Rozdział 12 . Wewnętrzna struktura czarnych dziur
§ 12.1 Czasoprzestrzeń i pola fizyczne wewnątrz schwarzschildowskiej czarnej dziury.
Strukturę czasoprzestrzeni wewnątrz nierotującej czarnej dziury, rozpatrzyliśmy w rozdziale 2. Teraz omówimy zachowanie pól fizycznych i problem stabilności wewnętrznej części schwarzschildowskiej dla r < rg , analogicznie do tego jak to zrobiliśmy dla czasoprzestrzeni na zewnątrz czarnej dziury, w rozdziale 3.
Zadane zagadnienie zostało rozwiązane w pracy Doroszkiewicza i Nowikowa (1978*). Zagadnienie dotyczące własności czasoprzestrzeni wewnątrz czarnej dziury ma zasadnicze znaczenie dla problemu kolapsu grawitacyjnego i natury osobliwości, chociaż jak wiadomo obszar ten nie jest dostępny do badania dla obserwatora, pozostającego na zewnątrz czarnej dziury. Ogólne twierdzenia mówiące o własnościach czarnych dziur, omówiliśmy w rozdziale 5, nie dają one jednak konkretnego pojęcia mówiącego o strukturze czasoprzestrzeni wewnątrz czarnej dziury. Niekiedy wysuwa się opinie, że pod horyzontem czarnej dziury wszystkie pola promieniowania i wszystkie zaburzenia wzrastają na tyle, że stają się nieliniowe, a zatem struktura metryki powinna być skrajnie skomplikowana.
Oprócz tego, w paragrafie 6.5 widzieliśmy, że struktura analogicznego przedłużenia rozwiązania dla metryki
czasoprzestrzeni wewnątrz naładowanej i rotującej czarnej dziury jest nadzwyczaj złożona. Czy jednak taka struktura w jakimkolwiek stopniu jest realizowana w przypadku realnego procesu tworzenia się czarnej dziury ?
W tym i następnych paragrafach damy odpowiedź na takie pytania. Na początku zbadamy rozprzestrzenianie się pól fizycznych wewnątrz schwarzschildowskiej czarnej dziury, oraz zbadamy stabilność jej struktury wewnętrznej.
Rozpatrzmy zaburzenie w postaci spadającego na czarną dziurę obiektu próbnego, będącego źródłem interesującego nas pola ( skalarnego, EM, grawitacyjnego itp. ). Będą nas interesowały własności pól falowych, długo po tym jak dany obiekt spadł do czarnej dziury , tj. przy dążeniu do I+ ( zobacz np. rys. 50c ) w obszarze T- ( tj. tak jak oznaczyliśmy obszar II ).
Taka asymptotyka oznacza, że t →∞ przy wykorzystaniu współrzędnych (2.2.1). Badanie „ogonów” promieniowania ( zobacz paragraf 3.4 ) dla obszaru zewnętrznego R pokazało, że przy ustalonym r mody radiacyjne promieniowania zanikają według prawa potęgowego przy t →∞. Dla samego horyzontu r = rg to oznacza, ze jeśli wprowadzimy parametr afiniczny V wzdłuż geodezyjnych zerowych, tworzących horyzont, to przy V →∞ zaburzenia będą zanikały również według prawa potęgowego. Ewolucja pola falowego w obszarze T- będzie określana przez równania o postaci (3.1.1) , (3.1.2) przy r < rg.
Odpowiednią analizę matematyczną podano w wspomnianej już pracy Doroszkiewicza i Nowikowa (1978*). Wyniki są następujące :
Dla zaburzeń skalarnych :
Φ ≈ D1t-2( k + 1) + D2t-2( k + 3) ln(r ) (12.1.1)
Gdzie : D1, D2 – stałe.
Dla zaburzeń opisywanych przez pola o s ≠ 0 ( w tym i dla zaburzeń metryki ), główny człon składowej, zależnej od r, ma dla multipól radiacyjnych k ≥ s postać :
Φ ≈ D3 t-( 2k + 3) r -n (12.1.2)
Gdzie : D3, n – stałe.
Zatem, przy ustalonym r i t→∞ mody radiacyjne, zaburzeń od źródeł zewnętrznych zanikają i czasoprzestrzeń dąży do stanu „stacjonarnego” , opisywanego rozwiązanie Schwarzschilda. Sytuacja jest analogiczna do tej jaka rozpatrzyliśmy z rozdziale 3 dla zewnętrznego obszaru czarnej dziury. Jednakże przy r < rg istnieją pewne różnice.
Po pierwsze, przy r < rg współrzędna r odgrywa rolę współrzędnej czasowej, a t – przestrzennej. Dlatego prawidłowo jest mówić o dążeniu do stanu zależnego tylko od r, a nie o dążeniu do stanu stacjonarnego.
Po drugie, co bardziej istotne, przy przybliżeniu do osobliwości przy ustalonym t zaburzenia narastają nieograniczenie.
Ogólne rozwiązanie w pobliżu osobliwości bez uwzględnienia efektów kwantowych zostało uzyskane przez Bielińskiego, Lifszyca i Chałatnikowa (1970*). W pobliżu osobliwości nie może już być stosowana metoda małych zaburzeń. Granica obszaru, gdzie zaburzenia są już nie małe, dana jest wyrażeniem ( s ≠ 0 ) :
rn ≈ D3 t-( 2k + 3) (12.1.3)
Obszar ten ściągany jest do osobliwości wraz ze wzrostem t. Oprócz tego, coraz to węższego przy t →∞ obszaru, rozwiązanie Schwarzschilda względem małych zaburzeń jest stabilne wszędzie wewnątrz czarnej dziury, a wszystkie mody radiacyjne wraz ze wzrostem t zanikają zgodnie z prawem potęgowym.
Promieniowanie od elementarnych zaburzeń, pojawiające się w obszarze r < rg ,rozprzestrzeniają się tylko na skończony ( mały ) obszar wewnątrz czarnej dziury, ponieważ są one „gromadzone” w osobliwości. Zaburzenia te nie wpływają jednak w żaden sposób na własności czarnej dziury przy t →∞.
Najważniejszym wnioskiem jest jednak to, że rozwiązanie Schwarzschilda w T-obszarze jest stabilne dokładnie tak jak i w R-obszarze.
Musimy teraz powiedzieć nieco o zaburzeniach multipolowych nieradiacyjnych, związanych z spadającymi do czarnej dziury cząstkami lub z samym kolapsującym ciałem, tworzącym czarną dziurę. Dla zaburzeń EM, takim multipolem jest k = 0 ( pole coulombowskie spadającego ładunku ), dla zaburzeń grawitacyjnych jest to k = 0 i k = 1 ( pole momentu pędu ). Wymienione multipola nie zanikają przy t →∞, a znanym sposobem narastają przy r → 0, w pobliżu r =0 przekształcają metrykę, tak, że odpowiada ona przejściu do metryki Reissnera-Nordströma, w przypadku uwzględnienia ładunku elektrycznego i do metryki Kerra w przypadku uwzględnienia momentu pędu. O tych metrykach w związku z badaniem wewnętrznej struktury czarnej dziury będziemy mówili dalej, a teraz tylko zauważymy, że jeśli poprawki do metryki i pola zaburzeń są istotne, w obszarze wystarczająco bliskim osobliwości r = 0, to nie mają one prostego sensu fizycznego. Wynika to z tego, że w pobliżu osobliwości, gdzie krzywizna czasoprzestrzeni jest większa od krzywizny Plancka ( tj. jest większa od 1/LPl2 ) lub dla kwadratowego inwariantu krzywizny :
RikmnRikmn = 12 rg2 / r6 > 1/LPl4 (12.1.4)
Istotne są procesy kwantowe i cały obszar określany przez wielkość (12.1.4) z punktu widzenia teorii klasycznej należy przyjmować jako osobliwy.
Pozostało nam rozpatrzyć nieradiacyjne multipola pól fizycznych, związane z zewnętrznymi źródłami. Jeśli takie źródła są stacjonarne tj. czas charakterystyczny zmian pola t >> rg /c, to jak pokazano w paragrafie 3.4, pola tych źródeł, dla których k = 0, przenikają swobodnie do czarnej dziury poprzez barierę potencjału. Zakładamy, że takie pola są słabe na rg. Wewnątrz czarnej dziury, podobnie jak i na zewnątrz nie są one zależne od współrzędnej t.
Typowe przykłady, które teraz omówimy to : wpływ na strukturę wewnętrzną czarnej dziury zewnętrznego stacjonarnego, kwadrupolowego pola grawitacyjnego oraz zewnętrznego, stacjonarnego pola magnetycznego – jednorodnego daleko od czarnej dziury.
W paragrafie 8.5 podano ścisłe rozwiązanie, opisujące czarną dziurę w zewnętrznym polu kwadrupolowym.
Wyrażenie (8.5.34) pokazuje, że jeśli parametr q, opisujący moment kwadrupolowy, jest wystarczająco mały i dlatego poprawki do metryki są małe na r = rg , pozostają one również małe wszędzie przy r < rg aż do osobliwości r = 0.
Nie powstają przy tym żadne niestabilności wewnątrz czarnej dziury.
Rozpatrzmy teraz, pole magnetyczne, jednorodne w przestrzennej nieskończoności. Przyjmiemy, że pole to jest słabe.
Wtedy dla składowych różnych od zera, tensora pola EM :
Fθφ = B0ctg(θ)/ r2 , Fφr = - (B0/r ) [ 1 – (r0/r ) ] (12.1.5) Gdzie : B0 – natężenie pola magnetycznego w nieskończoności.
Wewnątrz czarnej dziury składowa Fφr opisuje pole elektryczne. Przy r → 0 składowe tensora pola EM narastają nieograniczenie, co jednakże nie prowadzi do przekształcenia metryki, ponieważ składowe tensora energii-pędu, zbudowane ze składowych (12.1.5), rosną wolniej, niż odpowiednie wyrażenia opisujące krzywiznę czasoprzestrzeni.
Jeszcze raz podkreślimy, że w pobliżu matematycznej osobliwości istotnej r = 0 pojawia się osobliwość fizyczna, w której istotne są procesy grawitacyjne. Oprócz tego, dalej od osobliwości ( gdzie krzywizna jest jeszcze dalej mała ) mogą również pojawiać się zjawiska kwantowe w przypadku obecności innych pól, oprócz pola grawitacyjnego.
Zjawiska te w pewnych przypadkach wpływają istotnie na metrykę. Będą one rozpatrzone w następnych paragrafach.
Na koniec w bardzo dużych skalach czasu na metrykę wpływa proces parowania czarnej dziury.
§ 12.2 Niestabilność horyzontów Cauchy’ego wewnątrz naładowanej sferycznej czarnej dziury.
Rozpatrzmy teraz zachowanie małych zaburzeń pól EM i grawitacyjnego wewnątrz naładowanej, sferycznie-symetrycznej czarnej dziury.
Jakościowo nowym elementem w porównaniu z czarną dziurą Schwarzschilda jest teraz obecność horyzontów
Cauchy’ego ( zobacz paragraf 6.5 ). Na rysunku 84 przedstawiono fragment diagramu Penrose’a z wewnętrzną częścią ( obszar II ) naładowanej czarnej dziury i przestrzenią zewnętrzną I.
Jeśli naładowana czarna dziura tworzy się w wyniku kolapsu naładowanego ciała z przestrzeni I, to druga przestrzeń zewnętrzna ( I’ na rys. 67 ) nie występuje, podobnie jak w przypadku kolapsu nie naładowanego ciała sferycznego, przekształcającego się w czarną dziurę Schwarzschilda ( zobacz paragraf 2.7 ). Dlatego też obszar I’ na rys 84 nie jest pokazany. Mamy wszelkie podstawy przyjmować (zobacz paragraf 6.5 ), że małe zaburzenia mogą niegraniczenie narastać w otoczeniu r-,1 [ Penrose (1968) ].
Rozpatrzmy bowiem małe zaburzenie pola grawitacyjnego i/lub EM, wewnątrz czarnej dziury w obszarze I. Jak już pokazaliśmy w paragrafach 3.4 i 4.7 „ogony” promieniowania od takiego zaburzenia będą zanikały według prawa potęgowego, przy r = const. w związku z procesem rozpraszania na krzywiźnie czasoprzestrzeni. Taki zanikający strumień promieniowania będzie przecinał horyzont zdarzeń r+ i będzie koncentrował się wzdłuż horyzontu r-,1 ( zobacz rys. 84 )
Rys. 84 Część diagramu Penrose’a dla naładowanej czarnej dziury z reprezentacją rozprzestrzeniania się promieni radiacyjnych, pochodzących bezpośrednio od ich źródła O i po rozproszeniu na krzywiźnie czasoprzestrzeni.
Obserwator poruszający się po czasopodobnej linii świta, przecinający horyzont r-,1 w skończonym czasie własnym zobaczy takie promieniowanie w pobliżu r-,1 ( spada ono do czarnej dziury w nieskończonym czasie, względem zegara obserwatora zewnętrznego ).
Przy tym, kiedy obserwator przybliża się do r-,1 rejestrowane przez niego promieniowanie ma nieskończenie wielkie przesunięcie. Naturalnym jest oczekiwać, że taka koncentracja energii prowadzi do zmian struktury czasoprzestrzeni i do pojawienia się w miejscu r-,1 osobliwości istotnej czasoprzestrzeni. Tymczasem wzdłuż horyzontu r-,2 ( za wyjątkiem punktu D ) nie pojawia się żadna koncentracja energii i dlatego nie należy oczekiwać „kreowania” osobliwości dla r-,2 w wyniku zaburzeń pojawiających się z obszarze I.
Widać więc, że matematyczna analiza ewolucji małych zaburzeń potwierdza wyobrażenia intuicyjne.
Podane zagadnienie przeanalizował m.in. McNamara (1978a, b ), Graves i inni (1979a, b ), Chandrasekhar i Hartle (1982). My będziemy kierowali się teraz tą ostatnią pracą.
Metryka naładowanej czarnej dziury ma postać :
ds2 = - [ ( r – r+ ) ( r – r- )/ r2 ] dt2 + [ r2 / ( r – r+ ) ( r – r- ) ] dr2 + r2 ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (12.2.1) Nas będzie interesował obszar czasoprzestrzeni r- < r < r+ . W pracach Chandrasekhara (1979b, 1983) pokazano, że zaburzenia pól EM i grawitacyjnego naładowanej czarnej dziury Reissnera-Nordströma mogą być przeanalizowane z użyciem pojęć modów normalnych z zależnością czasową o postaci eiσt i zależnością kątową opisywaną przez odpowiednie funkcje Lagrange’a o ustalonych wartościach k, m. Zaburzenia takie dzielimy na dwie klasy : Osiowe ( indeks + na górze ) i biegunowe ( indeks – na górze ). Zaburzenia każdej z tych klas może być wyrażone poprzez parę funkcji skalarnych inwariantnych względem cechowania Z(±)
i (r ) ( i = 1, 2 ) ( w tym sensie jak to opisano w paragrafie 3.1 ) :
d2 Z(±)
i /dr*2 + σ2 Z(±) i = V(±)
i Z(±)
i (12.2.2)
gdzie :
( we wzorach (12.2.5) , (12.2.6) i, j = 1, 2 ; i ≠ j )
Okazuje się ,że Z(+)i związane jest z Z(-)i poprzez prostą zależność algebraiczną.
Równania typu (12.2.2) spotkaliśmy już w zagadnieniu dotyczącym zachowania pól fizycznych na zewnątrz czarnej dziury ( zobacz rozdział 3 ). Nas interesować będzie rozwiązanie tych równań opisujące przechodzenie i odbicie fali padającej na V(±)
i. ( W zdanym przypadku V(±)
i jest jamą potencjału , a nie barierą , jak to było dla zewnętrznej przestrzeni czarnej dziury, jednakże jakościowo nie zmienia to obrazu sytuacji. )
Okazuje się, że współczynniki odbicia i pochłaniania dla Z(+)i wyrażają się prosto poprzez odpowiednie współczynniki dla Z(-)i.
Zbadamy teraz zachowanie zaburzeń falowych, wchodzących do obszaru II poprzez horyzont r+ z obszaru I. ( zobacz rys. 84 ). W tym celu rozpatrzymy dyspersje fali o jednostkowej amplitudzie na r = r+ ( r*→ −∞ ).
Rozwiązanie równań (12.2.2) powinno spełniać następujące warunki brzegowe ( opuszczamy indeksy górne i dolne, ponieważ analiza ta jest słuszna dla wszystkich ich wartości ) :
Z( r* , σ ) → A(σ) e-iσr* + B(σ) eiσr* ( r
*→ + ∞ , r → r- ) (12.2.10a)
Z( r* , σ ) → e-iσr* ( r* → + ∞ , r → r+ ) (12.2.10b) Współczynniki A(σ), B(σ), opisujące przechodzenie i odbicie fali przez V(r
* ), mogą być w zasadzie znalezione poprzez standardowe metody , jeśli znana jest postać V(r
*) [ zobacz (12.2.5), (12.2.6) ]. Dogodnie jest wprowadzić w celu analizy, zerowe ( izotropowe ) pierwiastki :
u~ = r* + t , v~ = r* - t (12.2.11)
Jeśli nanieść na rys. 84 linie stałego u~ ( nie robimy tego, aby ni zaciemniać rysunku ), to będą one przedstawione poprzez odcinki prostych, równoległych do r+. Linie stałego v~ ( również nie pokazane na wspomnianym rysunku ) są odcinkami prostych, równoległych do r-,1. Horyzont r+ odpowiada u~ = −∞, horyzont r-, 1 odpowiada v~ = ∞, a r-, 2 u~ = ∞. Warunki brzegowe (12.2.10) możemy przepisać teraz następująco :
Z( r* , t ) → e-iσv~ +[ A(σ) –1 ] e−iσv~+ B(σ) eiσu~ ( r* → ∞ , r → r- ) (12.2.12) Z( r* , t ) → e-iσv~ ( r* → - ∞ , r → r+ ) (12.2.13) Rozpatrzmy zaburzenie Zzab (v~ ), przecinające horyzont r-. Tam jego amplituda może być zapisana w postaci [ zobacz (12.2.12) ] :
Zzab ( r* , t ) → X(v~ ) + Y(u~ ) ( r* → ∞ ) (12.2.15)
Gdzie : ∞
X(v~ ) =
∫
Z~(σ) [ A(σ) – 1] e-iσv~dσ (12.2.16)
−∞
∞
Y(u~ ) =
∫
Z~(σ) A(σ)eiσu~dσ (12.2.17)
−∞
Nas interesuje strumień promieniowania, rejestrowany przez obserwatora, przecinającego horyzont r-. Strumień ten jest proporcjonalny do kwadratu amplitudy :
F = uα Z,α | r → r- (12.2.18)
Gdzie : uα – czterowymiarowa prędkość obserwatora.
W zależności od tego czy strumień ten jest skończony, czy też nieskończony, horyzont r- będzie stabilny lub niestabilny ( w przybliżeniu liniowym )względem małych zaburzeń.
Matzner (1979) i Chandrasekhar (1983) pokazali, że na horyzoncie Cauchy’ego wielkość F możemy zapisać w postaci : na r-, 1 :
F-, 1 = [ 2r2 / ( r+ - r- )] | E | lim eK_v ~X, -v~ (12.2.19)
v~ →∞
na r, 2 :
F-, 2 = [ 2r2 / ( r+ - r- )] E lim eK_u ~X, -u~ (12.2.20)
u~ →∞
gdzie : E – stała składowa czasowa, kowariantnej 4-prędkości uα obserwatora.
Rozbieżność ( lub skończoność ) wyrażeń (12.2.19 , 20 ) zależne jest w sposób istotny od zachowania :
EK_ v~
X, -v~ | v~ →∞ eK_ u~X, -u~ | u~ →∞
My będziemy zakładali, że forma zaburzonego promieniowania Zzab(v~ ) przecinającego horyzont r+ spełnia następujące własności :
Zzab(v~ ) = 0 przy v~ < v0~ i Zzab(v~ ) = 0 przy v~ →∞ dąży do zera przynajmniej tak jak v~-1.
Właśnie takie warunki powinno spełniać dowolne promieniowanie rzeczywiste, od np. spadającego na czarną dziurę obiektu lub jakiegoś innego zaburzenia elementarnego, które zaszło w obszarze I. Drugi z tych warunków powinien być spełniony zgodnie z zbadana w poprzednim rozdziale asymptotyki promieniowania zaburzającego przy v~ →∞ na horyzoncie naładowanej czarnej dziury. Obecność ładunku Q < M nie zmienia niczego w tym wywodzie.
Potęgowe znikanie „ogonów” promieniowania zaburzeń jest typowe dla praktycznie każdego zaburzenia.
Pierwszy warunek jest spełniony, jeśli pod v0~ będziemy rozumieli wartość parametru afinicznego, odpowiadającego chwili, kiedy horyzont przecina czoło promieniowania pochodzącego od źródła zaburzenia (* przy rozpatrywaniu czarnej dziury powstałej w wyniku kolapsu, to wystarczająco małe wartości v~ nas nie interesują *)
W pracy Chandrasekhara i Hartle’a (1982) pokazano, że dla rozwiązań równania (12.2.2) o dowolnych indeksach ( ± ) wielkość F-, 2 *12.2.20) pozostaje skończona, tj. horyzont r-, 2 jest stabilny względem małych zaburzeń w obszarze I.
Zaś, wielkość F-, 1 jest rozbieżna przy v~ →∞ w skrajnym przypadku jak e(K_ −K+ )v~ lub jeszcze szybciej ( prędkość rozbieżności jest zależna od charakteru zaburzenia ). To oznacza, że wraz z przybliżaniem się do r-, 1 obserwator widzi nieskończoną gęstość strumienia promieniowania.
Przedstawiona analiza matematyczna potwierdza w pełni intuicyjną analizą przedstawioną przez Penrose’a , którą to wspomnieliśmy na początku tego rozdziału. Zauważmy, że dyspersja fal od dowolnego zaburzenia pojawiającego się w obszarze II, nie prowadzi do koncentracji energii wzdłuż r-, 1 i odpowiednio do niestabilności horyzontów Cauchy’ego.
Nieskończona koncentracja energii w pobliżu r-, 1 pochodząca od zaburzeń w obszarze I powinna wpływać na metrykę, zmieniając strukturę czasoprzestrzeni. Dlatego, też w pobliżu r-, 1 metoda małych zaburzeń jest już niesłuszna.
Możemy tylko wnioskować, że w miejscu horyzontu Cauchy’ego będzie formowała się osobliwość istotna czasoprzestrzeni.
I jeszcze jedna uwaga. Niech na zewnątrz czarnej dziury istnieją źródła stałego pola – EM, grawitacyjnego lub jakiegoś innego. W przypadku naładowanej czarnej dziury pole takie przenikają przez r+ do obszaru wewnętrznego, podobnie jak to było w przypadku czarnej dziury Schwarzschilda ( zobacz paragraf 12.1 ). Jeśli przy tym na zewnątrz czarnej dziury pola są słabe i nie wpływają na metrykę, to wewnątrz czarnej dziury pozostają one słabe. W szczególności, są one słabe na r- i nie powodują one niestabilności.
§ 12.3 Niestabilność horyzontów Cauchy’ego względem procesów kwantowo-elektrodynamicznych.
W poprzednim paragrafie rozpatrzyliśmy niestabilność horyzontu Cauchy’ego względem małych zaburzeń
zewnętrznych. Jednakże metoda małych zaburzeń, którą wykorzystywaliśmy nie może dać nam odpowiedzi na pytanie o to jak zmienia się metryka pod wpływem narastających małych zaburzeń i czy w tym procesie pojawia się osobliwość istotna czasoprzestrzeni.
W niniejszym paragrafie rozpatrzymy kwantowe elektrodynamiczne procesy, przebiegające wewnątrz naładowanej nierotujacej czarnej dziury. Pokażemy, że procesy takie prowadzące do kreacji par elektron-pozyton wywołują niestabilność horyzontu Cauchy’ego i zmieniają strukturę czasoprzestrzeni. Przy tym zbudujemy samozgodne rozwiązanie uwzględniające wpływ kreowanych cząstek na pole EM i metrykę, oraz pokażemy w ramach tego rozwiązania jak zmienia się metryka i że w miejsce horyzontu Cauchy’ego pojawia się osobliwość istotna
czasoprzestrzeni. Podane zagadnienie zostało rozwiązane w pracy Nowikowa i Starobińskiego (1980*) – posłuży ono nam za podstawę dalszego wywodu.
Rozpatrzymy ograniczenia, które nakładane są na warunki fizyczne wewnątrz czarnej dziury o parametrach M, Q ( rys. 85). Po pierwsze czarna dziura tworzy się tylko przy Q < √GM ( lub Q/e < 5 • 105 [g] , gdzie e – ładunek elektronu ) tj. dla parametrów poniżej linii 1 na rys. 85. Jeśli ładunek czarnej dziury jest wystarczająco duży, to w jej pobliżu następuje kreacja par elektronowo-pozytronowych. Jedna cząstka uchodzi do nieskończoności, druga ( o znaku przeciwnym do znaku czarnej dziury ) – zostaje pochłonięta przez czarną dziurę (* Rozpatrujemy tutaj czarne dziury dla których r+ > λ , gdzie λ = ħ /mc – comptonowska długość fali elektronu
[ przypadek przeciwny -zobacz Page (1977) ] *), przy czym jak można pokazać, w czasie r+ /c ( tj. bardzo szybko ) ładunek ten zmniejsza się do wartości :
Q2 = ( πm2 r+2 c3 / eħ )[ ln(A) – ln( ln(A) )-1 (12.3.1) Gdzie :
A = e2( 2πħc )-1( r+ / λ )2 , e – ładunek elektronu , m – masa elektronu.
W dalszym ciągu przyjmujemy, ze ładunek czarnej dziury pozostaje praktycznie stały.
Rys. 85 Różne obszary wartości ładunku czarnej dziury Q i jej masy M ( o granicach obszarów – czytaj w tekście ) Na rys. 85 cyfrą 2 oznaczono linie odpowiadającą równaniu (12.3.1). Obszar możliwych wartości parametrów czarnej dziury leży po prawej poniżej linii 1, 2.
Zauważmy, że przy wystarczająco małym ładunku czarnej dziury horyzont Cauchy’ego leży na tyle blisko osobliwości istotnej, że krzywizna czasoprzestrzeni jest tam większa od wartości krytycznej, przy której istotne są efekty kwantowo-grawitacyjne. Cały ten obszar z fizycznego punktu widzenia należy uważać za osobliwy. Nieosobliwy horyzont Cauchy’ego istnieje tylko w tym przypadku, jeśli leży on na zewnątrz tego obszaru. Inwariant krzywizny Rαβγδ Rαβγδ posiada wymiar ( długość )-4. Granica obszaru osobliwego określona jest poprzez warunek Rαβγδ Rαβγδ = 1/ lPL4
Dla metryki Reissnera-Nordströma warunek przynależności r- do brzegu obszaru osobliwego określony jest przez wyrażenie ( dla r- << r+ ) :
Rαβγδ Rαβγδ = | r = r-≈ 12 r+2 / r-6 = 1/ lPL4 (12.3.2) lub
Q3 /e ≈ G1/3( ħc)1/6 M2/3 /e ≈ 304 M2/3 [g] (12.3.3)
( linia 3 na rys. 85 )
Na tej granicy r- >> lPL . Jeśli parametry czarnej dziury leżą po prawej stronie poniżej linii 3, to nie występuje nieosobliwy horyzont Cauchy’ego. ( Przy naturalnych warunkach astrofizycznych, kiedy spełnione są warunki podane na początku paragrafu 4.8, dla czarnej dziury o masie M < 1060 [g] jest Q < Q3 i nie może występować nieosobliwy horyzont Cauchy’ego )
Pozostaje nam teraz rozpatrzyć obszar zakreskowany ( rys. 85 ). Dla wartości parametrów z tego obszaru okazują się istotne kwantowo-elektrodynamiczne procesy wewnątrz naładowanej czarnej dziury. Wprowadzimy w obszarze II metrykę Reissnera-Nordströma analogiczną do (2.4.9) :
ds2 = -dτ2 + a2( r(τ))dx2 + r2(τ) ( dθ2 + sin2θ dφ2 ) (12.3.4) gdzie :
r
τ = −
∫
{ r / [ ( r+ − r- ) ( r – r- )]1/2 }dr (12.3.5)r-
a(r) = [ ( r+ − r- ) ( r – r- )]1/2 / r (12.3.6)
Współrzędna t ( przy r > r+ ) jest teraz przestrzennopodobna. Oznaczymy ja przez x (x ≡ t ). Zależności a = a(τ) i r = r(τ) określone są teraz przez zależności (12.3.5) i (12.3.6). Układ odniesienia o metryce (12.3.4) posiada jednorodną ( ale anizotropową ) trójwymiarową przestrzeń i dlatego jest ona dogodna dla dalszych obliczeń. Według współrzędnej x przestrzeń ta jest nieskończona ( −∞ < x < + ∞ ). Taki system odniesienia przez skończony czas własny. Jego ewolucja rozpoczyna się w chwili odpowiadającej r = r+ , kiedy rozpoczyna się rozszerzanie w kierunku x, opisywana przez a(τ).
Na początku rozszerzania a = 0. Na r = r+ istnieje fikcyjna ( współrzędnościowa ) osobliwość. W kierunkach transwersalnych poprzeczne przekroje naszego układu odniesienia przedstawiają sobą sfery o promieniu r(τ). Wraz z upływem τ następuje monotoniczne kurczenie sfer od wartości początkowej r = r+. Rozszerzanie względem
współrzędnej x wraz z upływem τ zamienia się w kurczenie i przy r = r- wielkość a ponownie staje się równa zeru, tj.
znowu mamy osobliwość współrzędnych. Promień sfer w tej chwili jest równy r = r-.
W rozpatrywanym układzie odniesienia pole EM jest czysto elektrycznym ( różna od zera składowa Fτx tensora EM ), jest ono skierowane wzdłuż x i nie jest zależne od x. Wraz ze wzrostem τ natężenie tego pola zanika odwrotnie proporcjonalnie do r2. Jeśli pole to jest wystarczająco silne, to zachodzi w nim kreacja par elektron-pozyton.
Cząstki kreowane w obszarze II, nie mogą ujść z czarnej dziury, ponieważ jej granica r+ leży w absolutnej przeszłości.
Dlatego też nie wpływają one w żaden sposób na własności przestrzeni zewnętrznej I, mogą one jednak istotnie zmieniać
sytuacje we wnętrzu czarnej dziury. Pokażemy teraz, że kreowane cząstki poprzez swoje ciążenie zmieniają metrykę w obszarze II, co prowadzi do pojawienia się osobliwości istotnej w miejscu horyzontów Cauchy’ego.
Rozpatrzmy taki proces dokładniej. Wydzielimy na rys. 85 wartości parametrów , gdzie w obszarze II ( r- < r < r+ ) pole elektryczne osiąga wartość Ecr = πm2c3 /eħ, przy których następuje szybka kreacja par elektron-pozytron. Napiszmy warunek na to, aby pole elektryczne E = Q/r2 przyjmuje wartości krytyczne na horyzoncie r- : Q/r-2 = Ecr.
Zależność tą można przepisać do postaci ( przyjmujemy Q < √GM , c = 1 ).
Q/c = [ (4/π) (ħ M2 /m2 c2 )1/3 ≈ 6018 M2/3 [g] (12.3.7)
( linia 4 na rys. 85 )
Warunek E > Ecr dla obszaru II jest spełniony przy wartości parametrów między liniami 2, 3, 4. W rozpatrywanym obszarze Q << √GM tj. r- << r+. W tym przypadku ( r- << r << r+ ) ewolucja układu (12.3.4) następuje według prawa : r(τ) = (3/2)2/3 r+1/3 |τ |2/3 , a(τ) = (r+ /r )1/2 = (2/3 )1/3 | r+ /τ |1/3 (12.3.8) Pole elektryczne na tym stadium jeszcze nie wpływa na ewolucje metryki ( jest ona taka jak przy Q = 0 , r- = 0 )
Jeśli rozwiązanie (12.3.8) przedłużać do τ = 0 ( tak jak to miało miejsce przy Q ≡ 0, E ≡ 0 ), to prowadziłoby ono do osobliwości istotnej τ = 0. Pole elektryczne zmienia się jak E = Q/r2 wraz z kurczeniem się układu również w naszym przypadku osiągana jest wartość Ecr na stadium (12.3.8), po czym następuje szybka kreacja par e±, które rozchodząc się pod wpływem pola elektrycznego tworzą prąd. Prąd ten w istotny sposób wpływa odwrotnie na pole elektryczne.
Bez takiego wpływu stałoby się ono większe od Ecr i koniec końców zmieniłoby postać (12.3.8) przy r porównywalnym z r- prowadząc do fikcyjnej osobliwości na horyzoncie Cauchy'ego.
W pracy Nowikowa i Starobińskiego (1980*) pokazano, że pole E w obszarze II nie może być znacznie większe od Ecr W przeciwnym wypadku pojawiający się w wyniku kreacji par, prąd w krótkim czasie τ0≈ 10-18 – 10-20 [s] obniżyłby
W pracy Nowikowa i Starobińskiego (1980*) pokazano, że pole E w obszarze II nie może być znacznie większe od Ecr W przeciwnym wypadku pojawiający się w wyniku kreacji par, prąd w krótkim czasie τ0≈ 10-18 – 10-20 [s] obniżyłby