9.4 Macierz gęstości i funkcjonał tworzący dla efektów kwantowych w czarnych dziurach

Teraz po wyłożeniu ogólnego formalnego schematu skierujemy się bezpośrednio do zagadnienia dotyczącego

zastosowania takiego schematu dla opisania efektów kwantowych w czarnych dziurach. Dla uproszczenia ograniczymy się do rozpatrzenia teorii bezmasowego neutralnego pola skalarnego φ w czasoprzestrzeni rotującej czarnej dziury.

Przypadek pól bezmasowych jest najważniejszym ponieważ z jednej strony, właśnie pola bezmasowe dają podstawowy wkład do kwantowego promieniowania czarnych dziur, a z drugiej strony rozpatrzenie takiego problemu daje nam dobre przybliżenie kiedy będziemy opisywali kreacje cząstek masywnych w przypadku, kiedy temperatura Hawkinga czarnej dziury jest dużo większa od energii spoczynkowej kreowanych cząstek i dla ich opisania można wykorzystywać przybliżenie ultrarelatywistyczne.

Wpływ spinu, masy i ładunku cząstek na procesy ich kreacji w czarnych dziurach omówimy później.

Na rys. 75 przedstawiono diagram Penrose’a dla czasoprzestrzeni rotującej czarnej dziury pojawiającej się w wyniku kolapsu ciała masywnego. Będziemy przyjmowali, że współrzędną adwansowanego czasu własnego Bondiego v wybrano w ten sposób, że promień świetlny wysyłany z ℑ- w chwili v = 0, osiąga punkt r = 0 dokładnie w chwili pojawienia się horyzontu. Ponieważ po utworzeniu się czarnej dziury staje się ona praktycznie natychmiast stacjonarną, będziemy przyjmowali, że pakiety falowe wypuszczane z ℑ- poczynając od pewnej chwili czasu adwansowanego v = v1 poruszają się cały czas w metryce pokrywającej się z metryką Kerra.

Rys. 75 Diagram Penrose’a czasoprzestrzeni rotującej czarnej dziury, pojawiającej się w wyniku kolapsu ciała masywnego.

W celu zbudowania bazowych funkcji falowych wykorzystamy rozkład rozwiązań równania falowego :

φ = 0 (9.4.1)

w metryce Kerra po sferoidalnych funkcjach falowych :

Ykm (θ, φ) = [ eimφ / sqrt(2π) ] Smk [ cos(θ) ] (9.4.2)

Gdzie : Smk – są określone jako ograniczone na odcinku [-1, 1 ] funkcje własne operatora :

{ d/dz [ (1 – z2 ) d/dz ] – ω2 a2 ( 1- z2 ) – ( m2 / 1 – z2 ) }Smk (z) = - λmk Smk (z) (9.4.3) spełniające warunek unormowania :

∫

_{Smk (z) S}^m_k’ (z) dz = δkk’ (9.4.4)

-1

Przez vωkm oznaczymy rozwiązanie równania (9.4.1), o tej własności, że jego obraz Vωkm na ℑ- ( Vωkm(v, θ, φ ) =

= lim [ rvωkm(r, v, θ, φ) ] ) ma postać : r→∞

v, θ, φ = const.

Vωkm = [ 1/ sqrt(4πω) ] e-iωv Ykm(θ, φ) (9.4.5)

Gdzie : v – współrzędna adwansowanego czasu konforemnego Bondiego ( zobacz paragraf 5.1 )

Dla dalszego wykładu użytecznym będzie rozpatrywać w charakterze bazowych, nie same funkcje vωkm, a zbudowane z nich rozwiązania typu pakietów falowych. W tym celu ustalimy pewną liczba rzeczywistą E ( 0 < E << 1 ) i oznaczymy ( j ≥ 0 ) :

(j+1)E

vjnkm = E-1/2

∫

e2πinω/E vωkm dω (9.4.6)

Umówimy się dalej, aby indeks kolektywny jnkm oznaczać krótko jako α.

Pakiety falowe vα na ℑ- zawiera częstości w interwale od jE do (j + 1)E, posiadają maksimum w pobliżu wartości czasu adwansowanego v = 2πn/E i posiadają szerokość ∆v ~ 2π/E.

Zauważmy, że dla rozpatrywanej teorii pola bezmasowego, powierzchnie ℑ- w przestrzeni Penrose’a odgrywają rolę powierzchni Cauchy’ego, a forma kanoniczna B, dla pary φ1, φ2 rozwiązań równania (9.4.1) :

B( φ1, φ2 ) =

∫

( φ2 φ1, ν − φ1φ2, ν ) gνµ dσµ (9.4.7)

dopuszcza następujący zapis :

B( φ1, φ2 ) =

∫

( Φ1 ∂ν Φ2− Φ2 ∂ν Φ1 ) dvdω (9.4.8)

ℑ-

gdzie : Φ1 , Φ2− obrazy pól φ1 , φ2 na ℑ-.

Ławo się przekonać, wykorzystując (9.4.2), (9.4.4) – (9.4.6) i (9.4.8), że pakiety falowe vα spełniają warunki normalizacji :

B( vα , vα’ ) = B( v-α , v-α’ ) = 0 , B( vα , v-α’ ) = iδαα’ (9.4.9)

I razem z v-α tworzą układ zupełny na ℑ-. Tutaj i dalej będziemy wykorzystywali następujące oznaczenie :

δαα’ ≡ δjj’ δnn’ δkk’ δmm’ (9.4.10) Wskazany zbiór funkcji ( vα , v-α ) można wybrać w charakterze in- bazy.

Odpowiadający takiemu wyborowi stan in– próżniowy | 0; in > wydzielamy poprzez warunek braku strumienia energii, padającego z ℑ- na czarną dziurę.

Zamieniając w wyrażeniu (9.4.5) adwansowany czas konforemny Bondiego v, na czas retardowany u, otrzymamy funkcje na ℑ+ , która oznaczymy Uωkm. Z takich funkcji za pomocą przekształcenia, analogicznego do (9.4.6),

zbudujemy na ℑ+ pakiety falowe uα. Tworzenie się horyzontu zdarzeń H+ prowadzi do tego, że zadanie obrazu funkcji na ℑ+ jeszcze nie określa rozwiązania równania falowego (9.4.1). Dodatkowe warunki, konieczne dla jednoznacznego określenia rozwiązania, mogą być zadane w postaci wartości rozwiązania na horyzoncie H+. Zdefiniujemy pakiet falowy uα jako rozwiązanie (9.4.1), zerujące się na horyzoncie zdarzeń i posiadające obraz Uα na ℑ+. Oczywiście, że takie pakiety spełniają warunki normalizacji, analogiczne do (9.4.9). Jeśli uzupełnić rozwiązania ( uα , u-α ) do układu zupełnego za pomocą dowolnych funkcji ( hα , h-α ), których obrazy zerują się na ℑ+ i tworzą zupełny układ unormowany, funkcji na H+ , to układ ( uα , u-α , hα , h-α ) można wybrać jako bazę out- .

W charakterze hα dogodnie jest wybrać rozwiązania, które definiujemy następująco. Niech h~ωkm – będą rozwiązaniami zerującymi się na ℑ+ i przyjmującymi na H+ następujące wartości, we współrzędnych (4.4.1) :

h~ωkm | H+ = [ e-iθv~ Ykm (θ, φ~ ) ] / sqrt[ 4π | ω – mΩ2 | ( r+2 + a2 ) ] (9.4.11) i niech h~α – będą pakietami falowymi (9.4.6), zbudowanymi dla takich rozwiązań.

hα zdefiniujemy za pomocą zależności :

h~ = θ( σα )h~α + θ( - σα ) h~-α , σα = sign( ωj - mΩH ) (9.4.12) Można się przekonać, że funkcje hα spełniają następujące warunki unormowania :

B( hα , hα’ ) = B( h-α , h-α’ ) = 0 , B( hα , h-α’ ) = iδαα’ (9.4.13) W czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury, opisywanej metryką Kerra, równania falowe (9.4.1) dopuszcza pełne rozdzielenie zmiennych i dlatego w takiej przestrzeni ma miejsce następujący związek między wprowadzonymi powyżej funkcjami falowymi :

vωkm = Rωkm uωkm + Tωkm hωkm (9.4.14)

Współczynniki Rωkm i Tωkm nazwiemy współczynnikami odbicia i pochłonięcia fali vωkm przez czarną dziurę. Dla fali klasycznej wielkość | Rωkm |2 jest równa stosunkowi energii fali rozproszonej do energii fali padającej. Stosunek ten jest większy od jedności dla tych fal , dla których spełniony jest warunek superradiacji. Jeśli wybrać parametr E przy budowie pakietów, jako dostatecznie mały, a Rωkm i Tωkm jako gładko zależne od częstości ω, to analogiczny rozkład można zapisać również dla pakietów falowych :

vα = Rα uα + Tα h~α (9.4.15) Zauważmy teraz, że pakiety falowe ( vα ≡ vjnkm ) o wystarczająco dużej wartości n ( ≥ N ≡ v1/E ) w czasoprzestrzeni czarnej dziury, pojawiającej się w wyniku kolapsu, poruszają się w metryce, praktycznie nie różniącej się od metryki Kerra ( zobacz rys. 75 ). Dlatego dla nich również spełniona jest zależność (9.4.15). z warunku normalizacji funkcji vα , uα i hα wynika następująca zależność

| Rα |2 + σα | Tα |2 = 1 (9.4.16)

Wynika z niej, że | Rα |2 > 1dla tych modów, dla których spełniony jest warunek superradiacji σα < 0.

Następny etap polega na znalezieniu współczynników przekształcenia Bogolubowa, wiążących zbudowane wcześniej bazy in- i out- . Zagadnienie to istotnie się upraszcza, jeśli wykorzystamy następującą konstrukcję, wprowadzoną przez Wald’a (1975). W dalszej kolejności będziemy rozpatrywali ( nie podkreślając tego w sposób szczególny ) pakiety falowe dla których spełniony jest warunek n ≥ N, tak, że dla pakietów z takimi indeksami spełniona jest zależność (9.4.15). Zdefiniujemy następnie pakiety falowe q~α , wymagając aby były one ortogonalne do vα :

B( q~α , vα’ ) = B( q~ α , v

-α’ ) = 0 (9.4.17)

i dopuszczały następujący rozkład : q~α = tα + rα h~

α (9.4.18)

Przez qα oznaczymy pakiet falowy, związany z q~

α zależnością : qα = θ(σα ) q~

α + θ( - σα ) q≅α (9.4.19)

i normowany przez warunek :

B( qα , q

-α , ) = iδ-α-α’ (9.4.20)

Warunki ortogonalności i normalizacji prowadzą do spełnienia razem z (9.4.16) również następujących zależności :

| rα |2 + σα | tα |2 = 1, tαR-α + σα rα T-α = 0 (9.4.21) Z własności symetrii metryki Kerra względem przekształcenia t → - t , φ → -φ wynika następująca zależność :

Tα = σα tα (9.4.22)

Wykorzystując zależności (9.4.15), (9.4.16), (9.4.18), (9.4.21) i (9.4.22) możemy otrzymać, że : uα = T

-α q~ α + R

-α v-α (9.4.23)

Zależność ta pokazuje, że jeśli prześledzić wstecz ewolucje pakietu uα , to jego składowa R

-α v-α , rozpraszając się na stacjonarnym polu czarnej dziury, wychodzi na ℑ- przy v > 0, a druga składowa T-α q~α przechodzi przez kolapsujące ciało w chwili czasu poprzedzającej pojawienie się horyzontu zdarzeń, a następnie wychodzi na ℑ- przy v < 0.

Hawking (1975) pokazał, że dla opisu rozprzestrzeniania się tej drugiej części można wykorzystać przybliżenie optyki geometrycznej, oraz to, że w takim przybliżeniu pakiet falowy Q~α na ℑ- otrzymujemy za pomocą przekształcenia (9.4.6) z funkcji o postaci :

Q~ωkm = [1/ sqrt(4πω~ )] eiω~ln(-v)/κ Ykm (θ, φ) θ(-v) (9.4.24) Gdzie : ω~ = ω - mΩH , θ(x) – funkcja schodkowa, różna od zera i równa 1 przy x > 0.

W celu uzyskania tego wyniku wystarczy rozpatrzyć zachowanie powierzchni stałej fazy dla fali uωkm.

W przybliżeniu optyki geometrycznej taka powierzchnia jest izotropowa. Na zewnątrz kolapsującego ciała, w obszarze gdzie geometria czasoprzestrzeni jest dobrze aproksymowana przez metrykę Kerra, powierzchnia ta opisywana jest przez równanie U~ = const. , gdzie U~ - jest współrzędną retardowaną Kerra, a jej tworzące to geodezyjne izotropowe U~ = const. φ~+ = const. , θ = const. ( zobacz paragraf 4.4 ). Przy przedłużaniu w przeszłość geodezyjne takie przechodzą przez kolapsującą materie i wychodzą na ℑ- w punkcie o współrzędnych ( v, φ, θ1 ) , v < 0 Można się przekonać [ Hawking (1975) ], że przy U~ →∞ zachodzą następujące zależności :

U~ = - κ-1 ln(-v) , φ~+ = - ΩH κ-1 ln(-v) + φ

wiążące U~ , φ~+ ze współrzędnymi v i φ.

Jeśli uwzględnimy, że na ℑ+ współrzędne U~ , φ~+ pokrywają się z u, φ, to dochodzimy do wyrażenia (9.4.24) dla Q~ωkm. Wprowadzone przybliżenie spełnione jest tym dokładniej, im później według u, wychodzi na ℑ+ pakiet uα . My będziemy przyjmowali, że liczba N wybrana jest jako dostatecznie duża , a zatem opisane przybliżenie spełnione jest z wymaganą dokładnością.

Wprowadźmy jeszcze jedną rodzinę rozwiązań gα , definiując ją za pomocą zadania obrazów Gα na ℑ- : Gα (v, θ, φ) = Q

-α (-v, θ, φ ) (9.4.25)

Pokażemy, ze kombinacje liniowe pα i nα funkcji gα i qα :

pα = cαgα + sα q-α (9.4.26)

nα = cαqα + sα g-α (9.4.26)

gdzie :

sα = ( w-2σα - 1)-1/2 , cα = ( 1- wα-2σα )-1/2 (9.4.27) wα = e-π ( ωj - mΩH )/ κ

posiadają dodatnio-częstościowe względem czasu adwansowanego v, obrazy na ℑ-.

Aby tego dowieść wystarczy zauważyć, że funkcje pα i nα otrzymywane są za pomocą przekształcenia (9.4.6) z rozwiązań które na ℑ- zawierają następującą zależność od v ( -∞ < ω~ < ∞ ) :

Fωkm (v) = θ(v)e-iω~ln(v)/κ + θ(-v)e-πω~/κ e-iω~ln(-v)/κ (9.4.28) Z drugiej strony :

0 ∞

∫

e-ipv e-iω~ln(-v)/κ dv = - eπω~/κ

∫

e-ipv e-iω~ln(-v)/κ dv przy p > 0 (9.4.29) -∞ 0

Łatwo się o tym przekona, dokonując deformacji konturu całkowania w prawej części (9.4.29) w dolnej półpłaszczyźnie.

Dlatego przy p > 0 mamy :

∞

∫

e-ipv Fωkm(v) dv = 0 (9.4.30) -∞

skąd właśnie wynika warunek dodatniej częstości funkcji pα i nα.

Wybierzemy teraz w charakterze in- bazowych dodatnio częstościowych rozwiązań zbiory funkcji : ( vα )

Winα = ( pα ) , α = jnkm (9.4.31)

( nα )

przy n większych od wybranej wcześniej wartości N, dopełniły je w dowolny sposób dodatnio-częstościowymi na ℑ- , funkcjami tak aby uzupełnić bazę ortounormowaną. W analogiczny sposób bazę out- zbudujemy na drodze dopełnienia zbioru funkcji :

( uα )

Woutα = ( hα ) , n > N (9.4.32)

( gα )

do pełnego układu ortounormowanego.

Dogodność takiego wyboru baz, przedstawionego przez Wald’a (1975), polega na tym ,że przy takim wyborze zachodzi faktoryzacja macierzy przekształceń Bogolubowa, a zatem mamy :

Winα = A+α Woutα - B’α W-outα (9.4.33)

Macierze przekształceń Aα , Bα , wiążące zbiory funkcji in- bazowych ( Winα ) i out- bazowych , mogą być łatwo określone za pomocą zależności (9.4.15), (9.4.18) i (9.4.26) i mają one postać :

Zatem, z pomocą opisanego sposobu przejścia do baz Walda udało się nam otrzymać jawne wyrażenie dla tych współczynników przekształcenia Bogolubowa, które określają związek funkcji bazowych in- i out- przy dużych wartościach n ≥ N. Wykorzystując ogólne wzory (9.2.29) i (9.2.30), można otrzymać wyrażenie dla operatora macierzy S.

Następnym etapem jest obliczenie macierzy gęstości, opisującej promieniowanie czarnej dziury. Przez : β^α = iB( u-α , φ^ )

β^*α = - iB( uα , φ^ )

oznaczymy operatory anihilacji i kreacji cząstek w stanie uα. Niech interesuje nas obliczenie średnich o postaci :

< 0; in | F( β^*α , β^α ) | 0 ; in >. Wykorzystując wyrażenia (9.2.29), (9.2.30) dla operatora macierzy S oraz reprezentacje

| 0; in > w postaci | 0 ; in > = S^ | 0 ; out > można zdefiniować współczynniki rozkładu (9.3.2) i obliczyć szukaną macierz gęstości.

W przypadku ogólnym macierz gęstości ρ^ ,opisująca obserwable na ℑ+ i pojawiająca się przy uśrednieniu po stanach hα , zależy od szczegółów procesu tworzenia się czarnej dziury. Jednakże, jeśli interesujemy się wartościami obserwabli ℑ+ tylko w dostatecznie późnych momentach czasu retardowanego ( u > u1 ), to szczegóły te okazują się nie istotne, a zatem wartości tych obserwabli zależą tylko od parametrów tworzenia się stacjonarnej czarnej dziury. Można się o tym przekonać, jeśli rozpatrzymy macierz gęstości ρ^N , otrzymywaną z ρ^ poprzez dodatkowe uśrednienie po wszystkich stanach na ℑ+ , oprócz uα z n ≥ N. Aby otrzymać jawne wyrażenie dla ρ^N okazuje się wystarczającym znajomość obliczonych wcześniej współczynników przekształcenia Bogolubowa Aα , Bα przy n ≥ N. Opuszczając szczegóły obliczeń, które można znaleźć w pracach Frołowa (1983*a, 1986* ), podamy tylko wynik końcowy :

ρ^N =

Π Π Π Π

_ρ^α (9.4.35)

α n ≥N

ρ^α = Qα : exp [ - Qα β^*α β^α ] : Qα exp[ ln( 1 - Qα ) β^*α β^α ]

gdzie : Qα = ( 1 – w2

α ) ( 1 – w2α | Rα |2 )-1 , : : - oznacza operacje uporządkowania względem operatorów β^α i β*^α ( ostatnią równość napisano z uwzględnieniem znanej zależności exp(τ β^* β^ ) = exp[ ln( 1 + τ )β^*β^ ] )

Dla nie rotujących czarnych dziur wyrażenie (9.4.35) zostało otrzymane przez Hawkinga.

Niech | nα > - będzie stanem, w którym mamy nα cząstek w modzie α.

Analogiczne wyrażenie jest słuszne dla ρ^α również w przypadku cząstki Fermiego, z tą różnicą, że ε w tym przypadku jest równe –1, a nα może przyjmować wartości 0 i 1[ Wald (1975), Hawking (1976b) ].

Jeśli zaniechać procesy rozpraszania na polu grawitacyjnym ( Rα = 0 ), to otrzymane wyrażenie możemy przedstawić w postaci :

ρ^N = e-ℵ^0 /θ (9.4.37a)

gdzie : ℵ^0 - swobodny hamiltonian, opisujący cząstki wylatujące na ℑ+ :

ℵ^0 =

ΣΣΣΣ

ωα β*^α β^α (9.4.37b)

α n ≥ N

θ = κ/2π – hawkingowska temperatura czarnej dziury (9.4.38)

Wyrażenie (9.4.35) dla macierzy gęstości ρ^N pozwala obliczyć średnie wartości obserwabli F^ = F(β*^α , β^α ) na ℑ+ :

< 0 ; in | F(β*^α , β^α ) | 0 ; in > = Tr ( ρ^N F^ ) (9.4.39) W teorii kwantowej i w kwantowej statystyce dobrze znana jest i szeroko stosowana jest następująca konstrukcja,

pozwalająca uprościć obliczenia wyrażenia typu (9.4.39).

Zauważmy teraz, że jeśli operator F^ w (9.4.39) zadany jest w formie normalnej :

F^ = F(β*^α , β^α ) =

ΣΣΣΣ

Fα1…. αm ; α’1…. α’m β*^α1…. β*^αmβ*^α’1…. β*^α’m (9.4.41) m, m’ α1…. αm

α’1…. α’m to można go zapisać w następującej postaci :

F^ = F(β*^α , β^α ) = [ F( ∂/∂ψ , ∂/∂ψ- ) K( ψ, ψ- ) ] ψ = ψ-= 0 (9.4.42) tworzącym. Po tym zagadnienie obliczenia < F^ > sprowadza się do różniczkowania Z [ ψ, ψ- ].

Za pomocą niewielkiej modyfikacji opisanej metody można istotnie rozszerzyć klasę zagadnień rozwiązywalnych za jej pomocą.

Po pierwsze okazuje się dogodnie w charakterze K^ wybrać następujące wyrażenie : K^ ( ψ, ψ- ,µ ) = : exp [ -

ΣΣΣΣ

( µα β*^α β^α - ψα β*^α - ψ

-α β^-α )] : (9.4.46)

α , n ≥ N

Ponieważ różniczkowanie po µα prowadzi do pojawienia się wyrażenia n^α = β*^α β^α , to wprowadzenie zależności od µ w K^ pozwala łatwo obliczyć średnie od wyrażeń zawierających operatory liczby cząstek n^α .

Po drugie na drodze wprowadzenia dodatkowych zmiennych γα γ

-α do Z można otrzymać wzory, pozwalające obliczyć średnie od operatora F^ nie tylko w próżniowym, ale również w dowolnym wielocząstkowym stanie początkowym.

W tym celu zauważymy, że :

Znaczek : : oznacza operacje normalnego uporządkowania względem operatorów a*^in, α = iB( v

-α ,φ^ ) , a*^in, -α = - iB( v-α ,φ^ ) (9.4.51)

Funkcjonał tworzący Z[ ψ, µ, γ ] zdefiniujemy poprzez zależność : Z[ ψ, µ, γ ] = Tr ( ρ^γ K^[ ψ , ψ

Jawne wyrażenie dla funkcjonału tworzącego Z[ ψ, µ, γ ] ma następującą postać [ Frołow (1983*, 1986* ) ] :

Z[ ψ, µ, γ ] =

Π Π Π Π

_{Zα [}ψα , µα , γα ] (9.4.54) Rα – współczynnik wchodzący do zależności (9.4.15), wα – określono przez (9.4.27).

Na zakończenie tego paragrafu podamy dwie ogólne zależności ustanawiające związek między funkcjonałem tworzącym Z[ ψ, µ, γ ] z podstawowymi wielkościami charakteryzującymi efekty kwantowe w czarnych dziurach.

Wprowadzimy następujące oznaczenia :

Zatem, obliczenie średnich wartości obserwabli, funkcji korelacyjnych oraz rozkładów prawdopodobieństwa dla procesów kwantowych w polu czarnej dziury efektywnie sprowadza się do wykonania operacji różniczkowania

funkcjonału tworzącego Z, określanego poprzez zależności (9.4.54) – (9.4.56). Podkreślmy, że funkcjonał tworzący jest określony w sposób pełny, jeśli razem z powierzchniową grawitacja κ i prędkością kątową ΩH czarnej dziury, znane są również współczynniki odbicia Rα i pochłaniania Tα pakietów falowych vα czarnej dziury.

Przy tym ze względów opisanych powyżej wystarczy znajomość wielkości tych parametrów dla pakietów falowych vα poruszających się w standardowej metryce Kerra. Znajdowanie współczynników Rα i Tα wymaga rozwiązania

jednowymiarowego zagadnienia rozpraszania. Zapiszmy rozwiązanie vωkm równania (9.4.1) w metryce Kerra w postaci vωkm = [ 1/ sqrt(4πω)] [ 1/ sqrt( r2 + a2 )] e-iωt wωkm (r) Ykm (θ, φ ) (9.4.61) gdzie : wωkm (r) spełnia równanie :

d2 /dr*2 wωkm + Uωkm wωkm = 0 (9.4.62)

i następującymi warunkami brzegowymi :

wωkm ≅ { e-iωr* + Rωkm e-iωr* , r* →∞ (9.4.63)

{ | ω/ω~ |1/2 Tωkm e-iω~r* , r* → - ∞ gdzie :

ω~ = ω - mΩH , dr*/dr = ( r2 + a2 ) / ( r2 – 2Mr + a2 ) (9.4.64)

Uωkm = ( ω~ - Aωkm )2 - Bωkm (9.4.65)

Aωkm = [ am / ( r2 + a2 ) ] - mΩH

Bωkm = ∆ { [ ( λmk – 2aωm ) / ( r2 + a2 )] + [ 1/ ( r2 + a2 )3/2 ] d/dr [ r∆ / ( r2 + a2 )3/2 ] } (9.4.66) λmk – wartość własna odpowiadająca funkcji Smk (9.4.3).

Zagadnienie znajdowania Rωkm i Tωkm jak również jego analog dla pól z innymi charakterystykami ( spinem, masą i ładunkiem ) dokładnie analizuje wiele innych prac. Przykładowo dokładną analizę oraz jawne wyrażenia dla

współczynników odbicia i pochłaniania, odpowiadającym takim przypadkom podaje Chandrasekhar (1983), gdzie podano również odsyłacze do innych prac.

W dokumencie Fizyka czarnych dziur W. P. Frolow, I. D. Nowikow (Stron 120-127)