Maser jednoatomowy

W poprzednim podrozdziale otrzymaliśmy bardzo ważne składowe kwantowej teorii jednoatomowego masera, lub mikromasera. W niniejszym rozdziale omówimy takie urządzenie szczegółowo i przeanalizujemy unikalne własności jego pola.

Podstawą jednoatomowego masera jest rezonator o wysokiej dobroci. Wiązka wzbudzonych atomów o bardzo małej intensywności przechodzi przez wnękę i w rezonansowy sposób oddziałuje z jednym modem pola promieniowania. Atom może przekazać rezonatorowi swoje wzbudzenie i tym samym może wzmocnić pole. Atomy służą również innemu celowi – sondują one pole. Detektor umiejscowiony za rezonatorem, rejestruje zasiedlenie poziomów atomowych. Kiedy rezonator jest dostrojony do częstości przejścia, to liczba atomów w stanie wzbudzonym spada, wskazując na to, ze rozpoczął się reżim maserowania. Na rysunku 1.14 pokazano pierwszą eksperymentalnie zarejestrowaną akcje maserowania.

18.4.1 Równania dla macierzy gęstości.

Jeśli opisujemy oddziaływania z pomocą rezonatorowego hamiltonianu Jaynesa-Cummingsa-Paula, to dynamika pola określana jest przez równanie (18.27). Będziemy zakładali, że interwał czasu pomiędzy dwoma kolejnie następującymi atomami jest znacznie większy niż czas oddziaływania jednego atomu. Dlatego dla tego interwału czasu należy uwzględniać tłumienie modu pola, które określone jest przez równanie (18.23).

Równanie ruchu dla macierzy gęstości, które uwzględnia zarówno oddziaływanie rezonansowe z potokiem

dwupoziomowych atomów, jak i tłumienie pola rezonatorowego, otrzymujemy jeśli dopełnimy podstawowe równanie kinetyczne (18.27) prawą częścią równania tłumienia (18.23).

W standardowym schemacie jednoatomowego masera atomy wchodzą do rezonatora, będąc w stanie wzbudzonym. To oznacza, że ρaa = 1 i ρbb = ρab = ρba = 0.

Dodając uproszczone w taki sposób wyrażenie (18.27) do równania tłumienia (18.27), otrzymujemy podstawowe równanie kinetyczne :

- dla jednoatomowego masera.

Przechodząc do c-liczbowej formie takiego równania operatorowego, zapiszemy macierz gęstości :

w reprezentacji liczb zapełnienia fotonów.

Wtedy równanie kinetyczne (18.28) przyjmuje formę różniczkowo-rekurencyjnego równania :

które wiąże tylko najbliższych sąsiadów wzdłuż diagonalnej.

Nie ma przemieszania po górnym indeksie k. W pozostałej części tego rozdziału omówimy własności tej złożonej zależności.

18.4.2 Równanie ewolucji dla statystyki fotonów.

Na początku przeanalizujemy własności funkcji rozkładu fotonów : Wm ≡ < m | ρ^п | m > = ρm,m = ρm(k=0)

W tym celu rozpatrzymy równanie dla diagonalnych elementów macierzy gęstości jednoatomowego masera, tj. równanie (18.29) przy k = 0, które ma postać :

d/dt Wm = 0

co po przestawieniu składowych, daje :

Otrzymamy w miarę prosto rozwiązanie tego równania, jeśli oba wiersze w równaniu (18.31) będą się zerowały w oddzielności. Taki warunek, nazywa się równowagą szczegółową i ma on postać:

lub

Taka dwu członowa zależność rekurencyjna posiada rozwiązanie :

gdzie stała normująca W0 określona jest z warunku :

∞ Σ Wm = 1

m=0

Średnia liczba fotonów. Rozkład stacjonarny (18.33) pozwala obliczyć średnią liczbę fotonów : ∞

<m > ≡ Σ mWm m=0

w stanie stacjonarnym.

Teraz przyjmiemy jednakże inną metodę, tak aby z pomocą równania (18.30) dla funkcji rozkładu otrzymać równanie ewolucji dla < m >.

W tym celu pomnożymy (18.30) przez m i przesumujemy po m. Wtedy :

gdzie wykorzystano zależność (18.22), opisująca wkład części tłumiącej.

Jeśli w drugiej sumie wprowadzimy nowy indeks sumowania m’ ≡ m – 1, to człony zbędne względem tego indeksu sumowania znikną i dochodzimy do wyrażenia :

Aby otrzymać dla < m > zamknięte równanie, założymy że funkcja rozkładu fotonów jest dobrze zlokalizowana wokół wartości średniej < m >. Takie założenie pozwoli nam zamienić zmienny indeks m występujący pod znakiem sumy na

< m > i otrzymać nieliniowe rr :

Ponieważ równanie to jest wciąż bardzo złożone, ograniczymy się do takich wartości parametru oddziaływania gτ, że gτ sqrt( < m > + 1 ) << 1

W takim przypadku możemy rozłożyć sinus w wyrażeniu (18.35), zachowując tylko człon podstawowy, co daje nam :

Stacjonarne rozwiązanie tego równania ma postać :

gdzie wprowadzono bezwymiarowy czas oddziaływania : ϑ ≡ sqrt(r/τ ) gτ

W przypadku niewystępowania oddziaływania, kiedy ϑ = 0, średnia liczba fotonów w polu określona jest tylko przez liczbę fotonów termicznych nтепл Wraz ze wzrostem ϑ liczba fotonów w rezonatorze rośnie. Zauważmy, że zwiększa się ona z dwóch powodów :

1) Człon ϑ2 w liczniku prowadzi do wzrostu < m >

2) zależność mianownika od ϑ2 - wzmacnia taki wzrost.

Kiedy ϑ przybliża się ku jedności, średnia liczba fotonów rośnie bardzo szybko, ponieważ mianownik dąży do zera. W takim przypadku funkcja < m > jest osobliwa.

Taka osobliwość jasno pokazuje, ze przybliżenie liniowe nie jest już słuszne. Powinniśmy wyjść poza ramy takiego przybliżenia. Jednakże nie udało się tego wykonać w sposób analityczny. Dlatego odwołujemy się do rozwiązania numerycznego.

Na rysunku 18.3 pokazano średnią liczbę fotonów w stanie stacjonarnym, otrzymaną z pomocą ścisłego rozkładu

stacjonarnego (18.33). W istocie widać wzrost < m >, kiedy ϑ przybliża się ku jedności, co jest progiem reżimu generacji masera. Podobny efekt istnieje w laserze.

W wyniku tego, że do równania (18.34) wchodzi sinus, pojawiają się również i inne wartości progowe. Jednakże nie są one tak wyraźne jak pierwszy. Zauważmy również, że wraz ze wzrostem parametru pompowania progi stają się rzadsze.

Rys. 18.3 Unormowana średnia liczba fotonów w stanie stacjonarnym jednoatomowego masera jako bezwymiarowego czasu oddziaływania ϑ. Pokazano trzy krzywe dla różnych wartości parametru pompowania : r/γ = 20 ( krótsza linia przerywana ), r/γ = 200 ( dłuższa linia przerywana ), r/γ = 2000 ( linia przerywana )

Dyspersja. W podrozdziale 11.3 przy omówieniu stanów kota Schrödingera została wprowadzona dyspersja względna : σ2 ≡ < m2 > – < m >2 / <m >

stacjonarnej funkcji rozkładu liczby fotonów.

Jeśli σ = 1, to mamy do czynienia z rozkładem Poissona, jednocześnie przy σ > 1 lub σ < 1 statystyka jest odpowiednio nadpoissonowską lub subpoissonowską.

Zastosujemy teraz taka miarę nieklasyczności promieniowania do pola jednoatomowego masera.

Rozpoczniemy ponownie od równania ewolucji (18.30) dla rozkładu fotonów, pomnożymy go przez m2 i posumujemy po m, otrzymamy :

Jeśli wprowadzimy indeksy sumowania m’ ≡ m – 1 i m’’ ≡ m + 1 i sprowadzimy człony Wm±1 do postaci Wm, to wiele składowych znika, tj. :

i dochodzimy do ścisłego rozwiązania :

Załóżmy teraz, że rozkład fotonowy zlokalizowany jest w pobliżu < m > . Ograniczając się do krótkich czasów oddziaływania, rozłożymy sinus, otrzymując równanie :

które w reżimie stacjonarnym daje :

Dyspersja względna :

z uwzględnieniem (18.36) ma postać :

σ2 = nтепл + 1 / 1 – ϑ2 (18.37)

Jak wiadomo, dla stanu koherentnego z rozkładem Poissona liczb fotonów dyspersja względna σ jest równa 1.

Równanie (18.37) przewiduje wzrost σ do wartości, przekraczającej 1, kiedy parametr oddziaływania ϑ przybliża się ku jedności. W tej sytuacji jednoatomowy maser przechodzi przez próg generacji i dlatego statystyka fotonów jest

nadpoissonowska. Wyniki numeryczne dla σ, pokazano na rysunku 18.4, potwierdzają one w istocie przewidywania, otrzymane przy małych czasach oddziaływania.

Dla dużych wartości ϑ statystyka fotonów wyraźnie przejawia własności subpoissonowskie, ma jednakże przy tym nadpoissonowskie piki wokół wartości ϑ, będących całkowitą krotnością 2π.

Stany uwięzione. Statystyka fotonów staje się szczególnie interesująca, kiedy nie ma fotonów termicznych, tj. nтепл = 0 lub T = 0. W tym przypadku rozkład stacjonarny (18.33) przyjmuje postać :

gdzie q i nq są całkowitymi liczbami dodatnimi.

W tym przypadku z zależności rekurencyjnej (18.32) wynika, że :

zatem, wszystkie prawdopodobieństwa dla liczb zapełnienia, przewyższające nq zerują się. Dlatego rozkład stacjonarny fotonowych liczb zapełnienia ma postać :

Wm = { W0

Π

^{r sin2(g}τ√ł )/ γł dla 0 ≤ m ≤ nq { 0 dla m > nq

Ponieważ stany n > nq nie są zajęte, to średnia liczba fotonów jest mniejsza niż nq i może być nawet znacznie mniejsza, jeśli czas oddziaływania jest bliski wartościom, które określone są przez warunek (18.38), tj. ma miejsce efekt uwięzienia dla średniej liczby fotonów. Zjawisko to demonstrujemy na rysunku 18.5, gdzie porównaliśmy zależność średniej liczby fotonów od bezwymiarowego czasu oddziaływania ϑ dla temperatur nтепл = 0,1 i nтепл = 10–7

Intuicyjne wyjaśnienie takiego efektu oparte jest na tym, że wzbudzony atom, oddziałując z polem w stanie | nq >, nie może pozostawić wzbudzenia w rezonatorze, ponieważ przy określonym czasie oddziaływania wykonuje on całkowitą liczbę cykli Rabbiego i pokonuje rezonator w stanie wzbudzonym. Niewielkie początkowe zasiedlenie stanów z m > nq jak również niezerowa temperatura kolidują z pojawieniem się stanów uwięzionych.

Na zakończenie zauważymy, że stany uwięzione zostały zaobserwowane eksperymentalnie – rysunek 18.6.

18.4.3 Dyfuzja fazowa.

Do tej pory omawialiśmy te własności jednoatomowego masera, które związane są z diagonalnymi elementami macierzy gęstości. Teraz omówimy elementy niediagonalne i rozpatrzymy czasową ewolucje pierwszych niediagonalnych

elementów macierzowych. Takie elementy macierzowe określają dyfuzje fazową w jednoatomowym maserze.

Fazowy operator Londona. W podrozdziale 8.5 omówiliśmy problem hermitowskich operatorów fazowych i wprowadziliśmy fazowe stany Londona. Przedstawione tam podejście oparte jest na operatorze fazowym :

związanym ze stanami fazowymi (8.35) :

Podstawiając definicje (18.40) stanu fazowego do definicji (18.39) operatora fazowego i wykonując całkowanie, otrzymujemy :

W niniejszym podrozdziale obliczymy wartość średnią :

londonowskiego operatora fazowego dla pola masera, które opisywane jest przez macierz gęstości ρ^f.

W tym celu przedstawimy wyrażenie (18.41)dla operatora fazowego w reprezentacji liczb zapełnienia po znak operacji śladu, co pozwoli otrzymać :

Zatem, średnia wartość operatora fazowego określona jest przez sumę pierwszych niediagonalnych elementów macierzy gęstości.

Rys.18.4 Od góry – dyspersja względna σ rozkładu fotonów dla jednoatomowego masera w stanie stacjonarnym. Parametr pompowania jest równy r/γ = 200, linią przerywaną zaznaczono wartość σ = 1 dla stanu koherentnego o statystyce Poissona U dołu – zmierzona dyspersja Qa ≡ σ2 – 1 dla atomów w obszarze dolnego progu masera jako funkcja Nex ≡ r/γ nad progiem.

Z pracy G. Rempe et al. Phys. Rev. Lett. 1990 V.64 P.2783

Rys. 18.5 Pojawienie się stanów uwięzionych dla wartości stacjonarnych średniej liczby fotonów przy parametrze pompowania r/γ = 50 I średniej liczbie fotonów termicznych nтепл = 0,1 (po lewej ) i nтепл = 10–7 ( po prawej ) W przypadku b) wyraźnie widać stany uwięzione – przy określonych wartościach czasu oddziaływania ϑ śednia liczba fotonów okazuje się być znacznie mniejsza w porównaniu z przypadkiem a).

Rys. 18.6 Eksperymentalna obserwacja stanów uwięzionych dla jednoatomowego masera. Inwersja zasiedleń poziomów atomowych jako funkcja czasu oddziaływania dla parametrów pompowania, odpowiednio Nex = 7, Nex = 10.

Na diagramach a) b) przedstawiono dane z diagramów A) i B) po wykluczeniu regularnego liniowego zaniku.

Linie wertykalne pokazują teoretyczne położenia wszystkich stanów uwięzionych niższych rzędów, leżących w obszarze czasów oddziaływania, przedstawionych na diagramie. Progi w inwersji można utożsamić z położeniami stanów

Równanie ruchu dla operatora fazowego. Aby otrzymać ewolucje w czasie otrzymanego powyżej wyrażenia, powrócimy do równania ruchu (18.29) dla macierzy gęstości. Równanie takie przy k = 1 po przesumowaniu po m daje :

Przesuwając indeksy sumowania, otrzymujemy :

Jeśli wykorzystamy zależność trygonometryczną :

cos(α) cos(β) – 1 + sin(α) sin(β) = cos( α – β ) – 1 = – 2 sin2[ ½( α – β )]

to równanie to uprości się do postaci :

Otrzymamy zamknięte, ale przybliżone równanie dla < eiϕ^ >, jeśli wykorzystamy to, że µn jest wolno zmieniająca się funkcją n. W tym przypadku można zamienić wielkość µn na jej wartość średnią :

< µn > ≡

Σ

µn Wn (18.44)

n

co pozwoli otrzymać :

Jeśli dodatkowo założymy, że Wn jest różne od zera tylko dla n >> 1, to w definicji (18.43) wielkości µn możemy rozwinąć pierwiastki kwadratowe i otrzymać wzór przybliżony :

dla stałej D dyfuzji fazowej.

Wielkość D można związać bezpośrednio ze średnią liczbą fotonów, jeśli założymy, że :

< µn > ≅ µn = <n >

Wtedy z wyrażenia (18.45) otrzymujemy :

Wielkość D ma wymiar częstości i może być związana z szerokością linii jednoatomowego masera – w przypadku nie występowania dyfuzji faza pola nie zmieniałaby się, ponieważ pracujemy w reprezentacji oddziaływania.

W obrazie Schrödingera z uwzględnieniem dyfuzji fazowej otrzymujemy :

Zależność ta pokazuje, że dyfuzja w fazie prowadzi do rozrzutu :

∆ω = ϕ^• = 2D

po częstości, a to jest nic innego jak szerokość linii.

W dokumencie Optyka kwantowa w przestrzeni fazowej Wolfgang P. Schleich (Stron 160-169)