(DOSŁOWNIE) EKSPERYMENT MYŚLOWY O GENEZIE ROZKŁADU NORMALNEGO

Wyobraźcie sobie flipper przedstawiony na Rysunku 8. Wypuśćcie 32 kule, zakładając, że powierzchnia flippera jest dobrze wyważona, dzięki czemu kula może z równym prawdopodobieństwem odbić się w lewo i w prawo od każdego gwoździa na swojej drodze. Spodziewacie się, że wiele kul wpadnie do środkowych przegródek, a w dalszych przegródkach liczba kul będzie stopniowo maleć.

Teraz przeprowadzimy pewien eksperyment myślowy. Mężczyzna rzuca monetą, a po każdym rzucie stawia krok w lewo albo krok w prawo, w zależności od tego, czy wypadnie orzeł czy reszka. Oficjalnie nosi to nazwę błądzenia losowego, ale błądzenie wcale nie musi oznaczać, że ruszacie się z miejsca. Równie dobrze, zamiast stawiać krok w lewo albo w prawo, moglibyście wygrywać albo przegrywać dolara po każdym rzucie i liczyć, ile macie w kieszeni.

Załóżmy, że podejmujemy (legalną) grę, w której macie równe szanse na wygraną i na przegraną. Rzućcie monetą. Orzeł – zarabiacie dolara, reszka – tracicie dolara.

Po pierwszym rzucie albo wygracie, albo przegracie.

Po drugim rzucie liczba możliwości się podwaja. Przypadek pierwszy: wygrana, wygrana. Przypadek drugi: wygrana, przegrana. Przypadek trzeci: przegrana, wygrana. Przypadek czwarty: przegrana, przegrana. Prawdopodobieństwo każdego z tych przypadków jest takie samo, przy czym połączenie jednej wygranej i jednej przegranej jest dwa razy bardziej prawdopodobne, ponieważ przypadek drugi i przypadek trzeci, czyli wygrana-przegrana i przegrana-wygrana, dają taki sam wynik. I w tym leży klucz do rozkładu normalnego. Środkowe wartości często się wyrównują – a przekonamy się, że wiele wyników przybiera wartości środkowe. Więc jeśli w każdej rundzie gracie o dolara, po dwóch rundach macie 25 proc. szans na to, że zarobicie albo stracicie 2 dolary, i 50 proc. szans na to, że wyjdziecie na zero.

Dodajmy kolejną rundę. Trzeci rzut monetą ponownie podwaja liczbę przypadków, więc teraz możliwych wyników jest osiem. Przypadek 1 (po drugim rzucie była wygrana, wygrana) rozgałęzia się na opcje wygrana, wygrana, wygrana i wygrana, wygrana, przegrana. Dopisujemy wygraną albo przegraną do każdego z uzyskanych wcześniej wyników. Przypadek 2

rozgałęzia się na opcje wygrana, przegrana, wygrana i wygrana, przegrana, przegrana. Przypadek 3 rozgałęzia się na opcje przegrana, wygrana, wygrana i przegrana, wygrana, przegrana. Przypadek 4 rozgałęzia się na opcje przegrana, przegrana, wygrana i przegrana, przegrana, przegrana.

Mamy teraz osiem przypadków o równym prawdopodobieństwie. Zauważcie, że znów możecie pogrupować wyniki, w których wygrana wyrównuje przegraną. (W przykładzie deski Galtona najwięcej jest sytuacji, w których kula odbija się w lewo, a później w prawo, albo na odwrót, dlatego wiele kul ląduje w środkowych przegródkach). Ostateczne wyniki przedstawiają się następująco: 1) trzy wygrane; 2) dwie wygrane, jedna przegrana, czyli na czysto jedna wygrana; 3) dwie wygrane, jedna przegrana, czyli na czysto jedna wygrana; 4) jedna wygrana, dwie przegrane, czyli na czysto jedna przegrana;

5) dwie wygrane, jedna przegrana, czyli na czysto jedna wygrana; 6) dwie przegrane, jedna wygrana, czyli na czysto jedna przegrana; 7) dwie przegrane, jedna wygrana, czyli na czysto jedna przegrana; i wreszcie, 8) trzy przegrane.

Na tych osiem przypadków trzy wygrane zdarzają się raz. Trzy przegrane zdarzają się raz. Jedna przegrana na czysto (jedna wygrana, dwie przegrane) zdarza się trzy razy. Jedna wygrana na czysto (jedna przegrana, dwie wygrane) zdarza się trzy razy.

Rozegrajcie jeszcze jedną, czwartą rundę. Wyników o równym prawdopodobieństwie będzie szesnaście. W jednym przypadku dojdzie do czterech wygranych, w jednym przypadku dojdzie do czterech przegranych, w czterech przypadkach dojdzie do dwóch wygranych, w czterech przypadkach dojdzie do dwóch przegranych, a w sześciu przypadkach wynik na czysto wyniesie zero. Deska Galtona, zwana też quincunxem (od łacińskiego słowa oznaczającego „pięć”) w przykładzie z flipperem pokazuje piątą rundę, w której występują trzydzieści dwie łatwe do prześledzenia możliwości. O to właśnie chodziło w quincunxie, którym posługiwał się Francis Galton. Galton był równocześnie za mało leniwy i za mało obeznany z matematyką; zamiast budować to ustrojstwo, mógł się oprzeć na prostszej algebrze albo przeprowadzić eksperyment myślowy, jak my.

Grajmy dalej, dopóki nie dojdziecie do czterdziestego rzutu. Wystarczy wam na to kilka minut, za to do obliczenia liczby wyników będziecie potrzebowali kalkulatora. Możliwych kombinacji będzie około 1 099 511 627 776 – ponad bilion. Nie próbujcie policzyć tego w pamięci, to dwa do potęgi czterdziestej, ponieważ każda gałąź dzieli się na dwa. (Przypomnijcie sobie, że w czwartej rundzie dodaliśmy wygraną i przegraną do każdego z wyników z rundy trzeciej, w ten sposób podwajając liczbę możliwych wyników). Spośród tych kombinacji tylko jedna oznacza zysk czterdziestu dolarów i tylko jedna oznacza stratę czterdziestu dolarów. Pozostałe skupią się wokół wartości środkowej, czyli w tym przykładzie – zera.

Widzimy już, że w tym typie przypadkowości wartości skrajne zdarzają się bardzo rzadko. Tylko jeden z 1 099 511 627 776 wyników przynosi czterdzieści dolarów po czterdziestu rzutach. Jeśli raz na godzinę wykonacie czterdzieści rzutów monetą, prawdopodobieństwo uzyskania czterdziestu wygranych z rzędu jest tak małe, że potrzebowalibyście na to wielu prób.

Zakładając, że robicie sobie przerwy na jedzenie, kłótnie z przyjaciółmi i współlokatorami, piwo i sen, potrzebowalibyście blisko czterech milionów żyć, żeby chociaż raz zarobić na swoich rzutach czterdzieści dolarów (albo stracić taką samą kwotę). A weźcie pod uwagę jeszcze jedno. Załóżmy, że rozgrywacie jeszcze jedną, dodatkową, czterdziestą pierwszą rundę;

żeby czterdzieści jeden razy z rzędu wyrzucić orła, musielibyście żyć osiem milionów razy dłużej! Przejście od czterdziestu do czterdziestu jeden rzutów obniża prawdopodobieństwo o połowę. To kluczowa cecha nieskalowalnego modelu analizy przypadkowości: liczba skrajnych odchyleń maleje w rosnącym tempie. Żeby wyrzucić orła pięćdziesiąt razy pod rząd, musielibyście żyć cztery miliardy razy dłużej!

Nie uzyskaliśmy jeszcze rozkładu normalnego, ale jesteśmy już coraz bliżej. To wciąż protorozkład Gaussa, ale zaczynamy już rozumieć, na czym polega jego istota. (Właściwie nigdy nie spotkacie się z czystym rozkładem Gaussa, ponieważ jest formą platońską – możecie się do niego zbliżyć, ale nigdy nie osiągniecie go w pełni). Na Rysunku 9 widać już znajomy zarys.

Jak zbliżyć się jeszcze bardziej do idealnego rozkładu Gaussa? Dopracowując proces rzucania monetą. Możemy rzucać czterdzieści razy przy stawce dolar za rzut albo cztery tysiące razy przy stawce dziesięć centów za rzut i dodać wyniki.

Spodziewane ryzyko w obu sytuacjach będzie prawie takie samo – w tym cała sztuka. Ekwiwalencja w tych dwóch seriach rzutów wydaje się trochę nieintuicyjna. Pomnożyliśmy liczbę zakładów przez sto, ale podzieliliśmy wartość zakładów przez dziesięć – nie próbujcie tego zrozumieć w tym momencie, po prostu załóżcie, że są „ekwiwalentne”. Ogólny poziom ryzyka jest taki sam, ale teraz mamy możliwość wygrać albo przegrać czterysta razy z rzędu. Prawdopodobieństwo takiej sytuacji wynosi 1 i 120 zer, czyli jeden na 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Kontynuujmy zabawę przez jakiś czas. Przejdźmy od czterdziestu rzutów przy stawce dolar za rzut do czterech tysięcy rzutów przy stawce dziesięć centów za rzut, a potem do czterystu tysięcy rzutów przy stawce cent za rzut, zbliżając się coraz bardziej do rozkładu Gaussa. Rysunek 10 pokazuje wyniki od -40 do 40, czyli osiemdziesiąt punktów wykresu. Na kolejnym byłoby już osiem tysięcy punktów.

Grajmy dalej. Możemy rzucać monetą przy stawce jedna dziesiąta centa za rzut. A co powiecie na czterysta tysięcy rzutów przy stawce jedna tysięczna za cent? Jako forma platońska czysty rozkład Gaussa powstaje zasadniczo wtedy, gdy w jednej rundzie następuje nieskończona liczba rzutów przy nieskończenie niskiej stawce. Nie próbujcie nawet wyobrazić sobie wyników ani ich zrozumieć. Nie możemy już dłużej mówić o „nieskończenie niskiej” stawce (ponieważ jest ich nieskończenie wiele, a działamy w środowisku, które matematycy nazywają ciągłym). Na szczęście można ją czymś zastąpić.

Przeszliśmy od prostego zakładu do całkowicie abstrakcyjnej sytuacji. Przeszliśmy od obserwacji do sfery matematyki. W sferze matematyki wszystkie zjawiska występują w czystej postaci.

Całkowicie abstrakcyjne konstrukty nie istnieją, więc nawet nie próbujcie zrozumieć Rysunku 10. Po prostu uświadomcie sobie, czemu on służy. Tak samo traktujemy termometr: nie musicie rozumieć, co oznacza temperatura, żeby móc o niej rozmawiać. Wystarczy, że zdajecie sobie sprawę ze związku między temperaturą a samopoczuciem (albo jakąś inną kwestią empiryczną). Piętnaście stopni to przyjemna pogoda, minus dwadzieścia pięć to już ziąb. Nie musicie się interesować faktyczną prędkością zderzeń cząsteczek, która wyjaśnia temperaturę. Stopnie służą po części temu, żeby wasz umysł mógł przedstawić jakieś zjawisko zewnętrzne w postaci liczby. I analogicznie, rozkład Gaussa jest skonstruowany w taki sposób, że 68,2 proc. obserwacji mieści się w przedziale od minus jednego do plus jednego odchylenia standardowego od średniej.

Powtarzam: nawet nie próbujcie zrozumieć, czy odchylenie standardowe jest średnim odchyleniem – nie jest, czego nie rozumie wielu (zbyt wielu) ludzi posługujących się pojęciem odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe to tylko liczba, do której porównuje się różne wartości, i byłaby kwestią zwykłej odpowiedniości, gdyby zjawiska miały gaussowski charakter.

Odchylenia standardowe często określa się mianem sigm. Ludzie mówią też o wariancjach (to samo: wariancja to kwadrat sigmy, czyli odchylenia standardowego). Zwróćcie uwagę na asymetrię wykresu. Uzyskacie te same rezultaty niezależnie od tego, czy sigma jest dodatnia czy ujemna. Prawdopodobieństwo wyniku poniżej -4 sigm wynosi tyle samo, co prawdopodobieństwo wyniku powyżej 4 sigm, czyli 1 na 32 000 rzutów.

Czytelnicy mogą się sami przekonać, że, jak podkreślałem, głównym wnioskiem z rozkładu Gaussa jest konstatacja, iż większość obserwacji osiąga przeciętne wartości, a prawdopodobieństwo odchylenia maleje coraz szybciej (i wykładniczo) w miarę oddalania się od średniej. Gdybyście mieli zapamiętać jedną informację z tego rozdziału, niech to będzie właśnie błyskawiczne tempo spadku prawdopodobieństwa w miarę oddalania się od średniej. Szansa na wystąpienie obserwacji odstających coraz bardziej maleje. Można je bezpiecznie zignorować.

Własność ta leży u podstaw najwyższego prawa Przeciętnostanu: zważywszy na nikłą liczbę dużych odchyleń, ich wpływ na sumę będzie nieznaczny.

W przykładzie ze wzrostem na początku tego rozdziału posłużyłem się jednostką odchylenia o wartości 10 centymetrów, pokazując, że częstość występowania malała w miarę zwiększania rozpatrywanego wzrostu. Były to odchylenia o wielkości jednego odchylenia standardowego; tabela wzrostu stanowi również przykład tak zwanego skalowania do odchylenia standardowego, w którym odchylenie standardowe stanowi jednostkę miary.

Nasze pocieszające założenia

Zwróćcie uwagę na zasadnicze założenia naszej rozgrywki z rzutami monetą, które doprowadziły nas do protogaussowskiej – albo umiarkowanej – przypadkowości.

Pierwsze zasadnicze założenie: wyniki rzutów są od siebie niezależne. Moneta nie ma pamięci. Fakt, że poprzednim razem wyrzuciliście orła albo reszkę, nie zmienia prawdopodobieństwa wyrzucenia orła lub reszki w następnym rzucie. Nie stajecie się z czasem „lepsi” w rzucaniu monetą. Jeśli wprowadzicie do rozgrywki takie czynniki, jak pamięć i umiejętności, podejście gaussowskie zaczyna chwiać się w posadach.

Przypomnijcie sobie rozważania o preferencyjnym przywiązaniu i korzyści kumulatywnej. Obie teorie głoszą, że wygrana dziś zwiększa waszą szansę na wygraną jutro. Zatem historia wpływa na prawdopodobieństwo, co obala pierwsze zasadnicze założenie rozkładu Gaussa w rzeczywistości. Oczywiście w przypadku gier losowych minione wygrane nie przekładają się na zwiększone prawdopodobieństwo przyszłych sukcesów – ale w prawdziwym życiu jest inaczej, dlatego niepokoi mnie wyciąganie wniosków o prawdopodobieństwie z przykładu gier losowych. Ale kiedy jedna wygrana pociąga za sobą kolejne, macie znacznie większe szanse na wyrzucenie czterdziestu orłów z rzędu niż w modelu protogaussowskim.

Drugie zasadnicze założenie: żadnych „niekontrolowanych” zmian. Długość kroku w procesie błądzenia losowego jest znana – ma długość jednego kroku. Z długością kroku nie wiąże się żadna niepewność. Nie zdarzają się sytuację, w których ulega ona niekontrolowanym zmianom.

Pamiętajcie, że jeśli któreś z tych dwóch zasadniczych założeń nie zostanie spełnione, wasze kroki (albo rzuty monetą) nie stworzą łącznie rozkładu normalnego. Mogą natomiast doprowadzić do niekontrolowanej, skaloniezmienniczej przypadkowości mandelbrotowskiej.

„Wszechobecność modelu gaussowskiego”

Jeden z problemów, z jakimi borykam się w życiu, polega na tym, że kiedy mówię ludziom, że rozkład Gaussa nie występuje powszechnie w prawdziwym życiu, tylko w wyobraźni statystyków, chcą, żebym im to „udowodnił” – co, jak się przekonamy w kolejnych dwóch rozdziałach, nie sprawia większych trudności, podczas gdy nikomu nie udało się dowieść, że jest na odwrót. Zawsze, gdy proponuję proces nie-gaussowski, muszę uzasadnić swoją propozycję i „przedstawić teorię, z której wynika” wykraczającą poza omawiane zjawiska. W Rozdziale 14 poznaliśmy modele typu „bogaci bogacą się jeszcze bardziej”, które miały uzasadnić odrzucenie paradygmatu gaussowskiego. Twórcy modeli musieli opracować teorie o możliwych modelach, które generują skalowalność – jakby mieli za co przepraszać. Teoria – śmeoria! Mam epistemologiczny problem z potrzebą uzasadniania tego, że świat nie przystaje do wyidealizowanego modelu, który zdołał wypromować ktoś

ślepy na rzeczywistość.

Zamiast analizować możliwe modele generujące przypadkowość, której nie opisuje rozkład normalny, czyli popełniać ten sam błąd teoretyzowania na ślepo, stosuję odwrotną strategię: staram się poznać rozkład normalny w jak najdrobniejszych szczegółach i ustalić, w jakich okolicznościach się sprawdza, a w jakich się nie sprawdza. Wiem, gdzie leży Przeciętnostan.

Według mnie to właśnie użytkownicy rozkładu normalnego często (nie, prawie zawsze) go nie rozumieją i muszą uzasadnić jego zastosowanie, a nie na odwrót.

Wszechobecność rozkładu Gaussa nie jest własnością rzeczywistości, tylko naszym złudzeniem wynikającym ze sposobu, w jaki patrzymy na świat.

* * *

Następny rozdział będzie poświęcony niezmienniczości skali i właściwościom fraktala. W kolejnym zajmę się nadużywaniem rozkładu Gaussa w sferze społeczno-ekonomicznej oraz „potrzebie produkowania teorii”.

Czasem trochę ponoszą mnie emocje, ponieważ zastanawiam się nad tymi kwestiami przez większość życia. Odkąd zacząłem o tym myśleć i prowadzić rozmaite eksperymenty myślowe w rodzaju zaprezentowanych powyżej przykładów, mimo najszczerszych chęci nie znalazłem nikogo ze świata biznesu albo statystyki, kto wykazałby się spójnością intelektualną, równocześnie zgadzając się z moją koncepcją Czarnego Łabędzia i odrzucając gaussowski model prawdopodobieństwa i jego narzędzia. Wielu ludzi uznało koncepcję Czarnego Łabędzia za słuszną, ale nie potrafiło wywieść z niej logicznego wniosku, że nie można posługiwać się jedną miarą przypadkowości o nazwie odchylenia standardowego (i określać ją mianem ryzyka);

nie można oczekiwać, że niepewność uda się wyjaśnić w prosty sposób. Ten dodatkowy krok wymaga odwagi, zaangażowania, rozeznania w sytuacji i chęci zrozumienia przypadkowości w pełni. Żeby go postawić, nie można święcie wierzyć w mądrość innych ludzi. Później zacząłem poznawać fizyków, którzy odrzucili gaussowskie narzędzia, ale mieli na sumieniu inny grzech: bezkrytyczne zaufanie do modeli predykcyjnych, często opartych na koncepcji preferencyjnego przywiązania z Rozdziału 14 – co jest inną formą platońskości. Nie mogłem znaleźć nikogo, kto wnikliwie analizował świat przypadkowości metodami naukowymi i rozumiał jego naturę, kto traktował obliczenia jako środek, a nie cel sam w sobie.

Musiało upłynąć blisko piętnaście lat, zanim znalazłem tego myśliciela, człowieka, dzięki któremu wiele łabędzi stało się szarych: jest nim Mandelbrot – wielki Benoît Mandelbrot.

Ostatni banknot dzie się ciomarkowy z portre te m Gaussa i rysunkie m rozkładu normalne go z Prze cię tnostanu.

RYSUNEK 7. Jak działa prawo wie lkich liczb

W Prze cię tnostanie wraz ze wzroste m wasze j próby obse rwowana śre dnia bę dzie wykazywać coraz mnie jszą dyspe rsję – jak widzicie , rozkład bę dzie coraz wę ższy. W zasadzie tak działa (albo ma działać) cała te oria statystyczna. W Prze cię tnostanie nie pe wność zanika pod wpływe m uśre dniania. Obrazuje to okle pane „prawo wie lkich liczb”.

RYSUNEK 8. DESKA GALTONA (UPROSZCZENIE) – FLIPPER

Kule , które odbijają się losowo w le wo lub w prawo od każde go gwoździa. Powyże j prze dstawiono najbardzie j prawdopodobny sce nariusz, który bardzo przypomina rozkład normalny (czyli rozkład Gaussa). Rysune k: Ale xande r Tale b.

RYSUNEK 9. LICZBA WYGRANYCH

Wynik czte rdzie stu rzutów. Obse rwuje my wyłanianie się protorozkładu normalne go.

RYSUNEK 10. BARDZIEJ ABSTRAKCYJNA WERSJA: ROZKŁAD PLATONA

Nie skończona liczba rzutów.

1 Czy telnicy niezainteresowani kwestiam i techniczny m i (albo obdarzeni silną intuicj ą) m ogą pom inąć ten rozdział, ponieważ om awia dość szczegółowo rozkład norm alny. Możecie go również pom inąć, j eśli należy cie do ty ch szczęśliwy ch ludzi, którzy nigdy nie sły szeli o rozkładzie norm alny m . 2

Zm ieniłem trochę dane dla uproszczenia.

3 Jedny m z naj gorzej rozum iany ch aspektów gaussowskiego m odelu prawdopodobieństwa j est j ego kruchość i podatność na błędy przy szacowaniu rzadkich zdarzeń. Prawdopodobieństwo zdarzenia o odchy leniu czterech sigm j est dwukrotnie większe niż zdarzenia o odchy leniu 4,15 sigm y.

Prawdopodobieństwo zdarzenia o odchy leniu 20 sigm j est bilion razy większe niż zdarzenia o odchy leniu 21 sigm . To znaczy, że nawet drobny błąd w pom iarze sigm y wy starczy, żeby bardzo poważnie zaniży ć prawdopodobieństwo. W niektóry ch przy padkach m ożem y zaniży ć j e bilion razy.

4 Moj a naj ważniej sza teza, która będzie się poj awiać w Części III w różny ch postaciach, brzm i następuj ąco: z perspekty wy konceptualnej wszy stko staj e się j asne, j eśli założy m y, że istniej ą ty lko dwa m ożliwe parady gm aty : nieskalowalny (na przy kład m odel gaussowski) i ten drugi (na przy kład m odel m andelbrotowski). Jak przekonam y się dalej , wy starczy przestać stosować parady gm at nieskalowalności, żeby wyeliminować pewną wizję świata. Przy pom ina to negaty wny em piry zm : sam a świadom ość, co j est fałszem , wiele nam m ówi o rzeczy wistości.

5

Zwróćcie uwagę, że zm ienne nie m uszą by ć nieskończenie skalowalne; by ć m oże istniej e j akaś bardzo odległa górna granica skalowalności – ale nie wiem y, gdzie przebiega, więc przy j m uj em y, że w danej sy tuacj i skalowalność j est nieograniczona. Z technicznego punktu widzenia liczba sprzedany ch egzem plarzy j ednej książki nie m oże przewy ższać liczby m ieszkańców naszej planety – ale owa górna granica j est na ty le wy soka, że m ożna j ą pom inąć. Co więcej , nigdy nie wiadom o – po zm ianie okładki m ożna sprzedać kom uś tę sam ą książkę dwukrotnie; w końcu ludzie oglądaj ą film y po kilka razy.

6 W sierpniu 2006 roku poprawiałem szkic tej książki w Dedham w stanie Massachusetts, niedaleko obozu letniego j ednego z m oich dzieci. W hotelu zaskoczy ł m nie widok sporej grupy oty ły ch osób, które kręciły się po lobby i powodowały przeciążenia wind. Okazało się, że odby wa się tam doroczny zj azd NAFA, czy li National Association for Fat Acceptance [kraj owe stowarzy szenie na rzecz akceptacj i osób gruby ch – przy p. tłum .]. Większość członków cierpiała na skraj ną nadwagę, więc nie by łem w stanie ocenić, który z delegatów

by ł naj cięższy : wśród bardzo gruby ch ludzi panowała pewnego rodzaj u równość (człowiek znacznie cięższy od ludzi, który ch tam zobaczy łem , j uż by nie ży ł). Jestem pewny, że na zj eździe NARA, czy li National Association for Rich Acceptance [kraj owe stowarzy szenie na rzecz akceptacj i osób bogaty ch – przy p. tłum .] j eden z delegatów przy ćm iłby pozostały ch, bo nawet wśród superbogaczy bardzo niewielki odsetek kontroluj e znaczną część ich łącznego bogactwa.

Rozdział 16