Rys. D5.3.1
Ogólny zapis całki funkcjonalnej w KTP.
W KTP podstawowe wielkości wyrażamy poprzez feynmanowskie całki funkcjonalne o ogólnej postaci :
< A > =
∫
A(Ψ ) exp[ iS(Ψ )] ℜ(Ψ )Jest to zapis symboliczny wymagający konkretnego uściślenia jego matematycznej postaci. Znaczna część formalizmu KTP poświęcona jest różnym sposobom nadania ścisłego sensu podobnemu zapisowi.
W powyższym zapisie :
Ψ - zbiór pól danej teorii , A – operator zbudowany z pól Ψ , < A > - wartość średnia operatora A, S(Ψ ) – funkcjonał działania w jednostkach Plancka o ogólnej postaci :
∫
£(Ψ ) d4x£(Ψ ) – gęstość lagranżjanu danej teorii, którą całkujemy po pewnym obszarze czasoprzestrzennym.
ℜ(Ψ ) – symboliczny zapis miary określonej na przestrzeni funkcjonalnej pól Ψ.
Nadto pola Ψ spełniają pewne określone warunki brzegowe lub asymptotyczne.
W większości realistycznych modeli KTP, całka funkcjonalna jest doprecyzowana i obliczana za pomocą schematu teorii zaburzeń. Schemat ten prowadzi do szeregu, składającego się z całek rozbieżnych. Całki takie regularyzowane są w dalszej kolejności w pewną procedura renormalizacyjną Szereg jest następnie aproksymowany poprzez skończoną sumę, skończonej liczby regularnych członów.
Głównym problemem jest jak widać określenie miary i zapewnienie zbieżności powyższej całce.
Generalnie cała procedura jest dosyć skomplikowana matematycznie i nie zawsze formalnie poprawna. Wielokrotnie mamy do czynienia z wyrażeniami dążącymi do nieskończoności ( całkami rozbieżnymi ) jak również wielokrotnie należy balansować na pograniczu formalizmu matematycznego. Jednakże wszystko to kompensuje z nawiązką zdumiewająca zgodność wyników takiego podejścia z danymi doświadczalnymi.
( np. słynna już poprawka do wartości momentu magnetycznego elektronu Diraca – różnica między teorią, a doświadczeniem jest mniejsza niż 10-11 )
Na podstawie :
„Pola cechowania i geometria zespolona” -- Ju. Manin ; Nauka 1984 ; str. 7
„Droga do rzeczywistości” -- Roger Penrose ; Prószyński i S-ka 2006 ; od str. 627
*)
*************************************************************************************************
Rozdział 6 Kwantowanie metodą całek funkcjonalnych i zasady Feynmana.
( pola skalarne i spinorowe )
W niniejszym rozdziale dokonamy kwantowania pola skalarnego i spinorowego metodą całek funkcjonalnych,
analogicznie do podejścia do sformułowania MQ danego w poprzednim rozdziale. Da nam to możliwość zdefiniowania propagatorów pól – skalarnego i spinorowego. W dalszej kolejności wyprowadzimy oddziaływania i zastosujemy do nich teorię zaburzeń i sformułujemy zasady Feynmana. Po tym omówimy dokładnie pola spinorowe, a cały rozdział
zakończymy obliczeniem rozpraszania pion-nukleon.
§ 6.1 Funkcjonał tworzący dla pól skalarnych.
( w danym paragrafie i w dużej części tego paragrafu wykorzystamy materiał z następujących wykładów : D. Wess Preprint Karlsruhe Univerity 1974, Popov V. N. Preprint TH-2424 CERN Geneva 1979 )
Założymy, że pole skalarne φ(x) posiada źródło J(x) w takim sensie tego pojęcia jaki podano w paragrafie 5.5, zatem analogicznie do wyrażenia (5.8) możemy zdefiniować amplitudę przejścia próżnia-próżnia dla obecności źródła J w postaci :
Z[J] =
∫
ℜq exp{ i∫
d4x [ £(φ) + J(x)φ(x) + ½εq2 ] } ~ < 0 , ∞ | 0 , −∞ >J (6.1) Dokonaliśmy tutaj zamiany ℜq(t) → ℜφ(x4 ) i przyjęliśmy ħ =1.Wchodząca do tego wyrażenia wielkość £ jest lagranżjanem Kleina-Gordona (3.10). Zatem, zamiast rozbijać oś czasową na segmenty, rozbijamy czasoprzestrzeń , tj. przestrzeń Minkowskiego, na 4-wymiarowe kostki o objętości δ4 w każdej z których φ przyjmujemy jako stałą :
φ ~ φ(xi , yj , zk , tł )
Pochodne w przybliżeniu możemy wyrazić następująco :
∂φ/∂x |i, j, k, ł ≈ (1/δ) [ φ(xi + δ , yj , zk , tł )]
Teraz formalnie zamienimy cztery indeksy ( i, j, k , ł ) na jeden indeks ( kolektywny ) n i zapiszemy :
£( φ(xi , yj , zk , tł ) , ∂µφ(xi , yj , zk , tł ) ) = £( φn , ∂µφn ) = £n
Jeśli każdy z indeksów i, j, k, ł przyjmuje N wartości, to indeks n przyjmuje N4 wartości i działanie : S =
∫
£n d4xObliczmy to wyrażenie dla przypadku cząstki swobodnej ( pola ), kiedy :
£0 = ½ ( ∂µφ ∂µφ – m2φ2 )
Odpowiednia amplituda przejścia próżnia- próżnia ( w granicy przy N →∞ ) zadana jest wzorem :
Z0[J] =
∫
ℜq exp{ i∫
[ ½ ( ∂µφ ∂µφ – ( m2 – iε ) φ2 ) + φJ ] d4x } (6.3) Wykorzystując tożsamość :∫
∂µφ ∂µφ d4x =∫
∂µ( φ ∂µφ ) d4x –∫
φ φ d4xi przekształcimy pierwszy człon w wyrażeniu (6.3) w całkę powierzchniową za pomocą 4-wymiarowego wariantu twierdzenia Gaussa. Taki człon powierzchniowy zeruje się przy warunku, że φ → 0 w nieskończoności, tak więc mamy
∫
∂µφ ∂µφ d4x = –∫
φ φ d4x (6.4)W wyniku czego otrzymujemy :
Z0[J] =
∫
ℜq exp{−i∫
[ ½ φ ( + m2 – iε )φ – φJ ] d4x } (6.5) Zauważmy, że pole φ w danym funkcjonale tworzącym nie spełnia równania Kleina-Gordona (3.8). Aby obliczyć Z0[J], dokonamy zamiany :Z0[J] → φ(x) + φ0(x) (6.6)
Wykorzystując zależność :
∫
φ0( + m2 – iε )φ d4x =∫
φ( + m2 – iε )φ0 d4xktórą wyprowadza się analogicznie do (6.4), po zamianie (6.6) otrzymujemy :
∫
[ ½ φ ( + m2 – iε )φ – φJ ] d4x →∫
[ ½ φ ( + m2 – iε )φ + φ( + m2 – iε )φ0 +Podstawiając (6.9) do (6.8) widzimy, że wykładnik eksponenty w wyrażeniu (6.5) jest równy iloczynowi –i przez następującą wielkość :
½
∫
φ( + m2 – iε )φ d4x + ½∫
J(x) ∆F(x – y ) J(y )d4x d4y (6.11) Zatem, funkcjonał Z0[J] przyjmuje postać ( piszemy dx w miejsce d4x oraz y w miejsce d4y ) :Z0[J] = exp [ - ½ i
∫
J(x) ∆F(x – y ) J(y )dx dy ]∫
ℜq exp[ − ½i∫
φ( + m2 – iε )φ dx ] (6.12) Dogodność danego wyrażenia w porównaniu z (6.5) polega na tym, że tutaj funkcjonał Z0[J] ma postać iloczynu dwóch czynników jeden z których zależy tylko od φ, a drugi tylko od J.W istocie całka, zawierająca φ jest liczbą, ponieważ bierzemy ją po wszystkich funkcjach φ, funkcjonał ten oznaczymy jako N. Ostatecznie mamy :
Z0[J] = N exp [ - ½i
∫
J(x) ∆F(x – y ) J(y )dx dy ] (6.13)Ponieważ interesują nas tylko amplitudy przejścia unormowane w zastosowaniach, które rozpatrujemy, wielkość N nie odgrywa roli.
Celem jaki sobie postawiliśmy w niniejszym paragrafie jest obliczenia zależności (6.13) dla amplitudy przejścia próżnia- próżnia został zatem osiągnięty. W następnym paragrafie pokażemy, w jaki sposób taka sama zależność jest
wyprowadzana za pomocą całkowania funkcjonalnego. Zanim jednak zakończymy ten paragraf rozpatrzymy krótko propagator feynmanowski ∆F(x ), określony poprzez zależność (6.10). Łatwo zauważyć, że propagator ten może być przedstawiony w postaci rozłożenia Fouriera :
∆F = [1/(2π)4 ]
∫
d4k [ e-ikx / ( k2 – m2 + iε )] (6.14)Zauważmy, że wprowadzenie członu iε, który pierwotnie był wprowadzony [ wzór (6.1)] po to aby zapewnić spełnienie warunków granicznych dla przejścia próżnia- próżnia, dyktuje wybór drogi całkowania, obchodzącej biegun przy k0 = ± ( k2 + m2 )1/2. W istocie bieguny położone są w punktach spełniających równość :
k02 = k2 + m2 – iε , tj. przy :
k0 = ± ( k2 + m2 )1/2 ± iδ = ± E ± iδ (6.15)
Fakt ten pokazano na rysunku 6.1, gdzie droga całkowania względem k0 przechodzi wzdłuż osi rzeczywistej.
Rys. 6.1 Droga całkowania wzdłuż osi rzeczywistej k0 w definicji propagatora ∆F.
W granicy δ → 0, tj. przy ε → 0 [ co uwzględniamy we wzorze (6.14)], bieguny umiejscowione są na osi rzeczywistej , a droga całkowania w tym przypadku wygląda tak jak to przedstawia rysunek 6.2
Rys. 6. 2 Nowa droga całkowania po przejściu do granicy przy ε → 0 ( δ → 0 ).
Istnieje również drugi sposób uwzględnienia warunków brzegowych dla przejścia próżnia –próżnia : dokonać obrotu osi czasowej, nie o mały kąt δ, tak jak to przedstawiono na rysunku 5.7, a o kąt ½π, tak, że t → −i∞.
Jeśli wprowadzimy oznaczenie :
x4 = it = ix0 (6.16)
to będzie to granica przy x4 → ∞.
Taka czasoprzestrzeń o urojonej osi czasowej nazywa się euklidesową, co wynika m.in. z tego, że inwariantny interwał ma w tym przypadku postać :
4
ds2 = − ( dx0 )2 – ( dx1 )2 – ( dx2 )2 – ( dx3 )2 =
ΣΣΣΣ
( dxµ )2 µ=1Jeśli wprowadzimy również oznaczenie :
k4 = -ik0 (6.17)
to w euklidesowej czasoprzestrzeni będą słuszne następujące zależności :
k2 = − ( k12 + k22 + k32 + k42 ) = - kE2 (6.18)
d4kE = d3k dk4 = - id4k
a propagator Feynmana będzie miał postać :
∆F = [-i /(2π)4 ]
∫
d4kE [ e-ikx / ( kE2 – m2 )] (6.19)W tym przypadku nie występują powyżej omówione trudności w wyborze konturu całkowania, ponieważ bieguny leżą nie na osi rzeczywistej, a w punktach k4 = ±i ( k2 + m2 )1/2.
Wychodząc od wyrażenia (6.3) dla Z0[J], z uwzględnieniem równości d4x = - id4xE oraz ( ∂µφ
)
2 = - (∂µ Eφ )2 otrzymujemy wyrażenie dla euklidesowej amplitudy przejścia :Z0[J] =
∫
ℜq exp{ −∫
[ ½ [ (∂µEφ )2 + m2φ2 ] – φJ ] d4xE } (6.20)Wykładnik eksponenty stojący pod znakiem całki jest ujemnie określony, a zatem całka jest skończona.
Rola członu zawierającego ε w (6.3) sprowadza się do tego, aby zapewnić zmniejszanie się wyrażenia podcałkowego.