Rozdział 13 Interferometria optyczna
13.3 Ośmiokanałowy interferometr
o środku w punkcie β e–iϑ + β*eiϑ.
Porównując rozkład Gaussa W| β >(Єν ) dla pola z dokładnym wzorem dla jądra Kn21, które zawiera zmodyfikowane funkcje Bessela, widzimy, ze wyrażenia te są różne. Jednakże pokrywają się one w granicy silnego pola lokalnego oscylatora, tj. dla pola koherentnego o dużej amplitudzie.
Dowód tej równości sprowadza się do obliczenia odpowiedniego rozkładu asymptotycznego dla jądra Kn21.
Zatem, rozpatrzmy granicę, kiedy stosunek n21 / | α | pozostaje skończony przy | α| →∞. Dla tego przypadku w dodatku L otrzymano wyrażenie asymptotyczne o postaci :
które daje żądany związek :
Zatem, w granicy silnego pola oscylatora lokalnego rozkład prawdopodobieństwa W(n21) dla różnicy fotozliczeń n21 zadany jest przez wyrażenie :
które jest rozkładem pola elektrycznego, w odpowiedniej skali wchodzącego stanu kwantowego.
Równanie (13.22) stanowi bardzo interesujący wynik z punktu widzenia pomiaru kwantowego. Do tej pory nie omawialiśmy zagadnienia o tym, jak mierzyć rozkład natężenia pola elektrycznego dla jednego modu. Podana powyżej zależność pokazuje, że pomiar liczb wzbudzeń w modach polowych po zadziałaniu dzielnika wiązki i zbudowanie histogramu dla różnicy fotozliczeń stanowi procedurę takiego właśnie pomiaru. Należy jednakże podkreślić, że podana strategia pracuje tylko wtedy, kiedy skombinujemy mierzone pola z polem klasycznym, tj. z polem w stanie koherentnym o dużej amplitudzie.
13.3 Ośmiokanałowy interferometr.
Jeden dzielnik świetlny przekształca dwa mody wchodzące w dwa mody wychodzące. Możemy jednakże, skonstruować bardziej złożony schemat, łącząc dwa schematy homodynowe z urządzeniem przesuwającym fazę o ½ π, tak jak to pokazano na rysunku 13.4
Rys. 13.4 Ośmiokanałowy interferometr składa się z dwóch prostych układów homodynowych, utworzonych przez pary detektorów D4/ D3 i D6 /D5 Mierzą one różnicę fotozliczeń n43 ≡ n4 – n3 i n65 ≡ n6 – n5 Dwa dodatkowe dzielniki światła wiążą wszystkie cztery porty wchodzące, a jedno ramię detektora zawiera urządzenie przesuwające fazę o ½π.
Zauważmy, że w takim przypadku mamy urządzenie, które przekształca cztery wchodzące mody polowe w cztery wychodzące. Ponieważ w danej sytuacji istnieje 8 kanałów, taki interferometr nazywa się ośmiokanałowym detektorem homodynowym lub ośmiokanałowym interferometrem.
13.3.1 Stan kwantowy wchodzących modów polowych.
Teraz rozpatrzymy taki schemat dokładniej, skupiając się na przypadku, kiedy dwa z czterech modów wchodzących znajduje się w stanie koherentnym i w stanie mieszanym o macierzy gęstości ρ^, tak jak to pokazano na rysunku 13.4.
Dwie pozostałe mody wchodzące znajdują się w stanach próżniowych. W takim przypadku macierz gęstości stanu pola wchodzącego ma postać :
gdzie ponownie przedstawiliśmy macierz gęstości ρ^ pola wchodzącego z pomocą rozkładu Glaubera-Sudarshan’a P(β).
Oznaczymy cztery mody wchodzące jako 3, 4, 5, 6 i znajdziemy macierz gęstości ρ^out tych modów, przekształcając każdy stan koherentny z pomocą standardowego przekształcenia światłodzielnego.
W tym celu prześledzimy działania oddzielnych dzielników świetlnych.
Na początku rozpatrzymy stan koherentny | β > i stan próżniowy | 0 >, wpadające na dzielnik świetlny w prawym dolnym rogu. Zgodnie z równaniem (13.7) dzielnik świetlny przekształca początkowy dwumodowy stan :
| 0 > ⊗ | β >
w stan :
| – β/√2 >d ⊗ | β /√2 >a
Wstawiliśmy tutaj znak minus pojawiający się w wyniku procesu odbicia od dzielnika świetlnego, podczas gdy dla wiązki przechodzącej taka zmiana znaku nie następuje. Oprócz tego, założyliśmy że rozpatrujemy dzielnik świetlny typu 50 : 50 , który dzieli intensywność na pół, tj. amplituda stanu koherentnego, będąc proporcjonalną do natężenia pola elektrycznego, dzieli się przez czynnik √2.
W podobny sposób dzielnik wiązki w górnym lewym rogu ze stanu :
| α > ⊗ | 0 >
generuje stan :
| α /√2 >b ⊗ | α /√2 >c
Zauważmy, że dzięki odpowiedniej orientacji tego dzielnika świetlnego – w odróżnieniu od sytuacji z prawym dolnym dzielnikiem – nie zmienia się teraz znak stanu koherentnego, ponieważ nie następuje odbicie od ośrodka z dużym współczynnikiem załamania.
Teraz przeanalizujemy dzielnik w dolnym lewym rogu, który miesza dwa mody a i b i prowadzi do ich wspólnego wejścia na detektory D3 i D4. Taki dzielnik przekształca stan :
| α/√2 >b ⊗ | β /√2 >a w stan :
| ½ ( β – α ) >3 ⊗ | ½ ( β + α ) >4
W wyniku odbicia znów włączyliśmy znak minus do modu 3.
Dalej przejdziemy do analizy prawego górnego dzielnika. Zauważmy, że w wyniku przesunięcia fazy o ½ π stan koherentny :
| – β /√2 >d
generowany przez dzielnik świetlny w dolnym prawym rogu, na wejściu do górnego prawego dzielnika ma postać :
| – exp( i ½π ) β /√2 >d = | – i β /√2 >d
W wyniku tego wszystkiego otrzymujemy iż stan :
| 0 > ⊗ | β > ⊗ | α > ⊗ | 0 >
czterech modów wchodzących przekształca się w stan :
czterech modów wychodzących.
Ponieważ rozłożyliśmy macierz gęstości ρ^ po stanach koherentnych | β >, to teraz możemy obliczyć macierz gęstości ρ^out czterech modów wychodzących 3, 4, 5 i 6. Znajdujemy :
Taka macierz gęstości opisuje stan kwantowy czterech wychodzących modów polowych dla ośmiokanałowego
interferometru. W wyniku całkowania po zmiennej fazowej β takie cztery mody są splątane, ponieważ β pojawia się we wszystkich modach. Tylko w tym przypadku, kiedy P-rozkład Glaubera-Sudarshan’a dla wchodzącego modu jest δ-funkcją, tj. kiedy taki mod znajduje się w stanie koherentnym, związek pomiędzy modami nie występuje, a zatem nie występuje również stan splątany.
13.3.2 Statystyka fotozliczeń.
Teraz możemy obliczyć rozkład fotozliczeń nj dla czterech detektorów Dj j = 3, 4, 5, 6 ;wykorzystując w tym celu odpowiednie stany własne o określonej liczbie fotonów | nj >. Wtedy to prawdopodobieństwo W( n3 , n4 , n5 , n6 ) rejestracji n3 , n4 , n5 , n6 fotonów przez detektory D3 , D4 , D5 , D6 ma postać :
gdzie jądra :
określają statystykę fotozliczeń w portach wychodzących przy obecności wchodzącego stanu koherentnego.
Porównując to wyrażenie z odpowiadającym mu wzorem (13.14) dla jednego dzielnika świetlnego, zauważamy, że teraz dzięki dwóm dodatkowym portom wejściowym, pojawiają się dwa jądra. Każde z takich jąder określone jest przez statystykę liczb fotonów w stanie koherentnym. Amplitudy takich stanów koherentnych ponownie reprezentują sobą liniowe kombinacje amplitud stanów koherentnych. Główna różnica od sytuacji z jednym dzielnikiem świetlnym polega na pojawieniu się czynnika 2 w miejsce √2 oraz czynnika i pojawiającego się w wyniku przesunięcia fazy.
Czynnik 2 pojawia się w wyniku tego, że każdy stan powinien przejść przez dwa dzielniki zanim wpadnie do detektora.
Statystyka podwójnego homodynowania. Jeśli teraz przeprowadzimy pomiary tylko różnicy zliczeń : n43 ≡ n4 – n3 , n65 ≡ n6 – n5
to powinniśmy obliczyć ślad wyrażenia (12.23), określającego statystykę fotozliczeń dla ośmiokanałowego interferometru, względem wielkości sum n4 + n3 i n6 – n5 liczb fotonów dla ustalonych różnic n43 i n65.
W ten sposób prawdopodobieństwo W(n43 , n65 ) znalezienia różnic n43 i n65 fotozliczeń, ma postać:
gdzie jądra określone są następująco :
Sumy tego typu zostały już obliczone przy zastosowaniu do detektora homodynowego. Z porównania zapisanych powyżej wyrażeń dla jąder Kn43 , Kn65 z wyrażeniem (13.18) dla jądra Kn21w przypadku jednego dzielnika świetlnego, widać, ze możemy otrzymać wynik sumowania z pomocą wzoru (13.19) dla jądra Kn2. Zauważmy, że jądro Kn43 otrzymujemy z jądra Kn21 przez zamianę : α → α/ √2, β → β/√2.
W ten sposób, z pomocą wyrażenia (13.19) otrzymujemy :
Analogicznie zamieniając α → –α/√2 , β → –iβ/√2 otrzymujemy jądro Kn65 :
Iν - oznacza tutaj zmodyfikowaną funkcje Bessela.
Takie dwa powyższe wyniki wraz ze wzorem (13.24) opisują dokładnie statystykę różnic fotozliczeń n43 i n65 dla 8 kanałowego interferometru w przypadku, kiedy dwa z czterech modów wchodzących znajdują się odpowiednio w stanie koherentnym i w dowolnym stanie polowym, a dwa pozostałe mody wchodzące znajdują się w stanie próżniowym.
Te ścisłe wyrażenia są bardzo złożone i są podobne do wyniku uzyskanego dla jednego detektora homodynowego.
W przypadku jednego detektora otrzymaliśmy proste wyrażenie w przypadku, kiedy rozpatrywaliśmy przypadek graniczny stanu koherentnego o dużej amplitudzie, tj. w przypadku silnego lokalnego oscylatora. Jest to powodem, aby teraz
rozpatrzyć również granicę silnego sygnału lokalnego oscylatora dl interferometru 8 kanałowego.
Granica silnego oscylatora lokalnego. Wykonując zamianę : α → α/ √2, β → β/√2.
We wzorze asymptotycznym (13.21), otrzymujemy następujące wyrażenie graniczne dla Kn43 :
α ≡ | α | exp(iϑ)
W ten sposób, para detektorów ( D3 , D4 ), rejestrująca w jednostkach względnych różnicę fotozliczeń n43 / | α |, mierzy zmienną kwadraturową :
Porównując to wyrażenie z odpowiadającym mu wyrażeniem (13.21) dla jednego dzielnika wiązki, widać, ze szerokość i położenie środka rozkładu Gaussa zmieniły się.
Środek teraz znajduje się w połowie tej odległości, która występowała w przypadku jednego dzielnika wiązki. Oprócz tego, szerokość rozkładu jest teraz równa połowie szerokości rozkładu wcześniejszego.
W podobny sposób dokonując zamiany α → –α/ √2 , β → –iβ/√2.
otrzymujemy asymptotyczne wyrażenie dla Kn65 :
W ten sposób, para detektorów ( D3 , D4 ), rejestrująca w jednostkach względnych różnicę fotozliczeń n65 / | α |, mierzy zmienną kwadraturową :
13.3.3 Pomiar jednoczesny i problem EPR.
Przeprowadzona w poprzednim podrozdziale analiza mówi o tym, że z pomocą 8 kanałowego interferometru możemy przeprowadzić jednoczesny pomiar zmiennych xϑ i pϑ Pojawia się jednakże pytanie, jakim operatorom odpowiada taki pomiar ? Dalej pokaże, że takimi operatorami są operatory dwumodowe, a nie jednomodowe.
Podejście naiwne. Podchodząc do powyższego zagadnienia w najprostszy sposób, przypominamy że wielkość β wynika z operatora polowego b^ modu wchodzącego. Oznacza to, że w eksperymencie prowadzimy jednoczesny pomiar operatorów kwadraturowych :
Zauważmy jednakże, ze takie operatory nie komutują : [ x^ϑ , p^ϑ ] = ½ i
a ich wspólny pomiar jest wzbroniony przez postulaty MQ.
Operatory dwumodowe. W granicznym przypadku silnego lokalnego oscylatora cztery mody wchodzące przekształcają się w dwa mody. Dwa mody wchodzące, padające na dzielnik świetlny umieszczony w lewym górnym rogu interferometru, pokazanego na rysunku 13.4, są stanem koherentnym o dużej amplitudzie i próżnią. W takim przypadku, jednakże modu próżniowego nie należy rozpatrywać w sposób kwantowo-mechaniczny, ponieważ pola w dwóch portach wychodzących tego dzielnika świetlnego określone są przez silne pole klasyczne stanu koherentnego. Dlatego też w takiej sytuacji 4 modowe wejście interferometru przekształca się w wejście dwu modowe. Są to te dwa mody, które padają na dzielnik
świetlny w dolnym prawym rogu. Operatory kreacji i anihilacji b^ i b^† odnoszą się do modu pola, który jest opisywany przez macierz gęstości ρ^, a operatory b^0 i b^0† - odnoszą się do próżni.
W zadaniu 13.3 z pomocą przekształcenia 13.4 operatorów polowych, pokazano że w przypadku granicznym silnego lokalnego oscylatora dwie pary detektorów ( D4 , D3 ) i ( D6 , D5 ) 8 kanałowego interferometru mierzą dwumodowe operatory :
ϑ - jest tutaj fazą oscylatora lokalnego.
Przy szczególnym wyborze ϑ = 0 przekształcają się one w parę operatorów :
gdzie wprowadziliśmy operatory kwadraturowe ( x^, p^ ) i ( x^0 , p^0 ), wykorzystując definicje : b^ ≡ (1/√2 )( x^ + ip^ )
Zatem, w przypadku granicznym silnego lokalnego oscylatora i przy szczególnym wyborze wartości fazy ϑ = 0 operatory n^43 i n^65 które odpowiadają różnicą fotozliczeń na czterech detektorach 8 kanałowego interferometru, reprezentują sobą dwumodowe operatory X^ i P^.
Zatem, główna różnica od podejścia intuicyjnego polega na tym, że potrzebujemy dwa mody, po to aby opisać pomiar jednoczesny. Ponieważ operatory x^ i p^ modu padającego nie komutują, to nie mogą one być zmierzone jednocześnie z dowolną dokładnością. Jeśli jednakże związać takie mody z drugim modem polowym, któremu odpowiadają operatory x^0 i p^0 – a dokładnie z stanem próżniowym, to operatory :
X^ ≡ x^ + x^0 i P^ ≡ p^ – p^0 Już komutują ze sobą, ponieważ : [ X^, P^ ] = [ x^, p^ ] – [ x^0 , p^0 ] = 0
Dlatego jednoczesny pomiar X^ i P^ z dowolną dokładnością jest dopuszczany przez MQ. Należy podkreślić, że taka struktura dwumodowych operatorów X^ i P^ pojawia się dzięki specjalnej budowie 8 kanałowego interferometru.
Przypominam, również że para operatorów ( X^, P^ ) leży u podstaw pracy Einsteina, Podolsky’ego i Rosena dotyczącej problemu zupełności MQ. Waga takiej pary operatorów została dostrzeżona przez Bohra w jego odpowiedzi na
sformułowany paradoks EPR. W tym eksperymencie myślowym rozpatruje się pomiar współrzędnej środka bezwładności i pędu względnego dwóch skorelowanych cząstek masywnych. Nasze operatory X^ i P^ odpowiadają właśnie tym
zmiennym. Każdy mod przedstawia jedną cząstkę.
Aby jasno wyjaśnić taką analogię, przypominamy, że dwa operatory komutujące mają ogólny schemat stanów własnych.
Zatem, operatory X^ i P^ mają ogólne stany własne | X, P >. W zadaniu 13.3 otrzymano reprezentacje takich stanów własnych :
w zmiennych kwadraturowych. Wielkości | y >1 i | z >0 - oznaczają kwadraturowe stany własne dwóch modów wchodzących.
Taka reprezentacja pokazuje, że dwa mody znajdują się w stanie splątanym w wyniku obecności δ-funkcji i posiadają określonym „pędem”, związanym z przekształceniem Fouriera.
13.3.4 Pomiar Q-funkcji.
Dzięki szczególnemu umiejscowieniu dzielników świetlnych oraz przyrządów przesuwających fazę 8 kanałowy
interferometr, rejestrując statystykę fotozliczeń, mierzy pewne wielkości, które są w pewnym stopniu podobne do dwóch
sprzężonych niekomutujących zmiennych. Musimy jednakże zapłacić określoną cenę za taki jednoczesny pomiar – kiedy mieszamy mod wchodzący z modem próżniowym, to wnosimy dodatkowy szum. W wyniku, tego jak obecnie pokażemy, mierzymy Q-funkcje pola wchodzącego, a nie funkcje Wignera.
Aby to pokazać podstawimy wyrażenia asymptotyczne (13.25) i (13.27) dla jąder Kn43 i Kn65 do wzoru (13.65), który opisuje statystykę fotozliczeń. W wyniku tego otrzymujemy :
Wykorzystując definicje zmiennych kwadraturowych xϑ , pϑ znajdujemy następującą zależność :
Zatem, w przypadku granicznym silnego lokalnego oscylatora funkcja rozkładu dla różnicy fotozliczeń opisywana jest przez wyrażenie :
- jest liczbą zespoloną, do której wchodzą unormowane do | α | prędkości fotozliczeń n43 / | α | i n65 / | α | oraz faza ϑ lokalnego oscylatora.
Przenikniemy głębiej w istotę wyrażenia (13.30) dla W( n43 , n65 ) jeśli przypomnimy wzór (11.21) dla iloczynu skalarnego :
z udziałem stanu koherentnego | z >, zadanego przez zespolony parametr z. To wszystko prowadzi nas do następującego wyrażenia :
Zapiszmy dalej to wyrażenie z pomocą Q-funkcji :
i macierzy gęstości :
pola padającego. Wtedy po podstawieniu ρ^ do definicji Q znajdujemy :
i w ten sposób otrzymujemy wzór :
Statystyka różnicy fotozliczeń przedstawia sobą rejestracje w pewnej skali Q-funkcji padającego pola świetlnego przy warunku, że wpadające na drugi dzielnik świetlny pole znajduje się w stanie koherentnym i posiada dużą amplitudę, tj.
drugie pole świetlne jest silnym lokalnym oscylatorem.
Wybierając wartość ϑ = 0 dla fazy lokalnego oscylatora, otrzymujemy :
Zatem, względne liczby fotozliczeń n43 / | α | i n65 / | α | reprezentują sobą dwie składowe kwadraturowe, tj. dwie zmienne fazowe, tak jak na to wskazywały już wyrażenia asymptotyczne dla jąder Kn43 i Kn65.
Niniejszy podrozdział zakończymy krótkim omówieniem procedury pomiaru rozkładu prawdopodobieństwa fotozliczeń W( n43 , n65 )
Przygotowujemy stan lokalnego oscylatora | α> = | | α | >, oraz stan polowy ρ^ , który mierzymy. Rejestrujemy liczby fotozliczeń n3 , n4 , n5 i n6 przez cztery detektory i bierzemy następujące różnice :
n43 ≡ n4 – n3 , n65 ≡ n6 – n5
Zapamiętując te liczby, powtarzamy eksperyment, tj. ponownie przygotowujemy stany polowe i rejestrujemy liczby fotonów nj i znajdujemy ich różnice. W wyniku takiej procedury budujemy histogram dla różnic n43 i n65 w postaci wykresu po zmiennych n43 / | α | i n65 / | α |, tak jak to pokazano na rysunku 13.5 dla przypadku jednofotonowego stanu Foka. Wykres ten przedstawia w istocie w pewnej skali Q-funkcje jednofotonowego stanu Foka.
Rys. 13.5 Rozkładu prawdopodobieństwa fotozliczeń W( n43 , n65 ) dla 8 kanałowego interferometru w granicznym przypadku silnego lokalnego oscylatora. Pole padające znajduje się tutaj w jednofotonowym stanie Foka.