Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2 7. Rachunek ró

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2

7. Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych (wzór Taylora, ekstrema)

1. Napisać wzór Taylora z resztą Rn dla podanych funkcji w otoczeniu wskazanych punktów, jeżeli:

a) f

(

x,y

)

=sin²

(

x+ y

)

,

(

x₀,y₀

) (

= π,π

)

, n=2;

b) f

(

x,y

)

=−x²+2xy+3y²−6x−2y−4 ,

(

x₀,y₀

) (

= −2,1

)

, n=3; c) f

(

x,y

)

=sin

(

x²+ y²

)

,

(

x₀,y₀

) (

= 0,0

)

, n=3.

2. Zbadać, czy podane funkcje mają ekstrema lokalne:

a) f

(

x,y

)

=2− 3x²+4y² ; b) f

(

x,y

) (

= x+ y

)

⁴+

(

x−y

)

⁶; c) f

(

x,y

)

= x⁸−y⁴;

d) f

(

x,y

)

=2x +3y .

3. Znaleźć ekstrema podanych funkcji:

a) f

(

x,y

)

=

(

2x+y²

)

e^x;

b) f

(

x,y

) (

= x−y+1

)

²+

(

2x+ y−4

)

²; c) f

(

x,y

) (

= cosx+cosy

)

²+

(

sinx+siny

)

²;

d) f

(

x,y

)

=x y+1+ y x+1, gdzie x>−1, y>−1.