3.6. Kompleksy ∞-zgniatalne
3.6.1. Podstawowe obserwacje dotycz ˛ ace ∞-zgniatalno´sci
Przedstawione w niniejszej sekcji obserwacje wskazuj ˛a, ˙ze poj˛ecie ∞-zgniatalno´sci jest faktycznie naturalnym uogólnieniem zgniatalno´sci. Po-nadto słu ˙z ˛a one jako u ˙zyteczne lematy w dalszej cz˛e´sci rozdziału.
Lemat 3.6.1. Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem, za´s Y jego podkompleksem.
Wówczas X&∞Y wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ˛a liczba porz ˛adkowa α oraz pozasko ´n-czony ci ˛ag Xφ
φ<αpodkompleksów X takie, ˙ze: — X0 =Y;
— Xα =X;
— Xφ+1&eXφdla ka˙zdej liczby porz ˛adkowej φ<α;
— Xφ =S
ψ<φXψdla ka˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej φ 6α.
Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze istnieje na P (X) skojarzenie Morse’a M bez promieni ma-lej ˛acych, którego zbiorem elementów krytycznych jest P (Y). Jest ono oczy-wi´scie równie ˙z skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych na zbiorze
P (X) r P (Y). Niech 6∗ b˛edzie liniowym rozszerzeniem relacji porz ˛adkuj ˛acej zbiórP (X) r P (Y)o własno´sciach jak w lemacie 3.2.2.
Skonstruujemy liczb˛e porz ˛adkow ˛a α oraz pewien wst˛epuj ˛acy, pozasko ´nczony ci ˛ag Xφ
φ6αpodkompleksów kompleksu X.
Niech X0 = Y. Załó ˙zmy, ˙ze φ > 0 jest liczb ˛a porz ˛adkow ˛a oraz kompleksy Xψ ⊆ X zostały okre´slone dla wszystkich liczb porz ˛adkowych ψ< φw ten spo-sób, ˙ze P Xψ
r P (Y) jest odcinkiem pocz ˛atkowym (P (X) r P (Y),6∗) oraz
(τ, σ) ∈ M, gdzie σ oraz τ s ˛a odpowiednio najmniejszym elementem zbioru uporz ˛adkowanego P (X) r P Xψ ,6∗ P (X)rP(Xψ)
i jego pokryciem gór-nym w tym porz ˛adku. Je ˙zeli φ jest nast˛epnikiem, φ = ψ+1, to niech Xφ b˛e-dzie podkompleksem X powstałym przez doklejenie do kompleksu Xψkomórek
3.6. KOMPLEKSY∞-ZGNIATALNE 115
(zawart ˛a w τ); wobec tego Xφ&eXψ. Je´sli natomiast φ jest graniczn ˛a liczb ˛a po-rz ˛adkow ˛a, niech Xφ = S
ψ<φXψ. W ka ˙zdym wypadku, je ˙zeli Xφ = X, to przyj-mujemy α = φi ko ´nczymy konstrukcj˛e. Je ˙zeli Xφ 6= X, zauwa ˙zmy, ˙ze poniewa ˙z skojarzenie M nie ma elementów krytycznych w zbiorze P (X) r P (Y), to do pewnej kraw˛edzi tego skojarzenia nale ˙zy element σ0 najmniejszy w porz ˛adku
P (X) r P Xφ ,6∗ |P (X)rP(X
φ). Wobec własno´sci relacji porz ˛adkuj ˛acej 6∗, dla τ0 ∈ P (X) r P Xφ b˛ed ˛acego pokryciem górnym elementu σ0 wzgl˛edem porz ˛adku6∗ mamy(τ0, σ0) ∈ M. Skonstruowany ci ˛ag Xφ
φ<α ma wymienione w tre´sci lematu własno´sci.
Udowodnimy teraz przeciwn ˛a implikacj˛e. Niech α b˛edzie liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s(Xφ)φ<αpozasko ´nczonym ci ˛agiem podkompleksów CW kompleksu X o wła-sno´sciach wymienionych w sformułowaniu lematu.
Dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ < α niech τφ, σφ ∈ P (X) b˛ed ˛a komórkami takimi, ˙ze σφ jest ´scian ˛a woln ˛a τφ w Xφ+1 oraz P Xφ
= P Xφ+1
rτφ, σφ . Przyjmijmy M = τφ, σφ : φ<α . Oczywi´scie M jest skojarzeniem w grafie skierowanym H(P (X)), za´s elementy zbioru P (X), które nie nale ˙z ˛a do ˙zadnej kraw˛edzi skojarzenia M, to dokładnie komórki tworz ˛ace podkompleks Y. Ko-rzystaj ˛ac z lematu 3.2.1 wyka ˙zemy, ˙ze M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych na X.
Zauwa ˙zmy na pocz ˛atek, ˙ze je ˙zeli(x, y) ∈ HM(P (X)), przy czym x ∈ P Xφ dla pewnej liczby porz ˛adkowej φ 6 α, to y ∈ P Xφ. Je´sli bowiem y ≺ x, to y∈ P Xφ, gdy ˙z Xφ jest podkompleksem X; w przeciwnym wypadku, gdy x≺y, zachodzi oczywi´scie równo´s´c(y, x) = τψ, σψ dla pewnej liczby porz ˛ ad-kowej ψ<φ.
Przypu´s´cmy, ˙ze(xi)i∈Njest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a w grafieHM(P (X)). Przyj-mijmy:
φ0 =min
φ6α : istnieje liczba i∈N taka, ˙ze xi ∈ Xφ , i0 =mini ∈N : xi0 ∈ Xφ0 .
Na podstawie obserwacji poczynionej w poprzednim akapicie dowodu xj ∈ Xφ0
dla wszystkich j>i0. Ci ˛ag xi0+k
k∈N jest wi˛ec niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a w podgra-fie grafuHM(P (X))indukowanym na zbiorze wierzchołkówP Xφ0. Ci ˛ag taki oczywi´scie nie istnieje gdy φ0 = 0. Zatem φ0 > 0. Poniewa ˙z Xφ = S
ψ<φXψ
dla ka ˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej φ 6 α, liczba φ0 jest nast˛epnikiem,
φ0=ψ0+1. Ponadto wobec wyboru liczby φ0zachodzi zawieranie xi0+k : k ∈N ⊆ P Xφ0
r P Xψ0
=
τψ0, σψ0 , co jest oczywist ˛a sprzeczno´sci ˛a.
Graf skierowanyHM(P (X)) nie zawiera zatem niesko ´nczonej ´scie ˙zki. Zgod-nie z lematem 3.2.1 M jest skojarzeZgod-niem Morse’a bez promieni malej ˛acych.
Gdyby w twierdzeniu 3.4.7 ograniczy´c si˛e do rozwa ˙zania regularnych CW kompleksów, lemat 3.6.1 mógłby posłu ˙zy´c jako jeden z głównych kroków jego
dowodu (pełni ˛ac w nim rol˛e podobn ˛a do twierdzenia 3.1.8 w dowodzie twier-dzenia 3.1.10).
Lemat 3.6.2. Niech X, Y b˛ed ˛a regularnymi CW kompleksami. Je˙zeli X&∞Y, to istnieje mocna retrakcja deformacyjna r : X →Y.
Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze X&∞Y. Niech α b˛edzie liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s Xφ
φ<α
ci ˛agiem podkompleksów X o własno´sciach jak w lemacie 3.6.1. Dla wszystkich
φ<αwło ˙zenie Xφ ,→ Xφ+1jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a, gdy ˙z Xφ+1&eXφ. Na podstawie lematu 1.4.18 wło ˙zenie Y ,→X jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a, a zatem, wobec lematu 1.4.1 oraz stwierdzenia 1.4.2, podkompleks Y jest mocnym retraktem deformacyjnym CW kompleksu X.
Kolejny lemat, dotycz ˛acy mo ˙zliwo´sci „składania”∞-zgniece´n, jest natychmia-stow ˛a konsekwencj ˛a lematu 3.6.1.
Lemat 3.6.3. Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem, α > 0 liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s(Xφ)φ<αpozasko ´nczonym ci ˛agiem podkompleksów X takim, ˙ze:
— Xφ+1&∞Xφdla ka˙zdej liczby porz ˛adkowej φ<α;
— Xφ =S
ψ<φXψdla ka˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej φ 6α;
— X =Xα. Wówczas X&∞X0.
Poni ˙zszy wynik jest w przypadku sko ´nczonych kompleksów symplicjalnych dobrze znan ˛a obserwacj ˛a (zob. np. [118]).
Lemat 3.6.4. Niech K b˛edzie kompleksem symplicjalnym, za´s v ∈ K wierzchołkiem ta-kim, ˙ze lkK(v) &∞∗, tzn. istnieje skojarzenie Morse’a bez promieni malej ˛acych eM na lkK(v)o dokładnie jednej, 0-wymiarowej komórce krytycznej{w}. Wówczas
M=n(τ∪ {v}, σ∪ {v}) : (τ, σ) ∈ Meo∪
({v, w},{v})
jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych na K wyznaczaj ˛acym ∞-zgniecenie K&∞K−v.
Dowód. Oczywi´scie M jest skojarzeniem. Poniewa ˙z ka ˙zdy sympleks lkK(v), z wy-j ˛atkiem{w}, nale ˙zy do której´s z kraw˛edzi skojarzenia eM, ka ˙zdy sympleks σ∈ K zawieraj ˛acy wierzchołek v nale ˙zy do której´s spo´sród kraw˛edzi M. Nietrudno sprawdzi´c, ˙ze M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych.
3.6.2. (Ko)rozbieralno´s´c implikuje ∞-zgniatalno´s´c
Poni ˙zej opisujemy niektóre sytuacje, w których rozbieralno´s´c oraz korozbie-ralno´s´c implikuj ˛a ∞-zgniatalno´s´c. Wyniki tego typu były dowodzone, zazwy-czaj przy du ˙zo mocniejszych ni ˙z w tej sekcji zało ˙zeniach, przez ró ˙znych autorów i w wielu wariantach [15, 17, 31, 123, 124].
3.6. KOMPLEKSY∞-ZGNIATALNE 117
Lemat 3.6.5. Niech K b˛edzie kompleksem symplicjalnym, za´s v ∈ K wierzchołkiem zdo-minowanym przez w∈ K. Wówczas
M = {(σ, σr {w}) : σ∈ P (K),{v, w} ⊆ σ}
jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych na K, wyznaczaj ˛acym∞-zgniecenie K&∞K−v.
Dowód. Poniewa ˙z e M =
(σ, σr {w}): σ ∈ P (lkK(v)), σ6= {w}
jest, jak łatwo zauwa ˙zy´c, skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych na lkK(v) wyznaczaj ˛acym ∞-zgniecenie lkK(v) &∞{w}, teza wynika z lematu 3.6.4.
Lemat 3.6.6. Niech K b˛edzie kompleksem symplicjalnym, za´s L jego podkompleksem
ta-kim, ˙ze K jestI4-rozbieralny do L. Wówczas K&∞L.
Dowód. Ustalmy liczb˛e porz ˛adkow ˛a α orazI4-rozbieraj ˛acy K do L ci ˛ag retrakcji
ρφ,φ+1: Kφ →Kφ+1 φ<α, za´s vφ φ<α, wφ
φ<α niech oznaczaj ˛a ci ˛agi wierzchoł-ków kompleksu K takie, ˙ze Kφ+1 =Kφ−vφoraz ρφ,φ+1 vφ
=wφdla wszystkich
φ<α.
Dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ <αniech Mφ =
σ, σrwφ : σ∈ P Kφ+1 , vφ, wφ
⊆σ
oznacza skojarzenie Morse’a bez promieni malej ˛acych wyznaczaj ˛ace ∞-zgniecenie Kφ+1&∞Kφ(patrz lemat 3.6.5).
Przyjmijmy M = S
φ<αMφ. Oczywi´scie M jest skojarzeniem w grafie skiero-wanym H(P (K)), a P (L) jest zbiorem tych elementów P (K), które nie nale ˙z ˛a do ˙zadnej kraw˛edzi M. Wyka ˙zemy, ˙ze M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych.
Rozwa ˙zmy w tym celu relacj˛e cz˛e´sciowego porz ˛adkuvna zbiorzeP (K)tak ˛a, ˙ze dla x, y ∈ P (K)mamy y vx, o ile zachodzi jeden z warunków:
— dim(y) < dim(x);
— dim(y) = dim(x)oraz y⊆S
φ<α → ρψ,ψ+1
06ψ<φ(x). Poniewa ˙z ci ˛ag ρφ,φ+1
φ<α jest niesko ´nczenie składalny, a elementy P (K) s ˛a sko ´nczonymi zbiorami, porz ˛adek (P (K),v) jest dobrze ufundowany.
Udowod-nimy metod ˛a indukcji noetherowskiej ze wzgl˛edu na porz ˛adek v, ˙ze ka ˙zda ´scie ˙zka w grafieHM(P (K))jest sko ´nczona.
Ustalmy x ∈ P (K) i załó ˙zmy, ˙ze sko ´nczone s ˛a wszystkie ´scie ˙zki w grafie
HM(P (K)) rozpoczynaj ˛ace si˛e w sympleksach y ∈ P (K) takich, ˙ze y @ x. Roz-wa ˙zmy ´scie ˙zk˛e wHM(P (K)), której pierwszym wierzchołkiem jest x, za´s kolej-nymi trzema a, b, c ∈ P (K). Je´sli (a, x) 6∈ M, to a ⊂ x, wi˛ec dim(a) < dim(x)
min ψ<α : vψ ∈ x . W przypadku, gdy b = arvφ = x∪wφ rvφ , mamy b @ x, gdy ˙z wφ = → ρψ,ψ+1 06ψ<φ+1 vφ. Je´sli natomiast b = ar {v}
dla pewnego v∈ arwφ, vφ , to poniewa ˙z b, brwφ
∈ M, a M jest skojarze-niem, kraw˛ed´z(c, b) 6∈ M, czyli c = br {v0} dla pewnego v0 ∈ brwφ . Ozna-cza to, ˙ze dim(c) < dim(x), wi˛ec c@ x. Wykazali´smy, ˙ze w ka ˙zdym przypadku który´s z elementów ´scie ˙zki rozpoczynaj ˛acej si˛e w x jest mniejszy od x w porz ˛adku
v, co z zało ˙zenia indukcyjnego oznacza, ˙ze ´scie ˙zka ta jest sko ´nczona.
Na podstawie lematu 3.2.1 M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛ a-cych.
Stwierdzenie 3.6.7. Niech K b˛edzie kompleksem symplicjalnym, za´s L jego
podkom-pleksem takim, ˙ze K&& L lub L %%K. Wówczas K&∞L.
Dowód. Je´sli K && L, teza stanowi natychmiastowy wniosek z lematów 2.3.3 oraz 3.6.6.
Załó ˙zmy, ˙ze L %% K. Ustalmy liczb˛e porz ˛adkow ˛a β orazC4-korozbieraj ˛acy
K z L ci ˛ag ςφ+1,φ: Lφ+1 →Lφ
φ<β. Poniewa ˙z Lφ+1 && Lφ dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ < β, na podstawie pierwszej cz˛e´sci stwierdzenia Lφ+1&∞Lφ. Za-stosowanie lematu 3.6.3 ko ´nczy dowód.
Zauwa ˙zmy, ˙ze lemat 3.6.2 w poł ˛aczeniu ze stwierdzeniem 3.6.7 dostarcza al-ternatywnego dowodu stwierdzenia 2.3.9.
Korzystaj ˛ac z lematu 2.3.5 oraz stwierdzenia 3.6.7 mogliby´smy udowodni´c, ˙ze je´sli P jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem bez niesko ´nczonych ła ´ncuchów, A ⊆ P oraz P && A, to K(P) &∞K(A). Zało ˙zenie o braku niesko ´nczonych ła ´ncuchów w P mo ˙zna jednak pomin ˛a´c, co wyka ˙zemy korzystaj ˛ac z nast˛epuj ˛acego lematu, główna idea dowodu którego pochodzi z ksi ˛a ˙zki Kozlova [124].
Lemat 3.6.8 (por. [124, Remark 13.13]). Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s r : P→r(P)retrakcj ˛a nale˙z ˛ac ˛a do klasy(U ∪ D). WówczasK(P) &∞K(r(P)).
Dowód. Bez utraty ogólno´sci mo ˙zemy zakłada´c, ˙ze r∈ D.
Ka ˙zdy element x ∈ P (K(P)) r P (K(r(P)) jest niepustym, sko ´nczonym, li-niowo uporz ˛adkowanym podzbiorem P postaci x =x0 < x1 < . . . < xdim(x) . Niech ix =min{i : xi 6= r(xi)}. Przyjmujemy:
M={(x∪ {r(xix)}, x): x ∈ P (K(P))rP (K(r(P))), ix =0 lub r(xix) 6=xix−1}. Wyka ˙zemy, ˙ze M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych na kom-pleksie symplicjalnym K(P), którego zbiorem elementów krytycznych jest
K(r(P)).
Poniewa ˙z r ∈ D, to dla ka ˙zdego x ∈ P (K(P))mamy r(xix) < xix oraz, o ile ix > 0, xix−1 = r(xix−1) < r(xix). Zatem x∪ {r(xix)} jest elementem P (K(P)), czyli M ⊆ P (K(P)) × P (K(P)) jest podzbiorem zbioru kraw˛edzi grafu skiero-wanegoH(P (K(P))).
Nietrudno spostrzec, ˙ze element x ∈ P (K(P)) nale ˙zy do
3.6. KOMPLEKSY∞-ZGNIATALNE 119
ze zbioru M. Łatwo równie ˙z sprawdzi´c, ˙ze M jest skojarzeniem w grafie
H(P (K(P))).
Wobec lematu 3.2.1 pozostaje do udowodnienia, ˙ze nie istnieje niesko ´nczona ´scie ˙zka w grafie skierowanymHM(P (K(P))). Oczywi´scie sko ´nczona jest ka ˙zda ´scie ˙zka rozpoczynaj ˛ace si˛e w wierzchołku nale ˙z ˛acym do zbioruP (K(r(P))). Dla ´scie ˙zek rozpoczynaj ˛acych si˛e w wierzchołku x ∈ P (K(P)) r P (K(r(P))) do-wód przeprowadzimy metod ˛a indukcji ze wzgl˛edu na dim(x) oraz dim(x) −ix. Ustalmy w tym celu x ∈ P (K(P)) r P (K(r(P))) i załó ˙zmy, ˙ze ka ˙zda ´scie ˙zka wHM(P (K(P)))rozpoczynaj ˛aca si˛e w wierzchołku y∈ P (K(P)) r P (K(r(P)))
takim, ˙ze dim(y) < dim(x)lub dim(y) = dim(x)oraz dim(y) −iy <dim(x) −ix, jest sko ´nczona.
Element x jest sko ´nczonym, niepustym zbiorem liniowo uporz ˛adkowanym x = x0 < . . . < xdim(x)
⊆ P. Rozwa ˙zmy ´scie ˙zk˛e w HM(P (K(P))) rozpo-czynaj ˛ac ˛a si˛e w x, której kolejnymi elementami s ˛a a, b, c ∈ P (K(P)). Mo ˙zemy zakłada´c, ˙ze a, b, c 6∈ P (K(r(P)). Je ˙zeli a ( x, to ´scie ˙zka ta jest sko ´nczona z za-ło ˙zenia indukcyjnego, gdy ˙z dim(a) < dim(x). Załó ˙zmy wobec tego, ˙ze a ) x. Oznacza to, ˙ze(a, x) ∈ M, czyli a = x0 < . . . < r(xix) < xix < . . . < xdim(x) . Poniewa ˙z M jest skojarzeniem, b=arxj
= x∪ {r(xix)} rxj dla pewnego j ∈ {0, . . . , dim(x)}. Je´sli j 6= ix, to b, xrxj
∈ M, wi˛ec c = arxj, xj0
dla pewnego j0 ∈ {0, . . . , dim(x)} r {j}; wówczas dim(c) < dim(x), czyli roz-wa ˙zana ´scie ˙zka jest sko ´nczona z zało ˙zenia indukcyjnego. Je ˙zeli natomiast j =ix, to zauwa ˙zmy, ˙ze dim(b) = dim(x), ale ib = iar{xix} > ix, wi˛ec dim(b) −ib <
dim(x) −ix. Rozwa ˙zana ´scie ˙zka jest wi˛ec, wobec zało ˙zenia indukcyjnego, sko ´n-czona.
Stwierdzenie 3.6.9. Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem, za´s A ⊆ P takim jego podzbiorem, ˙ze P&& A lub A %% P. WówczasK(P) &∞K(A).
Dowód. Załó ˙zmy, ˙ze P && A. Na podstawie lematu 2.2.5 oraz nast˛epuj ˛ a-cej po nim uwagi odno´snie dowodu, istniej ˛a liczba porz ˛adkowa α oraz ci ˛ag
rφ,φ+1: Pφ →Pφ+1
φ<αretrakcji(U ∪ D)-rozbieraj ˛acy P do A.
Dla φ <α niech Mφ b˛edzie dla rφ,φ+1 skojarzeniem Morse’a naK Pφ zdefi-niowanym jak w dowodzie lematu 3.6.8 oraz niech M =S
φ<αMφ. Wobec lematu 3.6.8 zbiór M jest skojarzeniem w grafie H(P (K(P))), a wierzchołki tego grafu nie nale ˙z ˛ace do ˙zadnej kraw˛edzi skojarzenia M tworz ˛a zbiórP (K(A)).
Wyka ˙zemy, ˙ze graf skierowany HM(P (K(P))) nie zawiera niesko ´nczonej ´scie ˙zki, co na podstawie lematu 3.2.1 oznaczało b˛edzie, ˙ze M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni malej ˛acych.
Podobnie jak w dowodzie lematu 3.6.6 rozwa ˙zmy dobrze ufundowany cz˛e-´sciowy porz ˛adekvna zbiorzeP (K(P))taki, ˙ze dla x, y∈ P (K(P))mamy yvx, o ile zachodzi jeden z warunków:
— dim(y) < dim(x);
— dim(y) = dim(x)oraz y⊆S
φ<α → rψ,ψ+1
06ψ<φ(x).
Ustalmy x ∈ P (K(P))i załó ˙zmy, ˙ze wszystkie ´scie ˙zki w grafieHM(P (K(P)))
rozpoczynaj ˛ace si˛e w wierzchołkach y∈ P (K(P))takich, ˙ze y@x, s ˛a sko ´nczone. Rozwa ˙zmy ´scie ˙zk˛e wHM(P (K(P))), której pierwszym wierzchołkiem jest x, za´s kolejnymi trzema a, b, c∈ P (K(P)). Jak zauwa ˙zyli´smy w dowodzie lematu 3.6.8, albo (a, x) 6∈ M i wówczas a @ x, albo (a, x) ∈ M, tzn. (a, x) ∈ Mφ dla pew-nego φ < α. W tym ostatnim przypadku zachodzi jedna z mo ˙zliwo´sci: c ( x, czyli c@ x, albo b= (xr {xi}) ∪rφ,φ+1(xi)
⊆S
φ<α → rψ,ψ+1
06ψ<φ(x) dla pewnego i ∈ {0, . . . , dim(x)}takiego, ˙ze rφ,φ+1(xi) 6= {xi}, co oznacza, ˙ze b @x. W ka ˙zdym wypadku rozwa ˙zana ´scie ˙zka jest na podstawie zało ˙zenia indukcyj-nego sko ´nczona. W konsekwencji M jest skojarzeniem Morse’a bez promieni ma-lej ˛acych; wyznacza ono∞-zgniecenieK(P) &∞K(A).
Je ˙zeli A %% P, teza stwierdzenia wynika natychmiast z lematu 2.2.16 (wraz
z nast˛epuj ˛ac ˛a po nim uwag ˛a) oraz lematów 3.6.3, 3.6.8.