(* Dodatek własny 4.2 Elementarny wstęp do QED.
Kwantowanie swobodnego pola EM i pojęcie fotonu.
Przedstawiona powyżej cała złożona metoda kwantowania pola EM, zważywszy na jej „zawiłości i subtelności” nie jest zapewne łatwa w opanowaniu przy pierwszym czytaniu. Aby nieco przybliżyć czytelnikowi cały proces przejścia od elektrodynamiki klasycznej do kwantowej, przedstawie go jeszcze raz w prostszej formie.
W pierwszej kolejności należy podkreślić specyfikę procesu kwantowania pola EM – jako pola wektorowego bezmasowego, opisywanego czteropotencjałem A(r, t) ( lub Aµ(x) ). Składa się ono z czterech składowych, ale znaczenie fizyczne mają tylko dwie z nich odpowiadające składowym wektora polaryzacji fotonu. Poprzez nałożenie odpowiedniego warunku cechowania dwie z nich mogą być wyeliminowane. Jednakże teoria w zapisie jawnie relatywistycznym wymaga operowania wszystkimi czterema składowymi ( patrz zapis równań Maxwella w zapisie relatywistycznym ). Oczywiście nie jest możliwe zachowanie tych dwóch warunków. Z tego powodu mamy do wyboru dwa wyjścia ( dwa rodzaje kwantowania ) – wybór cechowania Coulomba ( zapis niekowariantny ), lub wybór
cechowania Lorentza ( kwantowanie jawnie relatywistycznie niezmiennicze ).
Na pierwszy wzgląd wydaje się oczywistym wybór tego drugiego rozwiązania, jednakże konsekwentnie prowadzona procedura kwantowania pokazuje, że przy takim wyborze pojawiają się problemy z ujemną (nieokreśloną ) normą i ujemną energią. ( jest to konsekwencją istnienia dwóch niefizycznych stopni swobody – fotonów podłużnych i skalarnych ). Aby wyeliminować te problemy nakłada się odpowiedni warunek, który kasuje wzajemnie fotony z polaryzacją podłużną i skalarną. Sposób kwantowania z nieokreśloną metryką iloczynu skalarnego stanów w przestrzeni Hilberta wraz z odpowiednim warunkiem umożliwiającym wyeliminowanie niefizycznych stopni swobody nazywa się metodą Gupty-Bleulera. [ 1 zalecanej lit. wstępnej , str. 75 ].
Jako prostszą przedstawie teraz metodę kwantowania swobodnego pola EM przy nałożeniu warunku cechowania Coulomba. Na początku jednakże warto przypomnieć schemat realizacji operatorów pola dla najprostszego przypadku jednowymiarowego równania Kleina-Gordona. ( zobacz dodatek 4.1 )
W tym przypadku równanie to oczywiście przedstawia się następująco :
∂ttφ – ∂xxφ = m2φ
Rozwiązanie szczególne tego równania możemy zapisać w postaci fal płaskich : φ(x, t) = eikx – iωt
φ*(x, t) = e-ikx + iωt
Rozwiązanie ogólne można rozwinąć w bazie rozwiązań szczególnych w formie : φ(x, t) = ΣΣΣΣ czynnik normujący ( ak eikx – iωt + a†k e-ikx + iωt )
Kwantując pole w sposób kanoniczny nakładamy pewne warunki komutacyjne.
Schemat ten zastosujemy w celu skwantowania pola EM.
Niech A(r, t) - będzie potencjałem wektorowym swobodnego pola EM, spełniającym warunek cechowania Coulomba :
div A = 0 (D4.2.1)
i niech, oczywiście potencjał skalarny φ = 0.
( zostają zatem dwie niezależne składowe pola EM ) Pola E i H wyrażają się zatem poprzez zależności :
E = - A• , H = rot A (D4.2.2)
Równania Maxwella sprowadzają się do równania falowego :
A = 0 (D4.2.3)
Rozważmy teraz pole w skończonej objętości V, wtedy potencjał wektorowy możemy przedstawić w postaci szeregu Fouriera, fal płaskich :
A = ΣΣΣΣ ( ak eikr + a*k e-ikr ) (D4.2.4)
k
gdzie współczynniki rozkładu ak zależą od czasu zgodnie z prawem :
ak ~ eikr , ω = | k | (D4.2.5)
Na mocy warunku (D4.2.1) wektory zespolone ak są ortogonalne do odpowiednich wektorów falowych, tj. :
ak • k = 0 (D4.2.6)
Do sumy (D4.2.4) wchodzi nieskończony dyskretny zbiór wartości wektora falowego ( jego trzech składowych kx , ky , kz ). Przejście do całkowania względem ciągłego rozkładu wartości można zrealizować przy pomocy wyrażenia : d3k /(2π)3 – jako liczbę możliwych wartości wektora k przypadającą na element objętości przestrzeni k : d3k = dkxdky dkz .
W wyniku tego pole będzie całkowicie określone poprzez wielkości ak , które rozpatrujemy jako zbiór klasycznych zmiennych polowych. Aby przejść do teorii kwantowej należy dokonać przekształceń tych zmiennych, w którego wyniku równania pola uzyskują postać analogiczną do równań kanonicznych ( równania Hamiltona ). Kanoniczne zmienne polowe określamy poprzez następujące zależności :
Qk= [1/sqrt(4π)] (ak + a*k ) (D4.2.7)
Pk= - [ωk /sqrt(4π)] (ak − a*k ) = Qk• (D4.2.8)
( łatwo zauważyć, że zmienne te są rzeczywiste i odpowiadają kolejno uogólnionym współrzędnym i pędom ) Rozkład (D4.2.4) możemy teraz przepisać następująco :
A = sqrt(4π) ΣΣΣΣ [ Qk cos(kr ) – (1/ωk ) Pk sin(kr )] (D4.2.9)
W celu znalezienia hamiltonianu H należy obliczyć całkowitą energię pola :
E = (1/8π)
∫
d3r ( E2 + H2 ) (D4.2.10)i wyrazić ja za pomocą zmienne Qk , Pk. W tym celu zapisujemy rozkład (D4.2.9) , korzystamy z zależności (D4.2.2), podstawiamy odpowiednie wyrażenia do (D4.2.10), a następnie całkujemy , operacje takie pozwalają otrzymać :
H = ½ ΣΣΣΣ ( Pk2 + ωk2 Qk2 ) (D4.2.11)
k
Zgodnie z warunkiem poprzeczności wielkości Pk i Qk są ortogonalne do wektora falowego k , tak że faktycznie mają one tylko dwie niezależne zmienne. Kierunki tych wektorów określone są poprzez kierunki polaryzacji odpowiedniej dla nich fali. Takie dwie składowe oznaczymy jako ( na płaszczyźnie ortogonalnej do wektora k ) :
Pkα i Qkα , gdzie α = 1, 2. Wtedy (D4.2.11) możemy przepisać jako :
H = ½ ΣΣΣΣ ( Pkα2 + ωk2 Qkα2 ) (D4.2.12)
kα
Tak więc hamiltonian H rozpada się na sumę niezależnych składowych, każda z których posiada postać hamiltonianu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. W ten sposób dokonaliśmy rozłożenia pola na oscylatory harmoniczne.
Teraz bez problemu możemy dokonać kwantowania, ponieważ dane zagadnienie sprowadza się do dobrze znanego kwantowania oscylatora harmonicznego. ( patrz dodatek 4.1 )
Procedura kwantowania polega na zamianie wielkości Pk i Qk na odpowiednie operatory, spełniające standardowe zależności komutacyjne :
[ Q^kα , P^kα ] = iħ (D4.2.13)
( wszystkie operatory z różnymi wskaźnikami kα są wzajemnie przemienne ).
Oczywiście wielkości A, H, E również stają się operatorami.
Wartości własne hamiltonianu (D4.2.12) mają postać :
E = ΣΣΣΣ ( Nkα + ½ ) ωk (D4.2.14)
Gdzie : Nkα – są liczbami całkowitymi reprezentującymi sobą liczby fotonów w stanach kα.
Elementy macierzowe operatora Q^kα można obliczyć z następującej zależności :
< Nkα | Q^kα | Nkα – 1 > = < Nkα – 1 | Q^kα | Nkα > = sqrt( Nkα / 2ω ) (D4.2.15) Elementy macierzowe Pkα różnią się od elementów macierzowych Qkα tylko o czynnik ±iω.
W dalszych rozważaniach wprowadza się następujące operatory :
ckα = (1/√2ωk ) ( ωk Qkα + iPkα ) , c†kα = (1/√2ωk ) ( ωk Qkα− iPkα ) (D4.2.16) Wtedy (D4.2.15) możemy zapisać następująco :
< Nkα – 1 | ckα | Nkα > = < Nkα | c†kα | Nkα – 1 > = sqrt( Nkα ) (D4.2.17) Zależności komutacyjne dla operatorów ckα , c†kα mają postać :
[ckα , c†kα ] = 1
Operatory ckα , c†kα nazywają się odpowiednio operatorem anihilacji i kreacji fotonu w stanie o wektorze falowym ( pędem ) k i polaryzacji α.
Operator A ma postać :
A = ΣΣΣΣ ( ckα Akα + c†kα A*kα ) (D4.2.18)
kα
gdzie : Akα = sqrt(4π)(1/√2ωk ) e(α) eikr (D4.2.19)
gdzie : e(α) – wektor jednostkowy polaryzacji dla danego oscylatora polowego.
W analogiczny sposób można wyrazić rozkłady dla operatorów E i H :
E = ΣΣΣΣ ( ckα Ekα + c†kα E*kα ) (D4.2.20)
Porównując powyższe wyrażenie do (D4.2.14) widać, że :
Nkα = c†kα ckα (D4.2.24)
Nkα reprezentuje operator liczby fotonów w stanie kα. ( liczba zapełnienia ) W elektrodynamice klasycznej pęd pola EM określa się poprzez wyrażenie : P = (1/4π)
∫
d3r ( E × H )Przechodząc do KTP mamy :
P = ΣΣΣΣ ( c†kα ckα + ½ )k (D4.2.25)
kα
Obecność składników nie zależnych o liczb zapełnienia we wzorach (D4.2.23) i (D4.2.25) ( związana ze składową ½ w nawiasach ) przejawia się jako nieskończony wkład tzw. fluktuacji próżniowych ( drgań zerowych ). Najniższemu poziomowi energii pola odpowiada równość zeru liczby obsadzeń wszystkich oscylatorów. ( jest to tzw. stan próżni kwantowej ), jednakże nawet w tym stanie każdy oscylator posiada różną od zera energię drgań zerowych. Sumowanie nieskończonej liczby takich oscylatorów daje w wyniku nieskończoną wartość energii. Jest to przykład typowej dla KTP rozbieżności ( przejawiającej się najczęściej jako nieskończone wartości pewnych wielkości fizycznych ).
Aby wyjść z tego problemu możemy po prostu przejść do nowego poziomu odniesienia energii, zapisując :
H = ΣΣΣΣ c†kα ckα ωk (D4.2.26)
kα
P = ΣΣΣΣ c†kα ckα k (D4.2.27)
kα
Jak się jednak okazuje przejaw niezerowej energii próżni jest jak najbardziej mierzalny. Jednym z takich przejawów jest zjawisko Casimira, które stanowi bardzo konkretny przejaw kwantowej natury pola EM.
Wzory (D4.2.26-27) pozwalają wprowadzić podstawowe dla całej elektrodynamiki kwantowej pojęcie kwantów świetlnych, czyli fotonów. Mianowicie swobodne pole eM możemy rozpatrywać jako zbiór cząstek, każda, z których ma energię ħω i pęd k.
Na podstawie :
1) „Relatywistyczna teoria kwantów” część I – W. B. Bierestecki, E. M. Lifszyc, L. P. Pitajewski; PWN 1972 od str. 19
*)
(* Dodatek własny 4.3 Fluktuacje próżni : efekt Casimira.
Rzeczywistość fluktuacji próżniowych pola EM ilustruje się w piękny sposób w zjawisku Casimira.
Rozpatrzmy dwie duże, idealnie przewodzące płytki metalowe, umieszczone w próżni ( tj. ogólnie mówiąc w obszarze przestrzeni, w którym działające pola mają pomijalnie małe natężenie ) w odległości a od siebie.
( rys 4.3.1 )
Rys. 4.3.1
Niech płytki będą kwadratami o boku L ( układ o takiej konfiguracji rozważał w 1948 roku Casimir ), przy czym L >> a.
Z rozważań wymiarowych wynika, że siła działająca na jednostkę powierzchni płytki powinna być proporcjonalna do wielkości ħc/a4.
Rozpatrzmy mody drgań pola EM w objętości L2a. Warunki brzegowe są takie, że wektor pola elektrycznego E, jest prostopadły, a wektor pola magnetycznego B jest równoległy do płytek na ich powierzchni wewnętrznej. Wkład do energii wnoszą tylko mody poprzeczne. Jeśli składowa kz , prostopadła do powierzchni płytek jest niezerowa, to może ona przyjmować tylko wartości dyskretne kz = nπ/a ( n = 1, 2, ... ), wtedy węzły drgań ułożone są na płytkach.
( mamy więc do czynienia z układem rezonansowym – układ płytek „rezonuje” z falami EM o odpowiedniej długości. ) Przy tym należy uwzględnić dwa stany polaryzacji. Jeśli kz = 0, to pozostaje tylko jeden mod ( składowa elektryczna tego modu jest równa zeru na mocy niewystępowania stycznego pola EM na powierzchni idealnego przewodnika ) Wtedy energia drgań zerowych pola EM w rozpatrywanej objętości będzie równa :
(D4.3.1) Wyrażenie to jak łatwo się przekonać jest nieskończone. Odejmiemy od niego analogiczne wyrażenie dla energii
fluktuacji próżniowych, występujących w tej samej objętości, ale dla przypadku braku okładek metalowych :
(D4.3.2) Wtedy zmiana energii próżni powodowana poprzez wprowadzenie do niej płytek metalowych, przeliczana na jednostkę powierzchni jest równa :
(D4.3.3) Wyrażenie to również jest nieskończone w związku z rozbieżnościami ultrafioletowymi ( przy dużych k ). Uwzględnimy jednakże to, ze dla fal o długościach mniejszych, niż rozmiar atomu, przybliżenie idealnego przewodnika ( rozpatrywane
jako ośrodek ciągły ) nie jest słuszne. Aby to wykonać wprowadzimy do wyrażenia podcałkowego (D4.3.3) pewną gładką funkcję schodkową f(k), o postaci :
f(k) = { 1 dla k < km (D4.3.4)
{ 0 dla k >> km
gdzie : km – jest rzędu odwrotności rozmiarów atomu. ( parametr odcięcia ) Wtedy możemy zapisać :
(D4.3.5) gdzie wprowadzono bezwymiarową zmienną całkowania u = a2k2/ π2.
Wyrażenie (D4.3.5) możemy przepisać do postaci :
(D4.3.6) gdzie wykorzystano funkcję :
(D4.3.7) Przy n →∞ F(n) → 0 na mocy własności funkcji (D4.3.4). Aby obliczyć różnicę między sumą i całką występującą w nawiasie kwadratowym (D4.3.6) można wykorzystać wzór sumowania Eulera-Mc Laurina, zapisując go w postaci :
(D4.3.8)
We wzorze tym obecne są liczby Bernuliego Bν , definiowane za pomocą szeregu : ∞
y / ey – 1 = ΣΣΣΣ Bν ( yν / ν! ) (D4.3.9)
ν =0
W szczególności B2 = 1/6 , B4 = - 1/30, ... Mamy zatem :
Zakładając, że f(0 ) = 1 i wszystkie pochodne zerują się przy zerowej wartości argumentu, mamy F’(0 ) = 0 , F’’’(0) = -4 ,a pochodne wyższych rzędów są równe zeru. Zatem, w ostateczny wynik nie wchodzi funkcja schodkowa i
otrzymujemy
Є = ( ħcπ2/a3 )(Bν / 4! ) = - (π2/720 ) ( ħc/a3 ) (D4.3.10)
Zatem siła działająca na jednostkę powierzchni płytki, jest równa :
F = - (π2/240 ) ( ħc/a4 ) (D4.3.11) Ujemny znak odpowiada przyciąganiu.
Uwaga ! Znak siły zależy od geometrii układu - np. siła między przewodzącymi czaszami będzie odpychająca.
Po raz pierwszy eksperymentalnego potwierdzenia omawianego zjawiska podjął się Marcus Spaarnay (1958, laboratorium Philipsa ), jednakże w związku z bardzo małą siłą występującą w tym efekcie nie był on w stanie go potwierdzić. ( Efekt Casimira jest obserwowalny dopiero wtedy, kiedy odległość między płytami jest mniejsza od milionowej części metra ). Dopiero w 1997 Steve Lamoreaux pracujący na uniwersytecie Waszyngtońskim zdołał dokonać pomiarów potwierdzających teorię z niepewnością pomiarową rzędu 5%. Kolejne doświadczenia potwierdziły wzór (D4.3.11) z jeszcze większą precyzją.
Obecnie efekt Casimira należy brać pod uwagę w konstrukcjach mikro i nano -maszyn.
Na podstawie:
1) Itzykson C. , Zuber J. B. „Quantum field theory“; McGraw-Hill 1980 ( jest przekład rosyjski , od str. 170 ) 2) Wikipedia