Kolaps, wskrzeszenia i ułamkowe wskrzeszenia

W poprzednim podrozdziale pokazaliśmy jak znaleźć prawdopodobieństwo rejestracji określonego stanu atomowego i/lub określonego stanu polowego dla modeli Jaynesa-Cummingsa-Paula. W niniejszym podrozdziale skupimy się na ewolucji w czasie zmiennych atomowych i krótko omówimy eksperymenty prowadzone w tym obszarze.

16.2.1 Inwersja jako instrument pomiaru dynamiki wewnętrznej.

Inwersja atomowych obsadzeń I jest wielkością, która znajduje się w centrum uwagi, ponieważ jest łatwa w

eksperymentowaniu. Na początku otrzymamy ścisłe wyrażenie dla inwersji w modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula, a dalej omówimy jej ewolucje w czasie.

Inwersja. Inwersje definiujemy następująco : I(t) ≡ W( t ; | a > ) – W( t ; | b > )

a zatem mamy tutaj prawdopodobieństwo : ∞

W( t ; | a > ) ≡ Σ | Ψa, n(t) |2 n=0

tego, że atom po pomiarze w chwili t znajduje się w stanie wzbudzonym | a >, oraz prawdopodobieństwo : ∞

W( t ; | b > ) ≡ Σ | Ψb, n(t) |2 n=0

że znajduje się w stanie podstawowym | b >.

Inwersja atomowa jest różnica obsadzeń dwóch poziomów atomowych, dlatego odgrywa ona ważna rolę w teorii lasera.

Jeśli wielkość I jest dodatnia, to atom z większym prawdopodobieństwem znajduje się w stanie wzbudzonym, niż w stanie podstawowym. Dla ansamblu atomów oznacza to, że większa liczba atomów będzie w stanie wzbudzonym, a nie w stanie podstawowym. Jest to standardowy warunek pojawienia się akcji laserowej. Jednakże niedawno zostały zbudowane lasery bez inwersji. Do zagadnienia inwersji powrócimy w rozdziale 18.

Z pomocą rozwiązania (15.29) dla rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula znajdujemy ścisłe wyrażenia dla amplitud :

Przyjęto tutaj, że atom pierwotnie był w stanie podstawowym.

W wyrażeniach dla prawdopodobieństw dogodnie jest przesunąć indeks sumowania. Wtedy :

i analogicznie :

∞

W( t ; | b > ) ≡ Σ cos2( √n gt ) Wn n=0

gdzie Wn ≡ | wn |2 - opisuje statystykę fotonów pola rezonatora do oddziaływania z atomem.

Jeśli wykorzystamy zależność trygonometryczną : cos2(α) – sin2(α) = cos(2α)

to wyrażenie dla inwersji przyjmie postać : ∞

I(t ) = – Σ Wn cos( √n 2gt ) n=0

Ewolucja inwersji w czasie. Sumowanie po n nie jest trywialne, ponieważ zawiera ono √n. Przypomina to ogólne zagadnienie dynamiki pakietu falowego, które rozpatrywaliśmy w rozdziale 9.

Dlatego też możemy bezpośrednio wykorzystać wszystkie otrzymane w tym rozdziale wyniki i zrozumieć jak zachowuje się wskazana suma.

Na rysunku 16.5 pokazano ewolucje w czasie inwersji dla przypadku, kiedy funkcja rozkładu liczb fotonów W pola rezonatorowego Wn zlokalizowana jest w pobliżu wystarczająco dużej wartości średniej n– >> 1.

Obraz ten został otrzymany z wykorzystaniem numerycznych obliczeń sumy (16.8), która określa inwersje atomową w modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula. Zauważmy, że inwersja rzeczywiście pokazuje to samo zachowanie, co pakiet falowy, rozpatrywany w rozdziale 9.

Po reżimie oscylacji z zanikającą amplitudą inwersja zanika na wystarczająco długi okres czasu, a potem periodycznie jest wskrzeszana. Takie periodyczne wskrzeszenie inwersji w literaturze nazywa się wskrzeszeniami Jaynesa-Cummingsa.

Kolejne wskrzeszenia stają się coraz szersze, a ich amplitudy zmniejszają się.

Z czasem wskrzeszenia przekrywają się i tworzą nowe struktury. Są to dobrze znane ułamkowe wskrzeszenia.

Należy jednakże podkreślić, że wskrzeszenia Jaynesa-Cummingsa są analogiczne do klasycznych oscylacji atomowego lub molekularnego pakietu falowego pomiędzy punktami powrotu, tak jak o tym mówiliśmy w rozdziale 9.

Mają one miejsce na początkowym stadium ewolucji przy czasach będących całkowitą krotnością skali : T1 ≡ √n– 2π/g , gdzie n– – jest średnią liczba fotonów w stanie polowym.

Aby zrozumieć taki scenariusz wykorzystamy ten fakt, że rozkład liczb fotonów zlokalizowany jest w pobliżu n– >> 1.

Taka okoliczność pozwala nam przyjąć następujący rozkład :

w szereg Taylora wokół n– i zapisać inwersje w postaci :

I(t ) = – ½ S(t) + c.c

Wprowadziliśmy tutaj zależną od czasu funkcje sygnału :

jak również skale czasów :

Ponieważ n– >> 1, hierarchia skal T1 i T2 jest taka, że T1>>T2 , tj. są one bardzo rozbieżne.

Oprócz tego z przybliżonego wzoru dla inwersji wyraźnie widać, ze wielkość ta oscyluje z efektywną częstością Rabbiego 2g√n–

Postępując zgodnie z receptą podaną w rozdziale 9, możemy w granicy małych czasów zaniedbać kwadratowy wkład oraz wkładami wyższych rzędów. Dalej, zamieniając sumowanie po m, na całkowanie otrzymujemy formę kolapsu inwersji, tj.

zanikająca obwiednie inwersji wokół początkowej chwili czasu. Oprócz tego, z pomocą wzoru sumowania Poissona możemy opisać również efekt wskrzeszenia inwersji przy całkowitych krotnościach T1. W wyniku kwadratowego wkładu do S(t) wskrzeszenia poszerzają się i przy T1 sąsiednie piki zaczynają się przekrywać. To prowadzi do efektu ułamkowych wskrzeszeń.

Rys. 16.5 Dynamika modeli Jaynesa-Cummingsa-Paula, reprezentowana przez Q-funkcje pola ( u góry) oraz inwersja obsadzeń atomowych ( poniżej), dla dwóch interwałów czasu. W początkowym stadium (lewe rysunki ) Q-funkcja pola obraca się w przestrzeni fazowej, co prowadzi do periodycznego pojawiania się inwersji. Efekt ten odpowiada klasycznemu periodycznemu ruchowi pakietu falowego dla oscylatora mechanicznego. W języku modeli Jaynesa-Cummingsa-Paula takie periodyczne zachowanie nazywa się wskrzeszeniami. Zauważmy, że w obszarze ułamkowych wskrzeszeń ( prawe rysunki ) w pobliżu t ≅ 1/3 T2 /2 Q-funkcja pola posiada więcej pików i periodyczność inwersji zmienia się.

( Z pracy I. Sh. Averbukh Phys. Rev. A. 1992 V. 46 P. R2205 ) 16.2.2 Eksperymenty związane z efektem kolapsu i wskrzeszeń.

Kończąc niniejszy podrozdział, podkreślimy, że takie charakterystyki jak np. inwersja zostały zmierzone eksperymentalnie, w szczególności efekt kolapsu i pierwszego wskrzeszenia został zaobserwowany dla masera jednoatomowego w

eksperymentach z mikrofalowymi rezonatorami o wysokiej dobroci i pułapkami jonowymi. Efektu ułamkowych wskrzeszeń, póki co w takich układach niestety nie stwierdzono.

Eksperymenty związane z efektem kolapsu i wskrzeszenia jasno wskazują na korpuskularną strukturę pola promieniowania, innymi słowy na to, że liczba fotonów jest dyskretna. W istocie – wskrzeszenie tj. periodycznie

powtarzające się wartości inwersji w krotnościach interwałów czasu wielkości T1, nie mogłyby następować jeśli n nie była by liczbą dyskretną. Z poprzedniej analizy i z analizy dynamiki pakietu falowego przeprowadzonej w rozdziale 9, wynika, że efekt kolapsu pojawia się jak tylko sumowanie po n zamienia się na całkowanie.

Efekt wskrzeszenia pojawia się tylko wtedy, kiedy zachowujemy własność dyskretności, wykorzystując wzór sumacyjny Poissona.

W celu wyjaśnienia tego zagadnienia, omówimy krótko eksperymenty związane z wskrzeszeniem Jaynesa-Cummingsa.

Mierzymy prawdopodobieństwo :

znalezienia atomu w stanie podstawowym, jeśli do chwili oddziaływania był on w stanie wzbudzonym.

W tym przypadku ze wzoru (15.29) otrzymujemy amplitudę prawdopodobieństwa : Ψb,n(t) = –iSn–1 wn–1

która daje :

Maser jednoatomowy. Pierwszy eksperyment sprawdzający powyższą zależność i w szczególności efekt kolapsu i wskrzeszenia został zrealizowany z pomocą jednoatomowego masera. Taki rodzaj masera szczegółowo rozpatrzymy w podrozdziale 18.4. Obecnie skupimy się tylko na cechach charakterystycznych kolapsu i wskrzeszeń pokazanych na rysunku 16.5.

W jednoatomowym maserze wiele atomów przelatuje przez rezonator o wysokiej dobroci, generując stacjonarne jednomodowe pole masera. Statystyka fotonów takiego pola, zadawana funkcją Wn(t), zależy od czasu oddziaływania t każdego atomu. Jeden z atomów, kierowany przez pole masera, można wykorzystywać w charakterze atomu kontrolnego w celu pomiaru pola. W tym celu mierzymy prawdopodobieństwo znalezienia danego atomu w stanie podstawowym po tym, jak oddziaływał on z polem masera. Czas oddziaływania jest również równy t. Dlatego, szukane prawdopodobieństwo ma postać :

Prawdopodobieństwo takie w istocie zawiera sumę oscylacji Rabbiego. A zatem przejawia się w nim efekt kolapsu i wskrzeszeń, pokazanych na rysunkach 16.6 i 16.7.

Jak podkreślaliśmy wcześniej, istnienie efektu wskrzeszenia jasno wskazuje na korpuskularną strukturę promieniowania.

Rys. 16.6 Kolaps prawdopodobieństwa zasiedlenia stanu wzbudzonego w maserze jednoatomowym. Prawdopodobieństwo dla atomu pozostawania w stanie wzbudzonym ( 63p3/2 stan atomu 85Rb )jako funkcja czasu oddziaływania, który określany jest tutaj przez czas przelotu przez rezonator, wchodzi na wartość stacjonarną. Widać tutaj również ostatnią oscylacje Rabbiego pod koniec kolapsu, prowadzącego do stanu stacjonarnego.

Strumień atomów N jest równy M = 2000 [1/s], a temperatura równowagowego promieniowania ciała czarnego jest równa T = 2,5 K

( Z pracy G. Rempe et. All Phys. Rev. Lett. 1987 V.58 P.353 )

Rys. 16.7 Efekt wskrzeszenia zasiedlenia stanu wzbudzonego w jednoatomowym maserze. Po kolapsie i okresie spokoju prawdopodobieństwo znalezienia się atomu w stanie wzbudzonym zostaje wskrzeszone i ponownie oscyluje.

W odróżnieniu od rysunku 16.6 strumień atomów jest zwiększony do wartości N = 3000 [1/s]

( Z pracy G. Rempe et. All Phys. Rev. Lett. 1987 V.58 P.353 )

Eksperymenty rezonansowe z injektowanymi polami mikrofalowymi.

(*Cavity Experiments with Injected Microwaves *)

W przypadku masera dynamika jest znacznie bardziej złożona, niż w modelu Jaynesa-Cummingsa-Paula.

Ta ostatnia opisuje oddziaływania każdego atomu z polem, które zostało przygotowane w identyczny sposób. W szczególności, kiedy zmieniamy czas oddziaływania, atom oddziaływuje z tym samym polem początkowym.

Oprócz tego, statystyka fotonów dla pola do oddziaływania z atomem nie zależy od czasu oddziaływania.

Przeciwnie, w jednoatomowym maserze atomy są wykorzystywane zarówno dla przygotowania pola, jak i dla odczytywania jego dynamiki. Dlatego zmiana czasu oddziaływania prowadzi do zmiany pola stacjonarnego.

Problem ten można obejść, dokonując injekcji z pola zewnątrz. Wyniki takiego podejścia pokazano na rysunku 16.8.

Pole w stanie koherentnym z czterema różnymi amplitudami, zostało tutaj injektowane do rezonatora, a następnie obserwowano jaka przy tym zaistniała dynamika atomu. Lewa kolumna pokazuje prawdopodobieństwo przejścia do stanu podstawowego, jako funkcje czasu oddziaływania. W przypadku (a) pole nie jest injektowane, ale atom doznaje oscylacji Rabbiego, tak jak przewiduje równanie (15.28). W przypadkach (C) i (D) injekcja stanu koherentnego było takie, że szczególnie jasno przejawia się kolaps i początek wskrzeszenia.

Do wyrażenia (16.9) dla prawdopodobieństwa atomu znalezienia się w stanie podstawowym wchodzą czas przelotu i rozkład dla fotonów. W omawianych powyżej eksperymentach obserwowano zależność takiego prawdopodobieństwa od czasu. Dlatego też z pomocą przekształcenia Fouriera możemy wyrazić funkcje rozkładu dla fotonów, poprzez całkę od mierzonych prawdopodobieństw. To pozwala nam znaleźć statystykę fotonów pola.

Środkowa i prawa kolumna z rysunku 16.8 pokazują obliczenia prowadzone we wskazany sposób – odpowiednio

przekształcenia Fouriera i funkcji rozkładu. Zauważmy, że w istocie dla przypadku górnego centrum rozkładu znajduje się w punkcie o zerowej liczbie fotonów, odpowiadającym stanowi próżniowemu, dla dolnego przypadku rozkład ma

maksimum w punktach √n, które odpowiada częstościom Rabbiego. Maksimum wystarczająco dobrze jest zlokalizowane w pobliżu częstości √n. To wskazuje wprost, że pole EM jest skwantowane, ponieważ w grę wchodzą tylko częstości dyskretne.

Rys. 16.8 Obserwowany sygnał nutacji Rabbiego (lewa kolumna), obliczone dla nich obrazy Fouriera

( kolumna środkowa ) oraz statystyka fotonów ( kolumna prawa ). Stan koherentny był injektowany w pierwotnie pusty rezonator mikrofalowy o dużym współczynniku Q. Atom w stanie wzbudzonym przechodzi przez rezonator i oddziaływuje z polem w czasie t. W lewej kolumnie pokazano prawdopodobieństwo znalezienia atomu w stanie podstawowym dla kilku pól o wzrastających amplitudach (A). Pole nie jest injektowane, średnia liczba fotonów termicznych w rezonatorze 0,06 (±0,01) ; (B), (C), (D) odpowiadają polom koherentnym o średnich liczbach fotonów 0,4(±0,02) ; 0.85(±0,04), 1,77(±0,15)

Ruch jonu w pułapce Paula. Kończąc ten podrozdział, należy wspomnieć, że dynamika Jaynesa-Cummingsa-Paula została zaobserwowana również dla pojedynczego jonu, który poruszał się w pułapce Paula i oddziaływał z klasycznym polem świetlnym. Bardziej szczegółowo sytuację taką rozpatrywać będziemy w następnym podrozdziale.

Obecnie wystarczającym będzie powiedzieć, że kwantowe poziomy energetyczne ruchu środka bezwładności jonu w pułapce (fonony) odgrywają rolę stanów o zadanej liczbie fotonów.

Rys. 16.9 Efekt kolapsu i wskrzeszenia dla wewnętrznej dynamiki jonu, znajdującego się w pułapce Paula. Pojedynczy jon, wykonujący kwantowo-mechaniczny ruch w potencjale oscylatora harmonicznego i oddziałujący z polem klasycznym stojącej fali świetlnej, może być opisany ( jak to pokażemy w podrozdziale 17.4) w ramach modelu

Jaynesa-Cummingsa-Paula. W podanym przypadku energetyczne stany własne potencjału oscylacyjnego (fonony) odgrywają rolę stanów fotonowych. Stan początkowy ruchu środka bezwładności jest stanem koherentnym o średniej liczbie fononów n– = 3,1 ± 0,1. Wewnętrzna dynamika wyraźnie przejawia efekt kolapsu oscylacji Rabbiego i ich wskrzeszenia. Na rysunku wstawkowym pokazano wkłady do obserwowanego wyniku zasiedlenia stanów o określonej liczbie fononów, które dobrze odpowiadają rozkładowi Poissona o średniej liczbie n– = 2,9 ± 0,1.

Z pracy D. M. Meekhof et all Phys. Rev. Lett 1996 V. 76, P. 1796