Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy drugie 26 maja 2007 r.
1. Wyznaczy´c wszystkie liczby rzeczywiste a, dla kt´orych wielomiany f (x) = x5+ax3+x2+1 i g(x) = x4 + ax2+ x + 1 maja wsp´, olny pierwiastek.
2. Niech a i b bed, a ustalonymi liczbami naturalnymi i niech {x, n} bedzie ciagiem okre´slonym, wzorem
xn = an + b dla n = 1, 2, 3, . . . .
Wykaza´c, ˙ze albo ˙zaden wyraz ciagu {x, n} nie jest kwadratem liczby naturalnej, albo w ciagu, tym istnieje niesko´nczenie wiele wyraz´ow, kt´ore sa kwadratami liczb naturalnych.,
3. Na prostej `, w kt´orej zawarty jest bok BC tr´ojkata ABC, wybrano punkt M r´, o˙zny od B i C. Punkty K i L sa ´srodkami okr, eg´, ow opisanych na tr´ojkatach ABM i AM C. Wykaza´, c,
˙ze pole tr´ojkata KLM jest nie mniejsze ni˙z jedna czwarta pola tr´, ojkata ABC. Przy jakim, po lo˙zeniu punktu M tr´ojkat KLM ma najmniejsze pole?,
4. Dla danej liczby naturalnej n > 1, niech f (n) oznacza liczbe wszystkich par liczb natu-, ralnych (x, y) spe lniajacych r´, ownanie
1 x+ 1
y = 1 n.
Wykaza´c, ˙ze f (n) > 3 oraz wyznaczy´c wszystkie liczby naturalne n, dla kt´orych f (n) = 3.
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 29 maja 2007r.
1
