2.2. Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa
2.2.2. Rdzenie i rozbieralno´s´c przestrzeni Aleksandrowa
φ6α b˛edzie ci ˛agiem pozasko ´nczo-nym zbiorów, za´s fφ,φ+1: Xφ → Xφ+1
φ<α ci ˛agiem funkcji. Dla ψ 6 α definiu-jemy za pomoc ˛a indukcji pozasko ´nczonej niesko ´nczone zło˙zenie
→ fφ,φ+1
06φ<ψ : X0 →Xψ
funkcji fφ,φ+1
φ<ψw nast˛epuj ˛acy sposób: — → fφ,φ+1 06φ<0 =idP0; — → fφ,φ+1 06φ<ψ= fρ,ρ+1◦ → fφ,φ+1 06φ<ρ, gdy ψ=ρ+1; — → fφ,φ+1 06φ<ψ(x) = fφ,φ+1
06φ<β(x) dla x ∈ X, je´sli ψ jest liczb ˛a po-rz ˛adkow ˛a graniczn ˛a, za´s β jest tak ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, ˙ze
→ fφ,φ+1 06φ<β(x) ∈ Xψ oraz → fφ,φ+1 06φ<ρ(x) = → fφ,φ+1 06φ<β(x)
dla wszystkich β6ρ<ψ, o ile taka liczba β istnieje.
Je ˙zeli dla jakiej´s granicznej liczby porz ˛adkowej ψ 6 α nie istnieje liczba porz ˛ ad-kowa β spełniaj ˛aca powy ˙zszy warunek, to ci ˛ag fφ,φ+1
φ<α nie jest niesko ´nczenie składalny i niesko ´nczone zło ˙zenia → fφ,φ+1
06φ<ρnie istniej ˛a dla ρ >ψ.
Ustalmy pewn ˛a klas˛eRretrakcji w kategorii przestrzeni Aleksandrowa.
Ele-menty takiej klasy nazywamy R-retrakcjami. Nast˛epuj ˛ace definicje wzorowane s ˛a na pracy Schrödera [202], w której sformułowano je dla pojedynczych prze-strzeni.
Par˛e przestrzeni Aleksandrowa(X, A)nazywamyR-rdzeniem, je´sli nie istnieje ró ˙zna od identyczno´sci retrakcja r : X →r(X)nale ˙z ˛ac ˛a doRi taka, ˙ze r
A =idA. Niech (X, A)b˛edzie par ˛a przestrzeni Aleksandrowa. Mówimy, ˙ze przestrze ´n X jestR-rozbieralna do A, je ˙zeli istniej ˛a liczba porz ˛adkowa α, ci ˛ag pozasko ´nczony
(Xφ)φ6α podzbiorów X oraz niesko ´nczenie składalny ci ˛ag pozasko ´nczony na-le ˙z ˛acych doR retrakcji rφ,φ+1: Xφ →Xφ+1
φ<α, zwany ci ˛agiemR-rozbieraj ˛acym X do A, takie, ˙ze:
— X0 =X; — Xψ=T
φ<ψXφdla ka ˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej ψ6α; — Xα = A.
ZaRprzyjmowa´c b˛edziemy w tym rozdziale nast˛epuj ˛ace klasy retrakcji: — klas˛eI retrakcji usuwaj ˛acych punkt nieredukowalny;
2.2. TYPY HOMOTOPIJNE PRZESTRZENI ALEKSANDROWA 49
— klas˛eU retrakcji w gór˛e, zawieraj ˛ac ˛a retrakcje r : X →r(X)takie, ˙ze r(x) > x dla ka ˙zdego x∈ X;
— klas˛eD retrakcji w dół, zdefiniowan ˛a dualnie doU;
— klas˛eC retrakcji porównywalnych, zawieraj ˛ac ˛a retrakcje r : X →r(X)takie, ˙ze r(x) ∼ x dla ka ˙zdego x∈ X.
Dla oznaczenia, ˙ze przestrze ´n X jest C-rozbieralna do A u ˙zywamy sym-bolu X&& A, natomiast C-rozbieralno´s´c X do punktu (nazywan ˛a krótko C-rozbieralno´sci ˛a X) oznaczamy przez X && ∗.
Do ko ´nca rozdziału Γ oznacza ustalon ˛a grup˛e.
Je´sli (X, A) jest Γ-par ˛a przestrzeni Aleksandrowa oraz istnieje ci ˛ag ekwiwa-riantnych retrakcjiC-rozbieraj ˛acy X do A, to piszemy X &&Γ A.
Zauwa ˙zmy, ˙ze je´sli przestrze ´n X jest sko ´nczona, to proces jej I-rozbierania pokrywa si˛e z opisanym przez Stonga procesem usuwania punktów niereduko-walnych, a rdzenie w sensie Stonga to dokładnieI-rdzenie.
W przypadku przestrzeni Aleksandrowa X bez niesko ´nczonych ła ´ncuchów poj˛eciaC-rozbieralno´sci,(U ∪ D)-rozbieralno´sci orazI-rozbieralno´sci X do pod-zbioru A ⊆ X s ˛a równowa ˙zne. Fakt ten nale ˙zy do folkloru teorii cz˛e´sciowych porz ˛adków; dla wygody Czytelnika szkicujemy jego dowód.
Lemat 2.2.5 ([203, Remark 2.2, Lemma 3.1]). Niech (X, A) b˛edzie par ˛a przestrzeni Aleksandrowa bez niesko ´nczonych ła ´ncuchów. Nast˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne:
1) X && A;
2) przestrze ´n X jest(U ∪ D)-rozbieralna do A; 3) przestrze ´n X jestI-rozbieralna do A.
Dowód. 1) =⇒ 2) : Niech r : X → r(X) b˛edzie C-retrakcj ˛a. Odwzorowanie
rd: X → rd(X) dane wzorem rd(x) = min{x, r(x)} jest D-retrakcj ˛a, za´s odwzo-rowanie ru = r
rd(X): rd(X) → r(X) jestU-retrakcj ˛a. Ponadto r = ru◦rd. W po-dobny sposób ka ˙zd ˛a retrakcj˛e z ci ˛aguC-rozbieraj ˛acego X do A mo ˙zna
przedsta-wi´c jako zło ˙zenieD-retrakcji orazU-retrakcji.
2) =⇒ 3) : Niech r : X → r(X) b˛edzie D-retrakcj ˛a ró ˙zn ˛a od idX. Rozwa ˙zmy niepusty zbiór A0 = {x∈ X : r(x) 6= x}. Zbiór min(A0) 6=∅, gdy˙z X nie zawiera niesko ´nczonych ła ´ncuchów. Je ˙zeli x0 ∈ min(A), to poniewa ˙z r(x0) < x0 oraz r(y) = y dla wszystkich y < x0, punkt x0 jest nieredukowalny nad r(x0). Niech r0: X → Xr {x0} b˛edzieI-retrakcj ˛a przeprowadzaj ˛ac ˛a x0 na r(x0). Przyjmijmy X1=Xr {x0}oraz
A1= Ar {x0} = nx ∈ X : r
X1(x) 6=xo. Zauwa ˙zmy, ˙ze r = r
X1 ◦ r0. Stosuj ˛ac powy ˙zsz ˛a metod˛e nietrudno in-dukcyjnie skonstruowa´c pozasko ´nczony ci ˛ag rφ,φ+1: Xφ →Xφ+1
φ<α retrak-cji I-rozbieraj ˛acy X do r(X) i taki, ˙ze r = → rφ,φ+1
06φ<α. W przypadku
U-retrakcji dowód prowadzimy dualnie. Ka ˙zd ˛a (U ∪ D)-retrakcj˛e mo ˙zna zatem przedstawi´c jako zło ˙zenie ci ˛agu pozasko ´nczonegoI-retrakcji.
Równowa ˙zno´s´c warunków 1) i 2) lematu 2.2.5 oraz wynikanie warunku 1) z warunku 3) mo ˙zna wykaza´c bez zało ˙zenia o braku niesko ´nczonych ła ´ncu-chów w X. W ogólno´sci jednak warunek 1) nie implikuje warunku 3). Na przy-kład odcinekI ze standardowym porz ˛adkiem jestC-rozbieralnymI-rdzeniem.
Lemat 2.2.6 (por. [204, 221]). Je˙zeli para (X, A) przestrzeni Aleksandrowa jest
C-rdzeniem oraz porz ˛adek X jest ła ´ncuchowo zupełny, to nie istnieje ró˙zne od idX od-wzorowanie f : X → X takie, ˙ze f
A =idAoraz f(x) ∼ x dla ka˙zdego x ∈ X.
Dowód. Niech f : (X, A) → (X, A) b˛edzie odwzorowaniem zachowuj ˛acym po-rz ˛adek i takim, ˙ze f(x) ∼ x dla ka ˙zdego x ∈ X. Istnieje zatem stowarzy-szona z f retrakcja Abiana-Browna AB(f): X → Fix(f). Jest ona C-retrakcj ˛a; ponadto AB(f)
A = idA. Poniewa ˙z para (X, A) jest C-rdzeniem, oznacza to, ˙ze AB(f) =idX. St ˛ad równie ˙z f =idX.
Lemat 2.2.7 (por. [203, Lemma 3.3]). Niech (X, A) b˛edzie par ˛a przestrzeni Aleksan-drowa tak ˛a, ˙ze porz ˛adek X jest ła ´ncuchowo zupełny, (XC, A) ⊆ (X, A) niech b˛edzie
C-rdzeniem, za´s T : X → XC retrakcj ˛a. Je˙zeli rφ,φ+1: Xφ → Xφ+1
φ<α jest ci ˛agiem
C-rozbieraj ˛acym X do pewnego podzbioru Y ⊆ X oraz rφ,φ+1
A = idA dla wszystkich φ<α, to T◦ → rφ,φ+1 06φ<ψ XC =idXC
dla ka˙zdej liczby porz ˛adkowej ψ6α.
Dowód. Dla ψ 6 α przyjmijmy oznaczenie Rψ = → rφ,φ+1
06φ<ψ : X → Xψ. Wyka ˙zemy metod ˛a indukcji pozasko ´nczonej, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej
ψ6αzachodzi równo´s´c T◦Rψ XC =idXC. Oczywi´scie T◦R0 =T◦idX =T, zatem T◦R0 XC =T XC =idXC. Ustalmy 0 < ψ 6 α i załó ˙zmy, ˙ze T◦Rρ
XC = idXC dla wszystkich ρ < ψ. Je ˙zeli ψ jest nast˛epnikiem, ψ = φ+1, to poniewa ˙z rφ,φ+1 jest C-retrakcj ˛a, dla wszystkich x∈ XCmamy T◦Rψ (x) = T◦rφ,φ+1◦Rφ (x) ∼ T◦Rφ (x) = x. Oczywi´scie T◦Rψ
(x) ∈ T(X) = XC dla wszystkich x ∈ X oraz T◦ Rψ
A =
idA. Wobec lematu 1.2.3 zbiór XCjest ła ´ncuchowo zupełny. Na podstawie lematu 2.2.6 zachodzi zatem równo´s´c T◦Rψ
XC =idXC.
Je´sli ψ jest graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, to równo´s´c T◦Rψ
XC =idXCwynika z zało ˙zenia indukcyjnego oraz definicji niesko ´nczonego zło ˙zenia.
Nast˛epuj ˛aca, prosta obserwacja (oraz jej ogólniejsze wersje) nale ˙z ˛a do folkloru teorii cz˛e´sciowych porz ˛adków (por. [202, 203]). Dla wygody Czytelnika zamiesz-czamy j ˛a wraz z dowodem.
2.2. TYPY HOMOTOPIJNE PRZESTRZENI ALEKSANDROWA 51
Lemat 2.2.8. Niech X b˛edzie przestrzeni ˛a Aleksandrowa bez promieni, α liczb ˛a porz ˛ ad-kow ˛a, za´s Xφ
φ6α zst˛epuj ˛acym ci ˛agiem podzbiorów X o tej własno´sci, ˙ze X0 = X oraz Xψ = T
φ<ψXφdla ka˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej ψ 6α. Wówczas ka˙zdy poza-sko ´nczony ci ˛agC-retrakcji rφ,φ+1: Xφ →Xφ+1
φ<αjest niesko ´nczenie składalny. Dowód. Ustalmy ci ˛ag C-retrakcji rφ,φ+1: Xφ →Xφ+1
φ<α oraz liczb˛e porz ˛ ad-kow ˛a ψ 6 α i załó ˙zmy, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej ρ < ψ ci ˛ag
rφ,φ+1: Xφ → Xφ+1
φ<ρjest niesko ´nczenie składalny. Wyka ˙zemy, ˙ze niesko ´ncze-nie składalny jest ci ˛ag rφ,φ+1: Xφ →Xφ+1
φ<ψ. Jest to oczywiste, gdy ψ jest na-st˛epnikiem. Załó ˙zmy zatem, ˙ze liczba porz ˛adkowa ψ jest graniczna i ustalmy ele-ment x∈ X. Dla ρ<ψniech
xρ = → rφ,φ+1: Xφ →Xφ+106φ<ρ(x). Przyjmijmy ρ0 =0 oraz, dla n ∈ N, niech
ρn+1 =minρn <ρ <ψ: xρ 6= xρn , o ile to minimum istnieje; zauwa ˙zmy, ˙ze ci ˛ag xρk
06k6n+1jest wówczas ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(X)(gdy ˙z retrakcje rρk,ρk+1, 0 6 k 6 n, s ˛a porównywalne). Poniewa ˙z
G(X)nie zawiera niesko ´nczonej ´scie ˙zki prostej, powy ˙zsze minimum nie istnieje dla pewnego n0∈ N. Zatem xρn0 ∈ Xψoraz
→ fφ,φ+106φ<ρ(x) = → fφ,φ+106φ<ρn0 (x) = xρn0
dla wszystkich ρn0 6 ρ < ψ, co oznacza, ˙ze ci ˛ag rφ,φ+1
φ<ψ jest niesko ´nczenie składalny.
Okre´slimy pewne (U ∪ D)-retrakcje, pozwalaj ˛ace w wielu wypadkach w usystematyzowany sposób C-rozebra´c dan ˛a par˛e przestrzeni Aleksandrowa doI-rdzenia.
Je´sli (X, A) jest par ˛a przestrzeni Aleksandrowa oraz X jest ła ´ncuchowo zu-pełna, to przez u(X,A) : X → X oznaczamy ci ˛agłe odwzorowanie zadane dla x∈ X w nast˛epuj ˛acy sposób:
u(X,A)(x) =
(
ux, je´sli x 6∈ A jest punktem nieredukowalnym pod ux, x w przeciwnym wypadku.
Poniewa ˙z dla ka ˙zdego x∈ X zachodzi u(X,A)(x) >x oraz porz ˛adek X jest ła ´ncu-chowo zupełny, istnieje retrakcja Abiana-Browna
AB u(X,A) : (X, A) → Fix u(X,A), A.
Przyjmujemy oznaczenie U(X,A) = AB u(X,A). Dualnie definiujemy retrakcj˛e w dół D(X,A) : X →DX(X).
Lemat 2.2.9. Je˙zeli U(X,A) =D(X,A) =idX dla pewnej pary przestrzeni Aleksandrowa
(X, A)bez niesko ´nczonych ła ´ncuchów, to para(X, A)jestC-rdzeniem.
Dowód. Je ˙zeli U(X,A) = D(X,A) = idX, to nie istnieje punkt x ∈ XrA niere-dukowalny w X, czyli(X, A)jest I-rdzeniem. Wobec lematu 2.2.5 otrzymujemy tez˛e.
Poni ˙zsza obserwacja wynika łatwo z definicji funkcji U(X,A), D(X,A).
Lemat 2.2.10([129, lemat III.1.11]). Dla Γ-pary przestrzeni Aleksandrowa(X, A) od-wzorowania U(X,A), D(X,A) s ˛aΓ-odwzorowaniami.
Ró ˙zne warianty poj˛ecia rozbieralno´sci s ˛a dobrze znane w teorii porz ˛adku (zob. np. [141,202,203],[204, Chapter 4, Exercise 24]). Istniej ˛a silne zwi ˛azki mi˛edzy
C-rozbieralno´sci ˛a a własno´sci ˛a punktu stałego ze wzgl˛edu na (jedno- i wielowar-to´sciowe) zachowuj ˛ace porz ˛adek odwzorowania [202,204], które stanowiły jedn ˛a z głównych motywacji rozwa ˙zania rozbieralno´sci niesko ´nczonych cz˛e´sciowych porz ˛adków, zapocz ˛atkowanego seri ˛a prac Li i Milnera [140–144]. (Zwi ˛azkami rozbieralno´sci z teori ˛a punktów stałych zajmujemy si˛e bardziej szczegółowo w rozdziałach 4 oraz 5.) Do interesuj ˛acych rozwa ˙za ´n prowadzi pytanie o jedno-znaczno´s´c (z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu) R-rdzenia, do którego R-rozebra´c mo ˙zna dan ˛a przestrze ´n [75, 76, 203]. Rozbieralno´s´c oraz jej odpowiedniki w in-nych kategoriach (np. grafów, kompleksów symplicjalin-nych) były ponadto stoso-wane mi˛edzy innymi w badaniach z zakresu arytmetyki cz˛e´sciowych porz ˛adków [204, Proposition 10.5.8], logiki [135], algebry uniwersalnej [136, 137], teorii gier [166], kolorowania grafów [59], teorii w˛ezłów [184], geometrycznej teorii grup [57, 108], czy nawet procesów stochastycznych i fizyki statystycznej [47, 68]. Lite-ratura dotycz ˛aca rozbieralno´sci i poj˛e´c pokrewnych jest na tyle bogata, ˙ze próba stworzenia wzgl˛ednie kompletnej bibliografii wykracza poza ramy niniejszej roz-prawy.