Rozdział 16 Przygotowanie stanów i splątanie
16.4 Inżynieria stanów kwantowych
Teraz rozpatrzymy metodę przygotowanie dowolnej, ale skończonej superpozycji stanów Foka. W tym celu wykorzystamy dynamikę modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula dla dwu poziomowego atomu, oddziaływującego w sposób rezonansowy z jednym modem pola skwantowanego, opierając się przy tym na procedurze pomiarów zgodnych.
16.4.1 Schemat metody.
Naszym celem końcowym jest to, aby przygotować stan kwantowy o postaci :
jednego modu rezonatorowego, tj. interesujący nas stan jest superpozycją pierwszych N + 1 stanów Foka o zadanych współczynnikach zespolonych dn. Jak otrzymać taka superpozycje w rezonatorze, startując od stanu próżniowego ?
Otrzymywanie stanów Foka. Ponieważ żądany stan polowy zawiera fokowski N-fotonowy stan | N >, a my rozpoczynamy od stanu próżniowego, jest zrozumiałe, ze należy przekazać do rezonatora jakieś wzbudzenie. Jedna oczywista metoda polega na wykorzystaniu N wzbudzonych dwupoziomowych atomów. Postępując zgodnie z taka pierwszą, być może naiwną metodą, będziemy injektowali do rezonatora, jeden za drugim N wzbudzonych atomów.
Teraz i dalej w niniejszym podrozdziale, dla uproszczenia przyjmiemy, że w każdej chwili czasu w rezonatorze znajduje się tylko jeden atom. Jeśli wszystkich N atomów przekażą swoje wzbudzenia polu, to w rzeczywistości, przygotowaliśmy stan Foka | N >, tak jak to pokazano na rysunku 16.12.
Rys. 16.12 Otrzymywanie stanu foka | N > ze stanu próżniowego | 0 >.
N wzbudzonych dwupoziomowych atomów, jest jeden po drugim ijektowane do rezonatora jednomodowego znajdującego się w stanie próżniowym. Jeśli wszystkie atomy po oddziaływaniu z polem rezonatora, znajdą się w stanie podstawowym, to zadaliśmy stan Foka | N >. Warunek ten jest wymagany, abyψmy dokonali pomiaru dla atomów z pomocą detektora, czułego na stany atomowe.
Należy podkreślić, że właśnie taki eksperyment został przygotowany w Garching z pomocą mikrofalowego rezonatora o dużej dobroci, jednoatomowego masera. Startując od stanu próżniowego, eksperymentatorzy przygotowali kolejno stany – jednofotonowy i dwufotonowy. Przesądowali oni następnie takie stany z pomocą atomu-detektora rejestrując oscylacje Rabbiego, których doznaje w takim polu, tak jak to pokazano na rysunku 16.13.
Stan superponowany. Stan omówiony powyżej nie jest jednakże poszukiwanym stanem | ψd >, tj. nie jest to stan będący koherentną superpozycją (16.16) pierwszych n + 1 stanów Foka. Aby otrzymać taką superpozycje, należy wytworzyć w rezonatorze nie tylko wzbudzenia, ale i koherentność, tj. interferencje kwantową.
Najprostsza interferencja związana jest z superpozycją stanów atomowych dla jednego atomu. Dlatego aby przekazać polu nie tylko wzbudzenie ale i koherentność, będziemy injektowali ku N rezonansowym dwupoziomowym atomom, każdy z których znajduje się w pewnej odpowiedniej superpozycji stanu podstawowego i wzbudzonego, tak jak to pokazano na rysunku 16.4.
Rys. 16.13 Przygotowanie i pomiar stanu foka w jednoatomowym maserze. Z pomocą kolejnych dwupoziomowych atomów, przechodzących przez rezonator o wysokim Q, można przygotować i przesondować jednofotonowy i
dwufotonowy stan foka, kiedy to wzbudzenia atomowe zostają przekazane polu i obserwuje się pojawiające się w wyniku takiego przekazu oscylacje Rabbiego. Jeśli rozpoczynamy od stanu próżniowego pola w rezonatorze a), to jeden atom przechodząc ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, przygotowuje jednofotonowy stan Foka b). Dwa takie atomy, wkładające swoje wzbudzenia wewnętrzne do pola, generują dwufotonowy stan Foka c)
Rejestrując z użyciem dodatkowego atomu oscylacje Rabbiego, pokazane na lewej kolumnie, sondujemy liczbę fotonów.
Z pracy Varcoe B. T. H. et al. , Nature 2000 V.403. P.743
Rys. 16.4 Inżynieria stanów kwantowych : schemat urządzenia. Przygotowujemy dowolny interesujący nas stan polowy
| ψd > zawierający pierwsze N + 1 stany Foka, injektując do rezonatora N w odpowiednio przygotowanych rezonansowych dwupoziomowych atomów. Stanem początkowym jest próżnia. Atom o numerze k znajduje się w superpozycji
| a > + iεk | b > stanów atomowych, gdzie εk - jest pewnym parametrem zespolonym, który zależny jest od interesującego nas stanu pola | ψd >. Jeśli wszystkie atomy, pokonujące układ okażą się być w stanie podstawowym, to mod polowy będzie znajdował się w pożądanym stanie | ψd >.
Rozpatrzmy teraz proces generacji pola w układzie atomów. Pole pierwotne w układzie jest polem próżniowym. Posyłamy do rezonatora pierwszy atom, znajdujący się w stanie superponowanym :
| ϕ(1)
atom > = | a > + iε1 | b >
Zauważmy, że póki co taki stan zapisany jest bez uwzględnienia normalizacji, którą wprowadzimy dalej.
Po oddziaływaniu atomu z polem próżniowym dokonujemy pomiaru stanu atomu. Jeśli atom jest w stanie wzbudzonym, powinniśmy się zatrzymać i odrzucić taki wynik. Dlaczego ?
Dlatego, ze wymagany stan polowy | ψd > (16.16) zawiera N-fotonowy stan Foka | N >.
Ponieważ mamy tylko N atomów, tj. N wzbudzeń, to wszystkie atomy powinny wyjść z rezonatora w stanie podstawowym.
Zatem rozpatrzmy teraz sytuacje, kiedy atom przechodząc przez rezonator znajduje się w stanie podstawowym. W takim przypadku pojawiają się dwie możliwości dla stanu polowego. Ponieważ atom pierwotnie był w koherentnej superpozycji stanu wzbudzonego i podstawowego, a później okazał się być w stanie podstawowym. To stan pola jest superpozycją :
| ϕ(1) > = ϕ(1)
0 | 0 > + ϕ(1) 1 | 1 >
stanu próżniowego | 0 > i jednofotonowego stanu Foka | 1 >, tak jak to pokazano na rysunku 16.15
Rys. 16.15 Inżynieria stanów kwantowych : ewolucja amplitud polowych, generowana przez oddziaływanie nadlatujących kolejno po sobie atomów z polem rezonatora. Wzdłuż osi wertykalnej pokazano, jak rozwijają się stany pola z zadaną liczbą fotonów, a na horyzontalnej – wskazano czas, który jest proporcjonalny do liczby atomów. Zakładamy, ze po rezonansowym oddziaływaniu dwupoziomowych atomów z jednym modem rezonatora, który na początku był w stanie próżniowym, wszystkie N atomów okazuje się być w stanie podstawowym. Do wejścia w rezonator każdy atom znajduje się w odpowiednio wybranej superpozycji stanu wzbudzonego i podstawowego. Dlatego też atom może, albo zwiększyć liczbę fotonów o jeden, albo pozostawić ją niezmienioną, tak jak wskazują to diagonalne i horyzontalne strzałki.
Każda elementarna komórka takiej siatki może być przyjęta jako niższa płaszczyzna rysunku 15.1, ponieważ rozpatrujemy tylko te atomy, które pokonują rezonator w stanie podstawowym.
Zespolone amplitudy prawdopodobieństwa ϕ(1) 0 i ϕ(1)
1 określone są przez dynamikę oddziaływania atom-pole i zostaną one obliczona dalej.
Należy podkreślić taką okoliczność : w wyniku zredukowania pełnego układu atomu i pola, tylko do układu pola stan pola
| ϕ(1) > jest nieunormowany. Stan unormowany pola oznaczmy jako | ϕ(k) >. ( w niniejszym rozdziale indeks górny wskazuje numer atomu, a dolny – numer stanu Foka )
Drugi atom kontynuuje dany proces i przekształca człon próżniowy | ϕ(1) > w superpozycje stanu próżniowego | 0 > i jednofotonowego | 1 >. Zatem, przekształca on składową | 1 > wektora | ϕ(1) > w superpozycje | 1 > i kolejnego stanu Foka
| 2 >. W ten sposób, stan pola po tym jak atom drugi podziałał z nim i został zarejestrowany w stanie podstawowym, jest superpozycją postaci :
- stanów Foka o amplitudach prawdopodobieństw ϕ(2)
0 , ϕ(2) 1 , ϕ(2)
2.
Rysunek 16.15 daje nam dużo informacji o strukturze takich amplitud. Zauważmy tylko, ze tylko jedna droga prowadzi od próżni | 0 > do stanu Foka | 2 >. Dokładnie tak samo, jedna droga pozostawia próżnię niezmienioną. W przeciwieństwie do tego są dwie drogi, wiążące | 0 > z | 1 > :ma to miejsce, kiedy albo pierwszy, albo drugi atom wnoszą swoje wzbudzenie.
Dwa wkłady interferują i dlatego amplituda prawdopodobieństwa ϕ(2)
1 jest suma amplitud odpowiadającym dwóm drogom.
Kolejny atom kontynuuje proces wzbudzenia i po przejściu N atomów otrzymujemy superpozycje :
pierwszych N + 1 stanów Foka o amplitudzie prawdopodobieństwa ϕ(N) n
Zauważmy jednakże, ze takie amplitudy, mówiąc ogólnie, nie pokrywają się ze współczynnikami rozkładu dn
wymaganego przez nas stanu polowego. Staje się to szczególnie zrozumiałe, jeśli uwzględnimy, ze wiele różnych dróg daje wkład do oddzielnego stanu Foka. Rysunek 16.15 pokazuje, że od takiej zasady są dwa wyjątki. Jest tylko jedna droga, która prowadzi od próżni do stanu Foka | N >. Analogicznie, tylko jedna droga pozostawia próżnie niezmienną.
Dla wszystkich innych stanów Foka istnieje wiele dróg, które prowadza od | 0 > do | n >. Wkłady wszystkich dróg, wiążących | 0 > z | n > interferują i odpowiednie amplitudy prawdopodobieństw ϕ(N)
n są sumami amplitud, odpowiadających takim drogom.
16.4.2 Zagadnienie odwrotne.
W wyniku wielkiej możliwości dróg interferencyjnych zagadnienie odwrotne, a dokładnie – określenie parametrów εk superpozycji atomowej, które dają nam wymagane amplitudy polowe ϕ(N)
n = dn, wygląda beznadziejnie.
Tym niemniej, trójkątna struktura diagramu atomowo-polowego (rys. 16.15) pozwala rozwiązać zagadnienie odwrotne krok, po kroku.
Zależności rekurencyjne dla amplitud. Aby to wykonać rozpatrzymy wpływ k-tego atomu. Jego oddziaływanie opisywane jest w ramach rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula, który dokładnie omawialiśmy w podrozdziale 15.1
Do injekcji k-tego atomu w stanie superponowanym | a > + iεk | b > pole rezonatorowe znajduje się w stanie :
Po oddziaływaniu, kiedy atom pokonał rezonator, stan | Φ(k) > całkowitego układu ma postać :
Wykorzystaliśmy tutaj ewolucje w czasie (15.13) modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula i oznaczyliśmy : Cn(k) ≡ cos[ sqrt( n + 1) gτk ]
oraz
Sn(k) ≡ sin[ sqrt( n + 1) gτk ]
Oprócz tego, zakładamy, ze oddzielne atomy mogą posiadać różny czas oddziaływania τk.
Jeśli teraz dokonamy pomiaru stanu atomowego i zarejestrujemy dany atom w stanie podstawowym | b >, to stan | ϕ(k) > pola przyjmuje postać :
Teraz nowe amplitudy prawdopodobieństwa ϕn(k)
otrzymujemy z zależności rekurencyjnej : ϕn(k) = Sn–1(k)ϕn–1(k–1)
– εk Cn–1(k)ϕn(k–1)
(16.17)
Wyrażają się one przez wartości amplitud polowych ϕn(k–1) do wlotu w rezonator k-tego atomu.
Należy podkreślić, że wydzieliliśmy ogólny czynnik –i.
Sformułowanie odwrotnego zagadnienia. Teraz możemy omówić zagadnienie odwrotne, tj. możemy omówić definicje takiej atomowej superpozycji | a > + iεN | b > i takiego rozkładu polowego ϕn(N–1) aby po przejściu N-tego atomu pole było w interesującym nas stanie :
N
| ϕ(N) > = | ψd > = Σ dn | n >
n=0
W tym celu podstawimy zależność rekurencyjną : ϕn(N) = Sn–1(N)ϕn–1(N–1)
– εN Cn–1(N)ϕn(N–1)
która wynika z (16.17) dla atomu z numerem k = N, do układu równań dla stanów Foka. Zauważmy, że ϕN(N–1) = 0, ponieważ tylko N-ty atom generuje N-ty stan Foka. Wtedy, z uwzględnieniem zależności : C–1(k)
= 1 , S–1(k) = 0 Znajdujemy :
Zauważmy, że współczynniki dn szukanego pola, stojące w prawej części tego układu z N+1 równania są zadane.
Wielkościami nieznanymi są to N amplitud prawdopodobieństwa ϕn(N–1)
wchodzące do stanu polowego, które miało miejsce do przejścia N-tego atomu i parametry εN superpozycji atomowej. Zatem, mamy N +1 równań dla N +1 nieznanych. Na tym polega możliwość rozwiązania zagadnienia odwrotnego.
Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego. Rozpoczniemy od tego, ze rozwiążemy pierwsze równanie, tj. : ϕN–1(N–1)
= dN / SN–1(N)
i podstawimy wynik do następnego równania, które określa wielkość ϕN–1(N–1) itd.
W wyniku tej procedury otrzymujemy :
Podstawienie znalezionego w ten sposób współczynnika ϕ0(N–1)
do ostatniego równania układu (16.18) daje :
tj. równanie charakterystyczne dla εN
Równanie (16.20) jest równaniem algebraicznym N-tego stopnia. Dlatego też ma ono N pierwiastków. Rozwiązujemy numerycznie takie równanie charakterystyczne i wybieramy jedną wartość εN z N pierwiastków równania (16.20). Wtedy wzór (16.19) bezpośrednio daje nam odpowiednie współczynniki ϕn(N–1) stanu | ϕ(N–1) >.
Tym samym, określiliśmy stan polowy i superpozycje atomową, które są konieczne aby otrzymać interesujący nas stan pola po przeleceniu przez rezonator N-tego atomu.
Teraz bierzemy taki stan polowy | ϕ(N–1)
> w charakterze nowego wymaganego przez nas stanu, który należy otrzymać posyłając N –1 atom przez układ. Dla stanu | ϕ(N–1)
> dokonujemy te same obliczenia, co dla stanu | ψd > i otrzymujemy parametr εN–1 i stan | ϕ(N–2) >, zawierający N–1 współczynnik ϕn(N–2).
Powtarzamy taką procedurę do tej pory, póki zakończymy na stanie próżniowym. Szereg liczb zespolonych ε1, ε2 , ... , εN zadaje stany wewnętrzne ciągu N atomów, które powinniśmy injektować do rezonatora, aby ze stanu próżniowego
przygotować wymagany przez nas stan polowy | ψd >.
16.4.3 Przykład – przygotowanie stanu fazowego.
Powyższą metodę zilustrujemy, zadając ucięty stan fazowy : 7
| ψd > ≡ (1/√8 ) Σ | n > (16.21)
n =0
W tym przykładzie wszystkie amplitudy prawdopodobieństwa interesującego nas stanu są rzeczywiste i równe sobie.
Podstawiamy je do wyrażenia (16.19), które określa amplitudy polowe do wpadnięcia do rezonatora N-tego atomu i obliczamy parametr superpozycji εN z pomocą równania (16.20). Potem powtarzamy taka procedurę dla kolejnych N–2 stanów polowych póki nie dojdziemy do stanu próżniowego. W tabeli 16.1 podano obliczone w ten sposób wielkości ε1, ε2 , ... , ε7 dla stałej wartości gτk = π/5 – parametru oddziaływania.
Tabela 16.1 Stan wewnętrzny | a > + i | εk | exp(iβk | b > w którym powinien znaleźć się k-ty atom, tak aby otrzymać stan fazowy (16.21), przy ustalonej wartości parametru oddziaływania gτ = π/5. W prawej kolumnie przedstawiono
prawdopodobieństwa Pb(k) (16.25), znalezienia k-tego atomu w stanie | b > po oddziaływaniu z polem rezonatorowym, przy warunku, że wszystkie wcześniejsze atomy zostały zarejestrowane w stanie | b >. Prawdopodobieństwo P7 (16.27) znalezienia wszystkich atomów w stanie podstawowym jest równe :
P7 = Pb(1) Pb(2) ... Pb(7) = 0,01388
Aby dać pewne wyobrażenie o oddzielnych krokach ewolucji stanu pola od próżni do uciętego stanu fazowego (16.21), na rysunku 16.16 pokazano Q-funkcje stanu polowego | ϕ(k)
> po tym jak k-ty atom przeleciał przez rezonator i został zarejestrowany w stanie podstawowym.
Rys. 1.6.16 Q-funkcja Q(α) ≡| < α | ϕ(k) > |2 /π stanu polowego | ϕ(k) > po tym, jak k-ty atom przeoddziaływał z polem i został zarejestrowany w stanie podstawowym. Parametry stanów wewnętrznych wchodzących atomów pokazano w tabeli 16.2 Poziomice odpowiadają wartościom :
Q = 0,025 ; 0,05 ; 0,075 ; ...
Prawdopodobieństwo sukcesu. Jakie jest prawdopodobieństwo PN zadania takiego stanu znalezienia wszystkich atomów w stanie podstawowym po tym, jak przeszły one przez rezonator ?
Do tej pory wykorzystywaliśmy stany nieunormowane dla atomów i pola, ponieważ było to dogodne dla obliczenia parametrów superpozycyjnych εk i amplitud ϕn(k). Jeśli potrzebne są nam prawdopodobieństwa, to należy wykorzystać unormowane stany polowe :
oraz unormowane stany atomowe :
( | a > + iεk | b > ) / sqrt( 1 + | εk |2 )
Dla współczynników otrzymujemy równania, które są analogiczne do równań (16.18), ale teraz mają postać :
Stała normująca ma postać :
Nk ≡ 1/ sqrt[ Pb(k) ( 1 + | εk |2 )] (16.24)
i składa się z dwóch części. Czynnik 1/ sqrt( 1 + | εk |2 ) uwzględnia normalizację stanu wewnętrznego k-tego atomu, a czynnik 1/ sqrt( Pb(k) ) związany jest z procedurą normalizacji stanu polowego po zredukowaniu w wyniku pomiaru.
Obliczając z pomocą równań (16.23) prawdopodobieństwo znalezienia k-tego atomu w stanie podstawowym, dochodzimy do wyrażenia :
Teraz jesteśmy gotowi aby obliczyć prawdopodobieństwo powodzenie, tj. prawdopodobieństwo : N
PN =
Π
Pb(k)k=1
zdarzenia, kiedy wszystkie N atomów pokonują rezonator w stanie podstawowym.
Tabela 16.2 Stan wewnętrzny | a > + i | εk | exp(iβk | b > k-tego atomu, który jest wymagany w celu otrzymania uciętego stanu fazowego (16.21). Zoptymalizowaliśmy tutaj parametry oddziaływania gτk tak aby otrzymać maksymalne
prawdopodobieństwo P (16.27) zarejestrowania wszystkich atomów w stanie podstawowym. W prawej kolumnie podano prawdopodobieństwa Pb(k) (16.25), znalezienia k-tego atomu w stanie | b > po oddziaływaniu z polem rezonatorowym, przy warunku, że wszystkie wcześniejsze atomy zostały zarejestrowane w stanie | b >. W tym przypadku mamy
P7 = 0,05193
Z pierwszego równania układu (16.23) widać, że :
Ponieważ startujemy ze stanu próżniowego, to ψ0(0) = 1. Oprócz tego, należy zauważyć, że dla unormowanego interesującego nas stanu mam miejsce zależność ψn(N) = dn i równanie (16.26) sprowadza się do :
Podstawiając tutaj stałe normujące Nk z wyrażenia (16.24), otrzymujemy iż prawdopodobieństwo PN znalezienia wszystkich N atomów w stanie podstawowym może być znalezione ze wzoru :
który daje nam :
Prawdopodobieństwo PN zależy od wyboru pierwiastków równania charakterystycznego (16.20) oraz czasu oddziaływania τk. Czy można wykorzystać taki „stopień swobody” aby zoptymalizować prawdopodobieństwo PN ?
Aby zdobyć pewne wyobrażenie o możliwościach takiej optymalizacji, rozpatrzmy najprostszą sytuację jednakowych czasów oddziaływania τk = τ na przykładzie przygotowania uciętego stanu fazowego (16.21). Zależność
prawdopodobieństwa P7 od parametru oddziaływania dτ pokazano na rysunku 16.17. Dla tej krzywej parametr εk dla każdego atomu wybrano o najmniejszej wartości absolutnej.
Rys. 16.17 Prawdopodobieństwo P7 znalezienia wszystkich atomów w stanie podstawowym jako funkcja parametru oddziaływania gτ przy przygotowaniu uciętego stanu fazowego (16.21). Wszystkie εk wybrano tutaj o najmniejszej wartości absolutnej. Zauważmy pojawienie się efektu uwięzienia prawdopodobieństwa, kiedy zgodnie z (16.27) P7 jest równe zero.
Zauważmy, że prawdopodobieństwo P7 wzrasta przy wzrastaniu parametru oddziaływania gτ, osiągając maksymalną wartość P7 ≅ 0,02067 przy gτ ≅ 0,2445π, a następnie zmniejsza się. Oprócz tego przy takich wartościach parametru oddziaływania dτ, kiedy sin(dτ √n) = 0 n = 1, 2, ... , 7 następuje uwięzienie zasiedlenia, tj. prawdopodobieństwo P7 zeruje się, tak jak to widać z równania (16.27). Maksimum prawdopodobieństwa realizuje się przy mniejszej wartości parametru oddziaływania, niż to które odpowiada uwięzieniu.
Kolejny krok procedury optymalizacji polega na tym, że każdemu atomowi przyporządkowuje się swój czas oddziaływania τk z polem rezonatora. W tabeli 16.2 wybraliśmy τk w taki sposób, aby prawdopodobieństwo P7 znalezienia wszystkich siedmiu atomów w stanie podstawowym było maksymalne. Z pomocą tej strategii udało się zwiększyć P7 aż do wartości P7 ≅ 0,05193
Zakończenie. Na zakończenie podkreślimy, że z użyciem metody injektowania do układu, N odpowiednio
przygotowanych atomów i ich dalszej rejestracji w stanie podstawowym, można zbudować ze stanu próżniowego dowolną superpozycję pierwszych N + 1 stanów Foka. Nadto zauważmy, że hamiltonian Jaynesa-Cummingsa-Paula nie jest decydującym czynnikiem tej metody. Mogą być wykorzystane i inne odpowiednio dobrane modele oddziaływania atom-pole, jeśli tylko zapewniają one wymianę energii pomiędzy atomami i polem.
Zadania.
16.1 Kolaps i wskrzeszenia w modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula.
Dla atomu rezonansowego, znajdującego się pierwotnie w stanie podstawowym, inwersja I(t) określona jest przez wyrażenie :
gdzie Wn opisuje statystykę fotonów stanu polowego przy t = 0.
a) Pokazać z pomocą wzoru sumacyjnego Poissona :
że I(t) można zapisać w postaci :
gdzie Iν(t) zadane jest przez wyrażenie :
b) Jeśli funkcja rozkładu Wn zmienia się wolno w porównaniu z czynnikiem fazowym, powyższą całkę można obliczyć w przybliżeniu metoda stacjonarnej fazy. Pokazać, że dla ν ≥ 1 wielkość Iν(t) przyjmuje postać:
podczas, gdy dla ν ≤ –1 otrzymujemy : Iν(t) ≅ 0
Podpowiedź. W przypadku ν= 0 metoda stacjonarnej fazy nie może być stosowana. W tym przypadku mamy po prostu :
c) Rozpatrzyć inwersje w przypadku, kiedy pole w chwili t = 0 znajduje się w stanie koherentnym o dużej amplitudzie.
Przy jakim warunku otrzymamy znaczący efekt wskrzeszeń ?
Czy istnieją wskrzeszenia w przypadku termicznego stanu początkowego ?
d) W przypadku oscylującej statystyki fotonów, typu takiej która ma miejsce w stanie silnie ściśniętym, wskrzeszenia posiadają oscylacje, tak pokazał to Satyanarayana i inni (1989 )
Z pomocą odpowiednio dobrane asymptotyki rozkładu liczb fotonów i metody stacjonarnej fazy otrzymać wielokrotne wskrzeszenia. Czy istnieje interpretacja tego faktu w języku interferencji w przestrzeni fazowej ?
Podpowiedź. Zobacz artykuł Fleischhauer, Schleich (1993) 16.2 Inżynieria stanów.
Oddziaływanie dwupoziomowego atomu z polem klasycznym może być przedstawione jako przekształcenie :
Oddziaływanie dwupoziomowego atomu ze skwantowanym modem pola EM w reprezentacji oddziaływania opisuje hamiltonian :
Przy t = 0 atom znajduje się w stanie | a >, a pole - w stanie koherentnym | α0 >. Proces oddziaływania z polami następuje w trzech etapach :
1) oddziaływanie z polem klasycznym, zgodnie z (16.28)
2) oddziaływanie z polem skwantowanym ( czas oddziaływania τ )
3) oddziaływanie z polem klasycznym, zgodnie z (16.28), ale z zamianą ϕ na –ϕ.
Po oddziaływaniu prowadzimy pomiar stanu atomowego. Załóżmy, że atom zawsze jest rejestrowany w stanie wzbudzonym.
a) W jakim stanie po pomiarze znajduje się pole ?
b) Pokazać, że przy odpowiednim wyborze parametrów ϑ, ϕ można przygotować dowolna superpozycje stanów :
| α0 e–ig2τ /∆ > i | α0 eig2τ /∆ >
c) Pokazać, że z pomocą N atomów przy odpowiednim wyborze parametrów ϑk , ϕk ( k = 1, ... , N ) i τ < π∆/ g2N można zbudować zadany stan polowy :
jeśli wszystkie atomy znalezione zostały w stanie wzbudzonym.
Podpowiedź. Postępując w ten sam sposób co w podrozdziale 16.4 otrzymać zależności rekurencyjne dla amplitud polowych cn(k–1) do oddziaływania z k-tym atomem i amplitud cn(k) po oddziaływaniu z k-tym atomem.
Pokazać, ze dla dowolnego stanu (16.29) istnieje, w skrajnym przypadku, jedno rozwiązanie.
O normalizacje nie należy się martwić.
Literatura.
************************************************************************************************