W´sród nich ukazał si˛e artykuł Arenasa [6], jednym z celów którego było uogól-nienie wyników Stonga dotycz ˛acych typu homotopijnego sko ´nczonych prze-strzeni topologicznych na lokalnie sko ´nczone przeprze-strzenie Aleksandrowa. Autor rozprawy zauwa ˙zył bł ˛ad w pracy Arenasa, a próby jego poprawienia zaowoco-wały powstaniem artykułu [129] oraz pracy magisterskiej [130], w których wy-niki Stonga uogólnia si˛e na pewn ˛a klas˛e niesko ´nczonych przestrzeni Aleksan-drowa, zawart ˛a w klasie przestrzeni Aleksandrowa bez promieni. (Przez prze-strze ´n Aleksandrowa bez promieni rozumiemy tak ˛a przestrze ´n Aleksandrowa,
˙ze odpowiadaj ˛acy jej cz˛e´sciowy porz ˛adek nie zawiera promieni.)
Głównym wynikiem bie ˙z ˛acego rodziału jest twierdzenie 2.2.21, rozszerzaj ˛ace klasyfikacj˛e typów homotopijnych Stonga [221] na wszystkie przestrzenie Alek-sandrowa bez promieni; stanowi ono uogólnienie wcze´sniejszych wyników au-tora [129, 130]. Interesuj ˛ace wnioski z tego twierdzenia dotycz ˛a nieistnienia nie-trywialnych H-przestrzeni (stwierdzenia 2.2.25) oraz ko-H-przestrzeni (stwier-dzenie 2.2.26) Aleksandrowa bez promieni; wzoruj ˛a si˛e one na analogicznych wynikach Stonga [221], Helmstutlera i Vaughna [107]. W rozwa ˙zaniach wyko-rzystujemy poj˛ecie rozbieralno´sci cz˛e´sciowego porz ˛adku. Ze wzgl˛edu na zasto-sowania w dalszej cz˛e´sci rozprawy definiujemy zwi ˛azane z nim: korozbieralno´s´c, lokaln ˛a rozbieralno´s´c oraz s-´sci ˛agalno´s´c, i dowodzimy niektórych ich własno´sci. Szczególnie ciekawe jest twierdzenie 2.2.11, mówi ˛ace ˙ze w przypadku cz˛e´scio-wych porz ˛adków bez promieni poj˛ecia rozbieralno´sci oraz korozbieralno´sci s ˛a równowa ˙zne. Rozdział ko ´nczy si˛e wynikami dotycz ˛acymi kompleksów sympli-cjalnych. Formułujemy (wzoruj ˛ac si˛e na pracy Barmaka i Miniana [31]) definicje (ko)rozbieralno´sci oraz mocnego typu homotopijnego kompleksu symplicjalnego i dowodzimy zwi ˛azków tych poj˛e´c z (ko)rozbieralno´sci ˛a oraz typem homotopij-nym stowarzyszonych przestrzeni Aleksandrowa. Znaczna cz˛e´s´c wyników roz-działu jest wykorzystywana w dalszej cz˛e´sci rozprawy.
Rozdział zorganizowany jest w nast˛epuj ˛acy sposób. W podrozdziale 2.1 przy-wołujemy niektóre fakty z zakresu topologii ogólnej przestrzeni Aleksandrowa. Podrozdział 2.2 dotyczy typu homotopijnego przestrzeni Aleksandrowa. Rozpo-czynamy go od omówienia wyników prac McCorda [153] i Stonga [221]. Przy-pominamy poj˛ecie rozbieralno´sci i rdzenia niesko ´nczonej przestrzeni Aleksan-drowa, a tak ˙ze definiujemy korozbieralno´s´c i dowodzimy jej własno´sci. Nast˛ep-nie podajemy twierdzeNast˛ep-nie „klasyfikuj ˛ace” typy homotopijne przestrzeni Alek-sandrowa bez promieni i wyci ˛agamy wnioski dotycz ˛ace (ko)-H-przestrzeni Alek-sandrowa. Podrozdział 2.3 po´swi˛econy jest rozbieralno´sci i korozbieralno´sci kompleksów symplicjalnych oraz ich mocnemu typowi homotopijnemu.
2.1. T
OPOLOGIA OGÓLNA PRZESTRZENIA
LEKSANDROWA Niniejszy podrozdział przybli ˙za niektóre fakty z zakresu topologii ogólnej przestrzeni Aleksandrowa. Rozpoczynamy od przedstawienia ´scisłego zwi ˛azku tych przestrzeni z cz˛e´sciowymi porz ˛adkami, znanego ju ˙z w latach 30-tych XX wieku [4, 196, 224]. Nast˛epnie podajemy wyniki zwi ˛azane ze zwarto´sci ˛a,spójno´sci ˛a oraz topologi ˛a przestrzeni funkcji ci ˛agłych pomi˛edzy przestrzeniami Aleksandrowa. Cz˛e´s´c z nich przenosi si˛e natychmiast z przypadku sko ´nczonych przestrzeni topologicznych (por. [152, 221]), pozostałe cytujemy z prac autora [129, 130].
2.1.1. Zwi ˛azek z cz˛e´sciowymi porz ˛adkami
Niech (X, τ) b˛edzie przestrzeni ˛a topologiczn ˛a. Quasi-porz ˛adkiem specjalizacji na X nazywamy relacj˛e 6τ⊆ X×X tak ˛a, ˙ze x 6τ y, gdy y ∈ {x}. (Cz˛e´s´c au-torów za quasi-porz ˛adek specjalizacji przyjmuje quasi-porz ˛adek dualny do wy-˙zej zdefiniowanego.) Przyjmijmy oznaczenie O(X) = (X,6τ). Dla ci ˛agłego od-wzorowania f : X → Y przez O(f): O(X) → O(Y) oznaczamy zachowuj ˛ace quasi-porz ˛adek odwzorowanie o tym samym co f wykresie. Przyporz ˛ adkowa-nie O: Top → Quoset z kategorii przestrzeni topologicznych i ci ˛agłych od-wzorowa ´n w kategori˛e quasi-porz ˛adków i przekształce ´n zachowuj ˛acych quasi-porz ˛adek jest funktorem.
Nietrudno zauwa ˙zy´c, ˙ze X jest przestrzeni ˛a T0wtedy i tylko wtedy, gdyO(X)
jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem. Ponadto X spełnia aksjomat T1 dokładnie wtedy, gdyO(X)jest antyła ´ncuchem.
Niech (P,6)b˛edzie zbiorem quasi-uporz ˛adkowanym. PrzezX (P) = (P, τ6)
oznaczamy przestrze ´n topologiczn ˛a tak ˛a, ˙ze τ6 jest topologi ˛a na P generowan ˛a przez baz˛e zbiorów otwartych{p↓}p∈P. Jak łatwo spostrzec,X (P)jest przestrze-ni ˛a Aleksandrowa. Ponadto P jest cz˛e´sciowym wtedy i tylko wtedy, gdyX (P)jest przestrzeni ˛a T0. Dla zachowuj ˛acego quasi-porz ˛adek odwzorowania f : P → Q przez X (f): X (P) → X (Q) oznaczamy ci ˛agłe odwzorowanie o tym samym co f wykresie. Przyporz ˛adkowanieX : Quoset →Al z kategorii quasi-porz ˛adków i przekształce ´n zachowuj ˛acych quasi-porz ˛adek w kategori˛e przestrzeni Aleksan-drowa i ich ci ˛agłych odwzorowa ´n jest funktorem.
Oznaczmy przez O Al: Al →Quoset, O T0Al: T0Al→Poset, X Poset: Poset→ T0Al
odpowiednie ograniczenia rozwa ˙zanych funktorów (T0Al oznacza kategori˛e T0 przestrzeni Aleksandrowa, za´s Poset kategori˛e cz˛e´sciowych porz ˛adków). Okazuje si˛e, ˙ze
O Al◦ X =idQuoset, X ◦ O Al =idAl oraz O T0Al◦ X Poset =idPoset, X Poset◦ O T0Al =idT0Al,
co oznacza, ˙ze kategorie Quoset oraz Al s ˛a izomorficzne, podobnie jak kategorie Poset, T0Al. Ponadto, jak nietrudno zauwa ˙zy´c, podprzestrzenie przestrzeni Aleksandrowa odpowiadaj ˛a przy tym izomorfizmie podzbiorom
2.1. TOPOLOGIA OGÓLNA PRZESTRZENI ALEKSANDROWA 43
quasi-uporz ˛adkowanym ich quasi-porz ˛adków specjalizacji. Innymi słowy, je´sli
(X, τ) ∈ Aloraz A ⊆ X, to topologia indukowana na A pokrywa si˛e z topologi ˛a przestrzeniX A,6τ A .
Przy rozwa˙zaniu przestrzeni Aleksandrowa pomija´c b˛edziemy odt ˛ad na ogół w zapisach funktory O,X, uto˙zsamiaj ˛ac zbiory quasi-uporz ˛adkowane i odwzorowania zachowuj ˛ace quasi-porz ˛adek z odpowiadaj ˛acymi im prze-strzeniami Aleksandrowa i odwzorowaniami ci ˛agłymi.
Zastosowanie j˛ezyka quasi-porz ˛adków pozwoli w wygodny sposób opisa´c wiele topologicznych własno´sci przestrzeni Aleksandrowa.
Przyjmijmy jeszcze jedno techniczne zało ˙zenie, które pozwoli znacz ˛aco upro´sci´c zapisy.
Do ko ´nca rozdziału wszystkie rozwa˙zane przestrzenie topologiczne speł-niaj ˛a aksjomat oddzielaniaT0.
Ograniczenie si˛e do przestrzeni T0 nie zubo ˙zy w istotny sposób prowadzo-nych rozwa ˙za ´n, gdy ˙z ka ˙zda przestrze ´n topologiczna jest homotopijnie równo-wa ˙zna swojej (spełniaj ˛acej aksjomat T0) przestrzeni ilorazowej powstałej przez uto ˙zsamienie punktów nie rozró ˙znianych przez topologi˛e (por. np. [130, podroz-dział I.4]).
Informacje o innych zwi ˛azkach topologii i teorii porz ˛adku, w podobnym du-chu do przedstawionych w tej sekcji, odnale´z´c mo ˙zna w pracy Erné [72].
2.1.2. Spójno´s´c, zwarto´s´c, przestrzenie funkcyjne
Przypomnimy wyniki zwi ˛azane z poj˛eciami spójno´sci i zwarto´sci w przestrze-niach Aleksandrowa, a tak ˙ze z topologi ˛a zwarto-otwart ˛a na przestrzeni funkcji ci ˛agłych pomi˛edzy dwiema przestrzeniami Aleksandrowa. Cz˛e´s´c z nich jest kla-syczna, niektóre natomiast pochodz ˛a z prac autora [129, 130].
Zauwa ˙zmy, ˙ze porównywalne (w porz ˛adku specjalizacji) elementy prze-strzeni Aleksandrowa mo ˙zna poł ˛aczy´c drog ˛a.
Stwierdzenie 2.1.1 ([221]). Niech X b˛edzie przestrzeni ˛a Aleksandrowa oraz niech x, y ∈ X b˛ed ˛a takie, ˙ze x 6 y. Wówczas odwzorowanie h : I → X zadane dla t ∈ I
wzorem h(t) = ( x dla t∈ [0, 1), y dla t=1 jest ci ˛agłe.
Zbiory otwarte {x↓} s ˛a zatem łukowo spójne. Poniewa ˙z tworz ˛a one baz˛e
otwart ˛a topologii przestrzeni X, otrzymujemy nast˛epuj ˛acy wniosek.
Nietrudno opisa´c składowe spójno´sci przestrzeni Aleksandrowa.
Wniosek 2.1.3([221]). Niech X b˛edzie przestrzeni ˛a Aleksandrowa. Składow ˛a spójno´sci punktu x∈ X (równ ˛a składowej łukowej spójno´sci tego punktu) jest zbiór
{y∈ X : istnieje ´scie˙zka prosta wG(X)prowadz ˛aca z x do y}.
Łatwo te ˙z poda´c charakteryzacj˛e zwartych przestrzeni Aleksandrowa (przy-pomnijmy, ˙ze w definicji zwarto´sci nie zakładamy aksjomatu oddzielania T2).
Stwierdzenie 2.1.4 ([129, Proposition 3.2],[130, stwierdzenie II.3.1]). Przestrze ´n Aleksandrowa X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór max(X)jest sko ´nczony oraz dla ka˙zdego y∈ X istnieje x ∈ max(X)takie, ˙ze x>y.
Przestrze ´n topologiczn ˛a nazywamy dziedzicznie zwart ˛a, gdy ka ˙zda jej pod-przestrze ´n jest zwarta.
Stwierdzenie 2.1.5 ([129, Proposition 3.3],[130, stwierdzenie II.3.2]). Przestrze ´n Aleksandrowa X jest dziedzicznie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy porz ˛adek dualny do X jest dobrze ufundowany i nie zawiera niesko ´nczonych antyła ´ncuchów.
(Dobrze ufundowane cz˛e´sciowe porz ˛adki nie zawieraj ˛ace niesko ´nczonych an-tyła ´ncuchów nazywa si˛e zbiorami cz˛e´sciwo dobrze uporz ˛adkowanymi. Były one „od-krywane” niezale ˙znie przez wielu autorów, w ró ˙znych kontekstach, por. [127].)
Przypomnijmy, ˙ze dla przestrzeni topologicznych X, Y oraz ich podzbiorów A ⊆X, B ⊆Y symbolem[A, B]oznaczamy zbiór tych ci ˛agłych funkcji f : X →Y, które spełniaj ˛a warunek f(A) ⊆ B.
Stwierdzenie 2.1.6([129, Corollary 3.4],[130, stwierdzenie II.4.2]). Niech X, Y b˛ed ˛a przestrzeniami Aleksandrowa. Rodzina{[x, y↓] : x ∈ X, y∈ Y}stanowi wówczas pod-baz˛e otwart ˛a topologii zwarto-otwartej na C(X, Y). Topologia zwarto-otwarta na C(X, Y)pokrywa si˛e zatem z topologi ˛a indukowan ˛a przez topologi˛e Tichonowa na pod-przestrzeni C(X, Y) ⊆∏x∈XY.
Stwierdzenie 2.1.7 ([129, p. 12],[130, stwierdzenie II.4.1]). Niech X, Y b˛ed ˛a prze-strzeniami Aleksandrowa. Wówczas w zbiorze uporz ˛adkowanym O(C(X, Y)) nierów-no´s´c f 6 g zachodzi dla f , g ∈ C(X, Y) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) 6 g(x) dla wszystkich x ∈ X.
Nasuwa si˛e pytanie, czy przestrze ´n C(X, Y), gdzie X, Y s ˛a przestrzeniami Aleksandrowa, jest równie ˙z Aleksandrowa. Je´sli przestrzenie X, Y s ˛a sko ´nczone, jest to oczywi´scie prawd ˛a (gdy ˙z wówczas przestrze ´n C(X, Y)jest równie ˙z sko ´n-czona). Zgodnie ze sformułowanym ni ˙zej twierdzeniem, stanowi ˛acym jeden z głównych wyników pracy magisterskiej autora [130], w ogólno´sci nie musi tak jednak by´c. Przeoczenie tego faktu stanowi podło ˙ze wspomnianych we wst˛epie do rozdziału bł˛edów w pracy Arenasa [6].
Twierdzenie 2.1.8([129, Corollary 3.5],[130, stwierdzenie II.4.2]). Niech X, Y b˛ed ˛a przestrzeniami Aleksandrowa oraz niech Y zawiera co najmniej dwa elementy. Wówczas: