Oddziaływanie i splątanie podukładów

Do tej pory nasza analiza była w istocie klasyczna. Teraz zajmiemy się obrazem kwantowym.

Całkowity układ kwantowy, składający się z atomu i pola, opisywany jest przez wektor stanu | Φ >, jego zmiana jako funkcja czasu wynika z równania Schrödingera :

ih d |Φ > /dt = H^ | Φ >

Wektor | Φ > zawiera stan | ψem > - ruchu środka bezwładności , stan wewnętrzny | ψatom > atomu oraz stan | ψpole > - pola promieniowania. W pozostałej części niniejszej książki będziemy wykorzystywali duże litery greckie, takie jak Φ i Ψ dla oznaczenia wektora stanu połączonego układu, a małe greckie literki takie jak ψ - dla wektorów stanu podukładów. W dalszych podrozdziałach na pewien czas zaniedbamy ruch środka bezwładności. W takim przypadku wektor stanu połączonego układu, zawierający pole i wewnętrzne stopnie swobody atomu, oznaczymy jako |Ψ >.

Operatory R^ i P^, odpowiadające współrzędnej i pędowi ruchu środka bezwładności, działają na wektor | ψem >, operatory r^ i p^ - współrzędnej i pędu elektronu działają na stan wewnętrzny | ψatom >, a operatory potencjału wektorowego A^, pola elektrycznego E^ i pola magnetycznego B^ ( określone odpowiednio przez wyrażenia (10.61), (10.65) i (10.69)i zawierające liniowe kombinacje operatorów kreacji i anihilacji a^ł i a^ł†) działają na wektor stanu

| ψpole >. Oprócz tego, wszystkie operatory polowe działają również i na stan środka bezwładności, ponieważ zawierają one funkcje modowe uł (R^ ), zależne od operatora współrzędnej R^ środka bezwładności.

Zauważmy, ze obie formy hamiltonianu oddziaływania HA • p i Hr • E zawierają wszystkie trzy stopnie swobody.

Dlatego nawet, jeśli stan początkowy układu jest iloczynem prostym trzech wektorów stanu, to oddziaływanie generuje silnie perturbowany stan - stan, który nie może być ponownie sfaktoryzowany w postaci iloczynu stanów trzech podukładów.

Taka perturbacja jest bardzo ważna dla problemu, który szczegółowo omówimy w związku z modelem

Jaynesa-Cummingsa-Paula, koncepcji inżynierii stanów kwantowych i zagadnienia optyki atomowej w skwantowanych polach promieniowania.

14.6 Równoważność A • p i r • E.

Istnieją dwa sposoby opisania oddziaływania atomu z polem : w pierwszym przypadku pęd elektronu oddziaływuje z potencjałem wektorowym, drugi sposób wykorzystuje współrzędną elektronu i pole elektryczne. Na pierwszy wzgląd nie jest oczywiste iż obie te metody prowadzą do jednakowych wyników. Temat ten będzie omawiany w niniejszym

podrozdziale.

W 1931 roku M. Goepert-Mayer opublikowała wyniki swojej rozprawy naukowej, prowadzonej pod kierownictwem M.

Borna w Getyndze. W swojej dysertacji na podstawie QED Diraca rozpatrywała dwufotonowe przejścia w atomach. W początkowej części pracy zdecydowała się ona pracować z hamiltonianem oddziaływania Hr • E a nie z HA • p

W tym celu dodała ona do klasycznego lagranżjanu pochodną zupełną po czasie. Taka poprawka pozwoliła jej pokazać, ze oba oddziaływania są równoważne.

Dalej omówimy krótko podana w powyższej pracy argumentacje, a następnie omówimy przypadek kwantowy,

wykorzystując szczególny przypadek lokalnego przekształcenia cechowania, które to omawialiśmy w podrozdziale 14.2.1 Dalej pokażemy, ze przy obliczaniu elementów macierzowych istnieje pewna subtelność. W niniejszym podrozdziale zaniedbujemy ruch środka bezwładności i mamy do czynienia tylko z względnym ruchem elektronu.

16.6.1 Klasyczne przekształcenie lagranżjanu.

Rozpoczniemy od klasycznego hamiltonianu :

elektronu o masie zredukowanej µ w polu o potencjale wektorowym A = A(R, t) i polu coulombowskim V(r ) = – e2 / 4πε0 | r |

Aby ustanowić jego związek z hamiltonianem :

dipolu er w polu elektrycznym E, wykorzystamy ten fakt, że dwa lagranżjany są równoważne, kiedy różnią się one tylko o pochodną zupełną.

Równoważność lagranżjanów. Równania ruchu otrzymujemy z wariacji całki działania, w istocie dla trajektorii właściwej r =r(t) cząstki klasycznej wariacja :

całki działania, zawierającej funkcje Lagrange’a ma ekstremum. ( współrzędne punktów końcowych są stałe : δr(t1 ) = δr(t2 ) ≡ 0 )

Jeśli rozpatrzymy lagranżjan :

który różni się od L tylko o pochodną zupełną po czasie od funkcji skalarnej f, to dla działania otrzymujemy :

Ponieważ pojawiający się w wyniku obecności funkcji f człony zależą tylko od punktów końcowych ich wariacje zerują się. Zatem oba te lagranżjany dają jeden i ten sam ruch – są zatem równoważne.

Pochodna zupełna po czasie. Funkcje Lagrange’a otrzymujemy z hamiltonianu z pomocą przekształcenia Legendre’a : L(0) = r^• • p – H(0)

w którym należy wyrazić pęd, wykorzystując równania kanoniczne Hamiltona :

Zatem, funkcja Lagrange’a odpowiadająca hamiltonianowi (14.38), ma postać :

Możemy odjąć pochodną zupełną po czasie d/dt ( r • A) i otrzymać funkcje Lagrange’a :

W danej analizie zaniedbujemy ruch środka bezwładności. Dlatego współrzędna R w argumencie potencjału wektorowego nie zależy od czasu. To pozwoli nam zamienić pochodną zupełną po czasie na pochodną cząstkową, tj. :

Wykorzystaliśmy tutaj to, że w cechowaniu Coulomba pole elektryczne i potencjał wektorowy związane są zależnością : E = –∂A/∂t

Zatem, otrzymujemy lagranżjan :

który odpowiada hamiltonianowi (14.39).

Wpływ ruchu środka bezwładności. Należy podkreślić, że decydującym momentem danej analizy jest przybliżenie dipolowe, tj. fakt, że potencjał wektorowy nie zależy od współrzędnej elektronu. Ważnym jest również to, że współrzędna R nie zależy od czasu. Jeśli włączymy ruch środka bezwładności tj. uwzględnimy zależność R od czasu, otrzymamy dodatkową składową :

Zatem, w przypadku obecności ruchu środka bezwładności hamiltoniany nie są równoważne. W tym tkwi przyczyna pojawienia się w hamiltonianie (14.37) dodatkowych członów, takich jak hamiltonian Roentgena i inne.

14.6.2 Analiza kwantowa.

Teraz przystąpimy do analizy kwantowej zagadnienia równoważności dwóch hamiltonianów H(0) i H~(0), zadanych przez wyrażenia (14.38) i 914.39). Ponownie zaniedbamy przy tym ruch środka bezwładności i rozpatrzymy tylko funkcje falową ψ(r, t) elektronu. W szczególności skupimy się na równaniu Schrödingera :

W MQ oba hamiltoniany związane są przekształceniem cechowania :

Zauważmy, że dane przekształcenie, jako przypadek szczególny ogólnego przekształcenia, które omawialiśmy w podrozdziale 14.2.1 odpowiada :

Λ(r, t ) ≡ r • A(R, t ) (14.41)

Z zależności (14.2) i (14.5) wynika bezpośrednio, że funkcja falowa ψ(r, t) spełnia równanie Schrödingera, które zawiera oddziaływanie r • E. W istocie na początku znajdujemy, że :

Ponieważ w cechowaniu Coulomba E = –∂A/∂t dochodzimy do równania :

Jeśli funkcja falowa ψ~( r, t) spełnia równanie Schrödingera z oddziaływaniem minimalnym, tj. ze sprzężeniem postaci A • p, funkcja falowa ψ(r, t) spełnia równanie Schrödingera z oddziaływaniem r • E. Ponownie należy podkreślić, że równoważność dwóch form oddziaływania opiera się na przekształceniu cechowania (14.40) w którym współrzędna względna r nie wchodzi do potencjału wektorowego, a współrzędna R nie zależy od czasu.

14.6.3 Elementy macierzowe operatorów A • p i r • E.

Decydującym faktem jest zgodne wykorzystanie funkcji falowych ψlub ψ~ przy obliczeniu elementów macierzowych dwóch hamiltonianów oddziaływania. Przykładowo, elementy macierzowe :

operatorów :

są różne. Należy podkreślić, że tutaj oba elementy macierzowe obliczone są z pomocą jednych i tych samych energetycznych stanów własnych atomu | j > i | j’ >, które określone są przez równanie :

tj. nie dokonaliśmy przekształcenia cechowania stanów.

Ponieważ E i A zależą tylko od współrzędnej R jądra, wystarczy rozpatrzyć elementy macierzowe :

< j | r^ | j’ > i < j | p^ | j’ >

W tym celu przypomnimy równanie ruchu dla operatora Heisenberga :

które daje następujące elementy macierzowe :

Wykorzystując definicje (14.42) energetycznych stanów własnych | j > i | j’ >, znajdujemy :

gdzie ω ≡ ( Ej – Ej’ )/h

Zatem, otrzymujemy zależność :

Zauważmy jednakże, ze taki element macierzowy nie pokrywa się z < j | H^ r • E | j’ >, który odpowiada oddziaływaniu momentu dipolowego z polem elektrycznym.

14.7 Równoważność hamiltonianów H(1) i H~(1).

W poprzednim podrozdziale ( a właściwie w szczegółach zrobiliśmy to w dodatku M ) otrzymaliśmy wyrażenie (14.37) dla hamiltonianu H~(1) atomu poruszającego się w polu o natężeniach E i B. W wyprowadzeniu takim wychodziliśmy z hamiltonianu o minimalnym sprzężeniu :

elektronu i protonu z polem w cechowaniu Coulomba. Następnie wprowadziliśmy współrzędne środka bezwładności i ruchu względnego i rozłożyliśmy potencjał wektorowy w szereg Taylora wokół współrzędnej środka bezwładności.

Przekształcenie cechowania :

z potencjałem :

przekształca przybliżony hamiltonian H(1) (14.34) w gauge-inwariantny hamiltonian H~(1) (14.37).

Interesujące jest również następujące zagadnienie – czy można dokonać przekształcenia cechowania bezpośrednio hamiltonianu (14.43), a następnie wykonać przybliżenie dipolowe. Okazuje się, że przekształcenie cechowania :

o potencjale cechowania Diraca-Heisenberga :

realizuje taki cel.

W zadaniu 2 otrzymujemy równanie Schrödingera dla Φ~, zakładając, że Φ spełnia równanie Schrödingera z hamiltonianem (14.43). Dlatego wykorzystujemy przybliżenie dipolowe i dochodzimy do wyrażenia (14.37) dla hamiltonianu H~(1).

Potencjał cechowania Diraca-Heisenberga Λ jest obiektem bardzo interesującym. Stanowi on uogólnienie wzoru r • A (14.41) dla jednej cząstki na przypadek dwóch cząstek. Takie uogólnienie nie jest całkowicie oczywiste, ponieważ potencjał wektorowy A zależy tylko od jednej zmiennej przestrzennej. Problem ten jest obchodzony z pomocą jednowymiarowej całki. W istocie argument :

potencjału wektorowego przy λ = 0 pokrywa się ze współrzędną rp protonu, a przy λ = 1 otrzymujemy współrzędną re elektronu. Zatem, przemieszczamy się w sposób ciągły od jednej cząstki do drugiej.

Oprócz tego ten fakt, że jednowymiarowa całka (14.46) jest uogólnieniem wyrażenia r • A staje się szczególnie zrozumiały w reprezentacji :

Ponieważ ∇ × A = B ≠ 0, to taka jednowymiarowa całka zależy od wyboru konturu całkowania. Zgodnie z definicją (14.46) wybieramy jako prostą, która łączy dwa ładunki.

Na zakończenie niniejszego podrozdziału powiążemy potencjał cechowania Diraca-Heisenberga (14.46) z potencjałem cechowania Λ (14.44), który wykorzystujemy w dodatku M, po to aby w kwantowo-mechaniczny sposób pokazać równoważność hamiltonianów H(1) (14.34) i H~(1) (14.37) z uwzględnieniem ruchu środka bezwładności.

W tym celu wykorzystamy wyrażenia (14.14) i (14.15), po to aby wyrazić współrzędne re i rp elektronu i protonu, które wchodzą do definicji (14.46) wielkości Λ, poprzez współrzędne R i r – odpowiednio środka bezwładności i ruchu względnego, otrzymujemy :

W ostatnim kroku rozłożyliśmy potencjał wektorowy w szereg Taylora, wykorzystując wyrażenie (14.23).

Całkując po λ, dochodzimy do wyrażenia :

Łącząc człony masowe, rzeczywiście otrzymujemy wzór (14.44) dla potencjału Λ.