Zadania domowe ze Wstępu do matematyki – seria 9. (na środę 8 I 2020) Przyjmujemy, że 0 ∈ N.
Proszę o dokładne uzasadnienia oraz porządne i czytelne spisywanie rozwiązań (to też jest oceniane). W szczególności, jeśli polecenie w zadaniu brzmi oblicz, to trzeba uzasadnić poprawność wyniku. Można napisać oba rozwiązania na jednej kartce. Prace należy oddać na początku ćwiczeń.
Zadanie 1. Niech f : Z → Z będzie funkcją zadaną wzorem f (x) = x3−48x. Definiujemy relację R ⊂ Z × Z nastęująco: (x, y) ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = f (y).
1. Wykaż, że R jest relacją równoważności.
2. Znajdź moce klas abstrakcji i moc zbioru ilorazowego relacji R.
Zadanie 2. Czy istnieje relacja równoważności R o podanych własnościach? Odpowiedź uzasadnij.
1. R jest relacją na Q, która ma jedną klasę abstrakcji dwuelementową, trzy klasy o 17 elementach, dwie klasy o 101 elementach i jedną nieskończoną.
2. R jest relacją na N i ma dokładnie 7 klas abstrakcji, wszystkie nieskończone.
3. R jest relacją na Z i ma nieskończenie wiele klas abstrakcji, wszystkie nieskończone.
4. R jest relacją na {0, 1}N i zbiór jej klas abstrakcji jest równoliczny z N, a wszystkie klasy mają moc continuum.
5. R jest relacją na R ina ma continuum klas abstrakcji, wszystkie o mocy continuum.
Uwaga: w każdym punkcie opisane są wszystkie klasy abstrakcji danej relacji – relacja, która ma jeszcze inne klasy oprócz podanych nie spełnia warunków zadania.
