN )-1

∫

dα- dα exp( − α- MTNα ) = 1

Jednakże ponieważ det MN = det MTN , to podstawiając MTN = A otrzymujemy :

∫

dα- dα exp( −α-Aα ) = det A (6.128)

Wzór ten , a ściślej jego uogólnienie na przypadek nieskończenie wymiarowy, będzie wykorzystany w następnym rozdziale przy znajdowaniu zasad Feynmana dla pól z cechowaniem.

Aby opisać pola fermionowe, dokonamy teraz przejścia do nieskończenie wymiarowej algebry Grassmanna, której generatory oznaczymy przez C(x). Spełniają one następujące zależności :

{ C(x), C(y) } = 0

∂L, R C(x) /∂C(y ) = δ( x – y ) (6.129)

∫

dC(x) = 0 ,

∫

dC(x) dC(x) = 1

Całki typu (6.128) przy tym przekształcają się w całki funkcjonalne po zespolonych zmiennych Grassmanna.

Podobnie jak w przypadku pól skalarnych, będziemy wykorzystywali powyższe wzory, zakładając, że mają one ścisłą matematyczną podstawę. Z takim założeniem, możemy wypisać wyrażenie dla funkcjonału tworzącego dla pól Diraca analogicznie do przypadku pól skalarnych [ wzór (6.1)]. Ponieważ lagranżjan dla pola Diraca dany jest wyrażeniem :

£ = iψ- γ ∂µψ – mψ-ψ

to unormowany funkcjonał tworzący dla pól swobodnych Diraca będzie miał postać :

Z0[η , η- ] = (1/N)

∫

ℜψ- ℜψ exp{ i

∫

[ ψ-(x) ( iγ • ∂ – m)ψ(x) + η-(x)ψ(x) + ψ-(x)η(x)] dx } (6.130) Gdzie całkowanie prowadzimy po x po czterowymiarowej przestrzeni :

N =

∫

ℜψ- ℜψ exp{ i

∫

[ ψ-(x) ( iγ •∂ – m)ψ(x)dx } (6.131) Gdzie : η-(x) – jest źródłem dla pola ψ(x), a η(x) – jest źródłem dla pola ψ-(x).

Naszym celem jest przedstawienie tego wyrażenia w postaci, analogicznej do (6.13), po to aby można było wypełnić różniczkowanie funkcjonalne i obliczyć funkcje Greena oraz elementy macierzowe macierz S. W celu uproszczenia wzoru wprowadzimy następujące oznaczenie :

( gdzie założyliśmy, że istnieje operator, odwrotny do operatora S-1 , dalej tego dowiedziemy ).

Minimalna wartość Q jest równa :

W ostatnim wierszu wyprowadziliśmy czynnik exp( iQm ) za znak całki, ponieważ Qm nie zależy od ψ i ψ-,

wykorzystaliśmy również zależność (6.128), uogólniając ją w odpowiedni sposób na przypadek funkcjonalny. Oprócz tego, oczywistym jest, że :

N = det( -iS )-1, zatem ostatecznie otrzymujemy :

Z0[η , η- ] = exp[ i

∫

η-(x) S( x – y ) η(y) dx dy ] (6.134) Łatwo pokazać, że operator S istnieje. Ma on postać :

S(x) = ( iγ • ∂ + m)∆F(x ) (6.135)

Gdzie : ∆F(x ) – propagator Feynmana.

Wykorzystując wzór (6.132) mamy :

S-1S = ( iγ • ∂ – m)( iγ • ∂ + m)∆F(x ) = ( − − m2 ) ∆F(x ) = δ4(x) Teraz możemy znaleźć swobodny propagator pola Diraca.

Analogicznie do (6.50) zdefiniujemy go poprzez zależność : τ(x, y) = − { δ2Z0[η , η- ] / δη(x) δη-(y )}| η = η- = 0 =

= − (δ/δη(x) ) ( δ/δη-(y) ) [ − i

∫

η-(x) S( x – y ) η(y) dx dy ] | η = η- = 0 = iS( x – y ) (6.136)

Podsumujmy uzyskane wzory odnoszące się do propagacji swobodnego pola skalarnego I spinorowego.

Dla pola skalarnego o lagranżjanie ( określonym z dokładnością do pełnej dywergencji ) :

£0 = ½ ∂µφ ∂µφ – ½ m2φ2 = - ½ φ( + m2 )φ

Znaleźliśmy funkcje 2-punktową [ wzór (6.52) ] postaci : τ( x, y) = i∆F(x – y )

gdzie : ∆F(x ) – propagator Feynmana, spełniający równanie [ wzór (6.10) ] : ( + m2 )∆F(x – y ) = − δ4( x – y )

W przypadku pola spinorowego lagranżjan ma postać :

£0 = ½ iψ- γµ ∂µψ – ½ mψ-ψ = ψ- S-1ψ

Funkcja 2-punktowa jest równa jednostce urojonej i, pomnożonej przez propagator : τ( x, y) = iS(x – y )

W każdym z tych przypadków widać, że propagator jest operatorem odwrotnym do członu kwadratowego wchodzącego do lagranżjanu ( czynnik ½ wchodzący do lagranżjanu skalarnego nie jest istotny i pojawia się w przypadku pola rzeczywistego φ, w przypadku pola zespolonego nie występuje )

Powyższe stwierdzenie można przyjąć w charakterze definicji propagatora i właśnie tak postąpimy, w przypadku kiedy będziemy rozważali pola cechowania.

Na koniec, należy wskazać jeszcze jedno następstwo teorii pól podlegających statystyce Fermiego. Otrzymujemy je z zależności, którą spełniają operatory różniczkowania pól Grassmanna.

Uogólnieniem wzoru (6.123) jest zależność :

(δ2/δη(x)δη(y) ) = − (δ2/δη(y)δη(x) ) (6.137)

gdzie : η – źródło fermionów, operatory różniczkowania mogą być zarówno prawe jak i lewe.

W przypadku lewego różniczkowania mamy :

δ/δη(x1) [ η(x) η(y)] = δ4( x1− x ) η(y ) − δ4(x1 – y )η(x)

Zamierzamy teraz pokazać, że zasady te prowadzą do pojawienia się czynnika −1 dla każdej pętli fermionowej w diagramie Feynmana. Przykładowo, w przypadku pola spinorowego, oddziałującego z polem skalarnym, pojawia się poprawka do propagatora swobodnego pola skalarnego, przedstawiona na rysunku 6.5.

Rys. 6.5 Modyfikacja propagatora pola skalarnego poprzez zamkniętą pętle fermionową.

Poprawka taka zawiera zamkniętą pętle fermionową oraz dwa wierzchołki, odpowiadające oddziaływaniu.

Odpowiednia funkcja 2-punktowa wyprowadzana jest z funkcjonału tworzącego do którego włączono oddziaływanie.

Odpowiednie uogólnienie wzoru (6.76) ma postać :

Z[η , η- ] = exp{ i

∫

£oddziaływania [ (1/i ) δ/δη , (1/i) δ/δη- )] dx } Z0[η , η- ] (6.138) Gdzie Z0 zadane jest wzorem (6.134).

Trzeci człon rozkładu tego funkcjonału ma postać :

½

∫

dx dy dx’ dy’ η-(x) S( x – y ) η(y)η-(x’) S( x’ – y’ ) η(y) Pętla przedstawiona na rysunku 6.5 daje człon o postaci : (δ2/δη-i (z)δηj(z) ) (δ2/δη-k(z’ )δηm(z’ ) ) Z[ η , η- ] ( i, j, k, m – indeksy spinorowe )

Podstawiając tutaj wyrażenie (6.138) dla Z[η , η- ] i wykorzystując równość (6.137), łatwo pokazać, że człon ten jest równy :

+Sim( z – z’ ) Skj( z’ – z )

Jeśli pola spełniałyby statystykę Bosego, to znak ogólny byłby minusem, a zatem dla pętli fermionowej istnieje czynnik równy − 1.

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 143-146)