Rozdział 8 .
Efekty fizyczne w polu czarnych dziur. Czarne dziury w polu zewnętrznym.
§ 8.1 Pobieranie energii z czarnych dziur. Superradiacja.
W tym rozdziale pogłębimy już omawiane rozważania dotyczące efektów oddziaływania wzajemnego cząstek
klasycznych i pól z czarnymi dziurami (* Osobliwości zjawisk fizycznych w polu czarnych dziur, dla których istotna jest ich kwantowa specyfika, omawiamy w następnych rozdziałach *).
Rozpoczniemy od rozpatrzenia zagadnienia efektywności procesu pobierania energii z rotujących czarnych dziur.
Przypomnijmy, że chociaż czarna dziura z definicji jest obszarem skąd żadne ciała oraz promienie świetlne nie mogą wyjść na zewnątrz, istnieją sytuacje kiedy z pomocą określonych zjawisk fizycznych można pobierać z niej energię.
Jak zobaczymy dalej, energia ta pobierana jest z pola związanego z czarną dziurą. Jest to w szczególności możliwe wtedy , kiedy czarna dziura rotuje lub jest naładowana. Przykładem takich procesów jest proces Penrose’a ( zobacz paragraf 6.2 ) i procesy elektrodynamiczne rozpatrywane w poprzednim rozdziale. W tym paragrafie wskażemy pewne ogólne ograniczenia na efektywność procesów tego rodzaju.
Na początku rozpatrzymy efektywność procesu Penrose’a ( zobacz rys. 64 ). Niech εi = - pµ
iξ(t)µ – będzie energią ,a ji = - pµ
iξ(φ)µ – moment kątowy i-tej cząstki o pędzie pµi , poruszającej się w polu grawitacyjnym kerrowskiej czarnej dziury ( i = 0 odpowiada spadającej cząstce, rozpadającej się w ergosferze , i = 1 – cząstce wylatującej ku
nieskończoności , i = 2 – cząstce pochłoniętej przez czarną dziurę ) Zauważmy , że na horyzoncie zdarzeń wektor :
Lµ = ξµ
(t) + ΩH ξµ
(φ) (8.1.1)
Gdzie : ΩH – jest prędkością kątową czarnej dziury, będąca wektorem izotropowym i stycznym do tworzących horyzontu.
Ponieważ pµ2 – jest wektorem czasopodobnym, a Lµ jest skierowany ku przyszłości, to :
0 ≥ Lµ p2µ = - ε2 + ΩHj2 (8.1.2)
i odpowiednio dla cząstki spadającej do wnętrza czarnej dziury :
j2≤ ε2 / ΩH (8.1.3)
W szczególności, jeśli wylatująca cząstka posiada większą energię niż wpadająca ( ε1 – ε0 = -ε2 > 0 ), to analogiczna zależność jest spełniona również dla momentów kątowych :
j1 – j0 = -j2 ≥ - ε2 / ΩH ≥ 0 (8.1.4)
Przy pochłonięciu cząstki przez czarną dziurę jej parametry M i J zmieniają się :
δM = ε2 , δJ = j2 (8.1.5)
przy czym warunek (8.1.3) oznacza, że :
δM ≥ΩH δJ (8.1.6)
Procesy fizyczne prowadzące do takiej zmiany parametrów δM i δJ, czarnej dziury związanych zależnością :
(δM/ΩH ) - δJ = 0 (8.1.7)
nazywamy „procesami odwracalnymi”. Równanie różniczkowe (8.1.7) wiążące zmianę parametrów M i J w procesie odwracalnym, można scałkować [ Christodoulou (1970) ]. Zauważmy bowiem, że różniczka zupełna funkcji :
A~ = M2 + sqrt ( M4 – J2 ) (8.1.8)
może być zapisana w postaci :
δA~ = [ J / sqrt ( M4 – J2 ) ] [ (δM/ΩH ) – δJ ] (8.1.9)
gdzie :
ΩH = ( a / r+2 + a2 ) = (a / 2Mr+ ) = J / 2 [ M2 + sqrt ( M4 – J2 ) ]
Z zależności (8.1.6) i (8.1.9) widać, że dla rozpatrywanych powyżej procesów, związanych ze spadkiem cząstki na czarną dziurę, ma miejsce nierówność :
δA~ ≥ 0 (8.1.10) przy czym równość jest słuszna wtedy i tylko wtedy, kiedy proces jest odwracalny. Wielkość :
Mir = ( A~/ 2 )1/2 (8.1.11)
otrzymała nazwę „masy nieredukowalnej” czarnej dziury [ Christodoulou (1970) ].
Z równań (8.1.8) i (8.1.11) otrzymujemy :
M2 = Mir2 + ¼ (J / Mir2 ) ≥ Mir2 (8.1.12)
Z zależności tej wynika, że w wyniku procesu Penrose’a masę wejściową M nie można uczynić mniejszą niż Mir ,a zatem maksymalna możliwy uzysk energii w tym procesie jest równy : ∆Є = ∆Mc2 , gdzie :
∆M = M0 + Mir ( M0 , J0 ) (8.1.13)
a M0 i J0 – są wejściowymi masą i momentem kątowym czarnej dziury, Mir ( M0 , J0 ) – odpowiadająca im masa nieredukowalna.
Proste rozumowanie pokazuje, że przy zadanej masie początkowej M0 maksymalna wartość ∆M :
∆Mmax = ( 1 – 1/ √2 ) M0 ≈ 0,29 M0 (8.1.14)
osiągana jest dla ekstremalną czarną dziurę dla której J0 = M02.
Łatwo się przekonać, że wielkość A~ różni się tylko czynnikiem liczbowym od wyrażenia dla pola A kerrowskiej czarnej dziury :
A ≡ 4π ( r+2 + a2 ) = 8π A~ (8.1.15)
Dlatego też warunek (8.1.10) oznaczający nie ubywanie pola powierzchni czarnej dziury dla rozpatrywanych procesów w istocie jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Hawkinga ( paragraf 5.4 ).
Twierdzenie Hawkinga pozwala wyprowadzić szereg ogólnych wywodów dotyczących procesów z udziałem czarnej dziury. Na początku nierówność (8.1.6) łatwo jest rozciągnąć na przypadek naładowanych czarnych dziur oraz dla procesów w których uczestniczą cząstki naładowane. W tym celu wystarczy wykorzystać wyrażenie (8.1.15)gdzie w przypadku naładowanej rotującej czarnej dziury mamy :
r+ = M + sqrt ( M2 - a2 - Q2 ) (8.1.16)
Warunek δA ≥ 0 w tym przypadku daje :
δM ≥ Ω2 δJ + ΦH δQ (8.1.17)
gdzie : δJ i δQ – zmiany momentu kątowego i ładunku czarnej dziury, a :
ΦH = Q r+2 / ( r+2 + a2 ) (8.1.18) jest jej potencjałem elektrycznym.
Jeśli w zależności (8.1.17) uogólniającej (8.1.6) zachodzi równość, to tak jak i wcześniej takie procesy będziemy nazywali odwracalnymi. Ogólną własnością procesów odwracalnych jest to, że pole powierzchni czarnej dziury dla nich nie wzrasta.
Podkreślmy, że w wyrażeniu (8.1.17) δJ – jest całkowitą wartością zmiany momentu kątowego czarnej dziury. Przy tym nie odgrywa żadnej roli czy zmiana ta jest związana z momentem kątowym wpadającej cząstki odpowiadającym jej orbitalnemu ruchowi czy z jej momentem wewnętrznym (spinem ). Zastosowanie ogólnej nierówności (8.1.17) w ostatnim przypadku pozwala, w szczególności pokazać, że ze strony rotującej czarnej dziury na cząstkę ze spinem działa dodatkowe oddziaływanie spin-spinowe [ Hawking, (1972a), Wald ( 1972) ]
W charakterze ilustracji rozpatrzymy najprostszy przypadek, kiedy cząstka ze spinem s i ładunkiem e, posiadająca energię ε, spada na czarną dziurę, poruszając się tylko po osi symetrii. Jeśli taka cząstka spadnie do czarnej dziury to, wykorzystując prawa zachowania otrzymamy :
δQ = e, δJ = σs , δM ≤ ε (8.1.19)
gdzie : σ = 1 jeśli spin ma kierunek zgodny z kierunkiem rotacji czarnej dziury, σ = -1 w przeciwnym wypadku.
Możliwość zaistnienia nierówności w ostatniej z zależności (8.1.19) związana jest z tym, że część energii może być wypromieniowana. Zależności (8.1.17) i (8.19) pokazują, że cząstka ze spinem może spaść na czarną dziurę tylko w tym przypadku, jeśli jej energia ε przewyższa wielkość σs ΩH + eΦH. Druga ze składowych eΦH ma sens zwykłej energii elektrostatycznej odpychania. Pierwsza składowa przy σ =1 opisuje odpychanie , a przy σ = -1 przyciąganie w związku z obecnością oddziaływania spin-spinowego [ w teorii grawitacji podobne oddziaływanie ma miejsce dla dowolnych dwóch rotujących ciał, dokładne wyprowadzenie wyrażenia dla tej siły oraz opis analogii między oddziaływaniem spin-spinowym a elektromagnetycznym podano w Wald (1972) ].
Ponieważ ruch cząstek w przybliżeniu optyki geometrycznej łączy się bezpośrednio z rozprzestrzenianiem się pakietów falowych, naturalnym jest oczekiwać, że przy określonych warunkach kontakt fali z rotującą czarna dziurą, bezie również prowadził do zwiększenia tej fali. Przekonamy się ( z pomocą twierdzenia Hawkinga ), że proces ten rzeczywiście jest możliwy i wyprowadzimy warunki przy których ma on miejsce.
Ponieważ metryka Kerra-Newmana, opisująca geometrię naładowanej czarnej dziury jest stacjonarna i osiowo symetryczna, przy opisie rozprzestrzeniania się fali na jej tle dogodnie jest wykorzystywać rozkład względem funkcji własnych operatorów : ξµ
(t) ∂µ ≡ ∂t , ξµ
(φ) ∂µ ≡ ∂φ. Rozpatrzymy zachowanie modu pola φA o liczbach kwantowych ω, m, czasowa i kątowa zależność którego jest następująca :
φA ~ fA ( r, θ) exp ( -iωt + imφ ) (8.1.20) Pole φA może opisywać fale skalarne, EM, grawitacyjne (* przy rozprzestrzenianiu się fal EM i grawitacyjnych w
pobliżu naładowanej czarnej dziury możliwe jest ich wzajemne przekształcanie się jedna w drugą ( dokładnie efekt ten rozpatrujemy w podrozdziale 8.4 ). Efekt ten nie zmienia ogólnego warunku zwiększenia się fali, jednak wymaga dokładniejszego rozpatrzenia *) ( lub inne pola bozonowe, kwanty których w szczególności mogą posiadać masę µ i ładunek e ). W oddali od czarnej dziury rozwiązanie (8.1.20) opisuje zbiór kwantów, każdy z których posiada energie hω , φ-składową momentu kątowego hm jak również, być może i ładunek elektryczny e. Dlatego dla takiej fali zależności strumienia φ-składowej momentu kątowego i ładunku elektrycznego przez sferę o dużym promieniu,
otaczającą czarną dziurę do strumienia energii poprzez tę sferę są równe odpowiednio : m/ω i e/hω ( Łatwo tego dowieść w sposób ścisły z pomocą jawnych wyrażeń dla tensora energii-pędu i prądu, odpowiadających rozpatrywanemu polu φA ). Wykorzystując prawa zachowania energii i momentu kątowego związane z symetrią rozpatrywanego zagadnienia oraz prawo zachowania ładunku elektrycznego można pokazać, że oddziaływanie fali φA z czarną dziurą prowadzi do zmiany masy δM , momentu kątowego δJ oraz ładunku δQ, czarnej dziury, przy czym :
δJ = (m/ω) δM , δQ = (e/hω) δM (8.1.21)
Wykorzystując nierówność (8.1.17), wynikającą z twierdzenia Hawkinga, otrzymujemy :
δM [ 1 – ( mΩH/ ω ) – ( e ΦH / hω) ] ≥ 0 (8.1.22)
W szczególności dla modów spełniających warunek :
hω < hωΩH + e ΦH (8.1.23)
proces rozpraszania prowadzi do zmniejszenia masy czarnej dziury. Przy spełnieniu tego warunku rozpraszana fala posiada energie większą niż fala padająca pierwotnie na czarną dziurę tj. zachodzi proces zwiększenia amplitudy padającej fali. Zjawisko to zostało nazwane superradiacją. Na możliwość zachodzenia takiego zjawiska zwrócił po raz pierwszy uwagę Zeldowicz ( 1971, 1972 ), który wyszedł od analogii takich czarnych dziur wraz z rotującymi ciałami pochłanianymi przez nie. Dla tych analogii opisany przez Zeldowicza efekt zwiększenia amplitudy jest pokrewny w swej naturze do efektu Wawiłowa-Czerenkowa. Aby się o tym przekonać, rozpatrzmy w zwykłej płaskiej czasoprzestrzeni fale cylindryczną, padającą na cylinder o promieniu R, obracający się z prędkością kątową Ω względem osi
pokrywającej się z osią z. Odpowiadające tej sytuacji rozwiązanie φA ma postać :
φA = fA(ρ ) exp [ i (mφ – ωt ) ] (8.1.24)
Na powierzchni cylindra ρ = R, pole to odpowiada zaburzeniu biegnącemu z prędkością fazową dφ/dt = ω/m. Jeśli prędkość ΩR ruchu materii powierzchni dielektrycznego lub przewodzącego cylindra przewyższa prędkość liniową Rω/m , z którą przemieszcza się faza fali padającej po powierzchni cylindra, zamiast pochłaniania następuje wzmocnienie fali.
Odpowiadający temu warunek ma postać :
ω < Ωm (8.1.25)
Podkreślmy, że warunek ten jest uniwersalny i nie zależy od spinu pola. Od spinu pola zależy wielkość współczynnika wzmocnienia fali. Jeśli dla pola EM maksymalne wzmocnienie energii fali wynosi 4,4 %, to dla fali grawitacyjnej już 13%. Przy określonych warunkach takie wzmocnienie jest możliwe dla promieniowania grawitacyjnego związanego z cząstkami poruszającymi się w pobliżu rotującej czarnej dziury. Jeśli przy tym cząstka posiada taką energię jaką ona promieniuje w nieskończoności , to będzie ona obracała się wokół czarnej dziury, nie spadając do niej i może ona w tej sytuacji posłużyć jako swojego rodzaju katalizator dla wyciągania energii z czarnej dziury. Podobne orbity otrzymały nazwę „pływających” [ Misner (1972), Press, Teukolsky (1972)].
Ze zjawiskiem superradiacji związany jest następujący efekt. Niech na zewnątrz rotującej czarnej dziury po orbicie kołowej porusza się pakiet falowy masywnego pola skalarnego i niech energia sprzężenia na tej orbicie jest taka, że cząstki masywne składające się na ten pakiet nie mogą promieniować w nieskończoności. Możliwy jest jednak strumień tych cząstek przez horyzont zdarzeń. Jeśli częstość kwantów, spadających do wnętrza czarnej dziury spełnia warunek superradiacji, to ich spadek powoduje pojawienie się bardzo intensywnego promieniowania. Cząstki tego
promieniowania posiadają te same liczby kwantowe co cząstki pakietu i nie mogą wylecieć ku nieskończoności , prowadzi to do ich gromadzenia w pobliżu orbity pakietu i w końcowym stadium prowadzi do rozwoju niestabilności.
Detweilter (1980) pokazał, że taka niestabilność ma miejsce dla pola skalarnego o masie µ, takiej, że µM/ mP12 << 1 Przy tym, czas charakterystyczny rozwoju niestabilności :
Należy zauważyć, że chociaż opisane powyżej procesy ( proces Penrose’a i superradiacja ), prowadzące do utraty przez czarną dziurę energii, maja bardzo ważne znaczenie dla fizyki czarnych dziur, w realnych warunkach astrofizycznych trudno oczekiwać aby mogły one prowadzić do istotnych obserwowalnych zjawisk. Interesującym w związku z
możliwymi następstwami mogą być analogi procesu Penrose’a w których w miejsce rozpadu cząstki zachodzi zderzenie dwóch cząstek w ergosferze, prowadzące do tworzenia dwóch nowych cząstek, jedna z nich ulatuje ku nieskończoności.
Odmianą opisanego efektu jest comptonowskie rozpraszanie swobodnie spadającego fotonu na elektronie posiadającym duży moment kątowy i poruszającym się w ergosferze [ Pirani, Shaham (1977) ]