Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw B

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Z 1

5 − 3 cos x dx.

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienia: cosx = ^1−t _1+t

, dx = _1+t ²

dt, gdzie t = tan x/2.

Otrzymujemy

Z ²

1+t

5 − ^3(1−t _1+t

⁾

dt =

Z 1

4t ² + 1 dt =

Z 1

(2t) ² + 1 dt =

= 1

2 arctan u + C = 1

2 arctan(2t) + C = 1

2 arctan(tan x/2) + C.

gdzie zastosowaliśmy podstawienie u = 2t.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f (y) = ¹ ₂ y ² i okr¸ ag o równaniu x ² + y ² − 4x = 0.

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OX.

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań x = ¹ ₂ y ² i x ² + y ² − 4x = 0 otrzymujemy punkty wspólne okr¸egu i paraboli: (0, 0),(2, 2),(2, −2).

St¸ ad pole obszaru

|P (O)| = 2 R 2 0 ( √

4x − x ² − x)dx = 2 R 2 0 ( √

4x − x ² dx − 2 R 2

0 xdx = c1 − c2.

gdzie c1 = 2 R 2 0 ( √

4x − x ² dx i c2 = 2 R 2 0 xdx.

Obliczamy każd¸ a z całek osobno.

c1 = 2 R 2 0 ( √

4x − x ² dx = 2 R 2

0 (p4 − (x − 2) ² dx

1

Stosujemy podstawienie: x − 2 = 2sint, dx = 2costdt.

c1 = 4 R 0

−π/2

p 4 − 4 sin ² t cos tdt = 4 R 0

−π/2 2 cos ² tdt = 4 R 0

−π/2 (cos 2t + 1)dt = 2π

c2 = 2 R 2

0 xdx = 4

St¸ ad pole obszaru wynosi |P (O)| = 2π − 4.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = e ^−x

.

Rozwi¸ azanie

Obliczamy pochodn¸ a drugiego rz¸edu funkcji f (x).

f ⁰ (x) = −2xe ^−x

, f ”(x) = −2e ^−x

+4x ² e ^−x

= 2e ^−x

(2x ² −1) = 2e ^−x

( √

2x−1)( √

2x+1).

f ⁰ (x) < 0, gdy x ∈ (0, ∞).

f ⁰ (x) > 0, gdy x ∈ (−∞, 0).

f ”(0) = −2 < 0.

Funkcja f (x) rośnie na półprostej (−∞, 0) i maleje na półprostej (0, ∞). oraz posiada maksimum lokalne właściwe równe 1 w punkcie (0, 1).

Zadanie 4

Prosz¸e rozłożyć wielomian P (x) = 2x ³ − x ² − 5x + 4 w szereg Taylora według pot¸eg (x − 2).

Rozwi¸ azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie funkcji P (x) jej rozwini¸ecia w szereg Taylora w otoczeniu punktu x ₀ = 2.

f (2) = 6.

f ⁽¹⁾ (x) = 6x ² − 2x − 5, f ⁰ (2) = 15.

f ⁽²⁾ (x) = 12x − 2, f ”(2) = 22.

f ⁽³⁾ (x) = 12 St¸ ad

2

P (x) = 2x ³ − x ² − 5x + 4 = 6 + 15(x − 2) + 11(x − 2) ² + 2(x − 2) ³ .

3