Rozdział 11 . Termodynamika czarnych dziur
§ 11.1 Czarne dziury i ich termodynamika.
Odkrycie przez Hawkinga promieniowania cieplnego czarnej dziury, było dla większości specjalistów niespodzianką, chociaż do momentu tego odkrycia istniało sporo faktów świadczących o ścisłym związku między fizyką czarnych dziur i termodynamiką.
Wheeler , jak się wydaje pierwszy zwrócił uwagę, na to, że w ramach klasycznej teorii grawitacji sam fakt istnienia czarnej dziury jest sprzeczny z prawem wzrostu entropii.
Załóżmy bowiem, że czarna dziura pochłania gorące ciało, posiadające pewien zapas entropii, wtedy obserwator zewnętrzny zobaczy zmniejszenia całkowitej entropii w części świata dostępnej dla jego obserwacji. Czysto formalnie takie zmniejszenie entropii można było by przyjąć, jeśli przypisać entropię związaną z pochłoniętym ciałem, wnętrzu czarnej dziury. Jednakże takie „obejście” jest jawnie niezadawalający, ponieważ dowolne próby prowadzone przez obserwatora „zewnętrznego” związane z określeniem wartości entropii czarnej dziury wraz z pochłoniętym ciałem, są skazane na porażkę. Krótką chwilę po pochłonięciu gorącego ciała, czarna dziura staje się stacjonarna i na skutek efektu
„wypadania włosów” zapomina ona całkowicie o takich detalach, jak budowa wewnętrzna i entropia, pochłoniętego ciała.
Jeśli chcielibyśmy wyrzec się prawa wzrostu enetropii tylko z tego powodu, że gdzieś we Wszechświecie utworzyła się czarna dziura, należałoby wnioskować, że każda czarna dziura sama w sobie posiada określony zapas entropii i, że gorące ciało przy wpadaniu do czarnej dziury przekazuje jej nie tylko masę, moment pędu i ładunek ale również entropię S, tak że entropia czarnej dziury wzrasta o wielkość nie mniejszą niż S.
Bekenstein (1973a) zwrócił uwagę, że własności jednej z charakterystyk czarnej dziury – jej pole powierzchni A, przypomina własności entropii. Mianowicie, zgodnie z twierdzeniem Hawkinga przy dowolnych procesach klasycznych pole powierzchni A nie zmniejsza się tj. zachowuje się tak jak entropia. Ogólnie okazało się, że analogia między fizyką czarnych dziur i termodynamiką jest bardzo daleka. Odnosi się ona zarówno do konkretnych urządzeń cieplnych ( maszyn cieplnych ), ale również ogólnym praw termodynamiki, każde z których znalazło swój analog w fizyce czarnych dziur.
Podobnie jak układ termodynamiczny, dowolna czarna dziura po zajściu procesów relaksacyjnych, dochodzi do stanu równowagi ( stanu stacjonarnego ) tj. stanu w którym jest ona opisywana poprzez niewielka liczbę parametrów : M, J, Q.
Pole powierzchni A stacjonarnej czarnej dziury jest funkcją tych parametrów :
A = 4π{ 2M2 – Q2 + 2Msqrt[ M2 – Q – (J2 / M2 ) ] } (11.1.1) Zależność tą możemy odwrócić i znaleźć wyrażenie dla energii wewnętrznej czarnej dziury :
M ≡ M(A, J, Q ) = { (1/A) π [ ( Q2 + (A/4π )2 ) + 4J2 ] }1/2 (11.1.2) Dla dwóch stacjonarnych czarnych dziur o niewiele różnych wartościach pola powierzchni δA, momentu kątowego δJ I ładunku elektrycznym δQ energia wewnętrzna różni się o wielkość :
δM = (κ/8π) δA + ΩH δJ + ΦHδQ (11.1.3)
gdzie : κ = 4π sqrt[ M2 – Q2 – (J2/M2 )]/ A – powierzchniowa grawitacja, ΩH = 4π/JMA – prędkość kątowa, ΦH = 4πQr+ /A – potencjał elektryczny czarnej dziury.
Drugi i trzeci człon tego wzoru opisuje zmianę energii rotacji i energii elektrycznej.
Zależność ta jest analogiczna do pierwszego prawa termodynamiki, przy tym w charakterze analogu temperatury ( wielkości stowarzyszonej z entropią ) występuje wielkość, proporcjonalna do grawitacji powierzchniowej κ.
Wynik osiągnięty przez Hawkinga mówiący o cieplnym charakterze promieniowania stacjonarnej czarnej dziury nie tylko potwierdza wskazaną analogię, ale również pozwala znaleźć współczynnik, wiążący temperaturę θ i
powierzchniową grawitacje κ :
θ = ħκ / 2πck (11.1.4)
Przy tym zależność (11.1.3) dokładnie pokrywa się z pierwszym prawem termodynamiki :
δE = θ δSH + ΩH δJ + ΦHδQ (11.1.5)
jeśli dla entropii czarnej dziury przyjąć wyrażenie :
SH = A/ 4lPl2 , lPl2 = ħG/ c3 (11.1.6)
Te początkowe wyniki dają wszelkie podstawy do tego, aby poważnie odnosić się do wspomnianej analogii między fizyką czarnych dziur i termodynamiką. Podstawowe prawa fizyki czarnych dziur, odgrywające rolę analogiczną do praw termodynamiki, rozpatrzymy w paragrafie 11.3, po omówieniu ogólnych własności grawitacji powierzchniowej κ i po wprowadzeniu tzw. wzorów masowych, uogólniających zależności (11.1.2) i (11.1.3) na przypadek dowolnych stacjonarnych czarnych dziur, otoczonych stacjonarnym rozkładem materii i pól.
§ 11.2 Powierzchniowa grawitacja. Wzór masowy.
Zgodnie z twierdzeniami o jednoznaczności ( paragrafy 6.3 , 6.4 ) pojedyncza stacjonarna czarna dziura w przypadku ogólnym jest czarną dziurą Kerra-Newmana. Dla takiej czarnej dziury wartości prędkości kątowej ΩH, grawitacji powierzchniowej κ i potencjału elektrycznego ΦH są stałe na horyzoncie zdarzeń. Własność stałości tych parametrów jest zachowana również w tym przypadku, jeśli czarna dziura otoczona jest materią, przy warunku , że geometria czasoprzestrzeni pozostaje stacjonarna i osiowo symetryczna lub statyczna. Ponieważ własność ta jest istotna dla rozwinięcia analogii termodynamicznej w fizyce czarnych dziur, musimy zastanowić się nad nią dokładniej.
Niech ξµ
(t) ∂µ = ∂t i ξµ
(φ)∂µ = ∂φ będą polami wektorowymi Killinga, odpowiadającymi przesunięciu w czasie i obrotowi. Zdefiniujmy biwektor ρµν :
ρµν = 2ξ(t) [µ ξ(φ) ν] (11.2.1)
Wtedy, jak pokazał Carter (1973a), przy spełnieniu warunku cyrkularności ( zobacz paragraf 6.4 ) horyzont zdarzeń dowolnej stacjonarnej osiowo symetrycznej czarnej dziury pokrywa się ze zbiorem punktów, w których biwektor ρµν staje się izotropowy ( ρµν ρµν = 0 ), przy tym wektory styczne lµ do horyzontu zdarzeń są zgodne z kierunkiem wektorów izotropowych leżących na dwuwymiarowej płaszczyźnie izotropowej, rozpiętej na wektorach ξ(t) i ξ(φ).
Wybierając normalizacje lµ w odpowiedni sposób, osiągamy : lµ = ξµ
(t) + ΩHξµ
(φ) (11.2.2)
Z własności symetrii czasoprzestrzeni wynika, że prędkość kątowa czarnej dziury ΩH
nie może zależeć od czasu t, ani
nie zależy również od „szerokości” punktu na powierzchni czarnej dziury , tj. jest stała na całej tej powierzchni. Aby dowieść tę własność wprowadzimy następujące oznaczenia :
X = ξ(φ) ξ(φ) , W = ξ(t) ξ(φ) , V = − ξ(t) ξ(t) (11.2.4) Ponieważ ξ(φ) ( podobnie jak i ξ(t) ) leży na płaszczyźnie stycznej do horyzontu zdarzeń, to ξ(φ)l = 0 i z (11.2.2) mamy :
XΩH
= − W ( 11.2.5)
Jeśli zróżniczkujemy to wyrażenie względem xµ i wykorzystamy własność komutacji [ ξ(t) , ξ(φ) ] = 0, to łatwo otrzymamy następujące równanie :
X2ΩH
, α = 2 ( ξβ
(φ)W – ξβ
(t) X ) ξ(φ)β; α (11.2.6)
Pomnóżmy teraz obie części tego równania przez ργδ i dokonajmy antysymetryzacji względem indeksów α, γ, δ.
Jeśli uwzględnimy zależność :
ξ(φ)α ;[ β ργδ] = ξ(φ)α ξ(φ)[β ; γ ξ(t)δ ] − ξ(t)α ξ(φ) [β; γ ξ(φ)δ ] (11.2.7) wynikającą z warunku (6.4.4) oraz zerowanie się na horyzoncie inwariantu W2 + XV = −2ραβ ραβ , to można się przekonać, że prawa strona otrzymanego wyrażenia jest równa zeru i otrzymujemy :
X2ΩH
[ ,α ργδ ] = 0 (11.2.8)
Na zewnątrz osi symetrii ( X ≠ 0 ) warunek ten oznacza, że ΩH
, α leży na dwu wymiarowej płaszczyźnie, napiętej przez wektory ξ(t) i ξ(φ) , a zależność (11.2.3) pokazuje, że ΩH
, α = 0. Tym samym dowiedliśmy własności stałości ΩH na horyzoncie zdarzeń ( W punktach biegunowych ΩH definiowane jest z warunku ciągłości ).
Własność stałości prędkości kątowej czarnej dziury można sformułować w inny sposób. Wprowadźmy mianowicie pole wektorowe Killinga η :
ηµ = ξµ
(t) + ΩH ξµ
(φ) (11.2.9)
Na horyzoncie zdarzeń to pole wektorowe jest styczne do tworzących horyzontu i η • η = 0 (* Istnienie wektorowego pola Killinga (11.2.9), posiadającego tę własność jest następstwem twierdzenia Hawkinga ( paragraf 6.2 ), z którego wynika również , że ΩH = const. *)
Innymi słowy, stałość ΩH oznacza, że horyzont zdarzeń pokrywa się z horyzontem Killinga. Ten ostatni określany jest jako powierzchnia izotropowa, do której izotropowe wektory styczne pokrywają się ( przy odpowiedniej normalizacji ) w wektorami pewnego, ustalonego pola Killinga.
Przejdziemy teraz do dowiedzenia stałości grawitacji powierzchniowej κ. Wielkość ta występowała już wielokrotnie, w szczególności przy rozpatrywaniu różnorodnych własności kerrowskiej czarnej dziury. Podamy teraz ogólną definicję tej wielkości, stosowaną dla dowolnej stacjonarnej ( nie koniecznie pojedynczej ) czarnej dziury.
Ponieważ wielkość η • η ( równa zeru ) jest stała na powierzchni horyzontu zdarzeń, to wektor ( η • η ); ν jest normalny do tej powierzchni. Na mocy izotropowego charakteru horyzontu mamy :
( η • η ); ν = 2κην (11.2.10)
gdzie : κ - inwariantna funkcja na powierzchni czarnej dziury, nazywana grawitacją powierzchniową.
Ponieważ ξ(t) i ξ(φ) są styczne do horyzontu zdarzeń i £ξ(t)η = £ξ(φ)η = 0 to, stosując operatory £ξ(t) i £ξ(φ) do obu stron (11.2.10), możemy się przekonać, że ξµ
(t) κ ,µ = ξµ
(φ) κ , µ = 0. Własność ta jest prosta konsekwencją własności symetrii przysługującej czasoprzestrzeni. Znacznie mniej trywialnym jest niezależność κ ot „szerokości” punktu na powierzchni czarnej dziury.
Aby dowieść stałości κ na całym horyzoncie zdarzeń, kierując się pracą Bardeena i innych (1973), dogodnie jest wykorzystać formalizm tetradowy. W tym celu dopełnimy lµ = ηµ | H+ do zespolonej tetrady świetlnej, wybierając zespolone wektory izotropowe mµ , m-µ jako styczne do powierzchni horyzontu i normowane przez zależność mµm-µ = 1 oraz rzeczywisty wektor izotropowy nµ , ortogonalny do mµ i m-µ i normowany warunkiem lµ nµ = −1.
Z pomocą tak wprowadzonej zespolonej tetrady izotropowej , κ możemy zapisać w następującej postaci :
κ = −1ν ; µ nν lµ (11.2.11) O słuszności tego wzoru możemy się przekonać przepisując (11.2.10) do postaci :
ηµ ην ; µ = κην (11.2.12)
( wzór ten uzyskujemy wykorzystując zależność ηµ; ν = − ην ; µ )
a następnie wykorzystując to, ze na H ηµ = lµ ,wtedy to po pomnożeniu (11.2.12) przez nν otrzymujemy właśnie (11.2.11).
Z pomocą (11.2.11) otrzymujemy dalej, że : mα κ; α = − lν ; µα ην lµ mα − lν ; µ ην
; α lµ mα − lν ; µην lµ; α mα (11.2.13) Ponieważ pierwszy człon po prawej stronie zależny jest tylko od wartości lµ na H, to można wykorzystać fakt, że na tej powierzchni lµ pokrywa się z wektorowym polem Killinga ηµ. W szczególności za pomocą zależności (D.15) dla wektorowego pola Killinga ην ; µα = Rβαµν ηβ sprowadzimy pierwszy człon po prawej stronie (11.2.13) do postaci
− Rβαγδ lα mβ lγ nδ. Wykorzystując (11.2.12) oraz zależność lν ην; α = − nν lν ; α drugi człon po prawej stronie (11.2.13) możemy zapisać w postaci κlν ; αην mµ . Pokażemy teraz, że człon ten skraca się z ostatnim członem występującym po prawej stronie (11.2.13). W tym celu zauważymy, że warunki normalizacji zerowej tetrady prowadzą do zależności :
gµβ = −nβ lµ −1β nµ + mβ m-µ + m-β mµ (11.2.14)
Wykorzystując tą zależność, jak również warunki braku przesunięcia i rozpływu powierzchni horyzontu zdarzeń : ρ = −1α ; β mα m-β = 0 , σ = −1α ; β mα mβ = 0 (11.2.15) przepiszemy ostatni człon występujący po prawej stronie (11.2.13) do postaci :
−1ν ; µ nν lµ; α mα = −1ν ; µ nν gµβ 1β ; α mα = 1ν ; µ nν lµ nβ 1β ; α mα = − κ lν ; α nν mα (11.2.16) Wyrażenie to różni się tylko znakiem od drugiego członu, a zatem można je z nim skrócić. Otrzymujemy zatem :
mα κ; α = −Rαβγδ lα mβ lγ nδ (11.2.17)
Zauważmy teraz, że na powierzchni horyzontu :
1α ; β mα; γ m-β mγ = 1α ; β mα m-β; γ mγ = 0 (11.2.18)
Można się o tym przekonać za pomocą wzorów (11.2.14), (11.2.15) oraz warunków normalizacji wektorów tetrady.
Dlatego też po uwzględnieniu (D.15) i (11.2.15) mamy :
0 = −ρ; γ mγ = ( lα ; β mα m-β ); γ mγ = Rεαβγ lε mα m-β mγ = − Rαβ lα mβ + Rαβγδ lα mβ mγ nδ (11.2.19) Wykorzystując tę zależność oraz równanie Einsteina Rαβ lα mβ = 8π Tαβ lα mβ , możemy przepisać (11.2.17)
następująco :
mα κ; α = − 8π Tαβ lα mβ (11.2.20)
Aby dokończyć powyższy dowód stałości κ założymy, że tensor energii-pędu Tαβ spełnia warunek dominacji
energetycznej ( zobacz Dodatek ) , tj. dla wektora izotropowego lα Tαβ lα jest wektorem przestrzennopodobnym. Przy spełnieniu tego warunku wektor Tαβ lα na horyzoncie zdarzeń musi być izotropowy [ przypadek czasopodobnego wektora jest wykluczony, ponieważ na horyzoncie Tαβ lα lβ = Φ , zobacz (6.2.2) ]. Dlatego Tαβ lα mβ = 0 i zależność (11.2.20) dowodzi, że κ jest stała na horyzoncie.
Krzywe całkowe xµ = xµ(υ ), pola wektorowego ηµ ( dxµ /dυ = ηµ ) na horyzoncie zdarzeń pokrywają się z jego tworzącymi i dlatego są one geodezyjnymi. Można się o tym przekonać bezpośrednio za pomocą zależności (11.2.12).
Ponieważ prawa część tego równania nie jest równa zeru, to parametr killingowski υ nie pokrywa się z parametrem afinicznym λ wzdłuż geodezyjnych izotropowych, opisywanych przez to równanie. Związek między υ i λ ma postać λ = a ekυ + b, gdzie a, b – dowolne liczby, odpowiadające dowolności w wyborze parametru afinicznego.
Zastanowimy się teraz na fizycznej interpretacji κ. Rozpatrzmy mianowicie obserwatora stacjonarnego, poruszającego się w pobliżu czarnej dziury, dla którego linia świata pokrywa się z krzywą całkową pola Killinga ηµ.
Wektor 4-prędkości takiego obserwatora jest dany : uµ = ηµ / | ηα ηα |1/2
Jeśli ηµ opisywany jest wyrażeniem (11.2.9), to taki obserwator, znajdujący się w pobliżu horyzontu zdarzeń, obraca się z prędkością kątową, pokrywająca się z prędkością kątową czarnej dziury. Oczywiście ruch takiego obserwatora jest niegeodezyjny, jego 4-przyspieszenie aµ jest równe [ porównaj z (D.16) ] :
aµ = − ηµ; α ηα
/ ηβ ηβ (11.2.21)
Oznaczmy : a = | aµ aµ |1/2 , η = | ηβ ηβ |1/2. Wtedy porównując (11.2.12) i (11.2.21), otrzymujemy :
κ = lim ( ηa ) (11.2.22)
gdzie lim oznacza przejście do granicy, przy którym rozpatrywany punkt, w którym to obliczamy wyrażenie aη dąży do horyzontu zdarzeń.
Dla nierotującej czarnej dziury η jest to nic innego jak czynnik przesunięcia ku czerwieni ( η = sqrt( −gtt ) ).
Wyobraźmy sobie teraz, że ciało spoczywa w pobliżu horyzontu zdarzeń, utrzymywane nieważką sztywną nicią.
Jeśli masa tego ciała to m, to aby pozostawało ono w spoczynku powinna na niego działać ze strony nici siła fµ , taka że f = | fµ fµ |1/2 = ma. Można pokazać, że przy tym wystarczającym jest aby na drugi ( oddalony ) koniec nici działała siła f 0 = m ηa ( zobacz paragraf 2.2 ). Dlatego też wielkość ηa możemy interpretować jako przyspieszenie ciała,
spoczywającego w pobliżu czarnej dziury, mierzone w układzie odniesienia oddalonego obserwatora. Innymi słowy, grawitacja powierzchniowa κ charakteryzuje graniczne „natężenie” pola grawitacyjnego na powierzchni czarnej dziury z punktu widzenia oddalonego obserwatora. Analogiczny sens posiada κ dla rotującej czarnej dziury – z tą tylko różnicą, że rozpatrywane ciało rotuje z prędkością rotacji czarnej dziury.
Do opisu fizycznych efektów w polu naładowanej czarnej dziury razem z κ wchodzi inna wielkość inwariantna ΦH
– potencjał pola elektrycznego na powierzchni czarnej dziury. W rozdziale 7 zauważyliśmy, że wielkość ta jest stała na powierzchni kerr-newmanowskiej czarnej dziury. Pokażemy teraz, że podany wynik ma ogólny charakter i jest słuszny dla dowolnej statycznej lub osiowo symetrycznej stacjonarnej ( nie koniecznie pojedynczej ) czarnej dziury.
Niech ξµ – pole wektorowe Killinga i Fµν – tensor pola EM, spełniający równania Maxwella : Fµν ; ν = 4πjµ
I odpowiednio, jest gradientem pewnej funkcji Φ :
Eµ = Φ, µ (11.2.26)
Pokażemy teraz, że jeśli Aµ – jest potencjałem wektorowym pola Fµν spełniającym warunek symetrii :
£ξAµ ≡ ξα Aµ; α − Aα ξµ
; α = 0 (11.2.27)
to w charakterze Φ możemy wybrać wielkość :
Φ = − Aα ξα (11.2.28) W istocie - różniczkując (11.2.28) oraz wykorzystując (11.2.27) otrzymujemy :
Φ, µ = − Aα; µ ξα − Aα ξα
; µ = − Aα; µ ξα + Aµ; α ξα = Eµ (11.2.29) Dla jednoznaczności, będziemy przyjmowali, ze potencjał wybrano w taki sposób, że Aµ zeruje się w nieskończoności.
Jeśli w charakterze ξµ wybrać pole wektorowe ηµ (11.2.9), to wartość ΦH odpowiadająca wielkości Φ na horyzoncie zdarzeń nazywa się „potencjałem elektrycznym” czarnej dziury. Pokażemy teraz, że ΦH jest stała na horyzoncie.
W tym celu zauważymy, że warunek : Tµν lµ lν = 0
Który to , zgodnie z (6.2.2) jest spełniony na powierzchni dowolnej stacjonarnej czarnej dziury ( lµ = ηµ | H ) , dla pola EM jest równoważny warunkowi :
( Fµα Fνα − ¼ gµν Fαβ Fαβ ) lµ lν ≡ Eα Eα = 0 tj. na powierzchni horyzontu :
Φ, µ = Eµ = 4πσ lµ
gdzie wielkość σ w przypadku kerr-newmanowskiej czarnej dziury pokrywa się z „powierzchniową gęstością
ładunkową“, wprowadzoną w rozdziale 7 [ porównaj ze wzorem (7.3.1) ]. Stąd wnioskujemy, że dla dowolnego wektora χµ , stycznego do powierzchni horyzontu, zachodzi równość :
χµ ΦH , µ = 0
co oznacza, że potencjał elektryczny ΦH
na horyzoncie jest stały.
(* Przy opisie naładowanej rotującej czarnej dziury w ramach 5-cio wymiarowej teorii grawitacji Kaluzy-Kleina wielkości ΩH, ΦH
wchodzą w odpowiednie wyrażenia w jednolity sposób i ich własności są w znacznej mierze analogiczne *)
Dowiedziona wyżej własność stałości wielkości ΩH, κ, ΦH
na horyzoncie zdarzeń stacjonarnej czarnej dziury okazują się być istotny przy wyprowadzaniu tzw. wzoru masowego. Wzór ten ustanawia związek obserwowanej z
nieskończoności masy czarnej dziury z geometrycznymi charakterystykami powierzchni jej horyzontu zdarzeń.
A, dokładnie – Bardeen i inni. (1973) pokazał, że w stacjonarnej, osiowosymetrycznej , asymptotycznie płaskiej czasoprzestrzeni obserwowana w nieskończoności masa czarnej dziury M∞ może być zapisana w następującej postaci : M∞ = -
∫
( 2Tµν – Tδµν ) ξα(t) dσµ + 2 ΩH JH + (κ/4π ) A (11.2.30) Gdzie : ΩH – prędkość kątowa, JH – moment pędu, κ - grawitacja powierzchniowa, A – pole powierzchni czarnej dziury Tµν – całkowity tensor energii-pędu stacjonarnego, osiowo symetrycznego rozkładu materii i pól na zewnątrz czarnej dziury. Całkowanie prowadzimy po przestrzennopodobnej asymptotycznie płaskiej powierzchni, przecinającej horyzont zdarzeń po pewnej dwuwymiarowej powierzchni ∂ℜ. Powierzchnia ta jest wybrana w taki sposób , że ξα(φ) jest styczny do tej powierzchni, a w nieskończoności asymptotycznej Σ wektor ten jest do niej ortogonalny.
Dowód wzoru (11.2.30) prowadzony jest następująco [ Bardeen (1973) ]. Dla dowolnego wektorowego pola Killinga ξµ
ξµ ;ν = ξ[µ ; ν ] (11.2.31)
ξµ; ν
; ν = −Rµνξν (11.2.32)
( Ostatnia z tych zależności może być otrzymana poprzez zawężenie (D.15) względem α i β ).
Wybierając ξα
(t) w charakterze ξµ , całkując (11.2.32) po powierzchni Σ i wykorzystując twierdzenie Stokesa [ zobacz (D.33) ], mamy :
∫
ξα(t); ν dσµν = −∫
Rµνξν(t) dσµ (11.2.33)
∂Σ Σ
gdzie : dσµν i dσµ – elementy odpowiednio powierzchni ∂Σ i Σ.
Przy opisanym powyżej sposobie wyboru powierzchni Σ jej brzeg ∂Σ składa się z brzegu czarnej dziury ∂ℜ i dwuwymiarowej powierzchni ∂Σ∞ na przestrzennopodobnej nieskończoności ( rys. 83 ).
Rys. 83 Czasoprzestrzeń stacjonarnej czarnej dziury ( ilustracja wywodu wzoru masowego )
Pokażemy teraz, że masa M∞ czarnej dziury, mierzona przez oddalonego obserwatora w obszarze asymptotycznie płaskim, ze względu na jej działanie na cząstki próbne, zadana jest następującym wzorem :
M∞ = (1/4π)
∫
ξµ(t); ν dσµν (11.2.34)∂Σ∞
Aby tego dowieść, założymy, że daleko od czarnej dziury spoczywa ciało próbne. Wtedy 4-przyspieszenie takiego ciała jest równe :
aµ = ξµ (t)ξµ
(t); ν / - ξα
(t) ξ(t)α (11.2.35)
Niech Σ - będzie przestrzennopodobną powierzchnią, ortogonalną w obszarze asymptotycznym do wektora uµ = ξµ / | ξαξα |1/2 – 4-prędkości tego ciała.
W takim obszarze pole grawitacyjne jest słabe i łatwo ustanowić związek jego inwariantnych 4-wymiarowych charakterystyk z opisem newtonowskim. W szczególności, wektor aµ ≈ uν ξµ
(t); ν , leżący na Σ, posiada trzy istotne składowe. W teorii newtonowskiej ten 3-wektor charakteryzuje natężenie pola grawitacyjnego i związany jest z potencjałem φ, poprzez zależność ai = φ, i. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa, strumień tego wektora poprzez dowolna zamkniętą dwuwymiarową powierzchnię ∂Σ∞ ( leżącą na Σ ) zawierająca ciało będące źródłem pola grawitacyjnego, jest równy 4πM∞ , gdzie : M∞ - masa ciała. Niech n~µ – będzie wektorem jednostkowym normalnym do ∂Σ∞ , leżącym na Σ, wtedy :
M∞ = (1/4π)
∫
ξµ(t); ν n~µ uν d2σ (11.2.36)∂Σ∞
gdzie : d2σ – element powierzchni ∂Σ∞.
Wykorzystując własność (11.2.31), można zamienić wyrażenie n~µ uν d2σ na dσµν = n~[µ uν] d2σ przy tym zależność (11.2.36) możemy sprowadzić do postaci (11.2.34).
W analogiczny sposób można pokazać, że całkowity moment J∞ układu, mierzony przez oddalonego obserwatora ( np. za pomocą efektu Lense-Thirringa ), zadany jest następującym wyrażeniem :
(* Co do słuszności wzorów (11.2.34) i (11.2.37) dla masy M i momentu J można przekonać się poprzez bezpośrednie sprawdzenie, jeśli uwzględnimy , że daleko od ciążącego, rotującego ciała metryka może być zapisana w następującej postaci :
ds2 = - [ 1 – (2M/r) + O(r -2)] dt2 – [ (4J/r) sin2θ + O( r-2) ] dtdφ + ( 1 + O(r-1) ) [ dr2 + r2( dθ2 + sin2θ dφ2 )] *)
J∞ = - (1/8π)
∫
ξµ(t); ν dσµν (11.2.37)∂Σ∞
Wykorzystując zależność (11.2.33) i analogiczną zależność dla ξµ
(φ) można z uwzględnieniem (11.2.34) i (11.2.37) otrzymać :
M∞ = −
∫
( 2Tµν – Tαα δµν ) ξν(t) dσµ + MH (11.2.38)Σ J∞ =
∫
Tµνξµ(φ)dσµ + JH (11.2.39)
Σ
gdzie całki po prawych stronach powyższych zależności opisują wkład materii do pól na zewnątrz czarnej dziury w polu o masie M∞ i momentem pędu J∞ układu, a :
MH = (1/4π)
∫
ξµ(t); ν dσµν (11.2.40)∂ℜ
JH = - (1/8π)
∫
ξµ(φ); ν dσµν (11.2.40)∂ℜ
możemy interpretować jako wkłady do M∞ i J∞ masy i momentu kątowego samej czarnej dziury.
(* Należy podkreślić, że wykorzystana przez nas wartość (D.28) dla elementu powierzchni dσµν jest zgodna z tą jaka została przyjęta w pracach Bardeena, Cartera, Hawkinga (1973), oraz dwu krotnie mniejsza od wartości przyjętej w pracach Cartera (1979) i Damura (1982). Zauważmy również, że orientacja dσµν na powierzchni ∂Σ∞ i ∂ℜ jest wybrana w taki sposób, że :
∫
φµν dσµν =∫
φµν dσµν −∫
φµν dσµν∂Σ ∂Σ∞ ∂ℜ
*)
Wyrażenie dla MH można przekształcić w następujący sposób. ξµ
(t) wyrazimy z pomocą (11.2.9) poprzez ηµ i ξµ (φ) , wtedy to otrzymamy :
∫
ξµ(t); ν dσµν = 8π JHΩH +∫
lµ; ν dσµν (11.2.42)∂ℜ ∂ℜ gdzie : lµ = ηµ | H.
Jeśli wektory mµ i m-µ wprowadzonej wcześniej zespolonej tetrady świetlnej leżą na płaszczyźnie, stycznej do ∂ℜ, to dσµν = l[µ n ν] dA, gdzie dA – element pola powierzchni dwuwymiarowej ∂ℜ.
Wykorzystując definicję (11.2.11) grawitacji powierzchniowej κ oraz jej stałość, całkę po prawej stronie (11.2.42) możemy zapisać w postaci :
∫
lµ; ν dσµν = κA, gdzie A =∫
dA – całkowita powierzchnia czarnej dziury.∂ℜ
Wykorzystując tę równość i podstawiając (11.2.42) do (11.2.38), otrzymujemy wzór masowy (11.2.30).
Przypomnijmy, że w tym wzorze Tµν – jest całkowitym tensorem energii-pędu materii i pól na zewnątrz czarnej dziury.
W przypadku obecności pola EM składa się on z dwóch części : T(m)µν - tensora energii-pędu materii, oraz T(em)µ ν – Tensora energii-pędu pola EM.
Wykorzystując wyrażenie (D.48) dla T(em)µν , wzór (11.2.30) możemy przekształcić do następującej postaci :
M∞ = −
∫
( 2T(m)µν – T(m)αα δµν ) ξν(t) dσµ + M~H + M(em)ext (11.2.43) ΣGdzie : M(em)ext – wkład do masy całkowitej, związany z obecnością na zewnątrz czarnej dziury prądu jµ :
M(em)ext =
∫
[ - 2ξν(t) Aν jµ + ξν(t) Aν jν ] dσµ (11.2.44) ΣM~H – masa czarnej dziury po uwzględnieniu energii jej pola EM :
M~H = 2ΩH J~H + ΦHQ + (κ/8π) A (11.2.45)
Gdzie :
J~H = JH + J(em)H (11.2.46)
J(em)H = (1/4π)
∫
ξα(φ) Aφ Fνµ dσµ (11.2.47)∂ℜ
Q = (1/4π)
∫
Fµν dσµ – ładunek elektryczny czarnej dziury.∂ℜ
W powyższych wzorach Aµ – jest potencjałem wektorowym pola EM, zanikającym w nieskończoności oraz
spełniającym zależności : £ξ(t)Aµ = £ξ(φ)Aµ = 0 (* O istnieniu cechowania w którym spełnione są te warunki można się przekonać, jeśli wykorzystamy warunki £ξ(t)Fµν = £ξ(φ)Fµν = 0 – tj. stacjonarności i osiowej symetrii pola Fµν *) W przypadku braku materii i prądów na zewnątrz czarnej dziury jej masa M∞ pokrywa się z masą M~H.
Zależność (11.2.45) dla izolowanej czarnej dziury otrzymał Smarr (1973a).
Wzór masowy (11.2.30) pozwala znaleźć różnicę mas δM∞ dla dwóch niewiele różniących się od siebie statycznych lub stacjonarnych osiowo symetrycznych konfiguracji, zawierających czarną dziurę.
Oznaczmy wariację metryki jako δgµν i ustalmy pewną dowolność cechowania δgµν → δgµν + δxµ; ν , tak , że : δξµ
(t) = δξµ
(φ) = 0 , a położenie horyzontu zdarzeń pozostaje niezmienione.
Wtedy to ogólne wyrażenie dla wariacji masy możemy zapisać następująco : δM∞ = ΩH δJH + (κ/8π) δA – δ
∫
Tµνξν(t) dσµ – ½
∫
Tµν δgµν ξα(t) dσα (11.2.48)
Σ Σ
Jeśli na zewnątrz czarnej dziury nie ma materii i pól, to ostatnie dwa człony w tym wzorze nie występują i pokrywa się on wtedy z zależnością (11.1.3) dla kerrowskiej ( Q = 0) czarnej dziury.
Podamy teraz jawne wyrażenie dla zmiany δM∞ całkowitej masy układu, w przypadku, kiedy na zewnątrz czarnej dziury rotuje z lokalną prędkością kątową Ω ciecz idealna, opisywana tensorem energii-pędu T(m)νµ, a cały układ po zmianie jego parametrów jest stacjonarny i osiowo symetryczny.
δM∞ = ΩH δJ~H + ΦHδQ + (κ/8π) δA + δq (11.2.49) entropii materii, µ- = µT-/ T , µ – lokalny potencjał chemiczny, d3N – lokalny rozkład ilości cząstek.
Wprowadzone w tym paragrafie całkowe i różniczkowe wyrażenia dla wzoru masowego, okazują się być użyteczne przy badaniu wielu zagadnień, związanych z procesami prowadzącymi do zmiany parametrów czarnej dziury. Są one
związane również z wieloma podstawowymi zależnościami wykorzystywanymi przy opisie analogów
termodynamicznych w fizyce czarnych dziur. Do rozpatrzenia tego właśnie zagadnienia przejdziemy obecnie.