Rozdział 19 Optyka atomowa w skwantowanych polach świetlnych
19.4 Odchylenie atomów
W niniejszym podrozdziale rozpatrujemy odchylenie atomu, tj. proces przekazu pędu od pola do atomu. W szczególności przeanalizujemy rozpraszanie w przybliżeniu Ramanna- Natha. W takim reżimie oddziaływanie z polem nie prowadzi do znacznego przesunięcia atomu, ale zmienia jego pęd.
19.4.1 Schematy pomiarowe i warunki rozpraszania.
Aby obliczyć przekazywany pęd, zapiszemy wektor stanu | Ψ >, znaleziony w poprzednim podrozdziale, w reprezentacji pędowej. W tym celu wykorzystamy zbiór zupełny stanów własnych | p’ > pędu, co pozwoli otrzymać :
Ten wektor stanu | Ψ > pełnego układu pozwala odpowiedzieć na pytanie, związane z rozkładem pędów rozpraszanych atomów, szczególnie w sytuacji, kiedy interesuje nas wynik zgodnego pomiaru dla ruchu poprzecznego i skwantowanego pola rezonatora.
Pomiary zgodne. Przy takim postawieniu zagadnienia atom przechodzi przez pole rezonatorowe, przygotowane w zadanym stanie | ψpole >, oddziałując z nim i w wyniku tego zostaje odchylony. Po tym jak atom pokonuje rezonator, rejestrujemy stan pola i mierzymy pęd atomu. Następnie ponownie przygotowujemy stan całkowitego układu atom –pole i powtarzamy cały eksperyment. Mechanika kwantowa może przewidzieć rozkład prawdopodobieństwa pomiarów zgodnych pędu i pola.
Pomiary zgodne dla układów splątanych omawialiśmy w podrozdziale 16.1. W szczególności interesowaliśmy się pomiarami zgodnymi dla wewnętrznych stanów atomu i stanów pola rezonatorowego. Mówiąc o optyce atomowej, należy rozpatrywać również ruch środka masy. Uwzględnienie i tego stopnia swobody realizuje się poprzez bezpośrednie uogólnienie metod, wypracowanych w podrozdziale 16.1. Należy więc obliczyć prawdopodobieństwo :
znalezienia wartości pędu p przy warunku, że pole znajduje się w stanie bazowym :
Chodzi tutaj o sytuacje, kiedy stany wewnętrzne | j > = | a > , | b > atomu nie są rejestrowane i dlatego po nich obliczany jest ślad.
Podstawiając do wyrażenia dla W stan bazowy w reprezentacji Foka, otrzymujemy :
W pełnej analogii z wyrażeniem dla zgodnego atomowo- polowego pomiaru, w danym przypadku pomiaru zgodnego ruchu atomu i pola na początku następuje sumowanie wszystkich amplitud prawdopodobieństwa, a następnie brany jest kwadrat modułu otrzymanego wyrażenia. Zatem, omawiany rozkład prawdopodobieństwa określony jest przez sumę koherentnych składowych tj. zależy od interferencji wielu amplitud prawdopodobieństwa.
Jeśli będziemy wykorzystywali ścisłe wyrażenie (19.22), to rozkład prawdopodobieństwa przyjmuje postać :
Zamieniliśmy tutaj indeks sumowania i wykorzystaliśmy to, że s0(p) ≡ 0 jak to wynika ze wzoru (19.23b).
Zatem, stany wewnętrzne dają wkłady niekoherentne. Przeciwnie do tego, stany polowe, reprezentowane przez amplitudy ψ*n i wn dają wkłady koherentne.
Pomiary uśrednione. Teraz rozpatrzymy zupełnie inny eksperyment. Atom przechodzi przez rezonator, a my mierzymy tylko pęd atomu. Pomiar pola po oddziaływaniu z atomem nie interesuje nas teraz. W tym przypadku należy obliczyć ślad po stanach pola rezonatorowego. Jeśli dla obliczenia śladu będziemy wykorzystywali stany z zadaną liczbą fotonów, to wynikowe prawdopodobieństwo będzie miało postać :
Teraz, w odróżnieniu od (19.24) na początku bierzemy kwadrat modułu, a potem następuje sumowanie. Dlatego też wynikowy rozkład prawdopodobieństwa jest sumą składowych niekoherentnych, a dokładniej suma prawdopodobieństw.
Podstawiając ścisłą reprezentacje (19.22) wektora stanu do zapisanego powyżej wyrażenia dla uśrednionego rozkładu pędów, otrzymujemy :
Jeśli przesuniemy indeks sumowanie w drugiej sumie i uwzględnimy to, że s0(p) = 0, to oba człony można połączyć, co pozwala otrzymać :
Tutaj sumujemy tylko prawdopodobieństwa.
Reżimy rozpraszania. Jednym z warunków początkowych procesu rozpraszania jest amplituda prawdopodobieństwa f(x) poprzecznej współrzędnej atomu. Zgodnie z (19.23)amplitudy prawdopodobieństw cn i s0n znalezienia pędu p są
przekształceniami Fouriera iloczynu początkowej amplitudy przestrzennej f(x) i funkcji trygonometrycznych funkcji modowej sin(kx) pola EM. Dlatego też należy rozróżnić dwa przypadki charakterystyczne dla takich całek Fouriera : 1) początkowy rozkład przestrzenny | f(x) |2 atomów jest szeroki w porównaniu z okresem fali stojącej , albo 2) taki rozkład jest wąski.
W pierwszym przypadku, który zazwyczaj nazywa się reżimem Kapicy – Diraca, możemy przyjąć, że rozkład atomów a z nim i funkcja f, jest w istocie stały. Wtedy otrzymane całki dla cn i sn jak pokazano w dodatku P, są funkcjami Bessela.
Oprócz tego, periodyczność fali stojącej następuje z dyskretnymi wartościami przekazywanego pędu.
Przypadek przeciwny, kiedy rozkład początkowy po współrzędnej jest wąski w porównaniu z okresem fali EM, nazywa się reżimem Sterna- Gerlacha. Ponieważ rozkład jest wąski, to można zlinearyzować funkcje modową pola w pobliżu
maksimum funkcji f(x). Dlatego atom czuje tylko gradient funkcji modowej. Pędy są dyskretne, tj. odchylenie atomu następuje tylko o kąty dyskretne. Jednakże teraz taka dyskretność związana jest z dyskretną naturą pola EM.
W niniejszym podrozdziale skupimy się na reżimie Kapicy –Diraca, a w następnym podrozdziale przeanalizujemy reżim Sterna- Gerlacha.
19.4.2 Reżim Kapicy –Diraca.
Rozpatrzmy przypadek, kiedy początkowy rozkład przestrzenny atomów o szerokości L pokrywa N okresów λ fali stojącej.
Dla uproszczenia przyjmiemy, że rozkład jest stały, tj. :
| f(x) |2 = 1/L = 1/Nλ
W tym przypadku funkcje cn i sn można obliczyć ściśle. Oprócz tego, możemy obliczyć końcowe rozkłady pędowe.
Amplitudy prawdopodobieństw dla pędów. Rozpoczniemy od wielkości cn która teraz ma postać :
Wprowadzając nową zmienną całkowania ϑ = kx, znajdujemy :
gdzie wykorzystano zależność kL = 2πN. Teraz podzielimy obszar całkowania na N okresów, tj. :
i przesuniemy granice całkowania z pomocą nowej zmiennej ϑ– ≡ ϑ – 2πν, co pozwoli otrzymać :
Zauważmy, że sumowanie po ν nie zależy od zmiennej całkowania ϑ– i możemy wynieść funkcje eksponencjalną : Exp( –2πip/hkν ) poza znak całki, w wyniku tego otrzymujemy :
gdzie wprowadzono funkcje :
Kwantowanie pędu. Zauważmy, że funkcja δN(1/2)(ξ) jest periodyczna i posiada maksima przy całkowitych ξ.
W tych punktach wszystkie fazy są całkowitymi krotnościami 2π i każdy człon sumy jest równy 1, tak że funkcja δN(1/2) okazuje się być równa √N. Zatem, przy N → ∞ maksymalna wartość funkcji δN(1/2) dąży do ∞.
Dla całkowitych ξ oddzielne człony sumy kompensują się wzajemnie.
Przy takim zachowaniu możemy założyć, że funkcja δN(1/2) działa jak „grzebień” złożony z δ-funkcji przy całkowitych wartościach ξ. W dodatku P, pokazano jednakże, że tylko kwadrat δN(1/2) działa jako taki grzebień. Ponieważ
argumentem funkcji δN(1/2) jest wielkość p/hk, to pęd atomu może przyjmować wartości będące całkowitą krotnością pędu hk.
Zatem, ujawniliśmy skwantowanie pędu atomu w postaci całkowitych krotności wartości pędu fotonu. Taki związek z pędem pola świetlnego, jednakże może wprowadzać nieco kłopotu. Dane kwantowanie wynika nie z kwantowej natury pola promieniowania. Powodowane jest ono periodycznością potencjału, a ściślej periodycznością funkcji modowej pola EM.
Ponieważ interesuje nas rozkład po pędach, tj. prawdopodobieństwo, to funkcja δN(1/2) wchodzi tylko w postaci swojego kwadratu. To gwarantuje nam, że wielkość p/hk będzie przyjmowała wartości całkowite. Dlatego, jak pokazano w dodatku P, pozostała całka daje nam funkcje Bessela Jp(κ√n). W wyniku tego otrzymujemy :
i analogicznie :
Widzimy, ze amplituda prawdopodobieństwa cn(p) jest różna od zera tylko dla parzystych krotności hk.
Amplituda sn(p) ma niezerowe wartości dla nieparzystych krotności hk. Przypominamy, że amplitudy cn(p) i sn(p) związane są z atomem, który wchodzi do rezonatora, będąc w stanie podstawowym, a pokonuje go znajdując się odpowiednio w stanie podstawowym lub wzbudzonym. Dlatego, aby pokonać rezonator w stanie podstawowym, atom powinien doznać parzystą liczbę cykli Rabbiego i tym samym, wymienić parzystą liczbę pędów fotonowych.
Dokładnie tak samo atom pokonujący rezonator w stanie wzbudzonym musi doznać nieparzystej liczby aktów wymiany pędu, tak aby wykonać przejście z początkowego stanu podstawowego. Na tym właśnie polega jeszcze jeden przejaw splątania zmiennych polowych z pędem atomu.
Rozkład po pędach. Teraz otrzymamy ścisłe wyrażenia dla rozkładów po pędach, które sformułowaliśmy w poprzednim podrozdziale. Rozpoczniemy od uśrednionego rozkładu pędów (19.26). Wkłady pochodzące od atomów, pokonujących rezonator w stanie podstawowym lub wzbudzonym i którym odpowiadają prawdopodobieństwa | cn(p) |2 i | sn(p) |2 można połączyć, jeśli uwzględnimy to, ze zgodnie z wzorami (19.27) dla cn i sn pierwsza suma zawiera tylko parzyste krotności hk, a drugi wkład zawiera tylko krotności nieparzyste. Co zaś tyczy prawdopodobieństwa, to w obu przypadkach jest ono zadane funkcją Bessela. Zatem, otrzymujemy wyrażenie o postaci :
gdzie wprowadziliśmy rozkład po bezwymiarowych dyskretnych pędach :
w przypadku pola rezonansowego w stanie | ψpole > ze statystyką fotonów, zadaną przez współczynniki Wm ≡ | wm |2
Oprócz tego, kwadrat funkcji δN(1/2) zamieniono na „grzebieniową” δ-funkcje przy całkowitych krotnościach hk.
Zauważmy, że do takiego uśrednionego rozkładu pędowego W℘ wchodzą nie amplitudy prawdopodobieństw wm, a tylko funkcja rozkładu fotonów pola rezonatorowego, tj. statystyka fotonów.
Na rysunkach 19.3, 19.4 i 19.5 pokazano uśrednione rozkłady pędowe, które otrzymano dla stanów polowych rezonatora, odpowiednio : Foka, koherentnego i silnie ściśniętego.
Aby ułatwić ich porównanie i tym samym wyraźnie uwypuklić wpływ statystyki fotonów na rozkład pędowy, we wszystkich tych przypadkach średnia liczbą fotonów jest taka sama m– = 9. Oprócz tego pokazano funkcje rozkładu dla fotonów w jednostkach (℘/κ )2.
W pierwszej kolejności należy zauważyć, ze wszystkie trzy rozkłady pędów są różne. W przypadku stanu Foka widoczne są oscylacje i dominujące maksimum przy ℘ = κ √ m–
Takie oscylacje bardzo przypominają oscylacje Francka- Condona, które omawialiśmy w rozdziale 7.
I rzeczywiście w podrozdziale 19.5 pokażemy, że w obu tych przypadkach przyczyną oscylacji jest interferencja w przestrzeni fazowej. Dla stanów – koherentnego i ściśniętego oscylacje w obszarze małych pędów w wyniku uśrednienie znikają, jednakże podstawowe maksimum w punkcie p = κ √ m– pozostaje. Widzimy również, że statystyka oscylacyjna fotonów w przypadku stanu ściśniętego prowadzi do zaniku prawego zbocza maksimum.
Rys. 19.3 Pędowy rozkład atomów, rozpraszanych przez jeden mod pola rezonatorowego, znajdującego się w stanie Foka
| m > z m = 9, dla parametru oddziaływania κ = 10. Rozkład ten posiada dominujący pik w punkcie ℘ ≡ p/hk = κ √ m–
i szybko zanika w obszarze pędów, przewyższających tą wartość krytyczną. Dla mniejszych pędów funkcja rozkładu ma charakter oscylacyjny. Takie oscylacje związane są z kwantową interferencją stanów ruchu postępowego. Obwiednie otrzymujemy z klasycznego przekroju rozpraszania.
Rys. 19.4 Wpływ rozkładu fotonów pola rezonatorowego na rozkład pędowy rozpraszanych atomów. Pole znajduje się w stanie koherentnym | α > ze średnią liczbą fotonów m– = α2 = 9. Rozkład poissonowski dla fotonów ( linia przerywana ) prowadzi do płynnego rozkładu pędów. Maksimum Wm określa maksymalną wartość W℘ Prawy brzeg rozkładu Wm zadaje również prawy brzeg funkcji W℘.
Zjawiska powyższe staną się jasne, jeśli wykorzystamy rozkład asymptotyczny :
J℘(z) ≅ { 0 dla | ℘ | > z (19.29)
{ A℘(z) cos(φ℘(z)) dla | ℘ | < z
funkcji Bessela, podane w dodatku P. Dla wygody wprowadzono tutaj oznaczenia dla amplitudy : A℘(z) ≡ sqrt(2/π) ( z2 – ℘2 )– ¼
i fazy :
φ℘(z) ≡ sqrt( z2 – ℘2 ) – ℘ arccos(℘/z) – ¼ π
Przedłużenie analityczne takiego wyrażenia w obszar | ℘ | > z prowadzi do ekspotencjalnego zaniku.
Dlatego też taki obszar ten wnosi mały wkład w rozkład pędów i można przyjąć, że J℘(z) = 0 przy ℘ > z.
Wyrażenie (19.29) jest naszym głównym instrumentem, aby zorientować się w zachowaniu rozkładu pędów W℘ zadanego sumą (19.28) funkcji Bessela i wyróżnić dwie składowe takiego rozkładu. Podstawiając (19.29) do wyrażenia (19.28) dla rozkładu po pędach i wykorzystując równość trygonometryczną :
cos2(α) = ( 1 + cos(2α)/2
– generowany jest przez wolnozmienne czynniki A℘(κ√m ) w rozkładzie asymptotycznym funkcji Bessela, a cześć szybka :
∞
W℘(szybki) = (1/πκ)
Σ
{ Wm / sqrt[ m – (℘/κ)2 ] } cos[ 2φ℘(κ√m )]m=m’
związana jest z kosinusem w takim rozkładzie.
Rys. 19.5 Statystyka fotonów ściśniętego stanu przesuniętego i jej odczyt z pomocą rozkładu pędowego odchylonych atomów. Rozkład fotonów (krzywa dolna) mierzony jest w jednostkach (℘/κ )2 Krzywa W℘ [ | ϕ = 0 >, | ψsq > ] odpowiada pomiarowi zgodnemu pędu atomu i fazy pola, a rozkład W℘[ | ψsq >] ignoruje fazę pola.
Krzywa górna W℘(mask) pokazuje rozkład pędowy atomów, wydzielonych z użyciem ekranu o szczelinach d = λ/10, które umiejscowione są naprzeciw węzłów fali stojącej. Procedura zgodnego pomiaru daje adekwatny odczyt, podczas gdy wyniki ignorujące fazę pola prowadzą do mniej efektywnego odtworzenia statystyki, jak również do dodatkowych
szybkich oscylacji. Wybrano tutaj parametr ściśnięcia s = 50 i parametr przesunięcia α = 10.
Wykorzystano tutaj również przybliżenie J℘(z) = 0 przy ℘ > z. Dlatego też wartość początkowa indeksu sumowania w miejsce zera jest równa m’ ≡ [ (℘/κ )2 ]. Symbolem [z] oznaczono największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą z.
Zamieniając w wolnej części sumowanie na całkowanie, widzimy że rozkład po pędach : ∞
W℘(płynny) = (1/πκ)
∫
dm Wm / sqrt[ m – (℘/κ)2 ] m’jest wynikiem uśrednienia statystyki fotonów z funkcją wagową : A~m = { 0 dla m < (℘/κ)2
{ [ πκ sqrt[ m – (℘/κ)2 ]–1 dla m > (℘/κ)2 która określona jest przez amplitudę funkcji Bessela.
Taka funkcja wagowa daje podstawowy wkład w punkcie m = (℘/κ)2, jednakże w wyniku zależności pierwiastkowej ma ona szerokie skrzydło. Zatem, rozkład pędowy niesie informacje o statystyce fotonów pola rezonatorowego. Nie jest to jednakże dobre urządzenie odczytujące, ponieważ statystyka fotonów jest uśredniana po szerokim skrzydle rozkładu.
W pierwszej kolejności należy rozpatrzyć osobliwości odpowiadające małym liczbom fotonów.
Na zakończenie niniejszego podrozdziału pokażemy, że z pomocą nowej zmiennej całkowania y = sqrt[ m – (℘/κ)2 ] płynną część rozkładu można przedstawić w zwartej postaci :
∞
W℘(płynny) ≡ (2/πκ)
∫
dy Wm = y2 + (℘/κ )2 0Jeśli chodzi o bardziej szczegółową analizę części płynnej, to odsyłamy do zadania 19.1.
Pomiary zgodne. Teraz omówimy przypadek pomiaru zgodnego pędu atomu i pola. Podstawiając ścisłe wzory (19.27) dla sn i cn do wyrażenia dla rozkładu pędowego (19.25) otrzymujemy :
∞ W( p, | ψ~
pole > ) = (1/πκ)
Σ
δ( p – ℘hk ) W℘[ | ψ~pole > , | ψpole > ] (19.30) ℘=–∞
gdzie wprowadzono bezwymiarowy rozkład pędów dyskretnych : ∞
W℘[ | ψ~
pole > , | ψpole > ] ≡ |
Σ
ψ~*m wm [ | ψpole > ] J℘(κ √m ) | (19.31) m=0Z tego wyrażenia z większą jasnością, niż z porównania uśrednionych rozkładów pędowych W℘i W( ℘ | ψ~
pole > ), widać moc efektu splątania. W rozkładach uśrednionych sumowane są kwadraty funkcji Bessela. W rozkładzie zgodnym na początku sumowane są funkcje Bessela, a potem brany jest kwadrat modułu wyniku. Ponieważ funkcje Bessela oscylują, to przy ich sumowaniu może następować kompensacja wkładów dodatnich i ujemnych. W rozkładach uśrednionych takie skrócenie nie następuje, ponieważ wchodzą tutaj tylko kwadraty funkcji Bessela.
Z rozkładu asymptotycznego (19.29) funkcji Bessela wynika, że dominujące maksimum znajduje się tam, gdzie indeks sumowania jest równy argumentowi.. Jeśli założymy, że iloczyn ψ~*m wm słabo zmienia się na skali charakterystycznej oscylacji funkcji Bessela, to podstawowy wkład do sumy daje składowa z ℘ = κ√m, tj. m = (℘/κ )2
To prowadzi do następującego przybliżonego wyrażenia : W(℘) ≅ N Wm =(℘/κ)2
gdzie N – oznacza pewną stałą normującą.
Wyrażenie to pokazuje, że w danym przypadku zgodny rozkład pędowy dokładnie odpowiada statystyce fotonów pola rezonatora. Na tym właśnie polega istotna różnica od przypadku uśrednionego rozkładu pędowego, kiedy należało uśrednić rozkład fotonów z funkcją wagową A~℘.
Zilustrujmy to na przykładzie, kiedy stanem początkowym pola rezonatorowego jest stan silnie ściśnięty, a stan fazowy : ∞
W tym przypadku rzeczywiście otrzymujemy iż rozkład pędowy dokładnie odpowiada oscylacjom rozkładu fotonów, tj.
statystyce pola.
W tym sensie interesującym jest zrozumieć, dlaczego istnieje taki bliski związek pomiędzy takimi dwoma rozkładami.
Zauważmy, że nie będzie on miał miejsca, jeśli stanem bazowym jest jeden stan o określonej liczbie fotonów lub, jeśli taki stan jest wykorzystywany w charakterze stanu początkowego. W takiej sytuacji sumowanie po stanach Foka | m >
sprowadza się do jednego członu, tak że nie następuje żadne skrócenie wynikające z oscylacyjnego zachowania funkcji Bessela. Jest całkiem jasne, ze potrzebujemy stanu wejściowego i bazowego z wystarczająco szerokimi rozkładami dla liczby fotonów. Taki warunek jest spełniony dla stanu ściśniętego i fazowego stanu pola.
Istnieje proste wytłumaczenie takiej możliwości ścisłego przeliczania statystyki fotonów z pomocą statystyki pędów.
Ponieważ dokonujemy pomiaru zgodnego, to z naszego ansamblu wyłączane są w pełni określone atomy. Wybrany przez nas stan ściśnięty ma rozkład fazowy, zlokalizowany w pobliżu 0. Stan fazowy odpowiada ϕ = 0. Dlatego też pomiar zgodny odrzuca atomy, które nie zmieniają fazy pola. Są to właśnie te atomy, które pokonują rezonator w węzłach fali stojącej, gdzie pole elektryczne nie występuje. Jednakże w takich węzłach gradient pola nie jest równy zero. Zatem, atomy nabierają pędu. Wielkość gradientu , a zatem i przekazywany pęd zależna jest od liczby fotonów. Ponieważ liczby fotonów są dyskretne, to i dyskretnym jest przekazywany pęd. Oprócz tego, prawdopodobieństwo odchylenia o zadany kąt określa prawdopodobieństwo znalezienia odpowiedniego gradientu pola elektrycznego tj. prawdopodobieństwa znalezienia odpowiedniej liczby fotonów. Zatem, istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna pomiędzy rozkładem po pędach i po liczbie fotonów.
19.4.3 Efekt Kapicy- Diraca z maską.
W poprzednim podrozdziale ustaliliśmy, że rozkład pędowy pozwala określić statystykę fotonów pola EM w rezonatorze.
Pokazaliśmy, iż w szczególności pomiar zgodny, który wybiera tylko atomy, przechodzące przez węzły pola
rezonatorowego, zapewnia efektywne przeliczanie statystyki. Pojawia się zatem idea zamienienia procedury pomiaru zgodnego prostą maską z wąskimi szczelinami w pobliżu węzłów pola. Takie szczeliny powinny być umiejscowione periodycznie tj. ich wzajemna odległość powinna wynosić ½ λ fali stojącej i powinny być węższe niż ½ λ.
Jednakże z pomocą odpowiedniego wyboru przejścia atomowego wraz z dodatkowym polem świetlnym można wygenerować atomowe pakiety falowe z skalą przestrzenną rzędu optycznej długości fali. Po dalsze szczegóły takich eksperymentów odsyłamy do odpowiedniej literatury.
Forma pakietu falowego. Rozpatrzmy atomową falę de Broglie’a :
która przedstawia sobą koherentną superpozycje N gaussowskich pakietów falowych :
zlinearyzowanych wokół węzłów pola i posiadających szerokość d << ½ λ. Tak wąskie funkcje gaussowskie nie przekrywają się wzajemnie i dlatego normalizacja :
prowadzi do współczynnika 1/√N w definicji f(x).
Gaussowskiemu pakietowi falowemu g(x) w reprezentacji współrzędnościowej odpowiada również gaussowski pakiet falowy :
o szerokości ∆p = h/d w przestrzeni pędów.
Amplitudy prawdopodobieństwa dla atomów w stanie podstawowym. Podstawimy teraz wyrażenie f(x) dla fali de Broglie’a do definicji (19.23) amplitud cn(p) i sn(p) i wykonamy odpowiednie całkowanie. Rozpoczniemy od amplitudy cn(p) i przechodząc do zmiennej całkowania :
x– ≡ x – ½ νλ
otrzymamy następujące wyrażenie :
lub
Wykorzystamy teraz fakt, że szerokość szczeliny jest znacznie mniejsza od okresu pola, tj. dk = 2πd/λ << 1.
To pozwoli nam zlinearyzować sinus i obliczyć pozostałe całki gaussowskie z pomocą zależności :
co pozwala otrzymać :
Dokonując całkowania dla reprezentacji pędowej g~(p) pakietu falowego, znajdujemy :
W pierwszej kolejności należy zauważyć, że okres siatki λ/2 w miejsce λ - jak było to w pierwszym przypadku – prowadzi do dyskretnych wartości pędów, które są całkowitymi krotnościami 2hk, a nie hk. Oprócz tego, początkowy rozkład pędowy g~ przesunięty jest o wielkość pędu ± κ√n hk. Zatem, każdy stan fokowski pola rezonatora przekazuje właśnie taki pęd. Jeśli szerokość początkowego rozkładu pędu ∆p jest mniejsza niż różnica przesunięć pędów :
generowanych przez sąsiednie stany fokowskie, to dyskretność takich stanów przejawia się w dyskretnych pikach rozkładu pędowego odchylonych atomów.
Amplitudy prawdopodobieństw dla atomów w stanie wzbudzonym. Teraz przejdziemy do obliczenia sn(p). Jest ono całkowicie analogiczne do obliczenia amplitudy cn(p). Jest jednakże pewna niewielka, ale istotna różnica. Stanowi ona powód dla którego podajemy niniejszą analizę.
Podstawiając fale de Broglie’a f(x) do definicji sn(p), otrzymujemy :
Uwzględniając, że sin(–α) = – sin(α), otrzymujemy :
Zauważmy dalej, że nieparzystość sinusa wraz z wielkością okresu ½ λ dają dodatkowy człon w sumie po ν. To prowadzi do nieparzystych krotności hk wartości pędu. W istocie z uwzględnieniem definicji funkcji δN(1/2) zapisany powyżej wzór przyjmuje postać :
gdzie funkcja modowa jest już zlinearyzowana.
Obliczając pozostałe całki Gaussa, otrzymujemy :