Odwracanie promieni

musi istnie´c wierzchołek y0 ∈ D, z którego nie wychodzi ˙zadna kraw˛ed´z grafu D. Liczba kraw˛edzi grafu D wychodz ˛acych z x jest równa 1 dla wszystkich x ∈

A_φ, wi˛ec wierzchołek y0 musi by´c postaci y0 = u(x₀) dla pewnego x0 ∈ A_φ. Definiujemy Pφ =^S

ψ<_φPψ



⊕ {x0} ⊕ {y0}.

Nietrudno zauwa ˙zy´c, ˙ze w obu powy ˙zszych przypadkach ci ˛ag Pψ,6ψ

ψ<φ+1spełnia warunki(aφ+1),(bφ+1),(cφ+1).

Gdy natomiast Aφ = ∅, to przyjmujemy α = _φi ko ´nczymy konstrukcj˛e. Za-uwa ˙zmy, ˙ze w tym przypadku Pr^S_ψ<φPψ = ∅, gdy˙z porz ˛adek P jest dobrze ufundowany.

Łatwo sprawdzi´c, ˙ze P^∗ = S

ψ<αPψ jest liniowym rozszerzeniem porz ˛adku P o ˙z ˛adanych własno´sciach.

3.3. O

DWRACANIE PROMIENI

Niech r = (r_i)_i∈N oraz s = (s_i)_i∈N b˛ed ˛a promieniami malej ˛acymi w grafie skierowanym D. Pisz ˛ac x ∈ r mamy na my´sli istnienie takiego indeksu i∈ N, ˙ze

x=ri, tzn. przynale ˙zno´s´c x do zbioru wyrazów ci ˛agu r.

Promienie malej ˛ace r, s nazywamy równowa˙znymi [13], o ile istniej ˛a liczby m, n ∈ N takie, ˙ze rm+i = sn+i dla wszystkich i ∈ N. Klas˛e abstrakcji

promie-nia malej ˛acego r wzgl˛edem tej relacji oznaczamy przez[r].

Mówimy, ˙ze dla pewnych liczb naturalnych n > 0, k > 0 promie ´n malej ˛acy r ma obwodnic˛e (bi)^m_i=0 zaczynaj ˛ac ˛a si˛e w rn i ko ´ncz ˛ac ˛a w r_n+k, je ˙zeli (bi)^m_i=0 jest ´scie ˙zk ˛a prost ˛a w grafie D, b0 = rn, bm = rn+k oraz spełniony jest jeden z poni ˙z-szych warunków:

— m>2 oraz bi 6∈r dla 1 6i 6m−1, — m =1 oraz k >1.

Przykłady obwodnic przedstawione s ˛a na rysunku 3.1.

x₁ //_x2 //_x3 //_x4 //_x5 //_x6 //_x7 //_x8

~~

r₀ //_r1 //_r2 //_r3 // _::

``

r₄ //_r5 //_r6 //_r7 //_r8 //_r9 //_{· · ·}

Rysunek 3.1: Promie ´n malej ˛acy (ri)_i∈N ma obwodnic˛e (r3, x1, x2, . . . , x6, r8), za-czynaj ˛ac ˛a si˛e w r3 a ko ´ncz ˛ac ˛a w r8, oraz obwodnic˛e (r1, r6), zaczynaj ˛ac ˛a si˛e w r₁i ko ´ncz ˛ac ˛a w r₆.

Lemat 3.3.1. Niech r, s b˛ed ˛a promieniami malej ˛acymi w grafie skierowanym D nie zawie-raj ˛acym cykli, przy czym r niech nie ma obwodnic. Je˙zeli cz˛e´s´c wspólna zbiorów wyrazów ci ˛agów r oraz s jest niesko ´nczonym zbiorem, to[r] = [s].

Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze zbiór wierzchołków D b˛ed ˛acych wyrazami ka ˙zdego z ci ˛ a-gów r, s jest niesko ´nczony. Przypu´s´cmy, ˙ze [r] 6= [s]. Istniej ˛a zatem liczby natu-ralnie i0 < i₁ oraz a 6= b takie, ˙ze s_i0 = ra, si₁ = r_b oraz sj 6∈ r dla wszystkich i₀ < j<i₁, przy czym(i₁, b) 6= (i₀+1, a+1).

Gdyby b < a, to s_i0, si₀+1, . . . , si₁, rb+1, . . . , ra−1

byłoby cyklem w D, co jest niemo ˙zliwe. Zatem a < b, co oznacza, ˙ze s_i0, s_i0+1, . . . , s_i1

jest obwod-nic ˛a promienia r. Otrzymali´smy sprzeczno´s´c z zało ˙zeniem lematu. Wobec tego

[r] = [s].

Promie ´n malej ˛acy r nazywamy multipromieniem, o ile dla ka ˙zdej liczby n ∈N

istnieje liczba i ∈N taka, ˙ze promie´n r ma obwodnic˛e zaczynaj ˛ac ˛a si˛e w rn+i.

Lemat 3.3.2. Je˙zeli graf skierowany D nie zawiera cykli oraz zawiera multipromie ´n, to

moc rodziny klas abstrakcji promieni malej ˛acych zawartych w grafie D jest nie mniejsza ni˙z 2^ℵ0.

Dowód. Ustalmy graf skierowany D nie zawieraj ˛acyc cykli oraz multipromie ´n r = (r_i)_i∈N zawarty w D. Przez r_ij

j∈N oznaczmy taki podci ˛ag ci ˛agu (r_i)_i∈N, ˙ze dla ka ˙zdego j ∈ N promie´n malej ˛acy r ma obwodnic˛e b(j) zaczynaj ˛ac ˛a si˛e w r_ij, a ko ´ncz ˛ac ˛a w r_ij+k dla pewnego k ∈ N takiego, ˙ze ij+k < i_j+1. Poniewa ˙z graf skierowany D nie zawiera cykli, łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze dla i 6= j ´scie ˙zki proste b(i), b(j)nie maj ˛a elementów wspólnych. Przez r(j)oznaczmy dla j ∈ N ´scie˙zk˛e

prost ˛a ri_j, ri_j+1, . . . , ri_j+1
b˛ed ˛ac ˛a fragmentem promienia malej ˛acego r.

Dla A ⊆ N przez rA oznaczmy promie ´n malej ˛acy powstały przez zast ˛ apie-nie w promieniu r fragmentu r(j) ´scie ˙zk ˛a prost ˛a b(j) dla wszystkich j ∈ _{A. Dla}

A, B ⊆ N promienie malej ˛ace rA, r_B s ˛a równowa ˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy ró ˙znica symetryczna zbiorów A i B jest sko ´nczonym zbiorem. Wobec tego zbiór

{[rA] : A⊆N}jest mocy 2^ℵ0.

Rozwa ˙zmy skojarzenie Morse’a M na cz˛e´sciowym porz ˛adku z gradacj ˛a P oraz ci ˛ag r = (r_i)_i∈N b˛ed ˛acy promieniem malej ˛acym wH_M(P). Niech

i₀=mini : rk(r_j) = i dla pewnego j∈ N ,

j0=min j : rk(rj) = i0 .

Nietrudno spostrzec, ˙ze poniewa ˙z M jest skojarzeniem, promie ´n malej ˛acy r_j0, rj₀+1, rj₀+2, . . .
zawiera jedynie elementy rangi i₀ oraz i0+1. Mówimy, ˙ze i₀ jest rang ˛a promienia r, czy te ˙z ˙ze r jest i₀-promieniem; symbolicznie: rk(r) = i₀. Zauwa ˙zmy, ˙ze równowa ˙zne promienie maj ˛a równ ˛a rang˛e.

Dla skojarzenia Morse’a M na cz˛e´sciowym porz ˛adku P przez CM(P)

oznaczmy zbiór elementów cz˛e´sciowego porz ˛adku P krytycznych ze wzgl˛edu na M, za´s przez R^M(P) rodzin˛e klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych wH_M(P). Ponadto, je´sli P jest porz ˛adkiem z rang ˛a, niech

3.3. ODWRACANIE PROMIENI 99

oraz, o ile P jest porz ˛adkiem z gradacj ˛a, niech

R_n^M(P) = ⁿ[r] ∈ R^M(P) : rk(r) =n^o.

Niech D b˛edzie grafem skierowanym oraz niech

R⊆ {[r]: r jest promieniem malej ˛acym w D}.

Rodzin˛e {r^r}_r∈R promieni malej ˛acych w D tak ˛a, ˙ze [r^r] = r dla ka ˙zdego r ∈ R, nazywamy rodzin ˛a reprezentuj ˛ac ˛a zbiór R.

Je ˙zeli P jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a, za´s M jest skojarzeniem Morse’a na P, to rodzin˛e rr = r^r_{i
i∈N r∈R} reprezentuj ˛ac ˛a zbiór R ⊆ R^M(P)

nazywamy wspaniał ˛a, o ile dla wszystkich r, r⁰ ∈ Rtakich, ˙ze r6= r⁰, spełnione s ˛a nast˛epuj ˛ace warunki:

— promie ´n malej ˛acy r^r nie ma obwodnic;

— nie istnieje ´scie ˙zka prosta wH_M(P)prowadz ˛aca z elementu nale ˙z ˛acego do rr do elementu nale ˙z ˛acego do rr⁰ (w szczególno´sci rr nie ma elementów wspólnych z r^r0);

— rk(r^r₀) =rk(r^r).

Szczególnie istotny dla dalszej cz˛e´sci rozprawy b˛edzie przypadek, gdy zbiór Rjest jednoelementowy.

Lemat 3.3.3. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a oraz z zadanym skoja-rzeniem Morse’a M. Dla ka˙zdego promienia malej ˛acego r wH_M(P) nie b˛ed ˛acego multi-promieniem istnieje wspaniała rodzina reprezentuj ˛aca zbiór{[r]}.

Dowód. Ustalmy promie ´n malej ˛acy r wH_M(P)nie b˛ed ˛acy multipromieniem. Dla odpowiednio du ˙zego n ∈ N równowa˙zny r promie´n malej ˛acy r∗ = (r^∗_i)_i∈N ⁼

(r_n+i)_i∈Nnie ma obwodnic oraz rk(r) = rk(r^∗) =rk(r₀^∗). Jednoelementowy zbiór

{r^∗}stanowi wspaniał ˛a rodzin˛e reprezentuj ˛ac ˛a{[r]}.

Wspaniał ˛a rodzin˛e reprezentuj ˛ac ˛a R nietrudno tak ˙ze znale´z´c dla dowolnego zbioru R⊆ RM(P (X)), gdzie X jest 1-wymiarowym, regularnym CW komplek-sem.

Lemat 3.3.4. Niech X b˛edzie regularnym,1-wymiarowym CW kompleksem, za´s M niech b˛edzie skojarzeniem Morse’a na X. Dla ka˙zdego zbioru R ⊆ R^M(P (X))istnieje wspa-niała rodzina reprezentuj ˛aca R.

Dowód. Zauwa ˙zmy, ˙ze dla ka ˙zdego promienia malej ˛acego r wH_M(P (X)) zacho-dzi równo´s´c rk(r) = 0. Ponadto, je ˙zeli x ∈ P (X), rk(x) = 1, to zbiór ˆx↓_{P (X)} jest dwuelementowy.

Ustalmy zbiór R ⊆ R^M(P (X)) i wybierzmy dowoln ˛a reprezentuj ˛ac ˛a R ro-dzin˛e rr = r^r_{i
i∈N r∈R} promieni malej ˛acych w H_MP (_X)) o tej własno´sci, ˙ze 0=rk(r^r) = rk(r^r₀)dla ka ˙zdego r ∈ R. Wyka ˙zemy, ˙ze rodzina ta jest wspaniała.

Niech r ∈ Roraz niech(c0, c₁)b˛edzi kraw˛edzi ˛a grafu H_M(P (X)). Załó ˙zmy, ˙ze c0 =r^r_i

osobno przypadki rk(c0) = 0, rk(c0) = 1, a przy rozwa ˙zaniu drugiego z nich maj ˛ac na uwadze, ˙ze c0 6= r^r₀, za´s zbiór ˆc0↓_{P (X)} jest dwuelementowy, ˙ze istnieje dokładnie jedna kraw˛ed´z w H_M(P (X)) wychodz ˛aca z c0 i jest ni ˛a r^r_i

0, r^r_i

0+1
, czyli c1 = r^r_i0+1. Zatem ka ˙zda sko ´nczona ´scie ˙zka prosta wH_M(P (X)) rozpoczy-naj ˛aca si˛e w elemencie promienia malej ˛acego r^rjest postaci r^r_i, r_i^r₊₁, . . . , r^r_i+n
dla pewnych i, n∈ N.

Wobec powy ˙zszej obserwacji ˙zaden z promieni malej ˛acych r^r, r ∈ R, nie ma obwodnicy i dla ˙zadnych r0, r1 ∈ Rtakich, ˙ze r0 6= r₁, nie istnieje ´scie ˙zka prosta wH_M(P) prowadz ˛aca z elementu nale ˙z ˛acego do rr₀ do elementu nale ˙z ˛acego do r^r1. Rodzina(r^r)_r∈Rreprezentuj ˛aca zbiór R jest wi˛ec wspaniała.

Poni ˙zszy lemat pozwala zmodyfikowa´c dane skojarzenie Morse’a poprzez „odwrócenie” promieni malej ˛acych tworz ˛acych wspaniał ˛a rodzin˛e reprezentu-j ˛ac ˛a dany zbiór klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych. W wyniku tej operacji promienie malej ˛ace zostaj ˛a przekształcone w promienie rosn ˛ace, a jednocze´snie powstaje po jednym nowy elemencie krytycznym dla ka ˙zdego z tych promieni. Technik˛e „odwracania promieni” wykorzystan ˛a w poni ˙zszym dowodzie stoso-wali wcze´sniej Ayala, Fernández i Vilches [12], a jej korzenie mo ˙zna znale´z´c w ar-tykule Formana [81].

Lemat 3.3.5. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a i z zadanym skoja-rzeniem Morse’a M⁰, za´srr = (r^r_i)_{i∈N r∈R} niech b˛edzie rodzin ˛a reprezentuj ˛ac ˛a zbiór R⊆ RM⁰(P). Je˙zeli rodzina ta jest wspaniała, to zbiór

M =  M⁰r^ r^r_2k+1, r^r_2k
k∈N, r∈R  ∪ r^r_2k+1, r^r_2k+2
k∈N, r∈R

jest skojarzeniem Morse’a na P o tej własno´sci, ˙ze

C^M(P) = C^M0(P) ∪{r^r₀: r∈ R}, przy czym r^r₀ ∈ Pr C^M

0

(P), r₀^r 6= r^r₀⁰ dla r 6= r⁰ oraz rk(r^r₀) = rk(r^r) dla wszystkich r, r⁰ ∈R.

Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze rodzina {r^r}_r∈R reprezentuj ˛aca zbiór R jest wspaniała. Po-niewa ˙z rk(r^r₀) = rk(r^r) dla wszystkich r ∈ RM⁰(P), r^r₀jest minimalnym elemen-tem zbioru wyrazów ci ˛agu r^r; zatem (r₀^r, r^r₁) 6∈ H(P). Ale(r₀^r, r^r₁) ∈ H_M0(P), wi˛ec

(r^r₁, r^r₀) ∈ M⁰. Poniewa ˙z M⁰ jest skojarzeniem, (r^r₂, r^r₁) 6∈ M⁰, i w konsekwencji

(r^r₁, r^r₂) ∈ H(P), wi˛ec rk(r₂^r) =rk(r^r). Podobnie, dla wszystkich k ∈ N kraw˛edzie

r^r_2k+1, r_2k^r
nale ˙z ˛a do skojarzenia M⁰.

Korzystaj ˛ac z powy ˙zszej obserwacji i zało ˙zenia, ˙ze promienie malej ˛ace r^r, r^r0s ˛a rozł ˛aczne dla ró ˙znych r, r⁰ ∈ R, łatwo jest zauwa ˙zy´c, ˙ze M jest skojarzeniem w grafie skierowanymH(P).

Wyka ˙zemy, ˙ze graf skierowany H_M(P) nie zawiera cykli. W tym celu udo-wodnimy najpierw, ˙ze je´sli A ⊆Rjest sko ´nczonym zbiorem, to

MA =  M⁰r^ r^r_2k+1, r^r_2k
k∈N, r∈A  ∪ r_2k^r ₊₁, r^r_2k+2
k∈N, r∈A

3.3. ODWRACANIE PROMIENI 101

jest skojarzeniem Morse’a na P. (Oczywi´scierr = (r^r_i)_i∈N

r∈Ajest wspaniał ˛a ro-dzin ˛a reprezentuj ˛ac ˛a A, zatem z pierwszej cz˛e´sci dowodu wiemy, ˙ze MAjest sko-jarzeniem w grafie skierowanymH(P).)

Przeprowadzimy indukcj˛e ze wzgl˛edu na liczb˛e elementów zbioru A. Je ˙zeli A = ∅, to MA = M⁰ jest skojarzeniem Morse’a. Załó ˙zmy, ˙ze MB jest skojarze-niem Morse’a dla wszystkich B ⊆ Rtakich, ˙ze|B| < |A|. Ustalmy a∈ A. Przy-pu´s´cmy, ˙ze graf skierowanyH_MA(P)zawiera cykl c = (c0, c₁, . . . , cm). Poniewa ˙z M_Ar{a} jest z zało ˙zenia indukcyjnego skojarzeniem Morse’a, musz ˛a istnie´c ele-menty nast˛epuj ˛ace kolejno po sobie w cyklu c (przez takie elementy rozumiemy równie ˙z cm, c₀), które nale ˙z ˛a do r^a; w przeciwnym wypadku c byłoby cyklem w H_MAr{a}(P). Mo ˙zemy zało ˙zy´c (ewentualnie zmieniaj ˛ac numeracj˛e elementów cyklu c), ˙ze cm, c0∈ r^a. Z drugiej strony, musi istnie´c element cyklu c nie nale ˙z ˛acy do r^a; w przeciwnym wypadku ci ˛ag (cm, cm−1, . . . , c0) byłby cyklem w H_M0(P). Niech ia, i_b ∈ N b˛ed ˛a takie, ˙ze 0 6 ia < ia+1 < i_b 6 m, c_i 6∈ r^a dla ia < i < i_b oraz c_ia, c_ib ∈ r^a. Wówczas c_ia = r^a_a, c_ib = r^a_b dla pewnych a, b ∈ N. Oczywi´scie

a 6= b, gdy ˙z r^a_a = ci_a 6= ci_b = r^a_b. Gdyby a > b, to ci ˛ag ci_a, . . . , ci_b, r_b^a₊₁, . . . , r^a_a−1
byłby cyklem w H_M

Ar{a}(P), co jest niemo ˙zliwe. Zatem a < b. Ale to oznacza, ˙ze c_ia, . . . , c_ib
jest obwodnic ˛a r^aw H_MAr{a}(P). Poniewa ˙z r^a z zało ˙zenia nie ma obwodnic wH_M0(P), istnieje

i0 =minⁿia <i <ib : ci ∈_ra⁰

dla pewnego a⁰ ∈ A_ra^o.

Wobec tego ci_a, . . . , ci₀
jest ´scie ˙zk ˛a w H_M0(P) prowadz ˛ac ˛a z elementu ci ˛agu rado elementu ci ˛agu r^a0. Jest to sprzeczne ze wspaniało´sci ˛a rodziny{rr}_r∈A.

Wykazali´smy, ˙ze dla ka ˙zdego sko ´nczonego zbioru A ⊆ R graf skierowany

H_MA(P)nie zawiera cykli, czyli MAjest skojarzeniem Morse’a.

Ustalmy sko ´nczony ci ˛ag c = (c0, c1, . . . , cm)wierzchołkówH_M(P). Udowod-nimy, ˙ze nie jest on cyklem. Zauwa ˙zmy, ˙ze zbiór {c₀, . . . , cm} _{ma niepuste}

prze-kroje ze zbiorami wyrazów co najwy ˙zej m+1 ró ˙znych promieni malej ˛acych z ro-dziny{r^r}_r∈R; powiedzmy ˙ze s ˛a to promienie r^r1, . . . , r^rndla pewnego n6m+1. Niech A = {r₁, . . . , rn}. Gdyby c było cyklem w H_M(P), to byłoby te ˙z cyklem wH_MA(P). To jednak, jak wykazali´smy, jest niemo ˙zliwe. Zatem M jest skojarze-niem Morse’a na P.

Nietrudno zauwa ˙zy´c, ˙ze CM(P) = C^M0(P) ∪{rr

0 : r∈ R}. Bezpo´srednio z za-ło ˙ze ´n lematu wynika, ˙ze r^r₀ ∈ Pr C^M0(P), r^r₀ 6= r₀^r0 dla r6= r⁰ oraz rk(r^r₀) =rk(r^r)

dla wszystkich r, r⁰ ∈ R.

Przy „odwracaniu” promieni malej ˛acych ze wspaniałej rodziny reprezentuj ˛ a-cej zbiór R⊆ RM(P)nie powstaj ˛a nowe promienie malej ˛ace.

Lemat 3.3.6. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a i z zadanym skoja-rzeniem Morse’a M⁰, za´srr = (r^r_i)_i∈N

r∈R niech b˛edzie rodzin ˛a reprezentuj ˛ac ˛a zbiór R ⊆ R^M0(P). Załó˙zmy, ˙ze rodzina ta jest wspaniała, za´s M jest skojarzeniem Morse’a

na P zadanym wzorem M=  M⁰r^ r^r_2k+1, r^r_2k
k∈N, r∈R  ∪ r^r_2k+1, r^r_2k+2
k∈N, r∈R .

Wówczas dla ka˙zdego promienia malej ˛acego s zawartego wH_M0(P)i takiego, ˙ze[s] 6∈R, istnieje promie ´n malej ˛acy ˜s ∈ [s] w H_M0(P) b˛ed ˛acy równie˙z promieniem malej ˛acym wH_M(P), a odwzorowanieRM⁰(P) rR→ RM(P) zadane przez[s] 7→ [˜s]jest bijek-cj ˛a.

Dowód. Ustalmy promie ´n malej ˛acy s = (s_i)_i∈Nw grafie H_M0(P)taki, ˙ze[s] 6∈ R. Zdefiniujemy promie ´n malej ˛acy ˜s.

Je ˙zeli zbiór elementów promienia malej ˛acego s jest rozł ˛aczny ze zbiorem ele-mentów ka ˙zdego z promieni malej ˛acych r^r, r ∈ R, to s jest promieniem malej ˛ a-cym wH_M(P)i mo ˙zemy przyj ˛a´c ˜s=s.

Je´sli natomiast s ma elementy wspólne z jakim´s promieniem nale ˙z ˛acym do rodziny {r^r}_r∈R, to promie ´n taki jest dokładnie jeden. Je´sli bowiem si₀ ∈ r^r0, s_i1 ∈ rr₁ dla pewnych r0, r1 ∈ R oraz i0 < i₁, to si₀, si₀+1, . . . , si₁
jest ´scie ˙zk ˛a prost ˛a w H_M0(P) prowadz ˛ac ˛a z elementu promienia r^r0 do elementu promienia r^r1. Wobec zało ˙zenia o wspaniało´sci rodziny{r^r}_r∈Rzachodzi równo´s´c r0 =r₁.

Załó ˙zmy, ˙ze dla pewnego r∗ ∈ Rpromie ´n malej ˛acy s ma elementy wspólne z promieniem r^r∗. Wobec lematu 3.3.1 je´sli zbiór elementów nale ˙z ˛acych zarówno do r^r∗ jak i do s jest niesko ´nczony, to r∗ = [r^r∗] = [s], co jest sprzeczne z wyborem s. Zatem dla odpowiednio du ˙zego n0∈ N promie´n malej ˛acy ˜s= (s_n0+i)_i∈N ∈ [s]

jest rozł ˛aczny z r^r∗. Ci ˛ag ˜s jest rozł ˛aczny ze wszystkimi promieniami z rodziny

{rr}_r∈R, jest wi˛ec te ˙z promieniem malej ˛acym wH_M(P).

Wobec tego istnieje odwzorowanie RM⁰(P) rR → RM(P) zadane dla[s] ∈ RM⁰(P) rR przez [s] 7→ [˜s]. Jest ono oczywi´scie ró ˙znowarto´sciowe. Poka ˙zemy,

˙ze jest te ˙z „na”.

W tym celu ustalmy promie ´n malej ˛acy t = (ti)_i∈N w H_M(P). Je ˙zeli zbiór wyrazów ci ˛agu t jest rozł ˛aczny ze zbiorem wyrazów ka ˙zdego spo´sród promieni malej ˛acych nale ˙z ˛acych do{r^r}_r∈R, to t= ˜t jest promieniem malej ˛acym wH_M0(P)

oraz[t] = [˜t].

Je´sli natomiast istnieje promie ´n malej ˛acy z rodziny{r^r}_r∈R, który ma wspólne elementy z t, to jest on tylko jeden. (W przeciwnym wypadku istniałyby i0 < i₁ takie, ˙ze t_i0, t_i1 nale ˙załyby do ró ˙znych promieni z rodziny {r^r}_r∈R, za´s t_i nie na-le ˙załoby do ˙zadnego promienia z tej rodziny dla wszystkich i0 < i < i₁. Ci ˛ag ti₀, ti₀+1, . . . , ti₁
byłby wówczas ´scie ˙zk ˛a prost ˛a mi˛edzy elementami ró ˙znych pro-mieni z{rr}_r∈R, co wobec zało ˙zenia o wspaniało´sci tej rodziny jest wykluczone.) Załó ˙zmy, ˙ze dla pewnego r? ∈ Rpromie ´n t ma wspólny element z promie-niem malej ˛acym r^r?. Udowodnimy, ˙ze zbiór wspólnych elementów tych ci ˛agów jest sko ´nczony. B˛edzie to oznaczało, ˙ze istnieje równowa ˙zny t promie ´n malej ˛acy t⁰wH_M(P)rozł ˛aczny z r^r?. Taki promie ´n t⁰ jest równie ˙z promieniem malej ˛acym wH_M0(P)i mamy

˜t0

= [t⁰] = [t]wH_M(P), a zatem funkcja[s] 7→ [˜s]jest „na”. Przypu´s´cmy, ˙ze t oraz r^r? maj ˛a niesko ´nczenie wiele wspólnych elementów. Istniej ˛a wówczas ró ˙znowarto´sciowe ci ˛agi liczb naturalnych(in)_n∈Noraz(jn)_n∈N

3.3. ODWRACANIE PROMIENI 103

takie, ˙ze t_in = r^r?

j_n dla wszystkich n ∈ N. W szczególno´sci istniej ˛a a, b ∈ N o tej

własno´sci, ˙ze ia <i_b oraz ja < j_b, a zatem istniej ˛a w grafieH_M(P) ´scie ˙zki proste r^r?

ja = t_ia, t_ia+1, . . . , t_ib = r^r?

j_b
oraz t_ib = r^r?

j_b, r^r?

j_b−1, . . . , r^r?

ja = t_ia
. Oznacza to, ˙ze w grafie skierowanym H_M(P) istnieje cykl; jest to sprzeczne faktem, ˙ze M jest skojarzeniem Morse’a. Zbiór wspólnych elementów ci ˛agów t oraz r^r? jest wi˛ec sko ´nczony, co wobec wcze´sniejszych rozwa ˙za ´n ko ´nczy dowód lematu.

Stwierdzenie 3.3.7. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a, na którym za-dane jest skojarzenie Morse’a M⁰takie, ˙ze zbiórRM⁰(P)jest sko ´nczony. Wówczas istnieje skojarzenie Morse’a M na P bez promieni malej ˛acych i o tej własno´sci, ˙ze

C^M(P) = C^M0(P) ∪ⁿc_[r] : [r] ∈ R^M0(P)^o, gdzie c[r] ∈ _{Pr C}M⁰(P), c[r] 6= _c[r0] dla[r] 6= [r⁰]oraz rk c[r]

= rk(r)dla wszystkich

[r],[r⁰] ∈ R^M0.

Dowód. Dowód prowadzimy metod ˛a indukcji matematycznej ze wzgl˛edu na liczb˛e klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych. Poniewa ˙z liczba ta jest sko ´n-czona, na podstawie lematu 3.3.2 graf skierowany H_M0(P) nie zawiera multi-promieni, a w tej sytuacji lematy 3.3.3, 3.3.5 oraz 3.3.6 pozwalaj ˛a przekształci´c dane skojarzenie Morse’a przez „odwrócenie” jednego z promieni i tym samym zmniejszy´c o jeden liczb˛e klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych.

Poni ˙zsze stwierdzenie stanowi natychmiastowy wniosek z lematu 3.3.4 (dla R = R^M0(P (X))) oraz lematów 3.3.5, 3.3.6.

Stwierdzenie 3.3.8. Niech X b˛edzie1-wymiarowym, regularnym CW kompleksem z za-danym skojarzeniem Morse’a M⁰. Istnieje wówczas skojarzenie Morse’a M na X bez pro-mieni malej ˛acych i takie, ˙ze

CM(P (X)) =C_M0(P (X)) ∪ⁿc_[r] : [r] ∈ R^M0(P (X))^o, gdzie c[r] ∈ P (_X) rC_M0(P (X)), c[r] 6= _c[r0] dla [r] 6= [r⁰] oraz rk c[r]

= 0 dla wszystkich[r],[r⁰] ∈ R^M0.

Naturalne wydaje si˛e przypuszczenie, ˙ze mo ˙zliwy jest korzystaj ˛acy z zasady indukcji pozasko ´nczonej dowód wyniku analogicznego do stwierdzenia 3.3.7 w sytuacji, gdyH_M0(P)nie zawiera multipromieni, lecz klas równowa ˙zno´sci pro-mieni malej ˛acych w tym grafie jest niesko ´nczenie wiele. Jednak ˙ze dla granicz-nych liczb porz ˛adkowych granicznych przy tym podej´sciu problem: w wyniku procesu „odwrócenia” niesko ´nczenie wielu promieni malej ˛acych mo ˙ze powsta´c nowy taki promie ´n. Sytuacj˛e tak ˛a ilustruje rysunek 3.2.

Oczywi´scie w sytuacji z rysunku 3.2 nietrudno wybra´c wspaniał ˛a rodzin˛e re-prezentuj ˛ac ˛a zbiórri

i∈N, ale przykład ten mo ˙zna zmodyfikowa´c, czyni ˛ac go bardziej „zło´sliwym”. Przykładowo, pomi˛edzy promieniami r^2k, r^2k+1dla k ∈N

r⁰ : • "" • "" • ""  • %% . . . • << • << • << • :: • 99 r¹ : • "" • "" • ""  • $$ . . . • << • << • << • << • 99 r² : • "" • "" • ""  • "" . . . • << • << • << • << • :: .. . .._.

Rysunek 3.2: Diagram Hassego pewnego cz˛e´sciowego porz ˛adku z gradacj ˛a po zmianie orientacji kraw˛edzi (zaznaczonych lini ˛a przerywan ˛a) nale ˙z ˛acych do sko-jarzenia Morse’a na tym porz ˛adku. Odwrócenie wszystkich promieni z rodziny rⁱ
_i∈N powoduje powstanie nowego promienia malej ˛acego (przechodz ˛acego przez pionowe strzałki).

mo ˙zemy dorysowa´c niesko ´nczenie wiele pionowych strzałek. W tej sytuacji wy-bór wspaniałej rodziny reprezentuj ˛acej zbiór ri

i∈N b˛edzie niemo ˙zliwy. Jed-nak ˙ze operacj˛e „odwracania promieni” mo ˙zna w tej sytuacji nadal przeprowa-dzi´c bez tworzenia nowego promienia malej ˛acego. Gdy niesko ´nczenie wiele strzałek dorysujemy pomi˛edzy wszystkimi parami promieni rⁱ, rⁱ⁺¹, i ∈ N, staje

si˛e to niemo ˙zliwe.

Problem 3.3.9. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a oraz zadanym skojarzeniem Morse’a M⁰ takim, ˙ze zbiór RM⁰(P)jest niesko ´nczony. Przy jakich zało ˙zeniach o P oraz M⁰ mo ˙zliwe jest uzyskanie na P skojarzenia Morse’a M bez promieni malej ˛acych i o tej własno´sci, ˙ze

C^M(P) = C^M0(P) ∪ⁿc[r] : [r] ∈ R^M0(P)^o, gdzie c[r] ∈ Pr C^M 0 (P), c[r] 6= c[r0] dla[r] 6= [r⁰]oraz rk c[r]
=rk(r)dla wszyst-kich[r],[r⁰] ∈ R^M0? PrzezRG ri

i∈I
dla rodziny promieni malej ˛acychri

i∈Izawartych w gra-fie skierowanym D oznaczmy graf skierowany o zbiorze wierzchołków ri

i∈I

taki, ˙ze kraw˛ed´z rⁱ, r^j

∈ RG ri

i∈I
wtedy i tylko wtedy, gdy i 6= j oraz istnieje ´scie ˙zka w D prowadz ˛aca z elementu nale ˙z ˛acego do rⁱ do elementu

nale-˙z ˛acego do r^j.

Wydaje si˛e, ˙ze je´sli w definicji wspaniałej rodziny reprezentuj ˛acej R⊆ RM(P)

zast ˛apimy warunek mówi ˛acy o nieistnieniu ´scie ˙zek pomi˛edzy ró ˙znymi promie-niami z tej rodziny warunkiem nast˛epuj ˛acym:

W dokumencie Typy homotopijne kompleksów niezwartych i punkty stałe ich niezwartych odwzorowań (Stron 123-131)