Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 6.
7 marzec 2019
Zadania
1. Udowodnij, że każda norma generowana przez produkt skalarny spełnia zależność (zwaną regułą równole- głoboku)
ku + vk2+ ku − vk2= 2(kuk2+ kvk2), dla każdych punktów u, v ∈ Rn.
2. Udowodnij, że każdy produkt skalarny h·, ·i oraz norma k · k generowana przez niego spełnia następującą zależność:
hu, vi = 1
4(ku + vk2− ku − vk2), dla każdych punktów u, v ∈ Rn.
3. Udowodnij Twierdzenie Jordana-von Neumanna, że każda norma, która spełnia regułę równoległoboku jest generowana przez pewien produkt skalarny (wskazówka: poprzednie zadanie).
4. Udowodnij, że kula jednostkowa względem dowolnej normy jest wypukła.
5. Niech W ⊆ Rn będzie zbiorem wypukłym takim, że:
a) dla każdego v ∈ Rn, istnieje t ∈ R, że v ∈ tW = {tw : w ∈ W }, b) dla każdego w ∈ W oraz r ∈ [−1, 1], rw ∈ W ,
c) istnieje R > 0, że dla każdego (w1, . . . , wn) ∈ W , w12+ . . . + w2n¬ R.
Udowodnij, że
kvk = inf{t > 0 : tv ∈ W } definiuje normę na Rn.
Praca domowa
Grupa 8:00
Rozważ funkcję k(x, y)k = |xy|. Które z warunków z definicji normy ta funkcja spełnia, a które nie? Dlaczego?
Grupa 9:45
Rozważ funkcję k(x, y)k = |x + y|. Które z warunków z definicji normy ta funkcja spełnia, a które nie? Dlaczego?
1
