5.5 Inne własności całek funkcjonalnych - Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder

Pokazaliśmy już, że amplituda przejścia od qiti do qftf ma postać : tf

< qf tf | qiti > =

∫

ℜq exp[ (iħ )

∫

L( x, x^• ) dt ] ti

dla przypadku, kiedy hamiltonian dany jest wyrażeniem H = (p2/2m) + V(q). Dla pewnego kręgu zagadnień, które na razie stawiamy, wyrażenie to można przyjąć jako wystarczająco szerokie. Warunki początkowe rozpatrywanego zagadnienia mają postać :

q( tf ) = qf , q(ti ) = qi

Warunki początkowe tego rodzaju są odpowiednia dla opisu ruchu cząstki klasycznej, jednakże nie jest to, to czego wymagamy w teorii pola. Analogiem takich warunków mogą być np. warunki o postaci : ψ(ti ) = ψi , ψ(tf ) = ψf Jednakże w rzeczywistości są kreowane ( np. podczas zderzeń ), oddziałują ze sobą oraz anihilują przy obserwacji ( tj. przy ich rejestracji ). Przykładowo, przy pomiarze różniczkowego przekroju czynnego dσ/dΩ πN-rozpraszania, kreowany jest pion w NN-zderzeniu i anihilowany przy rejestracji.

Akt kreacji może być przedstawiony jako źródło, a akt anihilacji – jako odpływ (* ang. sink , terminologia zaczerpnięta z teorii pól wektorowych *), który przy naszym sposobie podejścia, staje się również źródłem.

Warunki początkowe takiego zagadnienia można schematycznie przedstawić następująco

Rys. 5.6 Schemat przejścia próżnia-próżnia przy obecności źródła

(* opis na rysunku – od góry anihilacja cząstki, od dołu kreacja cząstki *)

- stan próżniowy istnieje przy t →-∞, ewoluuje on w stan próżniowy przy t→∞ poprzez pośrednie etapy - kreacji cząstki, jej oddziaływania a następnie jej anihilacji za pośrednictwem źródła. Zatem, interesuje nas amplituda przejścia

próżnia-próżnia w przypadku obecności źródła.

(* vacuum-to-vacuum transition amplitude in the presence of a source *)

Taka metoda oparta na pojęciu źródeł pochodzi od Schwingera [18]. Źródło J(t) przedstawia się jako dodatek do lagranżjanu :

L → L + ħJ(t) q(t ) (5.60)

Jeśli | 0, t >T jest wektorem ( w poruszającym się układzie odniesienia ) stanu podstawowego ( próżni ) w przypadku występowania źródła , np. w przypadku układu opisywanego lagranżjanem (5.60), to amplituda przejścia ma postać :

Z[ J ] ~ < 0, ∞ | 0 , −∞ >T (5.61)

Gdzie opuszczono pewien współczynnik proporcjonalności.

Wielkość Z[ J] jest oczywiście funkcjonałem od J. Wyprowadzimy teraz wyrażenie dla niej, tj. dla amplitudy przejścia, z dokładnością do stałego czynnika.

Charakterystyczną własnością omawianej kwestii jest obecność stanu próżniowego.

W jaki sposób dochodzimy do niego ?

Całą sytuacje można sobie wyobrazić, rozpatrując oś czasową, przedstawioną na rysunku 5.7

Rys. 5.7 Obrót osi czasowej przy obliczaniu amplitudy przejścia próżnia –próżnia. (* opis na rysunku. Od góry oś czasowa, obrócona oś czasowa *)

Dalsze wywody korzystają istotnie z pracy [11].

Niech źródło J(t) będzie różne od zera tylko w chwili czasu pomiędzy momentami t i t’ ( t < t’ ).

Niech chwila T poprzedza chwilę t, a T’ – jest chwilą późniejszą niż t’. W tym przypadku amplituda przejścia ma postać T’

< Q’T’ | QT >J = N

∫

ℜq exp[ (i/ħ )

∫

dt ( L + ħJq) ] (5.62) T

Możemy dalej zapisać :

< Q’T’ | QT >J =

∫

dq’dq < Q’T’ | q’t’ > < q’t’ | qt >J < qt | QT > (5.63) Wykorzystując (5.3) mamy :

< Q’T’ | q’t’ > = < Q’ | exp[ -(i/ħ ) HT’ ] exp[ (i/ħ ) Ht’ ] | q’ > =

ΣΣΣΣ

φm (Q’ ) φ*m (q’ ) exp[ (i/ħ )Em ( t’ – T’ )] (5.64) m

gdzie : φm (q )- funkcje tworzące układ zupełny, stanów własnych operatora energii.

Analogicznie mamy :

< qt | QT > =

ΣΣΣΣ

φn (q ) φ*n (Q ) exp[ -(i/ħ )En ( t – T )] (5.65) Podstawimy teraz oba te wyrażenia do (5.63). Przechodząc do granicy przy T’ →∞ e-iδ , T→−∞ e-iδ ,

gdzie δ – dowolny kąt ≤ ½ π( zobacz rys. 5.7 ). Właśnie tę szczególną cechę rozpatrywanego formalizmu chcieliśmy zademonstrować czytelnikowi.

Dalej mamy :

Lewa część powyższej zależności jest średnią wartością amplitudy przejścia w stanie podstawowym. Momenty t’ i –t mogą być wybrane dowolnie duże tak, że lewa część przyjmuje postać < 0 , ∞ | 0 , −∞ >J. Mianownik w prawej części – jest to po prostu czynnik liczbowy, zatem mamy następujące wyrażenie :

< 0 , ∞ | 0 , −∞ >J ≈ lim < Q’T’ | QT >J (5.67)

T’ →∞ e-iδ T→−∞ e-iδ , gdzie :

T’

< Q’T’ | QT >J = N

∫

ℜQ exp{ (i/ħ )

∫

dt (L(Q, Q^• ) + ħJQ )]

Na koniec, zamiast tego że obracamy oś czasową, tak jak to robiliśmy powyżej, wkład stanu podstawowego można wydzielić, wprowadzając małą ujemną urojoną poprawkę – ½ iεq2 do hamiltonianu wyrażenia (5.64) lub (5.65).

Jest to równoważne dodaniu wielkości – ½ iεq2 do L, zatem ostatecznie określamy wielkość Z[J] [ wzór (5.61) ] w postaci :

∞

Z[J] =

∫

ℜq exp[ (i/ħ )

∫

dt (L + ħJQ + ½ iεq2 )] ~ < 0 , ∞ | 0 , −∞ >J (5.68) −∞

Wyrażenie to wykorzystamy jako amplitudę przejścia, kiedy będziemy rozpatrywali teorię pola w następnym rozdziale.

Teraz dowiedziemy jeszcze jednego wyrażenia, zawierającego pochodne funkcjonalne od Z po J(t).

Na początku w miejsce < qf tf | qiti > rozpatrzymy wielkość < qf tf | qi(tn1) | qiti >, gdzie tf > tn1> ti

Przypomnijmy, że q(tn1) jest operatorem. Rozpatrzmy teraz wyrażenie (5.6), a w charakterze tn1wybierzmy jedną z chwil t1, ... , tn. Wtedy otrzymamy :

< qf tf | qi(tn1) | qiti > =

∫

Wyrażenie <qn1tn1| qi(tn1) | qn1-1 tn1-1 > oczywiście można zamienić na wyrażenie : q( tn1)< qn1tn1| qn1-1 tn1-1 >, przy czym w takim przypadku q( tn1) – jest skalarem. Dalsze rozważania są analogiczne do rozważań, które prowadziły od (5.6) do (5.13), otrzymujemy zatem :

< qf tf | qi(t1) | qiti > =

∫

(1/ħ ) ℜq ℜp q(t1) exp{ (i/ħ )

∫

_{[ pq}^• – H(p, q )] dt } (5.98) ti

Dalej założymy, że musimy określić wielkość :

<qf tf | qi(tn1)qi(tn2 ) | qi ti >.

Jeśli tn1> tn2, to mamy :

<qf tf | qi(tn1)qi(tn2 ) | qi ti > =

∫

dq1 ... dqn < qf tf | qntn > ... < qn1tn1| q(tn1) | qn1-1 tn1-1 > ...

... < qn2tn2 | q(tn2) | qn2-1tn2-1 > ... < q1t1| qiti >

co daje ostatecznie :

< qf tf | q(t1)q(t2) | qiti > =

∫

(1/ħ ) ℜq ℜp q(t1) q(t2) exp{ (i/ħ )

∫

_{[ pq}^• – H(p, q )] dt } (5.70) ti

przy t1 > t2. Jeśli t2 > t1, to powyższy wynik nie jest słuszny, w tym bowiem przypadku prawa część (5.70) jest równa :

< qf tf | q(t2)q(t1) | qiti >.

W przypadku ogólnym pierwsza część w wyrażeniu (5.70) jest równa :

< qf tf | T[q(t1)q(t2)] | qiti >

gdzie T – operator uporządkowania chronologicznego, zgodnie z definicją działający następująco :

T[A(t1)B(t2)] = { A(t1)B(t2) przy t1 > t2 (5.71)

{ B(t2)A(t1) przy t2 > t1

tj. układa on operatory w porządku wzrastania argumentów czasowych.

Znaleziony przez nas wynik uogólnia się w następujący sposób :

< qf tf | T[q(t1)q(t2)... q(tn )] | qiti > =

∫

(1/ħ ) ℜq ℜp q(t1) q(t2 )... q(tn ) tf

exp{ (i/ħ )

∫

[ pq^• – H(p, q )] dt } (5.72)

W przypadku, kiedy H ma postać (5.8), powyższe wyrażenie przyjmuje postać :

< qf tf | T[q(t1)q(t2)... q(tn )] | qiti > = N

∫

(1/ħ ) ℜq ℜp q(t1) q(t2 )... q(tn )

Porównując to wyrażenie z wyrażeniem (5.73) zauważamy, że różnica między nimi związana jest z członem ½ iεq2.

Jednakże z tego co już wiemy, wiadomo nam, że właśnie ten człon pozwala wydzielić wkład stanu podstawowego.

Zatem, dochodzimy do następującego wyrażenia dla próżniowego średniego iloczynu chronologicznego operatorów : δn Z[J] /δJ(t1)... δJ(tn ) |J=0 ~ in < 0, ∞ | T[q(t1)q(t2)... q(tn )] | 0, −∞ > (5.76) Jest to już drugi wynik jaki chcieliśmy uzyskać i do którego będziemy powracać w następnym rozdziale.

W dokumencie Kwantowa teoria pola Lewis H. Ryder (Stron 116-119)