2.3. Rozbieralno´s´c i mocny typ homotopijny kompleksów symplicjalnych 67
2.3.3. Słabsze formy rozbieralno´sci kompleksów symplicjalnych . 79
Kompleks symplicjalny K = (V, S)nazywamy lokalnie rozbieralnym, je ˙zeli dla ka ˙zdego sko ´nczonego podzbioru D ⊆V istnieje sko ´nczony zbiór E ⊆V taki, ˙ze D⊆E oraz K
E && ∗.
Nast˛epuj ˛aca obserwacja, uogólniaj ˛aca wyniki znane dla sko ´nczonych kom-pleksów symplicjalnych i cz˛e´sciowych porz ˛adków [31, Theorem 4.15, Corollary 4.18], [91], oka ˙ze si˛e u ˙zyteczna zarówno przy porównaniu poj˛e´c lokalnej rozbie-ralno´sci kompleksów symplicjalnych oraz przestrzeni Aleksandrowa, jak i w dal-szej cz˛e´sci rozprawy.
Stwierdzenie 2.3.21 (por. [31, Theorem 4.15]). Niech K b˛edzie kompleksem sympli-cjalnym bez promieni. Wówczas K && ∗wtedy i tylko wtedy, gdyK(P (K)) && ∗.
Niech X b˛edzie przestrzeni ˛a Aleksandrowa bez promieni. Wówczas X && ∗wtedy i tylko wtedy, gdyP (K(X)) && ∗.
Dowód. Na podstawie lematu 2.3.5 je´sli K && ∗, to równie ˙z K(P (K)) && ∗, oraz je´sli X && ∗, toP (K(X)) && ∗.
Załó ˙zmy, ˙ze K(P (K)) && ∗. Wobec stwierdzenia 2.3.18 istnieje C4-rdze ´n
L ⊆ K taki, ˙ze K && L. Z lematu 2.3.5 otrzymujemy K(P (K)) && K(P (L)). KompleksyK(P (L))oraz K(P (K))maj ˛a wi˛ec ten sam mocny typ homotopijny, a zatemK(P (L)) && ∗na podstawie stwierdzenia 2.3.18.
Zgodnie z lematem 2.3.3 istnieje I4-rozbieraj ˛acy K(P (L)) do punktu ci ˛ag ρφ,φ+1: Lφ → Lφ+1
φ<α (zauwa ˙zmy, ˙ze przyjmujemy oznaczenie L0 = K(P (L))). Udowodnimy za pomoc ˛a indukcji pozasko ´nczonej, ˙ze dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ 6 α, ka ˙zdego sympleksu σ ∈ max(P (L)) oraz ka ˙zdego wierzchołka v ∈ L sympleksy σ oraz {v} s ˛a wierzchołkami kompleksu Lφ .
Po-niewa ˙z kompleks Lα składa si˛e z jednego wierzchołka, oznaczało to b˛edzie, ˙ze równie ˙z L składa si˛e z jednego wierzchołka, czyli ˙ze K&& L = ∗.
Oczywi´scie dowodzona indukcyjnie teza jest prawdziwa dla φ =0. Ustalmy 0 <φ6α i załó ˙zmy, ˙ze jest ona prawdziwa dla wszystkich liczb porz ˛adkowych
ψ<φ. Je´sli φ jest graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, to teza indukcyjna dla φ wynika natychmiast z definicji ci ˛agu I4-rozbieraj ˛acego. Niech wi˛ec φ = ψ+1 b˛edzie nast˛epnikiem.
Je ˙zeli σ = v0, . . . , vdim(σ)
∈ max(P (L)), to z zało ˙zenia indukcyjnego σ jest wierzchołkiem kompleksu Lψ. Wyka ˙zemy, ˙ze wierzchołek ten nie jest w Lψ zdo-minowany, co b˛edzie oznaczało, ˙ze σ nale ˙zy równie ˙z do Lφ. Je ˙zeli dim(σ) = 0, to lkLψ(σ) = ∅, wi˛ec wierzchołek σ ∈ Lψ nie jest zdominowany; mo ˙zemy wi˛ec zakłada´c, ˙ze dim(σ) > 0. Zauwa ˙zmy, ˙ze z zało ˙zenia indukcyjnego {vi} jest wierzchołkiem kompleksu Lψ dla ka ˙zdego i = 0, . . . , dim(σ). Ponadto {{vi}, σ}
jest sympleksem w L0. Poniewa ˙z Lψ jest pełnym podkompleksem L0, sympleks
{{vi}, σ} nale ˙zy do Lψ. Zatem {vi} ∈ lkLψ(σ). Przypu´s´cmy, ˙ze σ jest wierz-chołkiem zdominowanym w Lψ przez pewien wierzchołek τ 6= σ tego kom-pleksu. Wobec tego τ ∈ lkLψ(σ) oraz {{vi}, τ} jest sympleksem w Lψ dla ka ˙z-dego i = 0, . . . , dim(σ). To oznacza, ˙ze vi ∈ τ dla ka ˙zdego i = 0, . . . , dim(σ), wi˛ec σ ⊆τ. Ale σ jest maksymalnym sympleksem, wi˛ec τ =σ, co jest sprzeczne z wyborem τ. Wierzchołek σ nie jest zatem zdominowany w Lψ.
Je´sli v jest wierzchołkiem L, to z zało ˙zenia indukcyjnego {v} jest wierz-chołkiem Lψ. Wyka ˙zemy, ˙ze nie jest on zdominowany. Mo ˙zemy zakłada´c, ˙ze
{v} 6∈ max(P (L)), gdy ˙z ten przypadek został ju ˙z rozpatrzony wy ˙zej. Niech M = {σ ∈ max(P (L)) : v ∈ σ}. Z zało ˙zenia indukcyjnego ka ˙zdy sympleks
σ ∈ M jest wierzchołkiem Lψ. Ponadto{σ,{v}} jest sympleksem L dla ka ˙zdego
σ ∈ M, wi˛ec σ ∈ lkL
ψ({v}). Przypu´s´cmy, ˙ze {v} jest wierzchołkiem
zdomino-wanym w Lψ przez pewien wierzchołek τ 6= {v}. Wówczas τ ∈ lkLψ({v}), wi˛ec {v} ( τ, oraz {τ, σ} jest sympleksem Lψ, czyli τ ⊆ σ, dla ka ˙zdego sym-pleksu σ ∈ M. Wybierzmy wierzchołek w ∈ τ, w 6= v. Poniewa ˙z w ∈ σ dla ka ˙zdego maksymalnego sympleksu σ zawieraj ˛acego v, wierzchołek v jest zdomi-nowany w kompleksie L przez wierzchołek w, co jest sprzeczne z tym, ˙ze L jest
C4-rdzeniem.
Zako ´nczyli´smy dowód pierwszej cz˛e´sci stwierdzenia.
Załó ˙zmy, ˙ze P (K(X)) && ∗. Wiemy z twierdzenia 2.2.21, ˙ze X && Y dla
pewnegoC-rdzenia Y ⊆X. Z lematu 2.3.5 otrzymujemyP (K(X)) && P (K(Y)). Poniewa ˙zP (K(X))jest przestrzeni ˛a ´sci ˛agaln ˛a, ´sci ˛agalna jest równie ˙z przestrze ´n
P (K(Y))(patrz wniosek 2.2.22). Zatem P (K(Y)) && ∗na podstawie twierdze-nia 2.2.21. Wobec lematu 2.3.5 mamy równie ˙z K(P (K(Y))) && ∗. Korzystaj ˛ac z pierwszej cz˛e´sci dowodu otrzymujemy K(Y) && ∗. Przestrze ´n Y jest jednak
C-rdzeniem, wi˛ec na podstawie lematu 2.3.7 kompleks K(Y) jest C4-rdzeniem. KompleksK(Y)składa si˛e zatem z jednego wierzchołka; st ˛ad Y jest przestrzeni ˛a jednoelementow ˛a.
Problem 2.3.22. Czy stwierdzenie 2.3.21 uogólnia si˛e na kompleksy symplicjalne bez niesko ´nczonych sympleksów i przestrzenie Aleksandrowa bez niesko ´nczo-nych ła ´ncuchów, b ˛ad´z na dowolne kompleksy symplicjalne i przestrzenie Alek-sandrowa?
Stwierdzenie 2.3.23. Je˙zeli kompleks symplicjalny K jest lokalnie rozbieralny, to
prze-strze ´n AleksandrowaP (K)jest lokalnie rozbieralna.
Przestrze ´n Aleksandrowa X jest lokalnie rozbieralna wtedy i tylko wtedy, gdy kom-pleks symplicjalnyK(X)jest lokalnie rozbieralny.
2.3. ROZBIERALNO´S ´C I MOCNY TYP HOMOTOPIJNY 81
Dowód. Ustalmy lokalnie rozbieralny kompleks symplicjalny K. Niech D ⊆ P (K)
b˛edzie sko ´nczonym podzbiorem. Zbiór D0 =min [
x∈D
x↓
!
jest sko ´nczony i zawiera si˛e w zbiorze wierzchołków kompleksu K. Istnieje zatem zawieraj ˛acy D0, sko ´nczony zbiór E wierzchołków tego kompleksu o tej własno´sci,
˙ze K
E && ∗. Na podstawie lematu 2.3.5 mamy P K E && ∗; ponadto D ⊆ P K E
⊆ P (K). Przestrze ´nP (K)jest zatem lokalnie rozbieralna.
Ustalmy przestrze ´n Aleksandrowa X. Załó ˙zmy, ˙ze jest ona lokalnie rozbie-ralna. Zbiorem wierzchołków kompleksu K(X) jest z definicji X. Niech D ⊆ X b˛edzie sko ´nczonym zbiorem. Istnieje sko ´nczony, I-rozbieralny zbiór E ⊆ X za-wieraj ˛acy D. Z lematu 2.3.5 otrzymujemy K(E) && ∗. Ale K(E) = K(X)
E. KompleksK(X)jest zatem lokalnie rozbieralny.
Załó ˙zmy teraz, ˙ze kompleks symplicjalny K(X) jest lokalnie rozbieralny. Niech D ⊆X b˛edzie sko ´nczon ˛a podprzestrzeni ˛a. Istnieje sko ´nczony zbiór E⊆X o tej własno´sci, ˙ze kompleks K(X)
E = K(E) jest I4-rozbieralny. Korzystaj ˛ac z lematu 2.3.5 otrzymujemyP (K(E)) && ∗i w konsekwencji E && ∗ na pod-stawie stwierdzenia 2.3.21. Przestrze ´n X jest wobec tego lokalnie rozbieralna.
Stwierdzenie 2.3.24. Kompleks symplicjalny bez promieni K jest lokalnie rozbieralny
wtedy i tylko wtedy, gdy K && ∗.
Dowód. Je ˙zeli kompleks symplicjalny bez promieni K jest lokalnie rozbieralny, to na podstawie stwierdzenia 2.3.23 lokalnie rozbieralny jest cz˛e´sciowy porz ˛adek
P (K). Wobec wniosku 2.2.32 porz ˛adek P (K) && ∗, a zatem K(P (K)) && ∗
zgodnie z lematem 2.3.5. To jednak na podstawie stwierdzenia 2.3.21 oznacza, ˙ze K && ∗.
Z drugiej strony, je ˙zeli K && ∗, to istniej ˛a liczba porz ˛adkowa α oraz
C4-rozbieraj ˛acy kompleks K do punktu ci ˛ag ρφ,φ+1: Kφ →Kφ+1
φ<α. Dla sko ´n-czonego zbioru wierzchołków E kompleksu K niech
D = [
ψ<α
→ ρφ,φ+106φ<ψ(E).
Zbiór D jest sko ´nczony oraz K
R
OZDZIAŁ
3
Dyskretna teoria Morse’a
W bie ˙z ˛acym rozdziale dowodzimy uogólnienia głównego twierdzenia dyskretnej teorii Morse’a, pozwalaj ˛acego w pewnych sytuacjach zbudowa´c CW kompleks ho-motopijnie równowa ˙zny danemu niezwartemu, regularnemu CW kompleksowi, składaj ˛acy si˛e z tzw. komórek krytycznych. Podajemy algebraiczn ˛a wersj˛e tego twierdzenia. Jako wniosek otrzymujemy dyskretne nierówno´sci Morse’a. Wyniki te formułujemy przy u ˙zyciu poj˛ecia skojarzenia Morse’a.
Podajemy tak ˙ze lematy pozwalaj ˛ace modyfikowa´c skojarzenie Morse’a celem usuni˛ecia tzw. promieni malej ˛acych oraz kryteria pozwalaj ˛ace rozpozna´c CW kompleksy z kołnierzykiem na zewn ˛atrz i do wewn ˛atrz. Badamy zwi ˛azki skojarze ´n Morse’a z tzw. uogólnionymi dyskretnymi funkcjami Morse’a. J˛ezyk dyskretnej teorii Morse’a stosujemy do opisu własno´sci ´sci˛etych krat bez dopeł-nie ´n.
Rozdział oparty jest cz˛e´sciowo na artykule autora rozprawy [133] i uogólnia wyniki zawarte w pracach kilku innych autorów [2, 9, 11, 17, 81, 85].
W rozdziale 2 rozwa ˙zali´smy metod˛e upraszczania struktury kompleksu sym-plicjalnego przy zachowaniu kombinatorycznej własno´sci zwanej mocnym ty-pem homotopijnym. W bie ˙z ˛acym rozdziale zamujemy si˛e w pewnym stopniu podobn ˛a technik ˛a, inspirowan ˛a teori ˛a Morse’a na rozmaito´sciach gładkich, która pozwala zredukowa´c liczb˛e komórek CW kompleksu przy zachowaniu jego typu homotopijnego.
Przypomnijmy, ˙ze klasyczna teoria Morse’a [22, 155] wi ˛a ˙ze punkty krytyczne gładkiej funkcji M → R, okre´slonej na gładkiej rozmaito´sci M, z topologi ˛a tej
rozmaito´sci. Została ona zapocz ˛atkowana w pierwszej połowie XX wieku przez Morse’a [159] i stanowi u ˙zyteczne narz˛edzie, wykorzystywane w geometrii, to-pologii i fizyce teoretycznej. Jeden z podstawowych wyników tej teorii stwier-dza istnienie homotopijnej równowa ˙zno´sci pomi˛edzy rozmaito´sci ˛a M a pewnym CW kompleksem, którego d-wymiarowe komórki s ˛a we wzajemnie jednoznacz-nej odpowiednio´sci z punktami krytycznymi o indeksie d funkcji Morse’a na M,
tj. gładkiej funkcji M → R, której wszystkie punkty krytyczne s ˛a
niezdegenero-wane.
W latach 90-tych ubiegłego wieku Forman [81] zaproponował dyskretny odpowiednik tej teorii, w którym rozmaito´sci zast ˛apione zostały zwartymi CW kompleksami, za´s gładkie funkcje Morse’a odwzorowaniami ze zbioru ko-mórek CW kompleksu w zbiór liczb rzeczywistych o odpowiednich własno-´sciach. Ta dyskretna teoria Morse’a znalazła liczne zastosowania, przykładowo w kombinatoryce [116], topologii obliczeniowej [104, 195], algebrze przemien-nej [114], analizie obrazów [191], fizyce [71], teorii grup [74]. Mo ˙zna przypusz-cza´c, i ˙z powodem jest jej prostota, łatwo´s´c implementacji komputerowej (teoria ta dotyczy wszak obiektów sko ´nczonych), a tak ˙ze mo ˙zliwo´s´c uzyskania przy jej u ˙zyciu rezultatów porównywalnych z osi ˛aganymi przez klasyczn ˛a teori˛e Morse’a [33, 89].
Głównym twierdzeniem dyskretnej teorii Morse’a bywa nazywany wynik Formana [81, Corollary 3.5] pozwalaj ˛acy dla regularnego, zwartego CW kom-pleksu X z zadan ˛a dyskretn ˛a funkcj ˛a Morse’a znale´z´c homotopijnie równowa ˙zny mu CW kompleks, którego d-wymiarowe komórki s ˛a, dla ka ˙zdego d ∈ N, we
wzajemnie jednoznacznej odpowiednio´sci z tzw. d-wymiarowymi komórkami krytycznymi kompleksu X wzgl˛edem tej dyskretnej funkcji Morse’a. Jako wnio-sek z tego twierdzenia Forman [81, Corollaries 3.6, 3.7] otrzymał dyskretne nie-równo´sci Morse’a, wi ˛a ˙z ˛ace liczby Bettiego CW kompleksu z liczb ˛a jego komórek krytycznych wzgl˛edem dyskretnej funkcji Morse’a zadanej na tym CW komplek-sie.
Dyskretna teoria Morse’a doczekała si˛e kilku uogólnie ´n i alternatywnych sfor-mułowa ´n. Przykładowo: Forman [82–84] rozszerzył swoj ˛a pierwotn ˛a teori˛e; Freij, Jöllenbeck, Kozlov i Sköldberg [87, 114, 126, 214] podali jej wersje algebraiczne; Minian [157] zast ˛apił regularne CW kompleksy pewn ˛a klas ˛a cz˛e´sciowych po-rz ˛adków, zawieraj ˛ac ˛a klas˛e porz ˛adków ´scian regularnych CW kompleksów; Cha-riemu [55] przypisuje si˛e sformułowanie głównych wyników teorii w j˛ezyku skojarze ´n w diagramie Hassego uporz ˛adkowanego zbioru ´scian rozwa ˙zanego CW kompleksu.
Stosunkowo niewielka cz˛e´s´c bada ´n zwi ˛azanych z dyskretn ˛a teori ˛a Morse’a dotyczy niezwartych CW kompleksów. Forman [85] postawił pytanie o uogól-nienie swoich wyników na niezwarte CW kompleksy. Zaproponował tak ˙ze cz˛e-´sciowe rozwi ˛azanie tego zagadnienia przy pomocy tzw. wła´sciwych dyskretnych funkcji Morse’a, które jednak uznał za niesatysfakcjonuj ˛ace. W serii prac [8–13] Ayala i jego współpracownicy uzyskali mi˛edzy innymi nierówno´sci Morse’a dla pewnej klasy dyskretnych funkcji Morse’a na niektórych lokalnie sko ´nczo-nych, co najwy ˙zej 2-wymiarowych kompleksach symplicjalnych. Prace doty-cz ˛ace algebraicznej wersji teorii [87, 114, 126, 214] omawiaj ˛a przypadki niesko ´n-czenie generowanych kompleksów ła ´ncuchowych i podaj ˛a dla nich, przy pew-nych zało ˙zeniach, algebraiczn ˛a wersj˛e głównego twierdzenia dyskretnej teorii Morse’a. W trakcie przygotowywania rozprawy autor dowiedział si˛e o artykule
85
K.S. Browna [48] z 1992 roku, w którym udowodnione (i zastosowane do uprasz-czania struktury przestrzeni klasyfikuj ˛acych grup i monoidów) zostało główne twierdzenie dyskretnej teorii Morse’a dla niesko ´nczonych zbiorów symplicjal-nych. (Wcze´sniej podobn ˛a technik˛e wykorzystali Brown i Geoghegan [49].) Wy-niki Browna poprzedziły odkrycia Formana; by´c mo ˙ze ze wzgl˛edu na mniej „chwytliw ˛a” terminologi˛e nie s ˛a szerzej znane. Równie ˙z stosunkowo pó´zno au-tor poznał wykład P. Orlika i V. Welkera [170], zawieraj ˛acy dowód głównego twierdzenia dyskretnej teorii Morse’a dla niezwartych CW kompleksów. Praca autora [133], na której w du ˙zej mierze opiera si˛e bie ˙z ˛acy rozdział, od wyników Browna [48] oraz Orlika i Welkera [170] ró ˙zni si˛e przede wszystkim nieco słab-szymi zało ˙zeniami, przy których dowodzi si˛e w niej głównego twierdzenia dys-kretnej teorii Morse’a, jak równie ˙z rozpatrywan ˛a klas ˛a obiektów: obok CW kom-pleksów autor dowodzi twierdzenia dla wprowadzonych przez Miniana [157] tzw. dopuszczalnych niesko ´nczonych cz˛e´sciowych porz ˛adków. (Wspomnie´c na-le ˙zy, ˙ze dyskretnej teorii Morse’a u ˙zywali do badania niezwartych przestrzeni tak ˙ze Mathai i Yates [145], lecz w innym duchu, ni ˙z prezentujemy to w tym roz-dziale.)
Najwa ˙zniejszy wynik rozdziału stanowi twierdzenie 3.4.7, tj. główne twier-dzenie dyskretnej teorii Morse’a dla tzw. skojarze ´n Morse’a bez promieni male-j ˛acych na h-regularnych cz˛e´sciowych porz ˛adkach [157], czyli obiektach ogólniej-szych ni ˙z regularne CW kompleksy. (Twierdzenie to, udowodnione w publikacji autora [133], jest podobne do wyników Browna [48, Proposition 1] oraz Orlika i Welkera [170, Theorem 4.2.14]). Wniosek 3.4.8, uzyskany z niego przy u ˙zyciu techniki „odwracania promieni” (stwierdzenie 3.3.7), dotyczy skojarze ´n Morse’a o sko ´nczonej liczbie klas równowa ˙zno´sci promieni malej ˛acych i jest dzi˛eki temu ogólniejszy ni ˙z twierdzenia Browna [48] oraz Orlika i Welkera [170]; wynikaj ˛a z niego równie ˙z główne wyniki prac Ayali i współpracowników [9, 11]. Naj-istotniejszymi nowo´sciami rozdziału w stosunku do wspomnianej publikacji au-tora [133] s ˛a, obok bardziej eleganckich i dopracowanych dowodów, twierdzenia 3.6.11 oraz 3.6.13, dotycz ˛ace∞-zgniatalno´sci kompleksów symplicjalnych stowa-rzyszonych ze ´sci˛etymi kratami bez dopełnie ´n. Uogólniaj ˛a one rezultaty uzy-skane przez Baclawskiego [17] oraz Kozlova [125]. W ich dowodzie wykorzy-stuje si˛e powi ˛azania pomi˛edzy dyskretn ˛a teori ˛a Morse’a a (ko)rozbieralno´sci ˛a. Ciekawe i warte rozwini˛ecia wydaj ˛a si˛e równie ˙z wyniki wi ˛a ˙z ˛ace dyskretn ˛a teo-ri˛e Morse’a z topologi ˛a w niesko ´nczono´sci (stwierdzenia 3.7.1, 3.7.5).
Struktura rozdziału jest nast˛epuj ˛aca. W podrozdziale 3.1, maj ˛acym charak-ter wprowadzenia i nie zawieraj ˛acym nowych wyników, przypominamy podsta-wowe twierdzenia gładkiej oraz dyskretnej teorii Morse’a i dokonujemy krót-kiego ich porównania. Nast˛epnie w podrodziale 3.2 wprowadzamy kluczowe
dla dalszej cz˛e´sci rozdziału poj˛ecia skojarzenia Morse’a na cz˛e´sciowym po-rz ˛adku i promienia malej ˛acego. Podrozdział 3.3 zawiera wa ˙zne wyniki pozwa-laj ˛ace modyfikowa´c dane skojarzenie Morse’a celem „usuni˛ecia” indukowa-nych przez nie promieni malej ˛acych. Uogólnienie głównego twierdzenia dys-kretnej teorii Morse’a na obiekty niezwarte (niesko ´nczone) stanowi temat pod-rodziału 3.4. W podrozdziale 3.5 czynimy uwagi odno´snie algebraicznej wersji głównego twierdzenia dyskretnej teorii Morse’a. Podrozdział 3.6 dotyczy poj˛e-cia ∞-zgniatalno´sci, stanowi ˛acego uogólnienie zgniatalno´sci regularnego, zwar-tego CW kompleksu. Przedstawiamy jego zwi ˛azki z (ko)rozbieralno´sci ˛a, które nast˛epnie wykorzystujemy dowodz ˛ac ∞-zgniatalno´sci kompleksów symplicjal-nych stowarzyszosymplicjal-nych z niesko ´nczonymi kratami bez dopełnie ´n. W podroz-dziale 3.7 stosujemy dyskretn ˛a teori˛e Morse’a do opisu własno´sci topologii w nie-sko ´nczono´sci. Rozdział ko ´nczymy znajduj ˛acymi si˛e w podrozdziale 3.8 uwagami o zwi ˛azku poj˛ecia skojarzenia Morse’a z uogólnionymi dyskretnymi funkcjami Morse’a.