Zadania domowe ze Wstępu do matematyki – seria 10. (na środę 15 I 2020) Przyjmujemy, że 0 ∈ N.
Proszę o dokładne uzasadnienia oraz porządne i czytelne spisywanie rozwiązań (to też jest oceniane). W szczególności, jeśli polecenie w zadaniu brzmi oblicz, to trzeba uzasadnić poprawność wyniku. Można napisać oba rozwiązania na jednej kartce. Prace należy oddać na początku ćwiczeń.
Zadanie 1. W rodzinie wszystkich podzbiorów N × N wprowadzamy relację równoważ- ności ≡ następująco: powiemy, że A ≡ B wtedy i tylko wtedy, gdy |A| = |B| i π[A] = π[B]
(gdzie π : N2 → N to rzutowanie na pierwszą współrzędną, π(x, y) = x).
1. Znajdź moc klasy abstrakcji [A]≡ zbioru A = {1} × N.
2. Wykaż, że jeśli C jest niepustym skończonym podzbiorem, to klasa abstrakcji [C]≡ jest równoliczna z N.
3. Znajdź moc zbioru ilorazowego N2/ ≡.
Zadanie 2. W zbiorze NNokreślamy relację równoważności ≡ następująco: f ≡ g wtedy i tylko wtedy, gdy |f [N]| = |g[N]| (czyli gdy zbiory wartości f i g są równoliczne).
1. Opisz klasę abstrakcji funkcji: f (n) = 0 dla n ∈ N.
2. Opisz klasę abstrakcji funkcji: f (n) = (n mod 3) dla n ∈ N.
3. Znajdź moc zbioru ilorazowego relacji NN/ ≡.
