Podlaski Konkurs Matematyczny - 2007 Klasy Pierwsze

Podlaski Konkurs Matematyczny - 2007 Klasy Pierwsze

Rozwi azania zada´

n konkursowych 26 maja 2007 r.

1. Wykaza´c, ˙ze je´sli x i y sa liczbami ca lkowitymi, to liczba_, xy⁵− x⁵y

jest podzielna przez 30.

Rozwiazanie_,

Wystarczy wykaza´c podzielno´s´c liczby xy⁵ − x⁵y = xy(x⁴ − y⁴) przez liczby pierwsze: 2, 3 i 5. Dla ustalonej liczby p ∈ {2, 3, 5}, udowodnimy, ˙ze je´sli p nie jest dzielnikiem ˙zadnej z liczb x i y, to jest dzielnikiem liczby x⁴− y⁴. Wyka˙zemy nieco wiecej, ˙ze je´sli p nie jest_, dzielnikiem liczby x, to x⁴ przy dzieleniu przez p daje reszte 1. Z to˙zsamo´sci_,

(pk + r)⁴ = p⁴k⁴+ 4p³k³r + 6p²k²r²+ 4pkr³+ r⁴

wynika, ˙ze czwarta potega liczby pk + r przy dzieleniu przez p daje reszt_, e r´_, owna reszcie z_, dzielenia przez p liczby r⁴. Dla p = 2 powy˙zsze stwierdzenie jest oczywiste bo 1⁴ = 1. Dla p = 3 mamy 1⁴ = 1 i 2⁴ = 16 = 3·5+1. Wreszcie dla p = 5 mamy: 1⁴ = 1, 2⁴ = 16 = 5·3+1, 3⁴ = 81 = 5 · 16 + 1 i 4⁴ = 256 = 5 · 51 + 1

Widzimy teraz, ˙ze je´sli ˙zadna z liczb x i y nie jest podzielna przez p, to ich czwarte potegi_, daja przy dzieleniu przez p takie same reszty (r´_, owne 1), a wiec p jest dzielnikiem liczby_, x⁴− y⁴.

 2. Na przeciwprostokatnej AB tr´_, ojkata prostok_, atnego ABC zbudowano dwa kwadraty_, ABKL i ABM N , przy czym kwadrat ABKL nie ma wsp´olnych punkt´ow wewnetrznych_, z tr´ojkatem ABC, za´s kwadrat ABM N zawiera tr´_, ojkat ABC. Niech S, T b_, ed_, a ´srodkami_, tych kwadrat´ow (tzn. punktami przeciecia ich przek_, atnych). Wykaza´_, c, ˙ze tr´ojkat SCT jest_, prostokatny i wyznaczy´_, c d lugo´sci jego bok´ow wiedzac, ˙ze |BC| = a, |AC| = b oraz a > b._, Rozwiazanie_,

Opiszmy okrag o na tr´_, ojkacie ABC. Jego ´srodek O jest_,

´srodkiem przeciwprostokanej AB, a promie´_, n ma d lugo´s´c c/2, gdzie c = |AB|. Poniewa˙z |OS| = |OT | = c/2, punkty S i T te˙z le˙za na okr_, egu o i s_, a ko´_, ncami jego

´srednicy. Kat ]T CS jest zatem prosty._,

Aby wyznaczy´c |CS| doklejmy trzy tr´ojkaty prostok_, atne_, AU L, LW K i KZB, ka˙zdy przystajacy do tr´_, ojkata_, ABC (por. rysunek obok). Z latwo´scia zauwa˙zamy,_,

˙ze CU W Z jest kwadratem o boku d lugo´sci a + b, za´s S jest jego ´srodkiem. Oznacza to, ˙ze CS ma d lugo´s´c r´owna po lowie d lugo´sci jego przek_, atnej, czyli (a + b)_,

√ 2 2 . Poniewa˙z ST = c = √

a²+ b², wiec z twierdzenia_, Pitagorasa wynika, ˙ze |CT |² = a²+b²−(a+b)²/2 = (a−

b)²/2. Ostatecznie: |CS| = (a + b)

√ 2

2 , |CT | = (a − b)

√ 2 2 ,

|ST | = √

a²+ b².



1

2

3. Na okregu rozmieszczamy liczby wed lug nast_, epuj_, acej zasady. W pierwszym kroku wpisu-_, jemy liczby 1 i 2 tak aby le˙za ly naprzeciw siebie (tzn. na ko´ncach pewnej ´srednicy). W drugim kroku, na ´srodku pomiedzy ka˙zdymi dwiema s_, asiednimi liczbami wpisujemy ich_, sume (zatem po dw´_, och krokach w czterech punktach okregu b_, ed_, a wpisane liczby 1, 3,_, 2, 3). Czynno´s´c te kontynuujemy, tzn._, w k-tym kroku na ´srodku pomiedzy ka˙zdymi_, dwiema sasiednimi liczbami, wpisanymi we wcze´sniejszych k − 1 krokach, wpisujemy ich_, sume. Wyznaczy´_, c sume wszystkich liczb rozmieszczonych na okr_, egu po wykonaniu n krok´_, ow.

Odpowied´z uzasadni´c.

Rozwiazanie_,

Niech S_noznacza sume wszystkich liczb rozmieszczonych na okr_, egu po wykonaniu n krok´_, ow.

Oczywi´scie S₁ = 3 oraz S₂ = S₁ + 2 · (1 + 2) = 9. Niech teraz k > 2. Ustalimy zale˙zno´s´c miedzy S_{, k+1} i S_k. Rozwa˙zmy dowolna liczb_, e a oraz dwie s_, asieduj_, ace z ni_, a liczby x i y,_, rozmieszczone na okregu po wykonaniu k krok´_, ow. W k + 1 kroku na okregu mi_, edzy x i a_, wpisujemy x + a, miedzy a i y wpisujemy a + y. Oznacza to, ˙ze ka˙zda liczba rozmieszczona_, na okregu w pierwszych k krokach jest sk ladnikiem dok ladnie dw´_, och liczb dopisywanych w k + 1 kroku. Tak wiec S_, k+1 = Sk+ 2Sk = 3Sk, czyli

S_n = 3S_n−1 = 3²S_n−2 = · · · = 3ⁿ⁻¹S₁ = 3ⁿ. Ostatecznie S_n= 3ⁿ.

 4. Wewnatrz prostok_, ata ABCD wybrano dowolny punkt X. Niech K, L, M i N oznaczaj_, a_, kolejno rzuty prostokatne punktu X na boki AB, BC, CD i DA. Wykaza´_, c, ˙ze przynaj- mniej jeden z prostokat´_, ow AKXN lub CM XL ma pole nie wieksze ni˙z jedna czwarta pola_, prostokata ABCD._,

Rozwiazanie_,

Przyjmijmy, ˙ze |AB| = 2a, |BC| = 2b. Niech S oznacza ´srodek prostokata ABCD. Teza zadania_, jest oczwista, gdy punkt X nale˙zy do jednego z prostokat´_, ow AESH lub SF CG. Pozostaje do roz- patrzenia przypadek, gdy X nale˙zy do wnetrza jed-_, nego z prostokat´_, ow HSGD lub EBF S. Za l´o˙zmy,

˙ze X nale˙zy do prostokata HSGD._, Oznaczmy przez x i y odleg lo´sci X od bok´ow SG i HS. Przy tych oznaczeniach suma p´ol prostokat´_, ow AKXN i CM XL jest r´owna

(a − x)(b + y) + (a + x)(b − y) = 2ab − 2xy 6 2ab.

Stad wynika, ˙ze przynajmniej jedno z tych p´_, ol jest nie wieksze ni˙z ab, czyli nie wi_, eksze ni˙z jedna_, czwarta pola prostokata ABCD. Przypadek, gdy_, X nale˙zy do prostokata EBF S jest analogiczny._,

 opracowanie: [pg]