Rozdział 18 Tłumienia i wzmocnienie
18.5 Oddziaływanie atomu z rezerwuarem
Teraz odwrócimy tą sytuację, którą omawialiśmy w podrozdziale 18.3. Podczas, gdy w tamtym przypadku mod polowy odgrywał rolę interesującego nas układu, a rezerwuar składał się z dwupoziomowych atomów, teraz układem jest pojedynczy dwupoziomowy atom, a rezerwuar składa się z nieskończonej liczby modów pola. Oddziaływanie atomu z rezerwuarem prowadzi do spontanicznej emisji atomów, jak również do przesunięcia poziomów. W odróżnieniu od przykładów, omawianych wcześniej, teraz chcemy otrzymać równanie ruchu dla macierzy gęstości atomu, a nie pola.
18.5.1 Model i równanie ruchu.
Rozpatrzmy hamiltonian o postaci :
H^ ≡ H^ат + H^п + H^вз (18.46)
Całkowitego układu, który zawiera hamiltonian :
H^ат ≡ ½ hωσ^z (18.47)
swobodnego atomu i hamiltonian : H^п ≡
Σ
hΩł a^†ł a^ł ł
- odpowiadający modom polowym o częstości Ωł , jak również operator oddziaływania : H^вз ≡
Σ
hgł ( σ^a^†ł – σ^†a^ł )ł gdzie :
gł(R ) ≡ (℘ • uł(R) /h ) Єł (18.48)
oznacza amplitudę oddziaływania atomu, znajdującego się w punkcie R z ł-tym modem.
Mając na uwadze optykę atomową, której omówieniu poświęcamy rozdział 19, powinniśmy uwzględnić ruch atomu, a zatem wielkość R będzie operatorem. W takiej sytuacji amplituda oddziaływania gł(R ) również staje się operatorem.
Oprócz tego, atomowa macierz gęstości będzie zawierała nie tylko wewnętrzne stopnie swobody, ale również współrzędną atomu. Dlatego należy uwzględnić porządek umiejscowienia operatora gł(R ) i macierzy gęstości atomu. Jednakże w niniejszym rozdziale zaniedbujemy ruch atomu i R jest po prostu pewnym parametrem.
Ponieważ formalne wyrażenie (18.3) dla macierzy gęstości ρ^s układu zapisano w reprezentacji oddziaływania, to przejdziemy do tej właśnie reprezentacji dla hamiltonianu H^ (18.46) i w pełnej analogii z wynikami podrozdziału 14.8 otrzymamy wyrażenie :
gdzie ∆ł ≡ Ωł – ω - oznacza odstrojenie ł-tego modu pola od częstości atomowej.
Oprócz tego, dla uproszczenia oznaczeń wprowadziliśmy wielomodowy operator polowy : A(t) ≡ (1/g– )
Σ
gł a^ł exp( –i∆łt )ł
gdzie stała g– ma wymiar częstości.
Jej wartość jest dowolna, ponieważ jest ona wprowadzona tylko po to, aby sprowadzić hamiltonian oddziaływania do
W odróżnieniu od przykładów, rozpatrzonych w podrozdziałach 18.3 i 18.4 teraz hamiltonian oddziaływania jawnie zależy od czasu i należy odwołać się do metody przybliżonej. Zgodnie z (18.5) wielkoskalowe równanie ruchu dla macierzy gęstości ρ^ат atomu, włączając człony aż do drugiego rzędu po oddziaływaniu, ma postać:
gdzie V^n ≡ V^(tn ) , ρ^ - macierze gęstości atomu i pola.
Teraz obliczymy standardowy i podwójny komutator pomiędzy V^n i ρ^ oraz ślad po stanach polowych.
Ponieważ procedura obliczeniowa jest zawiła i długa, rozpatrzymy tylko człon pierwszego rzędu, zawierający standardowy komutator, po to tylko aby zilustrować metodę, a człon drugiego rzędu z podwójnym komutatorem omówimy w dodatku O.
18.5.2 Wkład pierwszego rzędu.
W niniejszym podrozdziale obliczymy wkład członu pierwszego rzędu do równania dla macierzy gęstości. W tym celu znajdziemy komutator V i ρ^ i dokonamy odpowiedniego uśrednienia po czasie.
Równanie ruchu. Rozpoczniemy od obliczenia wkładu ρ^ат(1) związanego z komutatorem :
macierzy gęstości ρ^ i wielomodowych operatorów A^1 i A^†
1 który daje :
Przedstawiliśmy tutaj macierz gęstości ρ^ w postaci iloczynu prostego macierzy gęstości atomu (ат ) i pola (п ) tj. : ρ^ = ρ^ат ⊗ρ^п
i wykorzystaliśmy ten fakt, że operatory polowe A^1 i A^†
1 komutują z wielkościami atomowymi ρ^ат , σ^ i σ^†.
Oprócz tego, uwzględniliśmy możliwość zamiany miejscami A^1 lub A^†
1 z ρ^п przy obliczani śladu, ponieważ : Tr ( A^ • B^ ) = Tr ( B^ • A^ )
Okoliczność ta pozwoliła połączyć parami składowe komutatora.
Zatem, w pierwszym rzędzie otrzymujemy następujące równanie ruchu :
dla macierzy gęstości ρ^ат , gdzie :
oznacza częstość Rabbiego.
Efektywna częstość Rabbiego. Wielkość g(t) określona jest jako wynik uśrednienia po czasie nadziei matematycznej tj.
wartości średniej po stanie rezerwuaru, operatora anihilacji A^1 dla pola rezerwuaru. Uśrednienie po czasie następuje po odcinku czasowym τ czasu oddziaływania i zawiera czynnik fazowy, zależny zarówno od odstrojenia ∆ł częstości ł-tej mody rezerwuaru od przejścia atomowego, jak i od τ. Teraz pokażemy, że mimo wskazanego uśrednienia, wielkość g zależna jest od czasu.
Średnia po stanie rezerwuaru zawiera macierz gęstości ρ^п wielomodowego pola. Jeśli mody nie znajdują się w stanie wzajemnie splątanym, to ρ^п jest iloczynem prostym :
ρ^п ≡
Π
ρ^m nmacierzy gęstości ρ^m oddzielnych modów. Wtedy przy obliczani śladu otrzymujemy :
tj. :
Tr ( a^łρ^п ) = Tr ( a^łρ^ł )
Gdzie w ostatnim kroku wykorzystano warunek Tr (ρ^ł ) = 1 Zatem, efektywna częstość Rabbiego ma postać:
gdzie dokonano całkowania po zmiennej t1 z pomocą zależności :
i wprowadzono parametr ϑł ≡ ½ ∆łτ.
Przybliżenie rezonansowe. Wyrażenie (18.52) dla g jasno pokazuje, że wkład do wielkości g dają tylko te mody rezerwuaru, dla których wartość średnia operatora anihilacji nie jest równa zero. Ważne jest również odstrojenie
∆ł takich modów od rezonatorowej częstości atomowej. Wyrażenie (18.48) zawiera funkcje : S(ϑ ) ≡ sin(ϑ)/ ϑ
z dominującym maksimum przy ϑ = 0. Dlatego przy sumowaniu po modach w wyrażeniu (18.52) funkcja S wybiera tylko te mody rezonansowe, dla których ∆łτ/2 << 1. W tym sensie funkcja S działa jak δ-funkcja.
W wyniku tego otrzymujemy : g(t) ≅ g0 exp( –i∆0t ) Tr( a^0ρ^0 )
gdzie moda rezonansowa zaznaczona jest indeksem 0.
18.5.3 Równania Blocha.
Teraz omówimy dynamikę, która wynika z równania ruchu (18.50). W tym celu na początku, przechodząc do elementów macierzowych, zapiszemy dane równanie operatorowe w postaci c-liczbowego równania, które następnie zwiążemy z ruchem punktu na sferze.
Równania dla elementów macierzowych. Z (18.50) znajdujemy następujące równania :
Jeśli przypomnimy sobie zależności :
to zapisany powyżej układ równań przyjmie postać :
Ponieważ macierz gęstości jest hermitowska, to elementy diagonalne ρaa i ρbb są rzeczywiste, a ρab = ρ*ba.
Dlatego czwarte równanie jest po prostu sprzężeniem zespolonym równania trzeciego.
Inwersja i polaryzacja. Równania (18.54) opisują dynamikę dwupoziomowego atomu w rezerwuarze modów polowych.
Te, tzw. równania Blocha, leżą u podstaw półklasycznej teorii lasera. Dlatego teraz krótko przeanalizujemy je.
Dodając pierwsze dwa równania, otrzymujemy : ρaa• + ρbb• = 0
tj. prawdopodobieństwo ρaa + ρbb = 1 – jest zachowane.
Teraz przepiszemy równania (18.54) w nieco innej formie. W tym celu wprowadzimy inwersje : w = ρaa – ρbb
tj. różnicę zasiedleń stanów wzbudzonego i podstawowego, jak również podwojone części : - rzeczywistą :
u ≡ ρab + ρba = ρab + ρ*ab = 2 Re ρab - urojoną :
v ≡ i (ρab – ρba ) = i (ρab – ρ*ab ) = –2 Im ρab elementu macierzowego ρab.
W takich oznaczeniach równania Blocha przyjmują postać :
Sfera Blocha. Jeśli wprowadzimy trójskładnikowe wektory :
S = ( u, v, w ) , B = ( 2gr , –2gi , 0 ) to równania Blocha przyjmą postać : d/dt S = B × S
Postać ta jest znana z równania precesji wektora momentu pędu S w polu magnetycznym.
Zatem, dynamika dwupoziomowego atomu w przypadku obecności pola jest identyczna z zachowaniem spinu w polu magnetycznym. Ponieważ problem ten był szeroko omawiany przez D. Blocha, równania te noszą jego imię.
Jest pewna sugestywna ilustracja graficzna takiej dynamiki jako ruch punktu na sferze. Widzimy przy tym, że długość wektora S jest zachowana, ponieważ :
Zatem, koniec tego wektora porusza się po powierzchni sfery.
18.5.4 Wkład drugiego rzędu.
Teraz przejdziemy do wkładu drugiego rzędu ρ^ат(2) w wyrażeniu (18.49). Na początku przedstawimy podstawowe równanie kinetyczne, a potem omówimy sens fizyczny oddzielnych jego parametrów.
Podstawowe równanie kinetyczne. Zgodnie z wynikami przedstawionymi w dodatku O, równanie to ma postać :
gdzie dla skrócenia, wykorzystano oznaczenia :
Wielkość I oznacza całkę podwójną :
Oprócz tego, wprowadziliśmy hamiltonian :
odpowiedzialny za przesunięcie poziomów.
Omówienie parametrów. Wielkość Γ określona jest przez stan rezerwuaru. W istocie Γ, zależy od średnich liczb n–ł fotonów w oddzielnych modach rezerwuaru, jak również od wartości średnich operatorów kreacji i anihilacji.
Przykładowo, rezerwuar, którego mody polowe znajdują się w stanie termicznym i jest opisywany przez diagonalne macierzy gęstości :
z funkcjami rozkładu fotonów Wn(ł) od razu daje iż :
Tym samym, dla rezerwuaru termicznego wyrażenie dla Γ ma postać :
Z praktycznego punktu widzenia interesującym jest próżnia, tj. stan termiczny o zerowej temperaturze. W tym przypadku wszystkie mody znajdują się w stanie podstawowym i średnia liczba kwantów wzbudzenia w każdej modzie jest równa zero, tj. n–ł = 0. Zatem parametr Γ zeruje się tj. :
Γ
Teraz zwrócimy uwagę na parametr G~. Z definicji (18.57) wielkości G~ widać, że jej wartość :
nie zależy od stanu rezerwuaru, ponieważ pojawia się ona z komutatora operatorów polowych, które po prostu prowadzą do c-liczby G (O.13). Dlatego nie jest ona równa zero, nawet jeśli rezerwuar znajduje się w stanie próżniowym, tj. : G~vac ≠ 0
Oprócz tego, jeśli porównamy wyrażenia (18.59) i (18.60), to można zauważyć, że G~ pokrywa się z wielkością Γ dla przypadku rezerwuaru termicznego z n–l = 1, tj. dla rezerwuaru termicznego o jednym kwancie wzbudzenia w każdej modzie.
Tak samo jak i w sytuacji z Γ, wartość β w krytyczny sposób zależy od stanu rezerwuaru – warunkiem koniecznym tego, że β nie jest równa zero, jest istnienie choćby jednego modu rezerwuaru z różną od zera średnią wartością operatora anihilacji, albo jego kwadratu.
Dla rezerwuaru termicznego otrzymujemy :
a z uwzględnieniem < a^ł > = < a^†
ł > = 0 dochodzimy do wyrażenia : βтепл = 0
tj. dla rezerwuaru termicznego parametr β zeruje się..
Jednakże istnieją takie sytuacje, kiedy β nie zeruje się. Przykładowo, w próżni ściśniętej wartość średnia < a^ł2 > nie jest równa zero, co prowadzi do różnej od zera wartości β. Ważne następstwa tego faktu mają miejsce w procesie rozpadu stanu atomu, który będziemy omawiali w podrozdziale 18.5.6.
18.5.5 Przesunięcie Lamba.
Wyrażenia dla wielkości Γ, G~ i β są bardzo złożone i mogą nawet prowadzić do nieskończoności. Zanim omówimy taką złożoność, na początku głębiej zorientujemy się w fizycznym sensie oddzielnych członów podstawowego równania kinetycznego (18.55).
Hamiltonian :
∆H^ = –h( Γi + ½ G~ i ) σ^z
w równaniu (18.55) jest poprawką do hamiltonianu (18.47) : Hat = ½ hωσ^z
swobodnego atomu. Zatem, oddziaływanie atomu z rezerwuarem modów polowych prowadzi do przesunięcia częstości o wielkość :
∆ω≡ –2 ( Γi + ½ G~
i ) (18.61)
Takie przesuniecie poziomów nazywa się przesunięciem Lamba. Zostało ono odkryte eksperymentalnie w 1947 roku przez W. E. Lamba i jego aspiranta R. C. Retherforda w wodorze. Z równania Diraca wynika, że stany 22 S1/2 i 22 S1/2 są energetycznie zdegenerowane. Eksperyment jednakże pokazał jasno, że te dwa poziomy są wzajemnie przesunięte.
Przesunięcie to jest następstwem kwantowej natury pola EM. Z wyrażenia (18.61) widać, że istnieją dwa wkłady do takiego przesunięcia. Pierwszy pojawia się w wyniku obecności urojonej części Γi wielkości Γ. Zgodnie z (18.56) parametr Γ jest określony przez średnią liczbę fotonów w modach rezerwuaru. Dlatego taki wkład do przesunięcia poziomów jest analogiczny do znanego przesunięcia Starka w statycznym polu elektrycznym.
W odróżnieniu od pierwszego członu, wkład G~i pojawia się w wyniku obecności zależności komutacyjnych dla operatorów polowych, które omawiamy w dodatku O. Zatem jest to efekt czysto kwantowy, który nie znika, nawet jeśli wszystkie mody rezerwuaru znajdują się w stanie podstawowym, tj. dla próżni.
18.5.6 Tłumienie Weisskopfa-Wignera.
Oprócz przesunięcia poziomów, obecność rezerwuaru prowadzi do innego dramatycznego wyniku. Powoduje on tłumienie stanów atomowych, tj. zasiedlenia ρaa i ρbb dwóch poziomów atomowych i polaryzacja ρab są tłumione.
Takie tłumienie nazywa się tłumieniem Weisskopfa-Wignera.
Równanie ruchu dla elementów macierzowych. Aby w wyraźny sposób wyjaśnić taki efekt, zapiszemy równanie (18.55) dla macierzy gęstości z pomocą elementów macierzowych. Ponieważ w podanej analizie interesuje nas problem tłumienia, dla uproszczenia zaniedbamy przesunięcie Lamba.
Przypominając sobie działanie operatorów atomowych na stany wewnętrzne (18.53), dochodzimy do następującego układu równań :
Dodając pierwsze dwa równania, otrzymujemy : ρaa• + ρbb• = 0
tj. warunek zachowania normalizacji : ρaa + ρbb = 1
Wykorzystując taki warunek w dwóch równaniach dla ρaa i ρbb otrzymujemy :
oddziaływania atomu z rezerwuarem. Dla stanu stacjonarnego, kiedy ρaa• = ρbb• = 0, otrzymujemy :
Jeszcze raz należy podkreślić obecność dwóch wkładów. Są one generowane przez wielkość Γr która zawiera średnie liczby fotonów. Zatem, jest to rozpad indukowany, związany z emisja indukowaną.
Drugi wkład pojawia się w wyniku obecności G~r i dlatego, jest on generowany przez kwantową naturę pola. Występuje on, nawet jeśli wielkość Γr jest równa zero. Wkład ten odpowiada emisji spontanicznej.
Dwie stałe tłumienia polaryzacji. Teraz omówimy dwa ostatnie równania, tj. dwa równania dla niediagonalnych elementów macierzy gęstości.
Przypominając sobie część rzeczywistą : u ≡ ½ ( ρab + ρ*ab )
i urojoną :
v ≡ (1/2i ) ( ρab – ρ*ab )
elementu macierzowego ρab lub : ρab = u + iv
Charakter zachowania wielkości u i v staje się jasny, jeśli rozpatrzymy wartości własne λ, które otrzymujemy z równania :
Stąd znajdujemy dwie wartości własne : λ± ≡ Γr ± 2 | β |
Zatem, jeśli | β | ≠ 0, to niediagonalne elementy atomowej macierzy gęstości mają dwie różne stałe tłumienia. Istnieje bowiem stała tłumienia Γr – 2| β |, która jest mniejsza niż stała Γr + 2| β |.