POETA PRZYPADKOWOŚCI

Pewnego melancholijnego popołudnia w sierpniu 2005 roku wąchałem stare książki w bibliotece Benoîta Mandelbrota. Upał nasilił woń kleju starych francuskich tomów, wywołując we mnie silną nostalgię. Zwykle udaje mi się stłumić takie uczucia, ale nie wtedy, gdy zaskoczy mnie muzyka albo zapach, które budzą intensywne skojarzenia. Książki Mandelbrota pachniały francuską literaturą, biblioteką moich rodziców, godzinami spędzonymi w księgarniach i bibliotekach, kiedy dorastałem, a wiele otaczających mnie dzieł było (niestety) po francusku, gdy myślałem, że Literatura jest najwyższą wartością. (Nie czytałem zbyt wielu francuskich książek od tamtej pory). Chociaż chciałem w niej widzieć tylko abstrakcyjny byt, Literatura miała też postać fizyczną, miała swój zapach, i właśnie go poczułem.

Byłem w ponurym nastroju tego popołudnia, ponieważ Mandelbrot się przeprowadzał – dokładnie w momencie, kiedy poczułem się na tyle swobodnie, żeby wydzwaniać do niego o dziwnych porach z różnymi pytaniami, na przykład, dlaczego ludzie nie rozumieją, że 80/20 może równie dobrze zamienić się w 50/01. Mandelbrot postanowił przeprowadzić się w okolice Bostonu. Nie przechodził na emeryturę – miał pracować dla ośrodka badawczego sponsorowanego przez państwowe laboratorium. Przenosił się do mieszkania w Cambridge z ogromnego domu na przedmieściach Nowego Jorku, dlatego zaprosił mnie, żebym wybrał sobie z jego biblioteki książki, które mnie interesują.

Nawet tytuły budziły we mnie nostalgię. Wypełniłem całe pudełko francuskimi książkami, na przykład wydaniem z 1949 roku Matière et mémoire Henriego Bergsona, które Mandelbrot kupił pewnie jeszcze na studiach (ten zapach!). Wielokrotnie przywoływałem jego nazwisko w tej książce, a teraz wreszcie przedstawię Mandelbrota, przede wszystkim jako pierwszego posiadacza tytułu naukowego, z którym rozmawiałem o przypadkowości, nie czując się oszukany. Inni matematycy specjalizujący się w prawdopodobieństwie zarzucali mnie twierdzeniami sygnowanymi rosyjskimi nazwiskami, takimi jak Sobolew czy Kołmogorow, i rozprawiali o mierze Wienera, bez której czuli się zagubieni; trudno było im dojść do sedna sprawy albo włączyć się do dyskusji z na tyle otwartym umysłem, żeby dostrzec błędy empiryczne swojego podejścia. Z Mandelbrotem było inaczej: czułem się tak, jakbym po wielu latach frustrującej banicji wreszcie spotkał rodaka, z którym mogę swobodnie porozmawiać w języku ojczystym. Jest¹ jedynym nauczycielem z krwi i kości, jakiego spotkałem w życiu – i to w sensie dosłownym, bo najczęściej uczę się z książek w swojej bibliotece. Miałem zbyt mało szacunku dla matematyków zajmujących się niepewnością i statystyką, żeby uznać któregokolwiek z nich za nauczyciela – uważałem, że matematycy, nauczeni uznawać dogmaty, nie powinni zajmować się przypadkowością. Mandelbrot jest dowodem na to, że się myliłem.

Posługuje się niezwykle precyzyjną i formalną francuszczyzną przypominającą język Lewantyńczyków z pokolenia moich rodziców albo europejskich arystokratów. Z tego powodu czułem się dziwnie, słysząc, jak mówi po angielsku, wprawdzie z akcentem, ale bardzo typowym, kolokwialnym stylem. Jest wysoki i ma nadwagę, co nadaje jego twarzy dziecięce rysy (chociaż nigdy nie widziałem, żeby się objadał), i nie sposób zignorować jego obecności.

Może się wydawać, że Mandelbrota i mnie łączy tylko zainteresowanie gwałtowną niepewnością, Czarnymi Łabędziami i nudnymi (choć nie zawsze) koncepcjami statystycznymi. Ale chociaż współpracujemy w tych dziedzinach, nie jest to główny temat naszych rozmów. Zwykle skupiamy się na kwestiach literackich i statystycznych albo na historycznych plotkach o ogromnym potencjale intelektualnym. Potencjale, nie osiągnięciach. Mandelbrot ciekawie opowiada o różnych grubych rybach, z którymi pracował w ciągu minionego stulecia, ale z jakiegoś powodu naukowcy zawsze wydają mi się znacznie mniej zajmujący od erudytów o barwnym życiorysie. Podobnie jak mnie Mandelbrota interesują ludzie o wybitnym wykształceniu, łączący w sobie cechy, które rzadko współwystępują. Jedną z osób, o których często wspomina, jest baron Pierre Jean de Menasce. Poznali się w Princeton w latach 50., gdy de Menasce był współlokatorem Oppenheimera, znanego później fizyka.

De Menasce uosabia to wszystko, co ciekawi mnie w ludziach – jest wcieleniem Czarnego Łabędzia. Pochodzi z zamożnej rodziny żydowsko-aleksandryjskich kupców mówiących po francusku i włosku, jak wszyscy wykształceni Lewantyńczycy.

Jego przodkowie wprowadzili wenecką pisownię ich arabskiego nazwiska, dodali do niego węgierski tytuł szlachecki i utrzymywali kontakty towarzyskie z rodziną królewską. De Menasce nie tylko przeszedł na chrześcijaństwo, ale też został dominikańskim księdzem i specjalistą w dziedzinie języków semickich i perskich. Mandelbrot ciągle wypytywał mnie o Aleksandrię, poszukując podobnych postaci.

To prawda, ludzie wyrafinowani intelektualnie byli właśnie tym, czego szukałem w życiu. Mój ojciec, erudyta i człowiek renesansu – który, gdyby żył, byłby starszy od Benoît M. o zaledwie dwa tygodnie – lubił towarzystwo świetnie wykształconych księży jezuickich. Pamiętam, że jego jezuiccy goście zawsze zajmowali moje miejsce przy stole. Jeden z nich ukończył studia medyczne i obronił doktorat z fizyki, ale uczył miejscowych języka aramejskiego w Instytucie Języków Wschodnich w Bejrucie. Wcześniej mógł pracować jako nauczyciel fizyki w liceum, jeszcze wcześniej – uczyć na akademii medycznej. Erudycja tego rodzaju imponowała mojemu ojcu znacznie bardziej niż tworzenie prac naukowych jak spod sztancy.

Być może mam w genach coś, co zniechęca mnie do filistrów akademickich.

Chociaż Mandelbrot często wyrażał zdumienie temperamentem ambitnych erudytów i wspaniałych, choć niezbyt znanych naukowców, takich jak jego stary przyjaciel Carleton Gajdusek, człowiek, który imponował mu umiejętnością odkrycia przyczyn chorób tropikalnych; nie rozgłaszał swoich powiązań z tymi, których uznajemy za wielkich naukowców. Minęło dużo czasu, zanim odkryłem, że pracował z wieloma słynnymi naukowcami z praktycznie każdej dziedziny; ktoś, kto lubi chełpić się swoimi znajomościami, miałby prawdziwe pole do popisu. Chociaż pracuję z nim już od kilku lat, dopiero niedawno z rozmowy z jego żoną dowiedziałem się, że przez dwa lata konsultował matematycznie badania psychologa Jeana Piageta.

Kolejny wstrząs przyniosło mi odkrycie, że współpracował też z Fernandem Braudelem, wielkim historykiem. Mandelbrot najwyraźniej nie uważał go za ciekawą postać. Nie chciał też rozmawiać o Johnie von Neumannie, z którym pracował podczas stażu podoktoranckiego. Mierzył ludzi inną miarą.

Kiedyś zapytałem go o Charles’a Tressera, nieznanego fizyka, którego poznałem na przyjęciu, autora artykułów na temat teorii chaosu, który oprócz badań prowadził też cukiernię w okolicach Nowego Jorku, czym dorabiał sobie do pensji naukowca. Mandelbrot nazwał go un homme extraordinaire i wychwalał jego zasługi. Ale gdy zadałem mu pytanie o pewnego słynnego naukowca, odpowiedział: „To typowy bon élève, uczeń, który zbiera dobre stopnie, ale brakuje mu głębi i wizji”.

Wspomniany naukowiec był laureatem Nagrody Nobla.

SPLATONIZOWANIE TRÓJKĄTÓW

No dobrze, ale dlaczego nazywam moją perspektywę przypadkowością mandelbrotowską, albo fraktalną? Każdy element tej układanki został już opisany przez kogoś innego – Pareta, Yule’a czy Zipfa – ale to Mandelbrot a) połączył je ze sobą, b) powiązał przypadkowość z geometrią (i to szczególnego rodzaju) i c) wyciągnął z tego procesu logiczne wnioski. Wielu matematyków cieszy się dziś sławą po części dlatego, że powołał się na ich prace, żeby uzasadnić swoje twierdzenia – stosując tę samą strategię, którą posługuję się w tej książce. „Musiałem wymyślić swoich poprzedników, żeby ludzie potraktowali mnie poważnie”, powiedział mi kiedyś. Wykorzystał wiarygodność znanych nazwisk jako narzędzie retoryczne.

Niemal każdą myśl można przypisać jakiemuś wcześniejszemu filozofowi. I zawsze można znaleźć kogoś, kto pracował nad jakąś częścią waszej teorii, żeby odwołać się do jego dokonań. Naukowe uznanie i sława przysługują temu, kto połączy ze sobą właściwe elementy, a nie temu, kto wspomni o nich w niezobowiązujący sposób – nawet Karol Darwin, który, zdaniem źle wykształconych naukowców, „wymyślił” ideę przetrwania najlepiej dostosowanych, nie był twórcą tej koncepcji. We wstępie do swojego dzieła O powstawaniu gatunków napisał, że przedstawione przez niego fakty nie są do końca oryginalne;

to ich konsekwencje wydawały mu się „interesujące” (jak to ujął z charakterystyczną dla ery wiktoriańskiej skromnością). W ostatecznym rozrachunku zwyciężają ci, którzy wyciągają wnioski i dostrzegają znaczenie przedstawianych koncepcji, rozumieją ich prawdziwą wartość. To oni mogą się wypowiadać na ten temat.

Pozwólcie zatem, że opiszę geometrię mandelbrotowską.

Geometria natury

Trójkąty, kwadraty, koła i inne figury geometryczne, które wywoływały u nas atak ziewania, kiedy omawialiśmy je w szkole, to wprawdzie piękne pojęcia teoretyczne, ale wydają się istnieć raczej w umysłach architektów, projektantów, budowniczych i nauczycieli niż w samej naturze. Nie ma w tym nic złego, tyle że większość z nas nie zdaje sobie z tego sprawy. Góry nie są trójkątami ani piramidami; korony drzew nie mają kształtu kół; trudno znaleźć w przyrodzie linię prostą. Matka Natura nie chodziła na zajęcia z geometrii i nie czytała dzieł Euklidesa z Aleksandrii. Jej geometria jest nieregularna, ale rządzi się własną logiką, którą w dodatku łatwo zrozumieć.

Powiedziałem już, że mamy naturalną tendencję do platonizowania i myślenia wyłącznie w kategoriach, których nas nauczono; nikt, ani murarz, ani filozof przyrody nie jest w stanie z łatwością uwolnić się z okowów takiego uwarunkowania.

Weźcie pod uwagę, że wielki Galileusz, znany z obalania fałszywych przekonań, jest autorem następujących słów:

Filozofia jest zapisana w tej wielkiej księdze, która nieustannie leży otwarta przed naszymi oczyma […], ale tak długo nie można jej odczytać, jak długo nie zna się liter, którymi została napisana […]. Tymi literami są trójkąty, okręgi i inne figury geometryczne.

Czy Galileusz był ślepy? Nawet wielki Galileusz, ten niezależny rzekomo myśliciel, nie był w stanie zobaczyć Matki Natury taką, jaka jest. Jestem pewien, że miał w domu okna i od czasu do czasu wychodził na świeże powietrze: powinien się zorientować, że w przyrodzie trudno o trójkąty. Tak łatwo zrobić nam wodę z mózgu.

Cierpimy na ślepotę albo na analfabetyzm – lub na jedno i drugie. To oczywiste, że geometria natury nie jest geometrią euklidesową, a mimo to nikt, prawie nikt tego nie dostrzegł.

Ta (fizyczna) ślepota jest lustrzanym odbiciem błędu ludycznego, przez który wydaje nam się, że kasyna uosabiają przypadkowość.

Fraktalność

Zacznijmy jednak od opisu fraktali. Później przyjrzymy się, jak łączą się z tym, co nazywamy prawami potęgowymi albo prawami skalowalnymi.

Fraktal to pojęcie ukute przez Mandelbrota do opisu geometrii tego, co nieregularne i połamane – od łacińskiego słowa fractus, złamany. Fraktalność to powtarzalność wzorów geometrycznych w różnych skalach, coraz mniejsze wersje tych

samych układów. Małe części przypominają do pewnego stopnia całość. W niniejszym rozdziale postaram się pokazać, w jaki sposób fraktalność odnosi się do tego typu niepewności, który powinniśmy nazywać przypadkowością mandelbrotowską.

Żyłki w liściach wyglądają jak gałęzie; gałęzie wyglądają jak drzewa; kamienie wyglądają jak miniaturowe góry. Zmianie rozmiaru obiektu nie towarzyszy zmiana jakościowa. Wybrzeże Wielkiej Brytanii z lotu ptaka przypomina wybrzeże Wielkiej Brytanii widziane przez szkło powiększające. Owa cecha samopowinowactwa świadczy o tym, że do budowy na pozór bardzo skomplikowanych kształtów wystarczy jedna złudnie krótka i prosta reguła iteracji. Może się nią posłużyć zarówno komputer, jak i – w bardziej przypadkowy sposób – Matka Natura. Ta informacja przyda się grafikom komputerowym, a co ważniejsze, opisuje zasadę funkcjonowania natury. Mandelbrot zaprojektował obiekt matematyczny znany obecnie jako zbiór Mandelbrota, najsłynniejszy obiekt w historii matematyki. Stał się on popularny dzięki wyznawcom teorii chaosu, ponieważ generuje obrazy o coraz większej złożoności za pomocą zwodniczo prostej reguły rekurencyjnej; rekurencja oznacza, że coś może odwoływać się do siebie samego nieskończenie wiele razy. Możecie patrzeć na wspomniany zbiór w coraz mniejszej rozdzielczości, nigdy nie docierając do ostatecznej granicy; przez cały czas będziecie widzieli rozpoznawalne kształty. Owe kształty nie są identyczne, ale przypominają siebie nawzajem: widać między nimi silne rodzinne podobieństwo.

Obiekty tego rodzaju odgrywają pewną rolę w estetyce. Poniżej ich zastosowania.

Sztuki wizualne: Większość obiektów generowanych komputerowo opiera się dziś na pewnej wersji mandelbrotowskiego fraktala. Obserwujemy je również w architekturze, obrazach i wielu dziełach z dziedziny sztuk wizualnych – oczywiście ich twórcy nie stosują ich świadomie.

Muzyka: Zanućcie powoli czteronutowy początek V Symfonii Beethovena: ta-ta-ta-ta. Potem zastąpcie poszczególne nuty tym samym czteronutowym motywem, żeby uzyskać miarę złożoną z szesnastu nut. Zobaczycie (a raczej usłyszycie), że każda mniejsza fala przypomina oryginalną wersję. Między innymi u Bacha i Mahlera krótsze fragmenty przypominają dłuższe motywy – te na które się składają.

Poezja: Poezja Emily Dickinson jest fraktalna: elementy większe przypominają elementy mniejsze. Zdaniem jednego z krytyków stanowi ona „świadomie skomponowany zbiór dykcji, metrów, retoryk, gestów i tonów”.

Środowisko matematyczne początkowo wyklęło Benoîta M. za jego koncepcję fraktali. Francuscy matematycy byli oburzeni.

Co takiego? Obrazy? Mon dieu! Ich reakcja byłaby bardziej na miejscu w mojej rodzinnej wiosce Amjun, gdybym wyświetlił film porno przed zgromadzeniem pobożnych prawosławnych babć. Mandelbrot przez jakiś czas pracował na wygnaniu intelektualnym w ośrodku badawczym IBM w stanie Nowy Jork. Pracował za wynagrodzenie na odwal się², a IBM pozwoliło mu robić to, na co miał ochotę.

Ale opinia publiczna (przede wszystkim maniacy komputerowi) zrozumiała, o czym mówił. Książka Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature wzbudziła sensację, gdy ukazała się ćwierć wieku temu. Dotarła do kręgów artystycznych i zainspirowała badania w dziedzinie estetyki, projekty architektoniczne, a nawet zastosowania przemysłowe. Benoîtowi M.

zaproponowano nawet stanowisko profesora medycyny! Okazało się, że płuca są samopodobne. Jego wykłady były oblegane przez różnego rodzaju artystów, przez co zyskał status matematycznej supergwiazdy. Era komputerów pomogła mu stać się jednym z najbardziej wpływowych matematyków w historii pod względem zastosowań jego prac na długo przed zaakceptowaniem go przez środowisko akademickie. Jak się przekonamy, oprócz uniwersalności jego teorię cechuje pewna nietypowa własność: wyjątkowo łatwo ją zrozumieć.

Kilka słów o jego życiu. Mandelbrot przyjechał do Francji z Warszawy w 1936 roku, gdy miał dwanaście lat. Szybko zmieniająca się sytuacja w okupowanej przez Niemców Francji sprawiła, że oszczędzono mu tradycyjnej francuskiej edukacji i ogłupiających ćwiczeń matematycznych. Dzięki temu był w dużej mierze samoukiem. W późniejszym okresie pozostawał pod ogromnym wpływem swojego wuja Szolema, ważnego członka francuskich elit matematycznych, kierującego jedną z katedr w Collège de France. Potem Benoît M. zamieszkał w Stanach Zjednoczonych i przez większość życia pracował dla przemysłu, od czasu do czasu robiąc wycieczki w świat akademicki.

Komputer odgrywa dwojaką rolę w nowej nauce, którą pomógł stworzyć Mandelbrot. Po pierwsze, jak już wiemy, obiekty fraktalne można wygenerować za pomocą prostej reguły odniesionej do niej samej, co sprawia, że idealnie wpisują się w automatyzm komputera (albo Matki Natury). Po drugie, generowanie intuicji wizualnych to kwestia dialektyki między matematykiem a generowanymi obiektami.

Sprawdźmy teraz, jaki ma to związek z przypadkowością. Mandelbrot rozpoczął swoją karierę właśnie od tematu prawdopodobieństwa.

Wizualne podejście do Ekstremistanu/Przeciętnostanu

Patrzę na dywan w moim gabinecie. Jeśli spojrzę na niego przez mikroskop, zobaczę bardzo postrzępioną powierzchnię. Jeśli spojrzę na niego przez szkło powiększające, powierzchnia będzie gładsza, choć wciąż bardzo nierówna. Ale kiedy popatrzę na niego z pozycji stojącej, będzie wydawał się jednolity – niemal tak gładki jak kartka papieru. Dywan widziany z tej pozycji odpowiada Przeciętnostanowi i prawu wielkich liczb: widzę sumę falistości, które z tej perspektywy się wyrównują.

Przypomina to przypadkowość gaussowską: moja filiżanka kawy nie skacze z biurka dlatego, że suma jej wszystkich rozedrganych cząsteczek się wygładza. Na tej samej zasadzie osiągacie pewność przez zsumowanie niewielkich niepewności gaussowskich: na tym polega prawo wielkich liczb.

Przypadkowość gaussowska nie jest samopodobna, dlatego moja filiżanka kawy nie podskakuje mi na biurku.

A teraz wyobraźcie sobie wspinaczkę po górze. Niezależnie od tego, jak wysoko wejdziecie, powierzchnia ziemi wciąż będzie nierówna. Pozostanie to prawdą nawet na wysokości dziewięciu tysięcy metrów. Przelatując nad Alpami, zamiast małych kamyków zobaczycie po prostu poszarpane szczyty gór. Zatem niektóre powierzchnie nie należą do domeny Przeciętnostanu, a zmiana rozdzielczości ich nie wygładza. (Zauważcie, że efekt ten zanika dopiero na bardziej ekstremalnych wysokościach. Obserwatorowi z kosmosu nasza planeta wydaje się gładka, ale dzieje się tak dlatego, że jest za mała. Gdyby była większą planetą, miałaby góry, które przyćmiłyby Himalaje, i trzeba by było na nią patrzeć z większej odległości, żeby wydawała się gładka. Podobnie gdyby na Ziemi żyło więcej ludzi, nawet przy utrzymaniu przeciętnego poziomu bogactwa na tym samym poziomie istniałoby prawdopodobieństwo, że czyjś majątek znacznie przewyższy fortunę Billa Gatesa).

Rysunki 11 i 12 obrazują powyższą tezę: obserwator patrzący na pierwszy z nich mógłby pomyśleć, że osłona na obiektyw upadła na ziemię.

Przypomnijcie sobie przykład z wybrzeżem Wielkiej Brytanii. Jeśli spojrzycie na nie z samolotu, jego kontury nie będą szczególnie się różnić od konturów, które widzicie, stojąc na brzegu. Zmiana skali nie wpływa na kształty ani na fakturę.

Perły przed wieprze

Co ma wspólnego geometria fraktalna z dystrybucją bogactwa, wielkością miast, zyskami na rynkach finansowych, liczbą ofiar na wojnie czy rozmiarami planet? Spróbujmy połączyć te kropki.

Najistotniejsze jest to, że miary numeryczne albo statystyczne fraktala są (do pewnego stopnia) zachowane we wszystkich skalach – ich stosunek pozostaje taki sam, inaczej niż w paradygmacie gaussowskim. W inny sposób przedstawia samopodobieństwo Rysunek 13. Jak przekonaliśmy się w Rozdziale 15, superbogacze są podobni do bogaczy, tylko bogatsi – bogactwo jest niezależne od skali; a dokładniej – nieznana jest jego zależność od skali.

W latach 60. Mandelbrot przedstawił środowisku ekonomicznemu swoją koncepcję cen towarów i papierów wartościowych, która podekscytowała ekonomistów finansowych. W 1963 roku ówczesny dziekan University of Chicago Graduate School of Business George Shultz zaproponował mu profesurę. Był to ten sam George Shultz, który później został sekretarzem stanu w administracji Ronalda Reagana.

Któregoś wieczoru zadzwonił do Mandelbrota, żeby przypomnieć mu o swojej propozycji.

Do chwili, kiedy piszę te słowa, czyli przez czterdzieści cztery lata, w ekonomii i statystyce nauk społecznych nic się nie zmieniło – poza kosmetycznymi modyfikacjami, w których świat traktuje się tak, jakby podlegał tylko umiarkowanej przypadkowości – a mimo wszystko wyłaniano kolejnych noblistów. Ludzie, którzy nie rozumieli głównej idei Mandelbrota, pisali artykuły przedstawiające „dowody” na to, że się myli – to żaden problem wygenerować dane „potwierdzające”, że jakiś proces ma charakter gaussowski, wystarczy wybrać do analizy okresy bez rzadkich zdarzeń. Na tej samej zasadzie da się wytypować popołudnie, gdy nikt nikogo nie zabił, i uznać, że stanowi ono „dowód” na ludzką dobroć. Powtarzam, że ze względu na asymetrię indukcji łatwiej jest obalić rozkład normalny niż udowodnić, że jest właściwym podejściem;

analogicznie łatwiej jest obalić tezę o czyjejś niewinności, niż ją udowodnić. Z fraktalami jest na odwrót – trudniej obalić tezę o fraktalności obiektu, niż jej dowieść. Dlaczego? Ponieważ wystarczy jedno zdarzenie, żeby zbić argument o „normalności”

rozkładu prawdopodobieństwa.

Podsumowując, czterdzieści lat temu Mandelbrot rzucił perły przed ekonomistów i filistrów zainteresowanych wyłącznie własną karierą, którzy je odrzucili, ponieważ jego koncepcje były dla nich za dobre. Były to, jak to się mówi, margaritas ante porcos, perły rzucone przed wieprze.

W pozostałej części tego rozdziału wyjaśnię, jak wykorzystać mandelbrotowskie fraktale do zobrazowania (większości przypadków) przypadkowości, niekoniecznie zgadzając się z ich konkretnymi zastosowaniami. Fraktale powinny być opcją domyślną, przybliżeniem, układem odniesienia. Nie rozwiązują one problemu Czarnego Łabędzia i nie zamieniają wszystkich Czarnych Łabędzi w zdarzenia przewidywalne, ale znacznie łagodzą problem Czarnego Łabędzia, ponieważ dzięki nim stają się one wyobrażalne. (I szare. Dlaczego szare? Ponieważ tylko paradygmat gaussowski przynosi pewność. Więcej o tym w dalej).