Mierzalne operatory fazowe

Dawne zagadnienie o operatorze, który odpowiada fazie oscylatora harmonicznego, omówiliśmy krótko w podrozdziale 8.5. Interesujące jest w związku z tym zauważyć, że grupa L. Mandel’a wykorzystała 8 kanałowy interferometr w celu zdefiniowania nowych operatorów C^M i S^M związanych z odpowiednio kosinusem i sinusem różnicy faz pomiędzy polem lokalnego oscylatora i polem kwantowym. Ważnym przy tym jest to, ze takie operatory reprezentują sobą nie jakieś konstrukcje teoretyczne, a wielkości które mogą być zmierzone. Obecnie podsumujemy krótko wyniki takiego podejścia i w szczególności, ustanowimy związek z interpretacja z użyciem pojęcia przestrzeni fazowej, wykorzystując Q-funkcje.

W tym celu na początku rozpatrzymy klasyczny opis działania 8 kanałowego interferometru, a potem pokażemy jak taka analiza prowadzi do idei nowych operatorów fazowych.

13.4.1 Pomiar klasycznych wielkości trygonometrycznych.

Powtórzymy teraz krótko klasyczny opis, podobny do tego jaki podaliśmy w podrozdziale 13.2.1, dla procesu pomiaru różnicy intensywności w przypadku przechodzenia przez dzielnik wiązki. W tym celu ponownie rozpatrzymy dwa pola elektryczne :

Ej = Єj e–iϑj

Padające na dzielnik wiązki, tak jak to pokazano na rysunku 13.6. Zapisując intensywności :

padające na dwa detektory, otrzymujemy, ze prąd różnicowy : I43 ≡ I4 – I3 ma postać :

I43 = 4 Є1 Є2 cos( ϑ2 – ϑ1 )

Zatem, możemy wyrazić kosinus różnicy faz poprzez prąd różnicowy I43 i amplitudę natężeń Є1i Є2 pól elektrycznych w postaci :

cos( ϑ2 – ϑ1 ) ≡ I43 / 4 Є1 Є2 = ( I4 – I3 ) / 4 Є1Є2 (13.32)

Należy podkreślić, że nie możemy zdefiniować wielkości cos( ϑ2 – ϑ1 ) mierząc tylko różnicę prądów I43 , musimy jeszcze mieć iloczyn wielkości Є1Є2.

Analogicznie możemy zmierzyć sinus różnicy faz dwóch fal klasycznych, jeśli do pomiaru przesuniemy z pomocą ćwierć falowej płytki fazę jednego z pól o kąt ½π, tak jak to pokazano na rysunku 13.7.

Rys. 13.6 Dwa klasyczne pola elektryczne wpadają Rys. 13.7 Dwa klasyczne pola elektryczne wpadają na dzielnik dzielnik świetlny, a my mierzymy różnicę prądów świetlny po tym jak wiązka 1 przechodzi przez λ/4- płytkę, co dwóch detektorów D3 i D4. prowadzi do przesunięcia fazy o ½π. Dalej dokonujemy pomiaru prądu różnicowego dwóch detektorów D5 i D6.

Intensywności I6 i I6 mierzone przez detektory D5 i D6, mają postać :

tak, że prąd różnicowy jest równy : I65 ≡ I6 – I5 = 4 Є1 Є2 sin( ϑ2 – ϑ1 )

Zatem, sinus różnicy faz określony jest przez wyrażenie :

Jeśli teraz wbudujemy oba takie schematy homodynowe w 8 kanałowy detektor homodynowy, to możemy zmierzyć jednocześnie i sinus i kosinus. Wykorzystując zależność trygonometryczną :

i równania (13.32) i 913.33) możemy wyrazić iloczyn Є1Є2 amplitud pól elektrycznych przez prądy różnicowe :

A teraz mamy możliwość wyrażenia funkcji trygonometrycznych – sinus i kosinus, tylko poprzez prądy Ij.

Znajdujemy :

Zatem, możemy znaleźć kosinus i sinus różnicy faz, mierząc intensywności I3 ,I4 , I5 i I6 w czterech portach wyjściowych 8 kanałowego interferometru i podstawiając wyniki pomiaru do zapisanych powyżej wyrażeń.

13.4.2 Pomiar kwantowych wielkości trygonometrycznych.

Aby zrealizować przejście od pól klasycznych do pól kwantowych, należy zamienić prądy klasyczne Ij na operatory liczby fotonów n^j. Posługując się taką zasadą, dochodzimy do obserwowalnych operatorów fazowych :

W podrozdziale 13.3.2 otrzymaliśmy prawdopodobieństwo W( n43, n65 ) dla różnicy liczb zliczeń fotonów n43 = n4 – n3 i n65 = n6 – n5

wpadających do czterech detektorów 8 kanałowego interferometru homodynowego. Rozkład ten można zmierzyć eksperymentalnie. Tym samym możemy zmierzyć i obliczyć analitycznie wartość średnią :

dowolnej funkcji f od operatorów C^M i S^M. Aby uniknąć trudności związanych z zachowaniem (13.35) w punkcie n43 = n65 = 0, grupa Mandel’a zdecydowała się wykluczyć taki pomiar i zrenormalizować prawdopodobieństwo różnicy fotozliczeń z pomocą zależności :

Jak taka analiza jest związana z przestrzenią fazową ?

W podrozdziale 13.3.4 pokazaliśmy, że w przypadku granicznym silnego oscylatora lokalnego rozkład fotozliczeń W( n43, n65 ) reprezentuje sobą, z dokładnością do czynnika fazowego Q-funkcje stanu pola wyjściowego. Oprócz tego, kosinus- i sinus- operatory spełniają standardowe zależności trygonometryczne. To prowadzi do myśli, aby zdefiniować rozkład fazowy jako wynik całkowania Q-funkcji stanu kwantowego po promieniu. Teraz pokażemy, ze taki rozkład fazowy rzeczywiście leży u podstaw eksperymentalnie obserwowalnych operatorów fazowych.

W podrozdziale 13.3.4 pokazaliśmy, że w przypadku granicznym silnego oscylatora lokalnego różnice fotozliczeń uwzględniają własność dyskretności. Jest to związane z tym faktem, że są one mierzone w jednostkach dużej amplitudy

| α | pola lokalnego oscylatora. Dlatego, możemy wprowadzić zmienne ciągłe : ξ ≡ n43 / | α| i π ≡ n65 / | α |

i możemy zamienić w równaniu (13.35) sumowanie na całkowani, otrzymując :

Przyjęliśmy tutaj N ≅ 1, ponieważ w przypadku silnego oscylatora lokalnego :

Jeśli teraz wprowadzimy współrzędne biegunowe r, φ z pomocą następujących zależności : ξ ≡ r cos( ϑ – φ ) , π ≡ r sin( ϑ – φ )

to całki w wyrażeniu (13.36) dla wartości średniej przyjmą postać :

Takie rozdzielenie całkowań po zmiennej fazowej i po promieniu pozwala wprowadzić rozkład fazowy :

tak, że wartość średnia otrzymywana jest jako wynik całkowania wielkości f w c-liczbowej reprezentacji wraz z rozkładem fazowym WQ(φ ), tj. :

Zdefiniowany w ten sposób rozkład fazowy otrzymujemy wyrażając funkcje rozkładu dla fotozliczeń W(n43 ,n65 ) we współrzędnych biegunowych i całkując po promieniu. Z uwzględnieniem ścisłego wzoru (13.31) :

dla rozkładu fotozliczeń w przypadku granicznym silnego lokalnego oscylatora wyrażenie dla rozkładu fazowego może być sprowadzone do postaci :

W ten sposób, znaleźliśmy eksperymentalnie obserwowalny rozkład fazowy, który jest związany z przestrzenią fazową.

W przypadku granicznym silnego lokalnego oscylatora rozkład fazowy WQ(φ ), odpowiadający obserwowalnym operatorom fazowym, wynika logicznie z Q-funkcji. W rzeczywistości, wyrażając Q-funkcje we współrzędnych biegunowych i całkując po promieniu, znajdujemy taki rozkład fazowy. Z pomocą takiego rozkładu możemy obliczać wartości średnie dowolnych funkcji od operatorów, całkując je wraz z WQ(φ ).

13.4.3 Dwumodowe operatory fazowe.

W podrozdziale 13.3.3 pokazaliśmy, ze w przypadku granicznym silnego lokalnego oscylatora 8 kanałowy interferometr mierzy dwumodowe operatory X^, P^. Takie operatory komutują. Dlatego też możemy zdefiniować operatory

trygonometryczne o postaci :

Dla jednego modu taka definicja jest bardzo utrudniona, ponieważ w tym przypadku x^ i p^ nie komutują i pojawia się problem uporządkowania operatorów. Ponieważ operatory dwumodowe komutują, to ich definicja jest jednoznaczna.

Z pomocą ogólnych stanów własnych | X, P > operatorów X^ i P^ spełniających równania :

znajdujemy reprezentacje spektralne :

Pozwalają nam one obliczać wartości średnie wielkości C~^M i S~^M.

Zadania.