Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF 6. Funkcje (pochodne funkcji, cz. I)

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF

6. Funkcje (pochodne funkcji, cz. I)

1. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji w x0 = 0 a) f

( )

x =xx ;

b)

( )







=

= ≠

0 ,

0

0 1, sin

x x x x x

f ;

c)

( )







=

= ≠

0 ,

0

0 1,

2sin x x x x x

f ;

d)

( )







=

= ≠

0 ,

0

0 1,

3 cos

x x x x x

f ;

e) f

( )

x = x⁵ .

2. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji a)

( )

1 , 0

2 ≠

= x

x x

f ;

b) f

( )

x =³ x;

c)

( )

x k k Z

x x

f = , ≠ , ∈

sin

1 π ;

d) f

( )

x =e^−x,x∈R;

e)

( )

, 1

1

1 ≠−

= + x

x x

f ;

f) f

( )

x =x²−3x; g) f

( )

x =4^x, x∈R; h) f

( )

x =sinhx, x∈R.

3. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach a) f

( ) (

x = x+1

)

³ 3−x,

(

−1,f

( )

−1

)

;

b) f

( )

x =x^x,

(

2, f

( )

2

)

; c)

( )

,

(

1,

( )

1

)

arcsin2x f x

f = ;

d)

( )

^,

(

^2,

( )

²

)

1 2

2 f

x x x

f = + ;

e) f

( )

x =ln

(

x²+e

)

,

(

0,f

( )

0

)

.

4. Obliczyć kąt, pod którym

a) przecinają się wykresy funkcji y=e^x, y=e^{− 3x}; b) wykres funkcji y=3 +2sinx przecina oś Oy.

5. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach

a)

( )

1

1 , , 3

1 , 1

3 0 2

=





<

≥ +

= + x

x x

x x x x

f ;

b)

( )

0

0 , ,

0

0 1, arctg

0 =







=

= ≠ x

x x x x x

f ;

c) f

( )

x =x²+ x²−4, x₀ =2; d) f

( )

x = x−π sinx, x₀=π.

6. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji a)

( )

tg3 ln x x

f = ;

b) f

( )

x =arcsin⁴1−5x; c) ^f

( )

^{x =ln}

(

^{ex + 1+ex}

)

^;

d) f

( )

x =x^x;

e)

( )

1 3

1 sin⁷2

+

= _x +

x

x

f ;

f)

( ) ( )

x x x

f 1

arctg arctg ⋅

= .