Omówienie rozwiązania

Omówimy teraz fizyczny sens powyższych rozwiązań dla modeli Jaynesa-Cummingsa-Paula. W szczególności przeanalizujemy je dla dwóch przypadków granicznych :

1) kiedy pole świetlne znajduje się w rezonansie z przejściem atomowym 2) kiedy posiada ono duże odstrojenie

W pierwszym przypadku ustanowimy związek z wynikami otrzymanymi z pomocą algebry operatorów. W drugim przypadku ewolucja czasowa wektora stanu | Ψ > układu atomowo-polowego określana jest przez efektywny hamiltonian, który zachowuje zasiedlenie poziomów atomowych i statystykę fotonów. Taki hamiltonian odgrywa ważną rolę w optyce atomowej i QED rezonatorów.

15.4.1 Analiza ogólna.

W poprzednim podrozdziale ustaliliśmy, że hamiltonian modeli Jaynesa-Cummingsa-Paula miesza tylko dwie amplitudy prawdopodobieństwa Ψa, n i Ψb, n+1. Ponieważ ograniczamy się do przypadku ewolucji unitarnej, tj. do analizy zamkniętego układu atomu i pola, to na mocy liniowości MQ zależne od czasu amplitudy prawdopodobieństw są liniowymi kombinacjami amplitud przy t = 0.

Oprócz tego, ponieważ hamiltonian oddziaływania kreuje wzbudzenie atomowe z jednoczesnym unicestwieniem fotonu i na odwrót, to zmiana w czasie takiego układu kwantowego może reprezentować sobą tylko periodyczny proces wymiany wzbudzenie pomiędzy atomem i polem. Zatem, amplitudy prawdopodobieństw Ψa, n i Ψb, n+1 powinny być funkcjami periodycznymi. Najprostszymi funkcjami okresowymi są funkcje sinus i kosinus i w istocie wyrażenia (15.25a)

przedstawiają sobą liniowe kombinacje początkowych amplitud o współczynnikach okresowych. Okres wymiany wzbudzenia pomiędzy atomem i polem określony jest przez uogólniona częstość Rabbiego :

λn ≡ sqrt[ (½∆)2 + g2 (n + 1 )] (15.26)

która jak już widzieliśmy w poprzednim rozdziale, jest zerem wyznacznika macierzy U.

Omówimy teraz funkcje trygonometryczne – sinus i kosinus, wchodzące do wektora stanu. Aby nastąpiło przejście ze stanu

| b, n + 1 > do stanu | a, n > albo na odwrót, należy wprowadzić różne od zera pole. Dlatego też amplituda

prawdopodobieństwa takiego przejścia powinna być, w skrajnym przypadku, proporcjonalna do pola elektrycznego, tj. do częstości Rabbiego λn. Zatem, wkład do amplitudy Ψa, n generowany przez przejście ze stanu o amplitudzie Ψb, n+1, powinien być proporcjonalny, raczej do sinusa, a nie do kosinusa, ponieważ ten ostatni w niższym rzędzie nie zależy od częstości Rabbiego. Tak samo wkład do amplitudy Ψb, n+1 generowany przez przejście ze stanu o amplitudzie Ψa, n również powinien zawierać sinus.

Oprócz tego, prawdopodobieństwo pozostawania w tym samym stanie powinno być proporcjonalne do kosinusa i tym samym, gwarantować, że w granicy krótkiego czasu lub w granicy słabego pola przejścia nie występują.

Współczynniki stojące przed funkcjami trygonometrycznymi staną się zrozumiałe, kiedy rozpatrzymy granicę ścisłego rezonansu lub przypadek dużych odstrojeń.

15.4.2 Przypadek rezonansu.

Na początku rozpatrzymy przypadek ścisłego rezonansu, kiedy :

∆ ≡ Ω – ω = 0

W takiej granicy uogólniona częstość Rabbiego (15.26) przyjmuje postać : λn = g sqrt( n + 1 )

Zależność od czasu amplitudy prawdopodobieństwa opisywana jest przez wyrażenia :

Jeszcze raz zwracamy uwagę na fakt periodycznej wymiany wzbudzenia pomiędzy atomem i polem. Oprócz tego, widzimy, że przed funkcją sinus zawsze stoi współczynnik –i, który jeśli to prześledzimy dokładniej pochodzi od współczynnika i w równaniu Schrödingera, tj. od czynnika –i w równaniu Rabbiego (15.19).

Próżniowe oscylacje Rabbiego. Szczególna sytuacja pojawia się, kiedy pole EM znajduje się pierwotnie w stanie podstawowym, tj. w stanie próżniowym. W takim przypadku powyższe równania mają postać :

Pokazują one, że periodyczna wymiana wzbudzenia pomiędzy atomem i polem następuje nawet w przypadku próżniowym.

Częstość takiej wymiany reprezentuje sobą próżniową częstość Rabbiego g (14.52).

Jeśli atom pierwotnie znajduje się w stanie podstawowym, to warunki początkowe mają postać : Ψb, 0(0) ≡ 1, Ψb, 1(0) ≡ 0 , Ψa, 0(0) ≡ 0

Wtedy zapisane powyżej równania pokazują, że atom cały czas pozostaje w stanie podstawowym, tj. : Ψb, 0(t) = 1, Ψb, 1(t) = 0 , Ψa, 0(t) ≡ 0

Zatem, atom nie może przejść w stan wzbudzony, jeśli pole znajduje się w stanie próżni.

Jednakże, jeśli atom pierwotnie znajdował się w stanie wzbudzonym, to następuje periodyczny proces wymiany wzbudzenia pomiędzy atomem i polem. W tym przypadku warunki początkowe Ψb, 1(0) ≡ 0, Ψa, 0(0) ≡ 1 wyróżniają zależne od czasu rozwiązania :

Taka periodyczna wymiana pomiędzy polem próżniowym rezonatora i atomem jest wyraźnie widoczna na rysunku 16.8.

Związek z opisem, opartym na algebrze operatorów. Na zakończenie zapiszemy wektor stanu rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula dla dowolnego stanu początkowego atomu i pola. W tym celu podstawimy warunki

początkowe (15.21) do wyrażenia (15.27) dla amplitud prawdopodobieństwa i otrzymamy :

gdzie wykorzystaliśmy skrócone oznaczenia (15.14) dla Cn i Sn.

Z uwzględnieniem tych wyrażeń dla amplitud prawdopodobieństw Ψa, n i Ψb, n+1 wektor stanu :

przyjmuje postać :

Zmieniając indeks sumowania n’ = n + 1 w drugiej sumie i łącząc ją z ostatnim członem, otrzymujemy :

co jest w pełnej zgodności ze wzorem (15.12).

15.4.3 Przypadek nierezonansowy.

Dalsze rozumienie zależności od czasu amplitud Ψa, n i Ψb, n+1 następuje przy analizie przypadku idealnego dużych odstrojeń, kiedy :

Przeanalizujemy teraz rozwiązania (15.25a) modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula w tym właśnie przypadku.

Amplitudy prawdopodobieństwa. Na początku zauważymy, że w przypadku dużych odstrojeń, tj. przy warunku (15.30), uogólniona częstość Rabbiego (15.26) przyjmuje postać :

zatem z (15.25a) znajdujemy :

Zaniedbaliśmy tutaj przejścia ze stanu podstawowego, ponieważ :

W istocie, duże odstrojenie uniemożliwia realizacje przejścia – atom powinien pozostawać w stanie wejściowym.

W analogiczny sposób otrzymujemy :

Zauważmy, że takie dwie amplitudy Ψa, n i Ψb, n+1 obracają się różnie - Ψa, n obraca się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, Ψb, n+1 – obraca się przeciwnie.

Hamiltonian efektywny. Teraz możemy uprościć wzory (15.18) i (15.25a) dla wektora stanu układu atom-pole.

Podstawiając przybliżone wyrażenia (15.31) i (15.32) dla amplitud Ψa, n i Ψb, n+1 do wzoru (15.18) dla wektora stanu, znajdujemy :

W tym wkładzie, który związany jest ze stanem podstawowym atomu, przesuwamy indeks sumowania po stanach Foka, otrzymując :

Przypomnijmy teraz zależności :

zawierające dowolną fazę rzeczywistą ϕ, oraz zależności :

które pozwalają przedstawić otrzymane powyżej wyrażenie w następującej formie :

Wprowadziliśmy tutaj efektywny hamiltonian :

W dodatku H otrzymaliśmy ten wynik wykorzystując drugi rząd teorii zaburzeń dla operatora ewolucji U^.

Wektor stanu. W przypadku granicznym dużych odstrojeń dynamika modeli Jaynesa-Cummingsa-Paula określona jest przez efektywny hamiltonian (15.33). Otrzymywana w ten sposób dynamika zachowuje statystykę fotonów oraz zasiedlenie poziomów atomowych. Prowadzi ona tylko do pojawienia się nowych przesunięć :

w wektorach stanu | a, n > i | b, n >.

Zobaczymy takie osobliwości, jak tylko podstawimy warunki początkowe (15.21), tj. : Ψa, n(0) = wn ca i Ψb, n(0) = wn cb

do równania (15.4) otrzymując :

Ponieważ przesunięcia fazowe ϕn(a) i ϕn(b) zależne są od liczby fotonów i są różne dla atomu w stanie wzbudzonym i podstawowym, to stany atomowe i polowe nie mogą być sfaktoryzowane :

Efektywny hamiltonian, nie powoduje w układzie żadnych przejść, następuje splątanie stanów atomowych i polowych.

W następnym rozdziale omówimy efekt splątania dokładniej, a na zakończenie tego rozdziału podkreślimy fakt, że efektywny hamiltonian (15.33) jest szeroko stosowany zarówno do analizy stanu kota Schrödingera, jak i dla zagadnień optyki atomowej w skwantowanych polach świetlnych.

Zadania.