Rys. 47 Przekrój różniczkowy rozpraszania promieniowania grawitacyjnego na rotującej czarnej dziurze o a/M = 0,9 dla różnych częstotliwości ω.
Rys. 48 Dwa przekroje różniczkowe rozpraszania promieniowania grawitacyjnego o Mω = 0,75 na czarnej dziurze o a/M = 0,9 i 0,99. W ostatnim przypadku ważne jest zjawisko superradiacji.
§ 4.8 Naładowana rotująca czarna dziura.
Jak już mówiliśmy, ładunek elektryczny czarnej dziury można zaniedbać dla dowolnej realnej sytuacji. Stosunek ładunku Q do masy M zwykle nie może być większy niż 10-18 [ Wold (1984)]. W istocie, bowiem stosunek ładunku do masy elektronu i protonu wynosi odpowiednio : (q/m)e = 1021 , (q/m)p = 1018 ,a stosunek sił grawitacyjnych do elektrostatycznych dla oddziaływania tych cząstek z czarną dziurą o ładunku Q i masie M jest rzędu qQ/mM, ale stosunek Q/M nie może być większy niż (q/m)-1, w przeciwnym wypadku ładunki o zgodnych znakach były by odpychane przez czarną dziurę, a ładunki o znakach przeciwnych spadałyby na nią neutralizując jej ładunek.
Z teoretycznego punktu widzenia interesujące było by rozpatrzyć (mimo wskazanych przeciwwskazań) ogólny przypadek rotującej naładowanej czarnej dziury.
Metryka czasoprzestrzeni w tym przypadku zapisywana jest w postaci (4.2.1), jedynie wyrażenie dla ∆ zależne jest teraz od ładunku Q ( geometria Kerra-Newmana ) :
∆ = r2 – 2Mr + a2 + Q2 (4.8.1)
Oprócz pola grawitacyjnego, czarną dziurę obecnie otacza również stacjonarne pole elektromagnetyczne, które określone jest całkowicie przez ładunek Q oraz parametr a. Potencjał wektorowy tego pola we współrzędnych (4.2.1), (4.8.1) zapiszemy w postaci :
Aαdxα = - (Qr/ρ2 ) (dt – a sin2θdφ) (4.8.2)
Jeśli a = 0, rotacja nie występuje i metryka przedstawia sobą sferycznie symetryczną naładowaną czarną dziurę o sferycznie symetrycznym polem elektrycznym [ rozwiązanie Reissnera (1916)-Nordströma (1918) ].
W przypadku obecności rotacji ( a ≠ 0), oprócz pola elektrycznego istnieje również pole magnetyczne, wywołane wleczeniem układu inercjalnego wokół czarnej dziury.
Na dużych odległościach od czarnej dziury w „sztywnym” układzie odniesienia ( chronometrycznym, zobacz paragraf 4.3 ), przechodzącym w nieskończoności w układ Lorentza, największe składowe pola elektromagnetycznego
odpowiadają monopolowemu polu elektrycznemu o ładunku Q oraz dipolowemu polu magnetycznemu o momencie magnetycznym µ* = Qa. Pozostałe momenty pola również są wyrażone przez Q i a. W obecności ładunku horyzont w rozwiązaniu Kerra-Newmana jest obecny przy spełnieniu warunku M2 > Q2 + a2 tj. tylko przy tym warunku
rozwiązanie opisuje czarną dziurę i tylko takie rozwiązania będziemy rozpatrywali ( zobacz wcześniejsze omówienie w paragrafie 4.4 ).
Ruch naładowanej próbnej cząstki w metryce Kerra-Newmana może być zapisane w postaci, analogicznej do ( 4.5.1) - (4.5.4). Oznaczmy przez E energię zachowaną cząstki o ładunku q i masie spoczynkowej m :
E = - ( pt + qAt ) (4.8.3)
Gdzie : pα – 4-pęd ,
Zachowany rzut momentu pędu cząstki na osie czarnej dziury : Lz = pφ + q Aφ
Równania ruchu zapiszemy w postaci :
Należy podkreślić, że w takiej ogólnej postaci równania opisują nie tylko zjawiska, specyficzne dla czarnej dziury ( opisane w poprzednich paragrafach ), ale również ich powiązanie ze zwykłymi efektami ruchu cząstki próbnej w polu EM.
Pola fizyczne w czasoprzestrzeni Kerra-Newmana posiadają wiele własności rozpatrzonych wcześniej pól Schwarzschilda i rotującej czarnej dziury. Oprócz tego w polu naładowanej rotującej czarnej dziury pojawia się jakościowo nowe zjawisko – przekształcanie się wzajemne fal EM i grawitacyjnych. Dokładniej zastanowimy się nad nim w rozdziale 8.
Rozprzestrzenianie się fal w metryce Reissnera-Nordströma i dowód jej stabilności na zewnątrz horyzontu zdarzeń rozpatruje się m.in. w pracach Bicaka (1972, 1979), Sibgatullina, Alekseewa (1974*), Moncriff’a (1974c, 1975 ) Zerilli’ego (1974). Pełny matematyczny wykład tego problemu można znaleźć we wspominanej już pracy
Chandrasekhara (1983). O niestabilności metryki Reissnera-Nordströma wewnątrz horyzontu zdarzeń zobacz paragrafy 12.2 , 12.3.
Rozdział 5 . Ogólne własności czarnych dziur
§ 5.1 Przestrzenie asymptotyczne płaskie. Diagramy Penrose’a.
( asymptotically flat spacetimes, Penrose-Carter conformal diagram )
(* zobacz również własne tłumaczenie książki pt. „Dynamika pól w ogólnej teorii względności” -- N. W. Mickjewicz, A.
P. Jefremow, A. I. Nesterow , rozdział 7 – przypis własny *)
Do tej pory przy opisie własności czarnych dziur ograniczaliśmy się do rozparzenia metryki Schwarzschilda i metryki Kerra, odpowiadająca im czasoprzestrzeń była stacjonarna i posiadała dodatkowe własności symetrii. Badanie geodezyjnych ( odpowiadające ruchowi próbnych ciał i promieni świtała ) oraz pól falowych w tych metrykach pozwoliło nam opisać szereg ważnych i interesujących własności przebiegu zjawisk fizycznych w polu takich czarnych dziur. Pojawia się jednak naturalne pytanie czy istnieją czarne dziury różne od tych dotychczas opisanych ?
Jakie są ich ewentualne własności ?
Aby odpowiedzieć na te pytania, na początku musimy rozszerzyć wcześniejsze definicje na przypadek ogólny, kiedy czasoprzestrzeń nie jest już stacjonarna. Takie uogólnienie jest oczywiste. Sensownie jest również teraz nazwać czarną dziurą obszar czasoprzestrzeni skąd nie może wydostać się ku oddalonemu obserwatorowi żaden niosący informacje sygnał.
W celu nadania ścisłości takiej definicji należy uściślić o jakiej klasie obserwatorów mówimy i co w języku
geometrycznie inwariantnym oznacza pojęcie „oddalony”. Konieczne uściślenia łatwo jest wprowadzić w tym fizycznie ważnym przypadku kiedy materia i źródła pola daleko od czarnej dziury nie występują, w ten sposób geometrię daleko od czarnej dziury można przyjąć jako płaską. Czasoprzestrzeń o takich własnościach nazywamy asymptotycznie płaską.
Przy badaniu czarnych dziur zachodzi konieczność wprowadzenia ścisłych definicji nawet dla pojęć wydawałoby się oczywistych, wynika to z faktu, że obecność czarnej dziury zasadniczo zmienia strukturę czasoprzestrzeni oraz jej globalne własności w porównaniu z czasoprzestrzenią płaską Minkowskiego. Przykładowo w czasoprzestrzeni Schwarzschilda istnieje osobliwość i wszystkie geodezyjne zerowe uchodzą ku nieskończoności. Zauważmy, że taką geodezyjną jest np. kołowa orbita promienia świetlnego przy r =1,5rg , przy czym geodezyjna ta całkowicie leży na zewnątrz czarnej dziury. Szczególnie złożone sytuacje mogą pojawiać się przy formowaniu czarnych dziur oraz ich dynamicznym oddziaływaniu oraz łączeniu się. W takich przypadkach nie intuicyjne wyobrażenia i poglądowe reprezentacje są nie wystarczające.
Ścisłe określenie przestrzeni asymptotycznie płaskich zostało wprowadzone przez Penrose’a (1963). Do definicji takiej przestrzeni można dojść następującą drogą.
Na początku rozpatrzmy w jaki sposób zbudowana jest w nieskończoności płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego M.
W tym celu postąpimy standardowym w geometrii sposobem – dokonamy wymaganego przekształcenia konforemnego, przybliżające nieskończenie oddalone punkty na odległości skończone. Na początku przejdziemy od zwykłych
współrzędnych sferycznych t, r, θ, φ w czasoprzestrzeni M do nowych współrzędnych ψ, ξ , θ, φ za pomocą następującego przekształcenia :
t + r = tg ½ ( ψ + ξ ) , θ = θ (5.1.1a)
t - r = tg ½ ( ψ - ξ ) , φ = φ (5.1.1b)
- ½ π ≤ ψ - ξ ≤ ψ + ξ ≤ ½ π
Wtedy interwał ds2 zapiszemy w postaci : ds2 = Ω-2 ds~2 , ds~2 = - dψ2 + dξ2 + sin2ξ dω2
dω2 = dθ2 + sin2θ dφ2 (5.1.2a)
Ω = 2 cos ½ ( ψ + ξ ) cos ½ ( ψ - ξ ) (5.1.2b) Punktom w nieskończoności w czasoprzestrzeni Minkowskiego odpowiadają wartości ψ + ξ i ψ - ξ , równe ± ½ π.
Metryka ds2 przy tych wartościach współrzędnych traci sens jednak konforemna do niej metryka ds~2 przy tym jest regularna (* przy ξ = 0 i ξ = π metryka ds~2 posiada osobliwości współrzędnych, które można usunąć *)
Badając strukturę konforemną na rozmaitości (5.1.1) z brzegiem, badamy tym samym strukturę konforemną czasoprzestrzeni Minkowskiego włączając nieskończoności. Przypomnijmy, że przy badaniu ogólnych własności czasoprzestrzeni to właśnie struktura konforemna jest istotna ponieważ określa ona własności przyczynowe otoczeń punktów w tym i własności stożków świetlnych.
Metryka ds~2 jest metryką 4-wymiarowego cylindra S3 × E1 ( rys. 49a). Nierówności (5.1.1b) wycinają na cylindrze obszar, odpowiadający M, na rys. 49a jest on zakreskowany ( oczywiście możemy ukazać tylko dwie z czterech współrzędnych. Współrzędne θ i φ zostały opuszczone )
Rys. 49a Struktura konforemna czasoprzestrzeni Minkowskiego.
Rys. 49b Diagram Penrose’a czasoprzestrzeni Minkowskiego. Na diagramie przedstawiono geodezyjne : czasopodobne ( l, l’’, ... ) , przestrzennopodobne (2) i świetlne (3)
Jeśli wyciąć z tego cylindra obszar M, rozciąć go w punkcie I0 i rozwiniemy na płaszczyźnie to otrzymamy rysunek 49b.
W takiej postaci zwykle ukazywany jest konforemny świat Minkowskiego. Jest to tzw. diagram Penrose’a dla M.
Należy przypomnieć, że na rys. 49b lewy i prawy punkt I0 pokrywają się tj. powinny być „sklejone”.
Na diagramie Penrose’a wszystkie krzywe czasopodobne rozpoczynają się w punkcie I- i kończą się w I+, a wszystkie cięcia przestrzenne przechodzą przez I0. Dlatego I- nazywamy „czasową nieskończoność w przeszłości” , ( past timelike infinity ) I+ nazywamy „czasową nieskończoność w przyszłości” ( future timelike infinity ), I0 nazywamy
„nieskończonością przestrzenną” (spatial infinity )
Wszystkie zerowe geodezyjne w M rozpoczynają się na granicy ℑ- ( na stożku świetlnym przyszłości punktu I- ) i kończą się na ℑ+ ( na stożku świetlnym przeszłości I+ ). Granice ℑ- i ℑ+ nazywamy odpowiednio - izotropowa nieskończoność w przyszłości + i w przeszłości – (future ad past null infinity ).
Widzimy, że granicami M są „nieskończoności” ℑ± , i punkty I± , I0.
Z pomocą diagramu Penrose’a wygodnie jest badać globalną strukturę czasoprzestrzeni również w przypadku kiedy jej geometria istotnie różni się od geometrii płaskiej. Przy tym przyjęto wykorzystywać współrzędne w których promienie świetlne przedstawione są przez linie proste o nachyleniu 45° ( własności takie posiadają w szczególności
wykorzystywane wcześniej współrzędne ψ, ξ ).
We współrzędnych tych szczególnie poglądowa staje się struktura przyczynowa, określona przez rozkład lokalnych stożków świetlnych. Jest zrozumiałe, że na dwu wymiarowych diagramach Penrose’a przedstawiona jest geometria określonych dwuwymiarowych przekrojów czasoprzestrzeni.
Powrócimy teraz do zagadnienia o nieskończenie oddalonych obserwatorach. Linie świetlne takich obserwatorów, spoczywających w punktach r, r’ , r’’ , r’’’ ( r < r’ < r’’ < r’’’ ), przedstawione są na rys. 49b poprzez odpowiednio linie l, l’ ,l’’ , l’’’. Czym większa jest wartość r, tym bliżej do ℑ- i ℑ+ dochodzi odpowiednia linia.
W granicy r →∞dąży ona do ℑ- i ℑ+. Dlatego logicznie jest nazwać nieskończenie oddalonymi granicami M właśnie ℑ- i ℑ+ . Zauważmy, że współczynnik Ω w (5.1.2), za pomocą którego dokonujemy przekształcenia konforemnego, zeruje się na ℑ ≡ ℑ+ ∪ ℑ- , a jego gradient ∂Ω/ ∂xµ |ℑ ≠ 0 jest wektorem izotropowym, stycznym do powierzchni tworzącej ℑ.
Dla zbadania świata w pobliżu ℑ bywa wygodnie wykorzystać w miejsce (5.1.1) inne współrzędne. Zauważmy, że interwał w świecie Minkowskiego może być zapisany z wykorzystaniem opóźnionej współrzędnej świetlnej u = t – r :
ds2 = -du2 – 2dudr + r2 dω2 (5.1.3)
Dokonując przekształcenia ρ = r -1 , możemy zapisać metrykę w następującej konforemnej postaci : ds2 = Ω-2 ds~2 , ds~2 = - ρ2du2 + 2du dρ + dω2
Ω = ρ = r -1 (5.1.4)
W tych współrzędnych powierzchnia ℑ+ opisywana jest równaniem ρ = 0. Punkt na ℑ+ o współrzędnych u0 , θ0, φ0 odpowiada przejściu do granicy r → ∞ wzdłuż wychodzącego promienia świetlnego u = u0 , θ = θ0, φ = φ0 Współrzędne (5.1.4) nie nadają się jednak do opisu ℑ-. W sposób analogiczny możemy jednakże, zamieniając u na przyspieszoną współrzędną świetlną v = t + r, opisać ℑ-.
Wychodząc z tego, że własności przestrzeni asymptotycznie płaskiej w otoczeniu „nieskończoności” powinny być analogiczne do własności przestrzeni Minkowskiego, Penrose ( 1963, 1964, 1965b, 1968 ) wprowadził następujące definicje.
Na początku określił tzw. światy asymptotycznie proste. ( asymptotically simple )
Czasoprzestrzeń M o metryce gµν nazywamy „asymptotycznie prostą” jeśli istnieje inna „nie fizyczna” przestrzeń M~ (* Przestrzeń tą będziemy nazywali przestrzenią Penrose’a *) o brzegu ∂M~ ≡ ℑ oraz regularna metryka g~µν , określona na tej przestrzeni taka, że :
1) M~ \ ∂M~ - (* znaczek \ jest symbolem różnicy mnogościowej – przypis własny *) jest konforemna M, przy czym gµν = Ω-2g~µν
2) Ω | M > 0 , Ω | ∂M~ = 0 , Ω, µ | ∂M~ ≠ 0 ,
3) każda geodezyjna zerowa w M~ rozpoczyna się i kończy na ∂M~.
Jeśli w otoczeniu ℑ metryka gµν spełnia próżniowe równania Einsteina ( lub równania Einsteina o tensorze energii-pędu dostatecznie szybko zmniejszającym się w nieskończoności ) i spełnione są naturalne wymogi przyczynowości i
orientowalności czasoprzestrzeni, to jak pokazał Penrose, przestrzeń asymptotycznie prosta posiada następujące własności :
1) Przestrzeń M posiada topologię R4 , a jego brzeg ℑ jest izotropowy i składa się z dwóch niespójnych składowych : ℑ = ℑ+ ∪ ℑ- , każda z których posiada topologie S2 × R1.
2) Powierzchniami tworzącymi ℑ± są geodezyjne zerowe w przestrzeni M~ , wektory styczne do których pokrywają się z g~µν Ω, µ | ℑ
3) Przy oddalaniu się ku nieskończoności wzdłuż geodezyjnej zerowej tensor krzywizny w fizycznej przestrzeni M zmniejsza się , przy czym zachodzi własność tzw. stopniowego zwyrodnienia.
Nie będziemy dokładnie omawiać tej własności jej opis można znaleźć w dostępnej literaturze [ zobacz np. Sachs (1964) ]
Własność 1 oznacza, że przestrzeń asymptotycznie prosta zbudowana jest globalnie tak jak przestrzeń Minkowskiego.
W szczególności posiada ona poprawną strukturę przyczynową i nie w nim „miejsca” dla czarnych dziur.
Aby uwzględnić możliwość istnienia lokalizowanych obszarów o silnych polach grawitacyjnych, obecność których nie zmienia własności asymptotycznych ( przy r →∞ ) czasoprzestrzeni wystarczy rozpatrzyć klasę przestrzeni, które za pomocą „wycięcia” osobnych wewnętrznych obszarów, zawierające pewne osobliwości ( związane z silnym polem grawitacyjnym ), a następnie zaklejenia tak utworzonych „dziurek” mogą być przekształcone w przestrzenie asymptotycznie proste. Takie przestrzenie nazywamy „asymptotycznie prostymi w słabym sensie” ( weakly asymptotically simple ). Ściślej, przestrzeń M nazywamy asymptotycznie prostym w słabym sensie jeśli istnieje
przestrzeń asymptotycznie prosta M~ taka, że dla pewnego jej otwartego podzbioru K ( ∂M~ ⊂ K ) obszar M~ ∩ K jest izometryczny do podzbioru M.
Przestrzenie asymptotycznie proste w słabym sensie, w których metryka w otoczeniu ℑ spełnia próżniowe rozwiązania równań Einsteina ( lub równania Einsteina o tensorze energii-pędu dostatecznie szybko zmniejszającym się w
nieskończoności ) nazywamy „asymptotycznie płaskimi”.
Czasoprzestrzeń Schwarzschilda (2.2.1) i Kerra (4.2.1) są przestrzeniami asymptotycznie płaskimi.
Diagramy Penrose’a dla tych czasoprzestrzeni pokazano na rys. 50c oraz 67. Metryka ds~2 przestrzeni konforemnej do czasoprzestrzeni Schwarzschilda, może być otrzymana z metryki (2.7.12) drogą przejścia od współrzędnych Kruskala u~ , v~ do współrzędnych :
Ψ = ½ arctg [ 2v~ / 1 – ( v~2 - u~2 ) ] , ξ = ½ arctg [ 2v~ / 1 + ( v~2 - u~2 ) ] - ½ π < Ψ + ξ < ½ π , - ½ π < Ψ - ξ < ½ π , - ¼ π < Ψ < ¼ π
z kolejnym wydzieleniem współczynnika konforemnego.
Wskazana wcześniej własność 3) oznacza, że przestrzeniach asymptotycznie płaskich w otoczeniu ℑ efekty związane, z krzywizną są pomijalnie małe, a sama czasoprzestrzeń mało różni się od płaskiej.
W szczególności w tym obszarze z dobrą dokładnością spełnione są zwykłe prawa zachowania energii-pędu, a ruch cząstek próbnych w przybliżeniu można uważać za jednostajny i prostoliniowy. Zgodnie z tym w przestrzeni asymptotycznie płaskiej możemy określić grupę symetrii asymptotycznych.
W tym celu zauważmy, że przekształcenie należące do grupy Poincare’go przestrzeni Minkowskiego we współrzędnych kartezjańskich ma postać :
xµ → x’µ Λµ
ν + aµ (5.1.5)
gdzie : Λµ
ν – macierz przekształcenia Lorentza, aµ – wektor translacji odpowiadający przesunięciu początku układu współrzędnych.
Wprowadzimy teraz w przestrzeni Minkowskiego współrzędne opóźnione ( u, r, θ, φ ) i współrzędne przyspieszone ( v, r, θ, φ ), niech w oznacza albo opóźnion ą ( u) albo przyspieszoną (v) współrzędną czasową. Wtedy przekształceniu (5.1.5) odpowiada następujące przekształcenie współrzędnych w, r, θ, φ :
w’ = w’( w, r, θ, φ) , r’ = r’( w, r, θ, φ) (5.1.6)
θ’ = θ’( w, r, θ, φ) , φ’ = φ’( w, r, θ, φ) (5.1.6)
W granicy r → ∞ funkcje opisujące to przekształcenie przyjmują bardzo prostą postać. W szczególności przesunięciom ( Λµ
ν = 0 ) w fizycznej czasoprzestrzeni w tej granicy odpowiadają następujące przekształcenia :
w’ = w + a0 + a1sinθ sinφ + a3 cosθ (5.1.7)
θ’ = θ, φ’ = φ
realizujące przesunięcie powierzchni ℑ wzdłuż swoich tworzących.
Wynik ten możemy opisać w bardziej formalny sposób, dopuszczający naturalne uogólnienie na przypadek dowolnych przestrzeni asymptotycznie płaskich. Niech ξµ – wektorowe pole Killinga, odpowiadające przekształceniu symetrii w fizycznej czasoprzestrzeni M ( ∇ ( ν ξµ ) = 0 ) w przestrzeni konforemnej M~ spełnia ono następującą zależność :
∇ ~ ( ν ξ µ ) - Ω-1∇ ~α Ω ξα g~νµ = 0 (5.1.8) gdzie : ∇ ~ - pochodna kowariantna w metryce g~µν = Ω2 gµν .
W przypadku ogólnym, jeśli czasoprzestrzeń M nie dopuszcza ścisłych izometrii, równanie (5.1.8) nie posiada nietrywialnych rozwiązań. Jest to słuszne w szczególności dla przestrzeni asymptotycznie płaskich ogólnej postaci.
Jednakże jeśli ograniczać się do rozpatrywania otoczeń ℑ i wymagać aby równanie (5.1.8) było spełnione tylko na ℑ, to będzie ono znów posiadało rozwiązania.
Rozwiązania te określają pola wektorowe generujące przekształcenia asymptotycznych symetrii. Interesującym jest zwłaszcza ten fakt, że grupa odpowiadająca takim przekształceniom nie zależy od konkretnego wyboru reprezentanta klasy przestrzeni asymptotycznie płaskich. Grupa ta została nazwana grupą Bondiego-Metznera-Sachs’a ( w skrócie BMS ). Zastanowimy się teraz krótko na podstawowych własnościach tej grupy, istotnych z punktu widzenia dalszej treści. (* dokładniejsze omówienie można znaleźć w dostępnej literaturze i wymienianej dalej literaturze, której wymienienie pomijam – przypis własny * )
W wyniku tego, ze grupa przekształceń BMS zachowuje tylko asymptotyczną postać metryki, a pole grawitacyjne wolno zanika w nieskończoności, grupa ta jest nieskończenie wymiarowa i jest szersza niż grupa Poincare’go , zachowującą ściśle formę metryki przestrzeni płaskiej. Ważną własnością grupy BMS jest to, że istnieje w niej możliwość
jednoznacznego wydzielenia 4-wymiarowa podgrupa normalna translacji. W przestrzeni Minkowskiego działanie tej podgrupy na ℑ pokrywa się z (5.1.7). W przypadku ogólnym w przestrzeni asymptotycznie płaskiej w otoczeniu ℑ można wprowadzić współrzędne w których przekształcenia podgrupy translacji mają postać (5.1.7). Podobne współrzędne nazywamy „konforemnymi współrzędnymi Bondiego” [ zobacz Tamburino, Winicour (1966) ] Opisaliśmy tym sposobem klasę przestrzeni asymptotycznie płaskich, charakteryzujących się zachowaniem
asymptotycznym zbieżnym z asymptotycznym zachowaniem przestrzeni Minkowskiego i przedstawiliśmy krótko ich własności. W tej klasie przestrzeni w naturalny sposób możemy wprowadzić pojęcie asymptotycznie oddalonego obserwatora, ruch którego jest prawie inercjalny. Teraz możemy przedstawić ścisłą definicję czarnej dziury. Zanim jednak to uczynimy zastanowimy się krótko jeszcze na jednym zagadnieniu, związanym z teorią rozpraszania pól bezmasowych w przestrzeniach asymptotycznie płaskich, będzie to nam potrzebne w kolejnych rozdziałach.
Wprowadzone powyżej pojęcie przestrzeni asymptotycznie płaskiej okazuje się szczególnie użyteczne przy omawianiu zagadnień rozpraszania pól bezmasowych i w szczególności przy opisie własności promieniowania grawitacyjnego.
Uniwersalny charakter zachowania ( ~ 1/r ) w strefie falowej ( w obszarze asymptotycznym ) tych pól pozwalają za pomocą przekształcenia konforemnego przejść od zagadnień rozpraszania w fizycznej czasoprzestrzeni do zagadnienia o regularnych warunkach początkowych zadanych na izotropowym brzegu przeszłości ℑ- w przestrzeni Penrose’a. Przy tym okazuje się ,że z regularności zachowania konforemnie przekształconego pola w otoczeniu ℑ wynika określone prawo ubywania tego pola w obszarze asymptotycznym.
To co powiedziano zilustrujemy na przykładzie skalarnego bezmasowego konforemnie inwariantnego pola, opisanego równaniem :
( - 1/6 R ) φ = 0 (5.1.9)
w przestrzeni asymptotycznie płaskiej ( M, gνµ ).
Za pomocą przekształcenia konforemnego gνµ = Ω-2 g ~µν dokonajmy przejścia do konforemnej przestrzeni Penrose’a ( M~ ,g~ , Ω ), dopełniając to konforemnym przekształceniem pola : φ → φ~ = Ω-1φ. Wartości pola φ na brzegach izotropowych ℑ± będziemy nazywali „obrazami pola” φ na ℑ± i będziemy oznaczali odpowiednią dużą literą :
φ~ | ℑ± = Φin , out (5.1.10)
Pole φ~ w przestrzeni Penrose’a spełnia równanie :
( ~ - 1/6 R~ ) φ~ = 0 (5.1.11)
gdzie : ~ = g~αβ ∇ ~α ∇ ~α , R~ - krzywizna skalarna metryki g ~αβ .
Zadanie obrazu Φin pola φ w przestrzeni asymptotycznie prostej pozwala znaleźć φ na drodze rozwiązania równań (5.1.11) o warunkach początkowych na regularnej powierzchni izotropowej ℑ- i tym samym określić Φout.
Innymi słowy w przestrzeni asymptotycznie prostej przy warunku, że rozwiązanie asymptotycznie regularne istnieje globalnie, ma miejsce odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między polem φ i jego obrazami na ℑ- i ℑ+ :
Φin ↔ φ ↔ Φout (5.1.12)
Warunek asymptotycznej regularności przy tym odgrywa rolę warunku promieniowania , a zagadnienie klasycznej teorii rozpraszania może być sformułowane jako zagadnienie znalezienia obrazu na ℑ+ rozwiązania φ, które posiada zadany obraz na ℑ-. Zauważmy, że pole asymptotycznie regularne w obszarze asymptotycznym ( w pobliżu ℑ ) ma postać :
φ ~ Φ∆ (5.1.13)
W przestrzeniach Minkowskiego we współrzędnych (5.1.4) takie zachowanie odpowiada następującej asymptotyce w strefie falowej :
φ ~ Φout (u, θ, φ) / r (5.1.14) Opisaną metodę łatwo jest uogólnić na przypadek innych pól bezmasowych.
Obecność grupy asymptotycznych symetrii w przestrzeni asymptotycznie płaskiej pozwala określić dla pól bezmasowych takie wielkości jak energia i pęd padającego lub wychodzącego strumienia.
Niech ξν
(a) ( a = 0, 1, 2, 3 ) – będą generatorami podgrupy translacji grupy BMS, działającymi na ℑ±. Wyrażenie dla energii ( a = 0 ) i pędu ( a = 1,2 ,3 )padającego ( wychodzącego ) promieniowania zapiszmy w następującej postaci : Pa ℑ± = -
∫
T~µν ξν(a) g~µα
dσα (5.1.15)
ℑ±
gdzie : T~µν = Ω-2 Tµν , Tµν – tensor metryczny energii-pędu rozpatrywanego pola.
Łatwo się upewnić, że dla pól asymptotycznie regularnych w płaskiej czasoprzestrzeni Pa ℑ± pokrywa się z całkowitą energią i pędem układu, określanych w standardowy sposób za pomocą wektorowych pól Killinga, odpowiadających translacją. W ogólnym przypadku w przestrzeni asymptotycznie płaskich, wyrażenie (5.1.15) może być zapisane z użyciem pojęć obrazów pól bezmasowych na ℑ±. W szczególności dla pola skalarnego spełniającego równanie (5.1.9), mamy :
Zauważmy, że dla pól φ typu pakietów falowych, posiadających skończoną energię, wartość | ∂2 µ Φ2
| zmniejsza się przy | u | → ∞ zatem drugi człon po scałkowaniu może być opuszczony :
Pa ℑ =
∫
Na ( ∂µ Φ)2 du dω (5.1.18) ℑW analogiczny sposób możemy zapisać z użyciem obrazów pól na ℑ± wyrażenia dla energii-pędu strumieni padającego i wychodzącego dla innych pól bezmasowych.
§ 5.2 Horyzont zdarzeń. Twierdzenie Penrose’a.
Możemy teraz wprowadzić ścisłe określenie pojęcia czarnej dziury. W czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskiej czarną dziurę definiujemy jako obszar, z którego nie może wyjść na ℑ+, żaden sygnał przyczynowy ( tj. poruszający się z prędkością nie przewyższającą prędkości światła ). Krzywa przyczynowa, opisująca rozprzestrzenianie się takiego sygnału jest krzywą gładką ( wektor styczny do niej uµ posiada następującą własność uµ uµ ≤ 0 )albo składa się z kawałków krzywych gładkich.
Zdefiniujmy przyczynową przeszłość J- (Q) dla pewnego zbioru Q jako zbiór punktów, posiadających taką własność, że dla każdego z nich możemy znaleźć krzywą przyczynową , skierowaną w przyszłość i łączącą go z jednym z punktów Q.
Zbiór zdarzeń widocznych przez oddalonego obserwatora pokrywa się z J- ( ℑ+ ). Brzeg tego zbioru J•- ( ℑ+ ), który będziemy oznaczali H+ nazywamy „horyzontem zdarzeń”. Horyzont zdarzeń jest brzegiem czarnej dziury.
Oczywiście w ograniczonym obszarze czasoprzestrzeni może istnieć nie jedna, a wiele czarnych dziur, mogą pojawiać się nowe czarne dziury, istniejące dziury mogą oddziaływać ze sobą i łączyć się.
W tym przypadku J•- ( ℑ+ ) jest zbiorem brzegów wszystkich czarnych dziur. Nie występowanie horyzontu zdarzeń w przestrzeni asymptotycznie płaskiej oznacza, że wszystkie zdarzenia zachodzące w tej przestrzeni mogą być po upływie odpowiedniego czasu zarejestrowane przez oddalonego obserwatora. Pojawienie się horyzontu zdarzeń świadczy o pojawieniu się czarnej dziury i o tym, że w wyniku silnego wzrostu pola grawitacyjnego zmienia się jakościowo przyczynowa struktura czasoprzestrzeni. Rosnące pole grawitacyjne nie pozwala wychodzić sygnałom na zewnątrz horyzontu w wyniku czego obserwator, jeśli tylko nie zdecyduje się on przekroczyć horyzontu zdarzeń nigdy nie dowie się co zachodzi wewnątrz niego.
Na rys. 50a, b pokazano sferycznie symetryczną czarną dziurę, pojawiającą się w wyniku kolapsu sferycznej gwiazdy.
Jak wiemy jest to najprostsza postać czarnej dziury. Na rys. 50a pokazano czasoprzestrzeń takiej czarnej dziury we współrzędnych Eddingtona-Finkelsteina , na rys. 50b – diagram Penrose’a dla odpowiadającej jej czasoprzestrzeni.
Diagram taki możemy otrzymać z diagramu Penrose’a dla pełnej czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury,
Diagram taki możemy otrzymać z diagramu Penrose’a dla pełnej czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury,