Stwierdzenie 1.3.7 ([94, Theorem IV.11.3.4]). Metryczny ANR jest przestrzeni ˛a lo-kalnie ´sci ˛agaln ˛a.
Poniewa ˙z lokalna ´sci ˛agalno´s´c implikuje lokaln ˛a spójno´s´c, wobec lematu 1.3.3 oraz stwierdzenia 1.3.7 lokalnie zwarty, spójny, metryczny ANR jest uogólnio-nym continuum Peano.
Uzwarceniem przestrzeni topologicznej X nazywamy wło ˙zenie i : X ,→ Y tej przestrzeni na g˛esty podzbiór i(X)zwartej przestrzeni Y. (Zazwyczaj w oznacze-niach pomija´c b˛edziemy wło ˙zenie i, mówi ˛ac po prostu, ˙ze Y jest uzwarceniem przestrzeni X, za´s X uto ˙zsamiaj ˛ac z podzbiorem i(X) przestrzeni Y.) Mówimy, ˙ze dwa uzwarcenia i : X ,→ Y oraz i0: X ,→ Y0 tej samej przestrzeni X s ˛a izomor-ficzne, o ile istnieje homeomorfizm h : Y →Y0 taki, ˙ze h◦i =i0.
Je´sli X jest niezwart ˛a, lokalnie zwart ˛a przestrzeni ˛a Hausdorffa, to jej jedno-punktowym uzwarceniem Aleksandrowa nazywamy zbiór X∞ = X∪ {∞X}, gdzie ∞X jest punktem nie nale ˙z ˛acym do X, z topologi ˛a zadan ˛a poprzez nast˛epuj ˛ac ˛a baz˛e zbiorów otwartych:
U : U ⊆ X jest otwarty
∪n(XrK) ∪n∞Xo
: K⊆X jest zwartyo. Lemat 1.3.8 ([70, Twierdzenie 3.5.11]). Je´sli X jest niezwart ˛a, lokalnie zwart ˛a prze-strzeni ˛a Hausdorffa, za´s i : X → Y jest jej uzwarceniem, to przestrze ´n ilorazowa Y
(Yri(X))jest uzwarceniem izomorficznym uzwarceniu X∞.
Dla przestrzeni topologicznych X, Y oraz podzbiorów A ⊆ X, B ⊆ Y przez [A, B] oznaczamy zbiór tych ci ˛agłych przekształce ´n f : X → Y, które spełniaj ˛a warunek f(A) ⊆ B. Symbolem C(X, Y)oznaczmy przestrze ´n ci ˛agłych odwzorowa ´n przestrzeni X w Y z topologi ˛a zwarto-otwart ˛a, generowan ˛a przez nast˛epuj ˛ac ˛a pod-baz˛e zbiorów otwartych:
{[K, U]: K jest zwarty w X, U jest otwarty w Y}.
Promieniem w przestrzeni topologicznej X nazywamy jej domkni˛ety podzbiór A ⊆ X taki, ˙ze A ≈ [0,∞). Je ˙zeli nie istnieje promie ´n w X, to mówimy, ˙ze X jest przestrzeni ˛a bez promieni.
1.4. T
OPOLOGIA ALGEBRAICZNAZakładamy, ˙ze Czytelnik zna podstawowe poj˛ecia i fakty zwi ˛azane z poj˛e-ciem homotopii oraz funktorami grup homotopii, homologii singularnych i sym-plicjalnych. Dobre ´zródło informacji na ten temat stanowi np. ksi ˛a ˙zka Spaniera [218], na której w du ˙zej mierze opiera si˛e niniejszy podrozdział.
Niech(X, A),(Y, B)b˛ed ˛a parami przestrzeni topologicznych. Istnienie homo-topii pomi˛edzy ci ˛agłymi odwzorowaniami f , g : (X, A) → (Y, B)wzgl˛edem pod-zbioru A ⊆ X oznaczamy symbolem f ' g rel A; przez (X, A) ' (Y, B) ozna-czamy fakt, ˙ze pary przestrzeni topologicznych (X, A),(Y, B) s ˛a homotopijnie
równowa ˙zne. Je ˙zeli A = ∅, to par˛e (X, A) oznaczamy krótko przez X. Dla ho-motopii H : X×I → Y oraz t ∈ I przez Ht: X → Y oznaczamy odwzorowanie zadane dla x ∈ X wzorem Ht(x) = H(x, t).
Niech A b˛edzie podzbiorem przestrzeni topologicznej X, za´s i : A ,→ X wło-˙zeniem. Mówimy, ˙ze odwzorowanie r : X → A jest mocn ˛a retrakcj ˛a deformacyjn ˛a, o ile r jest retrakcj ˛a oraz i◦r'idX rel A.
Zawieszeniem przestrzeni topologicznej X nazywamy przestrze ´n ΣX=X×I∼,
gdzie∼jest najmniejsz ˛a relacj ˛a równowa ˙zno´sci na X×I tak ˛a, ˙ze (x, 0) ∼ (y, 0)
oraz(x, 1) ∼ (y, 1)dla wszystkich x, y∈ X.
Dla liczb naturalnych n > 1 symbolem πn oznaczamy funktor n-tej grupy homotopii, działaj ˛acy z kategorii przestrzeni topologicznych z punktem wyró ˙z-nionym w kategori˛e grup; symbol π0 oznacza natomiast funktor przyporz ˛ adko-wuj ˛acy przestrzeni topologicznej zbiór jej składowych łukowej spójno´sci.
Ci ˛agłe odwzorowanie przestrzeni topologicznych f : X → Y nazywamy słab ˛a homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a, je ˙zeli π0(f): π0(X) → π0(Y) jest bijekcj ˛a oraz dla ka ˙zdego punktu x0 ∈ X i ka ˙zdej liczby naturalnej n > 1 homomorfizm
πn(f): πn(X, x0) → πn(Y, f(x0))jest izomorfizmem.
Symbolem Hnoznaczamy, dla n∈ N, funktor n-tej grupy homologii
singular-nych (w zale ˙zno´sci od kontekstu o współczynnikach w pier´scieniu liczb całkowi-tych b ˛ad´z w ciele liczb wymiernych, chyba ˙ze wyra´znie b˛edzie zaznaczone ina-czej), działaj ˛acy z kategorii par przestrzeni topologicznych w kategori˛e grup abe-lowych (b ˛ad´z przestrzeni wektorowych, o ile rozpatrujemy homologie o współ-czynnikach w ciele). Tego samego symbolu u ˙zywamy do oznaczenia funktora ho-mologii symplicjalnych oraz funktora hoho-mologii okre´slonego na kategorii kom-pleksów ła ´ncuchowych. Dla i ∈ N przez βi(X) oznaczamy i-t ˛a liczb˛e Bettiego przestrzeni X. Symbolem χ(X) oznaczamy charakterystyk˛e Eulera przestrzeni topologicznej X, o ile jest ona okre´slona.
Je´sli A jest domkni˛etym podzbiorem przestrzeni topologicznej X, to wło ˙zenie A ,→ X nazywamy korozwłóknieniem, o ile dla ka ˙zdej przestrzeni topologicznej Z, ka ˙zdego ci ˛agłego odwzorowania g : X → Z i ka ˙zdej homotopii h : A×I →Z o tej własno´sci, ˙ze h0 = g
A, istnieje homotopia H : X×I → Z taka, ˙ze H0 = g oraz H
A×I =h.
Lemat 1.4.1([124, Corollary 7.15]). Je˙zeli A jest domkni˛etym podzbiorem przestrzeni topologicznej X o tej własno´sci, ˙ze wło˙zenie i : A ,→ X jest korozwłóknieniem i homoto-pijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a, to A jest mocnym retraktem deformacyjnym X.
Stwierdzenie 1.4.2([94, Corollary IV.11.6.6]). Niech A, X b˛ed ˛a ANR-ami takimi, ˙ze A jest domkni˛etym podzbiorem X. Wówczas wło˙zenie A ,→X jest korozwłóknieniem.
Stwierdzenie 1.4.3([105, Proposition 2.22]). Niech A b˛edzie domkni˛etym podzbiorem przestrzeni topologicznej X takim, ˙ze wło˙zenie A ,→ X jest korozwłóknieniem. Istnieje wówczas naturalny izomorfizm H∗(X, A) ∼= H∗(X A,{A})(gdzie {A} ⊆ X A jest obrazem zbioru A poprzez odwzorowanie ilorazowe X→ X A).
1.4. TOPOLOGIA ALGEBRAICZNA 11
1.4.1. CW kompleksy
Przestrze ´n topologiczn ˛a X nazywamy CW kompleksem, je´sli mo ˙zna j ˛a przed-stawi´c w postaci sumy
X = [
n∈N
[
i∈In σi(n)
rozł ˛acznych zbiorów σi(n), zwanych n-wymiarowymi komórkami, gdzie In, n∈ N,
s ˛a rozł ˛acznymi zbiorami indeksów, oraz dla ka ˙zdej liczby n ∈ N i ka˙zdego
in-deksu i ∈ In istnieje odwzorowanie φi: Dn →X, zwane odwzorowaniem charakte-rystycznym komórki σi(n) takie, ˙ze spełnione s ˛a nast˛epuj ˛ace warunki:
— φi(Int(Dn)) = σi(n) oraz odwzorowanie φi
Int(Dn): Int(Dn) → σi(n) jest ho-meomorfizmem;
— zbiór σ(in)rσi(n), gdzie σ(in) oznacza domkni˛ecie zbioru σi(n) w X, zawiera si˛e w sumie sko ´nczonej liczby komórek ni ˙zszego wymiaru;
— podzbiór A jest domkni˛ety w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich m ∈N, j ∈ Im zbiór φj−1(A)jest domkni˛ety wDm.
Zale ˙znie od kontekstu przez CW kompleks rozumie´c b˛edziemy albo sam ˛a prze-strze ´n topologiczn ˛a X, albo przestrze ´n X wraz z ustalonym podziałem na ko-mórki oraz rodzin ˛a odwzorowa ´n charakterystycznych (tzn. ze struktur ˛a komór-kow ˛a na przestrzeni X).
CW kompleks X nazywamy regularnym, je ˙zeli dla ka ˙zdej komórki tego kom-pleksu jej odwzorowanie charakterystyczne jest homeomorfizmem na obraz.
Je ˙zeli σ, σ0s ˛a komórkami CW kompleksu X oraz σ0 ⊆σ, to mówimy, ˙ze σ0jest ´scian ˛a komórki σ; je ˙zeli dodatkowo σ 6=σ0, to ´scian˛e t ˛a nazywamy wła´sciw ˛a.
Lemat 1.4.4([81, Theorem 1.2]). Niech ρ, σ, τ b˛ed ˛a komórkami regularnego CW kom-pleksu X takimi, ˙ze ρ jest wła´sciw ˛a ´scian ˛a σ oraz σ jest wła´sciw ˛a ´scian ˛a τ. Wówczas istnieje komórka σ0 6= σ tego kompleksu taka, ˙ze ρ jest wła´sciw ˛a ´scian ˛a σ0 oraz σ0 jest wła´sciw ˛a ´scian ˛a τ.
Mówimy, ˙ze regularny CW kompleks jest lokalnie sko ´nczony, je ˙zeli ka ˙zda jego komórka jest ´scian ˛a co najwy ˙zej sko ´nczenie wielu innych komórek tego kom-pleksu.
Podkompleksem CW kompleksu X nazywamy taki CW kompleks Y, ˙ze Y jest domkni˛etym podzbiorem X oraz zbiory komórek i odwzorowa ´n charaktery-stycznych CW kompleksu Y zawieraj ˛a si˛e w odpowiadaj ˛acym im zbiorach po-chodz ˛acych ze struktury komórkowej kompleksu X.
Lemat 1.4.5([105, Proposition A.1]). Niech X b˛edzie CW kompleksem. Je˙zeli podzbiór A ⊆ X jest zwarty, to istnieje podkompleks Y ⊆ X o sko ´nczonej liczbie komórek i taki, ˙ze A ⊆Y.
Dla n ∈N szkieletem n-wymiarowym CW kompleksu X nazywamy nast˛epuj ˛acy
jego podkompleks: X(n) = [ k6n [ i∈Ik σi(k).
Przez wymiar CW kompleksu X rozumiemy liczb˛e
dim(X) = minn∈N : X =X(n) ,
o ile to minimum istnieje; w przeciwnym wypadku przyjmujemy dim(X) = ∞. Ci ˛agłe odwzorowanie CW kompleksów f : X → Y nazywamy komórkowym, je´sli f X(n)
⊆Y(n) dla ka ˙zdej liczby naturalnej n.
Twierdzenie 1.4.6 ([105, Theorem 4.8]). Niech X, Y b˛ed ˛a CW kompleksami, A ⊆ X podkompleksem X, za´s f0: X → Y ci ˛agłym odwzorowaniem o tej własno´sci, ˙ze prze-kształcenie f0
A: A → Y jest komórkowe. Wówczas istnieje komórkowe odwzorowanie f : X→Y takie, ˙ze f ' f0rel A.
Niech (X, A), (Y, B) b˛ed ˛a parami przestrzeni topologicznych, za´s f : B → A ci ˛agłym odwzorowaniem. Mówimy, ˙ze X powstaje z A poprzez doklejenie prze-strzeni Y wzdłu ˙z odwzorowania f , co zapisujemy symbolicznie X = A∪f Y, je-˙zeli X = AtY∼, gdzie∼jest najmniejsz ˛a relacj ˛a równowa ˙zno´sci na AtY tak ˛a, ˙ze y ∼ f(y)dla wszystkich y ∈ B. Nadu ˙zywaj ˛ac nieco notacji b˛edziemy równie ˙z pisa´c X = A∪f Y w sytuacji, gdy istnieje homeomorfizm h : X → AtY
∼taki, ˙ze h(a) = [a]∼dla wszystkich a ∈ A.
Je´sli w powy ˙zszej sytuacji para(Y, B)jest, dla pewnej liczby n∈ N oraz
pew-nego (by´c mo ˙ze pustego) zbioru indeksów I, postaci(Y, B) = äi∈I Dn,Sn−1, to mówimy, ˙ze X powstaje z A przez doklejenie rodziny n-wymiarowych komórek. Poj˛ecie doklejania komórek pozwala poda´c nast˛epuj ˛ac ˛a charakteryzacj˛e CW kompleksów.
Stwierdzenie 1.4.7 ([105, Appendix]). Przestrze ´n topologiczna X jest CW komplek-sem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wst˛epuj ˛acy ci ˛ag X(n)
n∈N jej domkni˛etych pod-przestrzeni o nast˛epuj ˛acych własno´sciach:
— X =S
n∈NX(n);
— X(0)jest przestrzeni ˛a dyskretn ˛a;
— dla ka˙zdej liczby n>1 przestrze ´n X(n) powstaje z przestrzeni X(n−1)przez dokle-jenie rodziny n-wymiarowych komórek;
— podzbiór A ⊆ X jest domkni˛ety wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A ∩X(n) jest domkni˛ety w X(n) dla ka˙zdego n∈ N.
W kategorii CW kompleksów i ich ci ˛agłych odwzorowa ´n poj˛ecia homoto-pijnej równowa ˙zno´sci oraz słabej homotohomoto-pijnej równowa ˙zno´sci s ˛a równowa ˙zne, o czym mówi nast˛epuj ˛ace twierdzenie J.H.C. Whiteheada.
Twierdzenie 1.4.8([218, Corollary 7.6.24]). Je˙zeli X, Y s ˛a CW kompleksami, to ci ˛agłe odwzorowanie X → Y jest homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy jest słab ˛a homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a.
Nast˛epuj ˛ace, wa ˙zne twierdzenie Westa [234] potwierdziło postawion ˛a w 1954 przez K. Borsuka hipotez˛e.
Twierdzenie 1.4.9([234, Corollary 5.3]). Je˙zeli X jest zwartym ANR-em, to przestrze ´n X jest homotopijnie równowa˙zna pewnemu zwartemu CW kompleksowi.
1.4. TOPOLOGIA ALGEBRAICZNA 13
1.4.2. Kompleksy symplicjalne
Kompleksem symplicjalnym nazywamy par˛e K = (V, S), gdzie V jest pewnym zbiorem, zwanym zbiorem wierzchołków kompleksu K, za´s S rodzin ˛a niepustych, sko ´nczonych podzbiorów V, zwan ˛a zbiorem sympleksów kompleksu K, o nast˛epu-j ˛acych własno´sciach:
— {v} ∈ S dla wszystkich v∈ V;
— je´sli σ 6= ∅, σ⊆τoraz τ ∈ S, to σ∈ S.
Sympleksy σ ∈S kompleksu symplicjalnego K nazywamy równie ˙z ´scianami tego kompleksu. Ponadto, je ˙zeli σ∈ S oraz ρ ⊆σ, to ρ nazywamy ´scian ˛a sympleksu σ.
Zauwa ˙zmy, ˙ze w przyj˛etej definicji kompleksu symplicjalnego zbiór wierz-chołków jest w zasadzie nadmiarowy, gdy ˙z wyznacza go w sposób jednoznaczny zbiór sympleksów; uwzgl˛edniamy go w definicji dla wygody.
Podkompleksem kompleksu symplicjalnego K = (V, S)nazywamy ka ˙zdy kom-pleks symplicjalny L = (W, T) taki, ˙ze W ⊆ V oraz T ⊆ S. Je ˙zeli dodatkowo T = {σ ∈ S : σ ⊆ W}, to podkompleks L nazywamy pełnym podkompleksem K rozpi˛etym na zbiorze wierzchołków W, co zapisujemy symbolicznie L =K W. Je ˙zeli K = (V, S) jest kompleksem symplicjalnym, za´s σ ∈ S jego
symplek-sem, to przez wymiar sympleksu σ rozumiemy liczb˛e naturaln ˛a dim(σ) = |σ| +1. Wymiarem kompleksu symplicjalnego K nazywamy liczb˛e
dim(K) =sup{dim(σ) : σ∈ S}.
Odwzorowaniem symplicjalnym mi˛edzy kompleksami symplicjalnymi K = (V, S)oraz L= (W, T)nazywamy funkcj˛e ϕ : V →W o tej własno´sci, ˙ze ϕ(σ) ∈ T dla ka ˙zdego sympleksu σ∈ S.
Niekiedy pomija´c b˛edziemy w zapisie zbiory wierzchołków i sympleksów, u ˙zywaj ˛ac symboli v ∈ K, σ ∈ K, ϕ : K → L do oznaczenia odpowiednio przy-nale ˙zno´sci wierzchołka v do zbioru wierzchołków kompleksu K, przyprzy-nale ˙zno´sci sympleksu σ do zbioru sympleksów kompleksu K oraz odwzorowania sympli-cjalnego z K do L.
Dla kompleksów symplicjalnych K = (V, S), L = (W, T), podzbioru A ⊆ V oraz sympleksu σ ∈ K definiujemy nast˛epuj ˛ace kompleksy symplicjalne:
— lkK(σ)jest podkompleksem K, zwanym zł ˛aczem σ w K, wyznaczonym przez rodzin˛e sympleksów
{τ ∈ S : σ 6⊆τ oraz τ∪σ ∈ S};
— stK(σ)jest podkompleksem K, zwanym gwiazd ˛a σ w K, wyznaczonym przez rodzin˛e sympleksów {τ ∈ S : τ∪σ ∈ S}; — K−A=K VrA; — K∪L = (V∪W, S∪T); — K∩L = (V∩L, S∩T).
Ponadto, je ˙zeli v jest wierzchołkiem kompleksu K, stosujemy skrócone oznacze-nia: lkK(v) = lkK({v}), stK(v) =stK({v})oraz K−v=K− {v}.
Mówimy, ˙ze kompleks symplicjalny K jest lokalnie sko ´nczony, o ile dla ka ˙zdego wierzchołka v∈ K zbiór sympleksów{σ ∈ K : v∈ σ}jest sko ´nczony.
Niech K = (V, S)b˛edzie kompleksem symplicjalnym. Rozwa ˙zmy zbiór K = ( α: V →I : {v∈ K : α(v) 6=0} ∈ S oraz
∑
v∈K α(v) =1 ) . Na zbiorze tym istnieje metryka, zadana dla α, β ∈K wzoremd(α, β) =
s
∑
v∈K
α(v) −β(v)2. Je ˙zeli σ ∈ K, to rozwa ˙za´c mo ˙zemy domkni˛ety sympleks
|σ| = {α ∈K : {v∈ V : α(v) 6=0} ⊆ σ}
z topologi ˛a indukowan ˛a przez powy ˙zsz ˛a metryk˛e. Jest on homeomorficzny ze standardowym, dim(σ)-wymiarowym sympleksem domkni˛etym
∆dim(σ) = ( x0, . . . , xdim(σ) ∈Idim(σ)+1: dim(σ)
∑
i=0 xi =1 ) .Przez realizacj˛e geometryczn ˛a|K| kompleksu symplicjalnego K rozumiemy zbiór
K z topologi ˛a zadan ˛a w ten sposób, ˙ze podzbiór A ⊆ K jest domkni˛ety wtedy i tylko wtedy, gdy A∩ |σ| jest zbiorem domkni˛etym dla ka ˙zdego sympleksu
σ ∈ K. (Je ˙zeli kompleks K nie jest lokalnie sko ´nczony, topologia ta ró ˙zni si˛e od indukowanej przez metryk˛e d. Odwzorowanie identyczno´sciowe|K| → K, gdzie
przez K rozumiemy przestrze ´n z topologi ˛a indukowan ˛a przez metryk˛e, jest jed-nak zawsze homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a.)
Niech φ : K → L b˛edzie odwzorowaniem symplicjalnym. Funkcj˛e ci ˛agł ˛a
|φ|: |K| → |L|, zwan ˛a realizacj ˛a geometryczn ˛a odwzorowania φ, okre´slamy dla
α ∈ |K|oraz wierzchołka w ∈ L przyjmuj ˛ac:
|φ|(α)(w) =
∑
v∈φ−1(w)
α(v).
Przyporz ˛adkowanie| · |nazywamy funktorem realizacji geometrycznej, działa-j ˛acym z kategorii kompleksów i odwzorowa ´n symplicjalnych w kategori˛e prze-strzeni topologicznych i przekształce ´n ci ˛agłych.
Je´sli nie b˛edzie to prowadziło do nieporozumie ´n, b˛edziemy czasem oznacza´c realizacj˛e geometryczn ˛a kompleksu (lub odwzorowania) symplicjalnego tym sa-mym symbolem, co ten kompleks (lub odwzorowanie), tzn. pomija´c w zapisie symbol funktora realizacji geometrycznej| · |.
1.4. TOPOLOGIA ALGEBRAICZNA 15
Je ˙zeli K jest kompleksem symplicjalnym, za´s σ ∈ K jego sympleksem, okre´sli´c mo ˙zemy otwarty sympleks
(σ) =
α ∈ |K| : {v ∈V : α(v) 6=0} =σ .
Jest on homeomorficzny ze standardowym, dim(σ)-wymiarowym sympleksem otwartym, tj. ze zbiorem ( x0, . . . , xdim(σ) ∈ (0, 1]dim(σ)+1 : dim(σ)
∑
i=0 xi=1 ) ,a zatem równie ˙z z otwartym dyskiem Int Ddim(σ). Nietrudno spostrzec, i ˙z na realizacji geometrycznej kompleksu symplicjalnego K istnieje struktura regular-nego CW kompleksu, którego komórkami s ˛a otwarte sympleksy K. Ponadto, sympleks σ ∈ K jest ´scian ˛a sympleksu τ ∈ K wtedy i tylko wtedy, gdy komórka
(σ)regularnego CW kompleksu|K|jest ´scian ˛a komórki(τ)tego CW kompleksu. Triangulacj ˛a przestrzeni topologicznej X nazywamy par˛e (K, h) składaj ˛ac ˛a si˛e z kompleksu symplicjalnego K oraz homeomorfizmu h : |K| → X; na ogół pomi-ja´c b˛edziemy homeomorfizm h, mówi ˛ac krótko, ˙ze kompleks symplicjalny K jest triangulacj ˛a X. Je ˙zeli istnieje triangulacja X, to przestrze ´n t ˛a nazywamy wielo´scia-nem. Ka ˙zdy lokalnie zwarty wielo´scian jest metrycznym ANR-em.
Je´sli K = (V, S) jest kompleksem symplicjalnym, to zbiór cz˛e´sciowo upo-rz ˛adkowanyP (K) = (S,⊆)nazywamy uporz ˛adkowanym zbiorem ´scian kompleksu symplicjalnego K (lub po prostu stowarzyszonym z K cz˛e´sciowym porz ˛adkiem). Je ˙zeli
ϕ: K → L jest odwzorowaniem symplicjalnym, to funkcjaP (ϕ): P (K) → P (L)
zadana dla σ ∈ P (K) wzorem P (ϕ)(σ) = ϕ(σ) jest odwzorowaniem zachowu-j ˛acym porz ˛adek. Przyporz ˛adkowanieP z kategorii kompleksów symplicjalnych i odwzorowa ´n symplicjalnych w kategori˛e cz˛e´sciowych porz ˛adków i odwzoro-wa ´n zachowuj ˛acych porz ˛adek jest funktorialne.
Niech X b˛edzie CW kompleksem. PrzezP (X)oznaczmy zbiór komórek tego kompleksu uporz ˛adkowany przez relacj˛e bycia ´scian ˛a. Zauwa ˙zmy, ˙zeP (X) jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem z gradacj ˛a, o sko ´nczonych ideałach głównych. Je´sli K jest kompleksem symplicjalnym, to cz˛e´sciowy porz ˛adekP (|K|), gdzie|K| trak-tujemy jako regularny CW kompleks ze struktur ˛a wyznaczon ˛a przez kompleks symplicjalny K, jest izomorficzny z porz ˛adkiemP (K).
Załó ˙zmy, ˙ze(P,6)jest cz˛e´sciowym porz ˛adkiem. Kompleks symplicjalny
K(P) = P,{C ⊆P : C jest niepustym, sko ´nczonym ła ´ncuchem},
nazywamy kompleksem symplicjalnym sko ´nczonych ła ´ncuchów w P (lub po prostu stowarzyszonym z P kompleksem symplicjalnym). Dla odwzorowania f : P → Q za-chowuj ˛acego porz ˛adek przez K(f): K(P) → K(Q) oznaczamy odwzorowanie symplicjalne zadane na wierzchołkach p ∈ P wzorem K(f)(p) = f(p). Przy-porz ˛adkowanieK z kategorii cz˛e´sciowych porz ˛adków w kategori˛e kompleksów symplicjalnych jest funktorialne.
Je´sli X jest regularnym CW kompleksem (w tym, gdy X = |K| dla pewnego kompleksu symplicjalnego K), to kompleks symplicjalny K(P (X)) nazywamy podziałem barycentrycznym X. Przestrze ´n|K(P (X))|oraz regularny CW kompleks X s ˛a homeomorficzne [90, Proposition 5.3.8].
Je ˙zeli K jest kompleksem symplicjalnym, to homeomorfizm |K(P (K))| ≈ |K|
opisa´c mo ˙zna prostym wzorem (podaj ˛ac go opieramy si˛e na ksi ˛a ˙zce Kozlova [124]). Dla dowolnego elementu α ∈ |K(P (K))|istniej ˛a sympleksy
σn (σn−1(. . .(σ0 = {v0, . . . , vm}
kompleksu K takie, ˙ze α(σi) 6= 0 dla i = 1, . . . , n, oraz α(σ) = 0 dla wszystkich
σ ∈ P (K) r {σi}n
i=1. Dla i = 0, . . . , m niech ki = max{0 6 k 6 n : vi ∈ σk}. Okre´slmy odwzorowanie hK: |K(P (K))| → |K|, dla wierzchołka v ∈ K przyjmu-j ˛ac
hK(α)(v) = (∑kj
i=0
α(vi)
|σi| , je ˙zeli v =vjdla pewnego 0 6j6m, 0 w przeciwnym wypadku.
Przekształcenie hK jest homeomorfizmem. Ponadto dla dowolnego odwzorowa-nia symplicjalnego φ : K → L kwadrat
|K(P (K))| hK |K(P (φ))| //|K(P (L))| hL |K| |φ| //|L| (1.1)
jest, co nietrudno sprawdzi´c, przemienny. Przestrzenie |K(P (L))| oraz |K|
b˛e-dziemy ze sob ˛a uto ˙zsamia´c.
Korzystaj ˛ac z funktoraKmo ˙zemy okre´sli´c homologie zbioru cz˛e´sciowo uporz ˛ ad-kowanego P jako symplicjalne homologie stowarzyszonego z nim kompleksu sym-plicjalnego: H∗(P) = H∗(K(P)).
Lemat 1.4.10. Cz˛e´sciowy porz ˛adek P zawiera promie ´n wtedy i tylko wtedy, gdy
P (K(P))zawiera promie ´n.
Dowód. Ustalmy cz˛e´sciowy porz ˛adek P. Je ˙zeli (pi)i∈N jest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(P), to ci ˛ag
({p0},{p0, p1},{p1},{p1, p2},{p2}, . . .)
jest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(P (K(P))).
Z drugiej strony, załó ˙zmy, ˙ze (Ci)i∈N jest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a prost ˛a w G(P (K(P))); ka ˙zdy z elementów tej ´scie ˙zki jest sko ´nczonym, niepustym ła ´n-cuchem w P. Dla ka ˙zdej liczby n ∈ N zdefiniujemy indukcyjnie niesko´nczon ˛a
´scie ˙zk˛e Cin
i∈Nw grafieG(P (K(P))), jednocze´snie wybieraj ˛ac elementy cn ∈ P, które utworz ˛a niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk˛e prost ˛a wG(P).
1.4. TOPOLOGIA ALGEBRAICZNA 17
Dla i ∈ N niech C0
i =Ci. Ustalmy n >1 i załó ˙zmy, ˙ze okre´slona jest niesko ´n-czona ´scie ˙zka Cin−1i∈Nw grafieG(P)o tej własno´sci, ˙ze
n j∈ N : Cn−1 i =Cnj−1o 62n−1
dla ka ˙zdego i ∈ N. Wybierzmy dowolny element cn−1 ∈ C0n−1. Je ˙zeli zbiór n
i∈ N : Cn−1
i = {cn−1}o
(z zało ˙zenia indukcyjnego co najwy ˙zej (2n−1)-elementowy) jest niepusty, niech in oznacza jego najwi˛ekszy element; w przeciwnym wypadku in = −1. (Za-uwa ˙zmy, ˙ze w ka ˙zdym przypadku cn−1 ∈ Cinn−+11.) Dla i ∈ N przyjmujemy
Cin = Cin−1
n+1+i r {cn−1}. Jest jasne, ˙ze Cni 6= ∅ dla ka˙zdego i ∈ N, oraz ˙ze (Cni)i∈N jest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a wP (K(P)), w której ka ˙zdy z elementów po-wtarza si˛e co najwy ˙zej 2n razy.
Ci ˛ag (cn)n∈N jest oczywi´scie ró ˙znowarto´sciowy. Ustalmy n > 1. Jak zauwa-˙zyli´smy, cn−1 ∈ Cn−1
in+1. Z definicji cn ∈ Cn
0 = Cinn−+11r {cn−1}. Poniewa ˙z zbiór
Cin−1
n+1 jest ła ´ncuchem w P, elementy cn−1, cn s ˛a porównywalne w P. Wobec tego
(ci)i∈Njest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(P).
Stwierdzenie 1.4.11. Cz˛e´sciowy porz ˛adek P jest bez promieni wtedy i tylko wtedy, gdy
|K(P)|jest przestrzeni ˛a topologiczn ˛a bez promieni.
Dowód. Ustalmy cz˛e´sciowy porz ˛adek P. Je ˙zeli (pi)i∈N jest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(P), to
{pi}i∈N,
{p0},{p0, p1},{p1},{p1, p2}, . . .
jest podkompleksem K(P), którego realizacja geometryczna jest domkni˛etym podzbiorem|K(P)|homeomorficznym z półprost ˛a[0,∞).
Załó ˙zmy, ˙ze istnieje domkni˛ety podzbiór R ⊆ |K(P)| oraz homeomorfizm h : [0,∞) → R. Niech t0 = 0, za´s σ0 ∈ K niech oznacza jedyny sympleks o tej własno´sci, ˙ze h(t0) ∈ (σ0). Ustalmy n > 0 i załó ˙zmy, ˙ze tj ∈ R oraz σj ∈ K s ˛a ustalone dla wszystkich j < n w ten sposób, ˙ze (σj)j<n jest ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(P (K(P)))oraz h (tj,∞)
∩ |σi| =∅ dla wszystkich i <j <n. Niech tn =sup{t ∈ [0,∞) : h(t) ∈ |σn−1|}.
Poniewa ˙z|σn−1|jest zbiorem zwartym, jego cz˛e´s´c wspólna ze zbiorem domkni˛e-tym R jest zwarta. Przeciwobraz h−1(|σn−1| ∩R) ⊆ [0,∞) jest zatem zwarty, a wi˛ec domkni˛ety i ograniczony. Wobec tego tn < ∞ oraz h(tn) ∈ |σn−1|. Niech
τ ∈ K oznacza jedyny sympleks taki, ˙ze h(tn) ∈ (τ). Je´sli τ ⊆ σn−1(co
intuicyj-nie oznacza, ˙ze promie ´n R opuszcza w momencie tn sympleks domkni˛ety|σn−1|
przez ´scian˛e ni ˙zszego wymiaru), przyjmujemy σn =τ. W przeciwnym wypadku (tzn. gdy promie ´n w momencie tn przechodzi z |σn−1| do sympleksu wy ˙zszego
wymiaru) za σn przyjmujemy którykolwiek z sympleksów K o tej własno´sci, ˙ze h (tn,∞)∩ (σn) 6=∅ oraz σn−1(σn.
Ci ˛ag(σn)n∈Njest niesko ´nczon ˛a ´scie ˙zk ˛a prost ˛a wG(P (K(P))). Na podstawie lematu 1.4.10 cz˛e´sciowy porz ˛adek P zawiera promie ´n.
Mówimy, ˙ze kompleks symplicjalny K jest bez promieni, o ile jego realizacja geometryczna |K| jest przestrzeni ˛a topologiczn ˛a bez promieni. Korzystaj ˛ac ze stwierdzenia 1.4.11 nietrudno jest wykaza´c, ˙ze warunek ten jest równowa ˙zny bra-kowi promieni w cz˛e´sciowym porz ˛adkuP (K).
1.4.3. Lematy o typie homotopijnym
Lemat 1.4.12 ([50, Theorem 7.5.7]). Niech b˛edzie dany przemienny diagram prze-strzeni topologicznych i ich ci ˛agłych odwzorowa ´n
A // i B C φ0 // j D φ1 X //Q Y // φ2 R φ
taki, ˙ze i : A → X, j : C → Y s ˛a korozwłóknieniami, oraz w którym przedni i tylny kwadrat s ˛a kokartezja ´nskie3. Je˙zeli φ0, φ1, φ2 s ˛a homotopijnymi równowa˙zno´sciami, to równie˙z odwzorowanie φ : Q →R wyznaczone (z własno´sci uniwersalno´sci) przez funk-cje φ0, φ1, φ2jest homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a.
Lemat 1.4.13([124, Theorem 11.11], por. [155, Lemmata 3.6, 3.7]). Niech X1, X2b˛ed ˛a przestrzeniami topologicznymi, h : X1 → X2homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a, k dodatni ˛a liczb ˛a naturaln ˛a, za´s f1: Sk−1 → X1, f2: Sk−1 →X2ci ˛agłymi przekształceniami. Je˙zeli istnieje homotopia H : Sk−1× I → X2 pomi˛edzy odwzorowaniami h◦ f1 oraz f2, to istnieje homotopijna równowa˙zno´s´c g : X1∪f1Dk → X2∪f2Dktaka, ˙ze g
X1 = h.
Lemat 1.4.14. Je´sli X jest CW kompleksem, k > 0 liczb ˛a naturaln ˛a, za´s f0: Sk−1 → X ci ˛agłym przekształceniem, to istniej ˛a odwzorowanie f : Sk−1 → X takie, ˙ze f Sk−1
⊆
X(k−1), oraz homotopijna równowa˙zno´s´c g : X∪f Dk → X∪f0Dk o tej własno´sci, ˙ze g
X =idX. Ponadto przestrze ´n X∪f Dk jest CW kompleksem.
Dowód. Szukane odwzorowanie f niech b˛edzie aproksymacj ˛a komórkow ˛a (patrz twierdzenie 1.4.6) funkcji f0. Tez˛e otrzymujemy przyjmuj ˛ac w lemacie 1.4.13:
X1 =X2= X, h=idX, f1 = f , f2 = f0.
1.4. TOPOLOGIA ALGEBRAICZNA 19
Lemat 1.4.15 ([27, Lemma 3.4]). Je˙zeli K1, K2 s ˛a ´sci ˛agalnymi kompleksami sympli-cjalnymi, to kompleks symplicjalny K1∪K2jest homotopijnie równowa˙zny zawieszeniu Σ(K1∩K2).
Lemat 1.4.16([157, Lemma 2.11]). Niech P b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem oraz niech p ∈ P. Je˙zeli co najmniej jeden z kompleksów symplicjalnych K(ˆp↓), K(ˆp↑) jest ´sci ˛ a-galny, to wło˙zenieK(Pr {p}) ,→ K(P)jest homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a.
Lemat 1.4.17. Niech α b˛edzie liczb ˛a porz ˛adkow ˛a oraz dla i ∈ {0, 1} niech Xi b˛edzie CW kompleksem, natomiast Xφi
φ<α pozasko ´nczonym ci ˛agiem wst˛epuj ˛acym jego pod-kompleksów o tej własno´sci, ˙ze S
φ<αXiφ = Xi. Je´sli fφ: X0φ → X1φ
φ<α jest poza-sko ´nczonym ci ˛agiem homotopijnych równowa˙zno´sci oraz fψ ⊆ fφ dla wszystkich liczb porz ˛adkowych ψ 6φ<α, to funkcja f =S
φ<α fφ: X0→ X1jest homotopijn ˛a równo-wa˙zno´sci ˛a.
Dowód. Wyka ˙zemy, ˙ze f jest słab ˛a homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a, co wobec twierdzenia Whiteheada 1.4.8 zako ´nczy dowód.
Ustalmy k ∈ N oraz x0 ∈ X0. Niech[p] ∈ πk X0, x0 b˛edzie klas ˛a abstrakcji odwzorowania p : Sk → X0. Zauwa ˙zmy, ˙ze p Sk jest zbiorem zwartym, a zatem p Sk
⊆ X0φ0 dla pewnej liczby porz ˛adkowej φ0 < α na podstawie lematu 1.4.5. Przypu´s´cmy, ˙ze πk(f)([p]) = 0, to znaczy istnieje homotopia H : Sk ×I → X1 pomi˛edzy odwzorowaniem f ◦p : Sk → X1a funkcj ˛a stał ˛aSk → X1równ ˛a f(x0), zachowuj ˛aca punkt wyró ˙zniony f(x0). Poniewa ˙z zbiór H Sk×I jest zwarty,
H Sk ×I ⊆ X1φ1 dla pewnej liczby porz ˛adkowej φ1 < α na podstawie lematu 1.4.5. Niech φ = max(φ0, φ1). Odwzorowanie fφ: X0φ → Xφ1 jest z zało ˙zenia ho-motopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a. Z wyboru φ mamy πk fφ
([p]) = 0. St ˛ad [p] = 0 w πk Xφ0, x0, czyli p : Sk → X0φ jest homotopijne z odwzorowaniem stałym w X0φ ⊆ X0. Ale to oznacza, ˙ze [p] = 0 równie ˙z w πk X0, x0. Homomorfizm
πk(f)jest zatem ró ˙znowarto´sciowy.
Ustalmy teraz [q] ∈ πk X1, f(x0). Obraz odwzorowania q : Sk → X1 jest, wobec lematu 1.4.5, zawarty w X1ψ dla pewnej liczby porz ˛adkowej ψ < α. Poniewa ˙z homomorfizm πk fψ : πk Xψ0, x0
→ πk X1ψ, fψ(x0)
jest izomorfi-zmem, istnieje ci ˛agłe przekształcenie ˜q : Sk → X0ψ takie, ˙ze [fψ ◦ ˜q] = [q]
w grupie πk X1ψ, fψ(x0), a zatem równie ˙z w πk X1, f(x0). Homomorfizm
πk(f): πk X0, x0 →πk X1, f(x0) jest wi˛ec surjekcj ˛a.
Wobec dowolno´sci wyboru punktu x0∈ X0oraz liczby k∈ N odwzorowanie
f jest słab ˛a homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a.
Lemat 1.4.18. Niech α b˛edzie liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, za´s (Xφ)φ6α pozasko ´nczonym ci ˛ a-giem wst˛epuj ˛acym podkompleksów pewnego CW kompleksu X, maj ˛acym t˛e własno´s´c, ˙ze Xψ =S
φ<ψXφdla ka˙zdej granicznej liczby porz ˛adkowej ψ 6α. Je´sli wszystkie
wło-˙zenia iφ,φ+1: Xφ ,→Xφ+1, φ<α, s ˛a homotopijnymi równowa˙zno´sciami, to dla wszyst-kich liczb porz ˛adkowych φ0 6 φ1 6 α wło˙zenie iφ0,φ1: Xφ0 ,→ Xφ1 jest homotopijn ˛a równowa˙zno´sci ˛a.
Dowód. Wystarczy udowodni´c lemat dla φ0 =0.
Wyka ˙zemy stosuj ˛ac indukcj˛e pozasko ´nczon ˛a, ˙ze wło ˙zenie i0,φ: X0 ,→ Xφ jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a dla ka ˙zdej liczby porz ˛adkowej φ6α. Oczywi´scie jest tak, gdy φ = 0. Ustalmy 0< φ6 αi załó ˙zmy, ˙ze wło ˙zenia i0,ψ: X0 ,→ Xψs ˛a homotopijnymi równowa ˙zno´sciami dla wszystkich ψ<φ.
Je´sli φ jest nast˛epnikiem, φ = ψ+1, to i0,φ = iψ,ψ+1◦i0,ψ jest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a jako zło ˙zenie homotopijnych równowa ˙zno´sci.
Je ˙zeli natomiast φ1jest graniczn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, przyjmijmy Y0 =X0, Y1=Xφ, Yψ0 = X0, Yψ1 =Xψ
dla wszystkich ψ 6 φ1. Na podstawie lematu 1.4.17, zastosowanego do kom-pleksów Y1, Y2, ci ˛agów ich podkompleksów Yψ1
ψ6φ, Yψ2
ψ6φoraz ci ˛agu wło ˙ze ´n
(i0,ψ)ψ6φ, wło ˙zenie X0 ,→ Xφjest homotopijn ˛a równowa ˙zno´sci ˛a.
1.4.4. Prosty typ homotopijny
Niech X b˛edzie regularnym CW kompleksem, za´s Y jego podkompleksem. Mówimy, ˙ze Y powstaje z X przez elementarne zgniecenie, co zapisujemy symbo-licznie X&eY, je ˙zeli istniej ˛a komórki σ, τ kompleksu X takie, ˙ze:
— P (Y) = P (X) r {σ, τ}; — σ jest wła´sciw ˛a ´scian ˛a τ;
— σ nie jest wła´sciw ˛a ´scian ˛a ˙zadnej innej ni ˙z τ komórki CW kompleksu X. Je ˙zeli istnieje sko ´nczony ci ˛ag (Xi)ni=0 regularnych CW kompleksów taki, ˙ze Xi&eXi+1 dla wszystkich i = 0, . . . , n−1, to mówimy, ˙ze CW kompleks X0 jest zgniatalny do podkompleksu Xn, co oznaczamy za pomoc ˛a symbolu X0 &Xn. Je´sli ponadto Xn składa si˛e z pojedynczej, 0-wymiarowej komórki, mówimy ˙ze regu-larny CW kompleks X0jest zgniatalny i piszemy X0& ∗.