Konkurs Matematyczny Politechniki Bia lostockiej
Zadania konkursowe - klasy drugie 30 maja 2009 r.
1. Tr´ojkat ostrok, atny ABC jest wpisany w okr, ag o ´srodku O. Dwusieczna k, ata ]BAC, przecina ten okrag w punkcie D. Punkt E jest symetryczny do punktu D wzgl, edem prostej, OC. Jaka jest miara kata ]BAC, je´sli wiadomo, ˙ze punkty B, O i E s, a wsp´, o lliniowe?
2. Niech k > 2 bedzie ustalon, a liczb, a naturaln, a. Ci, ag liczbowy x, 1, x2, . . . okre´slony jest warunkami: x1 = k, xn+1 = x2n− 2 dla n > 1. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 liczba
x2n− 4 k2− 4 jest kwadratem liczby naturalnej.
3. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x1, x2, . . . , xn nale˙zacych do przedzia lu, [0, 2] zachodza nier´, owno´sci
−1
4 6 x21+ x22+ ... + x2n
n −x1+ x2+ ... + xn
n 6 2.
4. ´Sciany sze´scianu o krawedzi d lugo´sci 3 podzielono na kwadraty o boku d lugo´sci 1. Wyzna-, czy´c liczbe najkr´, otszych lamanych, kt´ore zbudowane sa z bok´, ow tych kwadrat´ow i lacz, a dwa, przeciwleg le (czyli najbardziej odleg le od siebie) wierzcho lki sze´scianu.
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://signum.pb.bialystok.pl w dniu 2 czerwca 2009 r.
1
