Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF 7. Funkcje (pochodne funkcji, cz. II)

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF

7. Funkcje (pochodne funkcji, cz. II) 1. Obliczyć f′,f′′,f′′′ podanych funkcji

a) f

( )

x =xlnx;

b) f

( )

x =

(

x²+x+1

)

cosx; c) f

( )

x =e^cosx;

d) f

( )

x = x²+1; e)

( )

x x x

f ₃ 2

−

= ;

f) f

( )

x =sin³x+cos³x. 2. Zbadać, czy istnieje f^{( )n}

( )

x₀ dla podanych funkcji i punktów

a) f

( )

x = x³, x₀ =0, n=3;

b)

( )

, 0, 3

0 dla , sin

0 dla ,

4 0 4

=

=





>

= ≤ x n

x x

x x x

f ;

c)

( )

, 0, 2

0 dla ,

0 dla ,

3 0 2

=

 =



≥

<

= − x n

x x

x x x

f

d)

( ) ( )

2 , 0 , 0 dla ,

0 dla , 1

2 0 2

=

 =





>

≤

= − x n

x x

x x e

f

x

.

3. Funkcja f ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie. Obliczyć y′,y′′,y′′′ dla podanych funkcji

a) y = f

( )

x² ; b) ^{y = f}

( )

^{ex ;}

c) 



 



=  f x

y 1

; d) y= f

(

lnx

)

. 4. Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji

a) f

( )

x =e^−3x; b) f

( )

x =2^−x;

c)

( )

_x

e x x

f = ;

d)

( )

1 2

2−

= x x

f .

5. Na wykresie funkcji y =e^x znaleźć punkt, który jest położony najbliżej prostej y= ex−4. 6. Punkt materialny porusza się po prostej

2

=3

y w kierunku osi Oy. Wyznaczyć tor tego punktu po odbiciu sprężystym (kąt padania równa się kątowi odbicia) od łuku paraboli o równaniu

2 2 x2

y= − , gdzie x≥0.

7. Punkt materialny porusza się po krzywej y=2^x w ten sposób, że jego rzut na oś Ox ma stałą prędkość v_x =3. Z jaką prędkością (w kierunku osi Oy) porusza się ten punkt w chwili, gdy jest na wysokości 4?