Na początku rozpatrzmy geometryczne własności naszej „absolutnej” przestrzeni. Wynikają one z trójwymiarowej metryki otrzymywanej z (4.2.1) w której dt = 0. W tej „absolutnej” trójwymiarowej przestrzeni w ustalonej chwili jedynego „czasu” t = const. możemy rozpatrywać rozkład trójwymiarowych pól wektorowych, obliczać np.
trójwymiarową dywergencje pola wektorowego A itp. Zmiana wektora A w „czasie” t w ustalonym punkcie „absolutnej”
przestrzeni dana jest przez pochodną ∂A/∂t.
Rozpatrzmy teraz układ odniesienia obserwatorów, którzy spoczywają w „absolutnej” przestrzeni t= const. tj. „siedzą”
nieruchomo na naszej sztywnej, niedeformującej się siatce. Taki układ nazywamy: chronometrycznym
[ Władimirow (1982*) ] , lagranżjanowskim [ Thorn, Macdonald (1986) ] lub killingowskim. Zobaczmy jakie siły spowodowane obecnością rotującej czarnej dziury, działają w tym układzie.
Trójwymiarowe składowe wektora przyspieszenia F~i we współrzędnych ( r, θ, φ) [ przyspieszenie spadku swobodnego, zobacz (p.61) ] określone są przez wyrażenia [ Władimirow (1982*) ] :
F~r = [ M( ρ2 Wszystkie wielkości w danym chronometrycznym układzie odniesienia będziemy oznaczali tyldą, aby nie miesza ich z wielkościami wykorzystywanymi dalej.
Fizyczne składowe przyspieszenia (* F~i^ - składowe wektora przyspieszenia, bezpośrednio mierzone przez
obserwatora, spoczywającego w danym układzie odniesienia. We wzorze (4.3.2) są one dane w lokalnym kartezjańskim układzie współrzędnych o osiach skierowanych wzdłuż kierunków r, θ, φ *) :
F~r^ =[ M ( ρ2 Układ odniesienia naszych obserwatorów jest sztywny zatem dla niego tensor prędkości deformacji [ zobacz (p.60)] jest
równy zeru :
D~ik =0 (4.3.3)
Tensor prędkości kątowej obrotu (p.59) jest następujący : A~rφ = - [ Ma ( ρ2
– 2r2
) sin2θ / ρ (ρ2 – 2Mr )3/2 ] ; A~θφ = [ Mra sin2θ / ρ ( ρ2 – 2Mr )3/2 ] ; A~rφ = 0 (4.3.4) Niezerowanie się tensora A~ik oznacza, że żyroskopy spoczywające w naszym układzie odniesienia wykazują precesje
względem niego, a to znaczy również względem oddalonych obiektów, ponieważ nasz sztywny układ w oddali
przechodzi w układ lorentzowski. Tensor A~ik jest proporcjonalny do własnego momentu pędu czarnej dziury i odbija w swych własnościach obecność „wirowego” pola grawitacyjnego, wywołanego rotacją.
Podkreślmy następującą ważną różnicę zewnętrznego pola rotującej czarnej dziury od przypadku nie rotującego.
Jeżeli czarna dziura nie rotuje, to warunek t =const. oznacza fizyczną jednoczesność w całej zewnętrznej przestrzeni dla obserwatorów w niej spoczywających ( względem sztywnego układu odniesienia ). W przypadku rotującej czarnej dziury obecność składowej g0i w sztywnym układzie odniesienia nie pozwala, jak wiadomo [ zobacz Landau, Lifszyc (1973*) ] wprowadzić pojęcie jednoczesności. Zwykle, o zdarzeniach, dla których t jest jednakowe, mówimy jako o jednoczesnych względem czasu dalekiego obserwatora. Jednak nie oznacza to, że fizycznej jednoczesności, określonej synchronizacją zegarów na drodze wysyłania i odbioru sygnałów świetlnych.
Zauważmy, że składowe F~r , F~ θ , A~
ik oraz obliczona na ich podstawie prędkość kątowa precesji żyroskopu Ω~ pz [ zobacz (p.62)] zerują się w nieskończoności, a składowa g00 w (4.2.1) ( określająca tempo upływu czasu ) zeruje się przy :
ρ2 – 2Mr = r2 + a2 cos2 θ – 2Mr = 0 (4.3.5)
lub przy r = r1 , r1 – określone jest zależnością :
r1 = M + sqrt( M2 - a2 cos2 θ ) (4.3.6)
Wskazane własności oznaczają, że w tym miejscu w układzie odniesienia istnieje fizyczna osobliwość i nie można przedłużyć układu odniesienia bliżej ku czarnej dziurze tj. nie możliwe jest aby obserwator spoczywał względem naszej siatki (* Samą siatkę współrzędnościową oczywiście można przedłużyć bliżej ku czarnej dziurze , jednak nie może on już być skonstruowany z ciał materialnych *). Przyczyna tego jest formalnie taka sama jak w przypadku pola Schwarzschilda na r = rg : linia świata obserwatora r = const, θ =const. , φ = const. przestaje być czasopodobna, co widać chociażby ze zmiany znaku g00 przy r < r1. Mamy jednakże istotną różnicę w porównaniu z polem
Schwarzschilda – w przypadku nierotującej czarnej dziury przy r < rg , aby otrzymać linie świata leżącą wewnątrz stożka świetlnego, wystarczyło dokona przekształcenia :
dr = dr~ + A1dt (4.3.7)
Wtedy przy odpowiednim wyborze A1= A1(r) linia r~
= const., φ = const. , θ =const. będzie czasopodobna. To oznacza, że przy r < rg ciała zmuszone są poruszać się radialnie ku centrum, a rg – jest brzegiem izolowanej czarnej dziury.
W przypadku rotującej czarnej dziury przy r < rg [ zakładamy ∆ > 0 , zobacz (4.2.1) ] przekształcenie postaci (4.3.7) nie pozwala otrzymać czasopodobnej linii świata. Jednak przekształcenie postaci :
dφ = dφ~ - Ω1dt (4.3.8)
pozwala na to ( Ω1 zależy od r i θ ). Fakt ten oznacz, że przy r < r1 i ∆ > 0 wszystkie ciała musza uczestniczyć w rotacji wokół czarnej dziury ( w kierunku określonym przez znak a ), względem sztywnej siatki współrzędnościowej,
rozciągającej się do nieskończoności. Co zaś dotyczy ruchu radialnego zgodnie ze współrzędną r, to w obszarze r < r1 i
∆ > 0 ciała mogą poruszać się zarówno zwiększając jak i zmniejszając wartość współrzędnej r.
W ten sposób granica styczności r1 w przypadku rotującej czarnej dziury posiada zasadniczo inna naturę niż pole Schwarzschilda. W tym obszarze ciała nieuchronnie musza rotować, jednak r1 nie jest horyzontem zdarzeń, ponieważ można opuścić ten obszar. Horyzont zdarzeń w metryce (4.2.1) znajduje się przy ∆ = 0 tj. przy r = r+ gdzie :
r+ = M + sqrt ( M2 - a2 ) (4.3.9)
Obszar r+ < r < r1 nazywamy ergosferą.
Zatem, sztywny statyczny ( nieruchoma względem dalekiego obserwatora ) układ odniesienia z ciał materialnych nie rozciąga się do r+ . Granica statyczności rozciąga się na zewnątrz horyzontu i pokrywa się z nim na biegunie ( rys. 30 ) Ważną własnością statycznego układu odniesienie jest zachodząca w nim precesja żyroskopów. Nasz układ w każdym swoim punkcie rotuje względem lokalnego układu lorentzowskiego. Oczywiście jest to odbiciem faktu, że rotacja czarnej dziury zmienia stan ruchu takich lokalnych układów, wprawiając je w ruch. Jakościowo zjawisko to jest już dawno znane dla przypadku słabego pola grawitacyjnego rotującego ciała ( Thirring, Lense (1918) ].
Rys. 30 Rotująca czarna dziura : 1- horyzont, 2 – ergosfera, 3 – granica statyczności.
Wprowadzimy teraz w zewnętrznym polu rotującej czarnej dziury, układ odniesienia, który we wskazanym wcześniej sensie nie rotuje względem lokalnego układu lorentzowskiego. Układ ten nazywamy układem odniesienia lokalnego nie rotującego obserwatora. Oczywiście układ taki nie może być już sztywny. Aby zbudować taki układ wprowadzimy kongruencje linii świata zawsze ortogonalnych do wybranych przez nas przestrzennych przekrojów t = const.
Te czasopodobne linie zgodnie z definicją nie są skręcone zatem obrazują szukany układ odniesienia. Spoczywający w nim obserwator nazywany jest „obserwatorem lokalnie nie rotującym” [ niekiedy taki układ odniesienia nazywamy eulerowskim ]. Obserwatorzy tak określeni poruszają się względem siatki układu Boyera-Lindqista tj. poruszają się w przestrzeni „absolutnej”. Ruch taki zachodzi przy stałych r = const. , θ = const. i ze stałą w czasie prędkością kątową względem φ. Jeśli prędkość kątową ω, określimy względem czasu uniwersalnego t ( czas dalekiego, spoczywającego obserwatora ), to :
ω ≡ dφ/dt = -gφt / gφφ = 2Mar / [ ( r2 + a2 )2 - ∆a2 sin2θ ] (4.3.10) gdzie : gφt , gφφ bierzemy ze wzoru (4.2.1)
Jeśli mierzyć prędkość kątową względem czasu poruszającego się obserwatora, to :
Ωτ = ω / sqrt ( -gtt – 2ωgtφ – ω2gφφ ) (4.3.11) Liniowa prędkość fizyczna, ruchu lokalnego nie rotującego obserwatora, względem sztywnego układu jest dana wzorem
vφ = 2Mra sinθ / ρ2 √∆ (4.3.12)
Jak należało oczekiwać, prędkość ta przekształca się w prędkość światła na granicy statyczności r = r1 i przewyższa ją w obszarze ergosfery.
Podkreślmy jeszcze raz, że czas własny lokalnie nie rotującego obserwatora τ różni się od „czasu” uniwersalnego t.
Związek nimi określa funkcja „wydłużenia” α :
(dτ/dt )nro ≡ α = ( ρ2 ∆/ A)1/2 (4.3.13)
( nro – nie rotujący obserwator )
Wprowadzimy wyrażenia dla wektora przyspieszenia spadku swobodnego w układzie lokalnie nie rotującego obserwatora :
Fr = ( M/ ρ2∆ ∆1 ) [ ( ρ2 + a2 )2 ( a2cos2 θ - r2 ) + 4Mr3 a2 sin2θ ) ]
Fθ = a2sin2θ [ Mr ( r2 + a2 )/ ρ2 ∆] (4.3.14)
Fφ = 0
Gdzie : ∆1= ρ2 ( r2 + a2 ) + 2Mra3 sin2θ Wektor F związany jest z α zależnością :
F = -∇ lnα (4.3.15)
Tensor prędkości deformacji układu zapisujemy w postaci :
Drr = Drθ = Dθθ = Dφφ = 0 (4.3.16)
Drφ = -Ma [ 2r2( r2 + a2 ) + ρ2 ( r2 - a2 )] sin2θ [ ρ2 sqrt (∆ ∆1)-1 (4.3.16) Dθφ = 2Mra3 sin3θ cosθ √∆ ( ρ3 √ ∆1)-1 (4.3.16) Aik = 0
Rozpatrywany układ odniesienia nie posiada żadnych osobliwości na granicy statyczności i jest przedłużalny w ergosferze aż do brzegu czarnej dziury : r = r+. Przy r ≤ r+ oprócz obrotu wokół czarnej dziury zachodzi jeszcze w sposób konieczny spadek względem współrzędnej r. Układ lokalnie nie rotującego obserwatora przy r = r+ posiada fizyczną osobliwość : Fr → ∞ przy r → r+ [ zobacz wzór (4.3.14) ].
W miarę zbliżania się do horyzontu zdarzeń prędkość kątowa rotacji, lokalnego nie rotującego obserwatora dąży do granicy :
ω+ = c3a / 2GMr+ (4.3.17)
Granica ta jest stała na horyzoncie I nie zależy od θ. Nazywamy ją „prędkością kątową rotacji czarnej dziury (lub horyzontu)” ΩH.
W przestrzennej nieskończoności układ odniesienia lokalnie nie rotującego obserwatora przechodzi w ten sam lorentzowski układ odniesienia, co w układzie Boyera-Lindqista ( układ chronometryczny ).
Na zakończenie paragrafu zastanowimy się nad zagadnieniem „rotacji” lokalnie nie rotujących obserwatorów i o precesji żyroskopów w układzie odniesienia związanym z tymi obserwatorami.
Z jednej strony, układ odniesienia takich obserwatorów wybrany jest w ten sposób aby on nie rotował tj. Aik = 0, co oznacza, że nie występuje obrót układu względem lokalnie lorentzowskiego układu odniesienia ( oznacza to również, że nie występuje precesja żyroskopu w układzie odniesienia lokalnie nie rotującego obserwatora ). Z drugiej strony przykładowo w książce Misnera, Thornea ,Wheelera (1973) mówi się o tym ,że żyroskopy doznają precesji względem lokalnie nie rotujących obserwatorów o prędkości kątowej :
Ωpr = ½ sqrt [ gφφ / ( gtt – ω2gφφ ) ] [ (ω, θ / ρ) er^ – ( ∆1/2 ω, r / ρ) eθ^ ] (4.3.18) gdzie : er^ , eθ^ - jednostkowe wektory o kierunku odpowiednio r, θ, wielkości gαβ bierzemy z wyrażenia (4.2.1).
Jak pogodzić te dwa stwierdzenia ?
Paradoks możemy rozwiązać w następujący sposób. Przypomnijmy, że ruch małego elementu dowolnego układu odniesienia, względem lokalnie współporuszajacego się układu lorentzowskiego polega na obrocie wokół chwilowej osi
obrotu i deformacji wzdłuż osi głównych tensora prędkości deformacji. Jeżeli nie występuje obrót ( Aik = 0 ), to problem sprowadza się do rozpatrzenia deformacji. Żyroskop którego środek masy spoczywa w układzie odniesienia nie doznaje precesji względem kierunków głównych tensora prędkości deformacji. Jeżeli wzdłuż tych kierunków przeprowadzimy linie zgodne z układem odniesienia ( „przyczepimy” je do układu odniesienia ), to żyroskop nie zmieni swojej orientacji względem tych linii. Jednak to nie oznacza, że żyroskop nie zmieni orientacji względem dowolnej linii, przeprowadzonej w danym elemencie objętości i współporuszajacej się z danym układem odniesienia. Z rysunku 31 widać, że przy anizotropowej deformacji linii, pochylenie np. pod kątem 45° do kierunków głównych tensora deformacji ,
„przyczepione” do układu odniesienia, obróci się, zbliżając się do kierunku największego rozciągnięcia. Względem tych linii będzie zachodziła precesja żyroskopu, chociaż Aik = 0. Właśnie taka sytuacja ma miejsce w przypadku lokalnie nie rotującego obserwatora w metryce Kerra.
Rys. 31 Obrót przekątnej OA przy deformacji anizotropowej elementu objętości wzdłuż kierunków OB, OC
Rozpatrzmy lokalnie nie rotujących obserwatorów na płaszczyźnie równikowej. Wszędzie mamy Aik = 0 i zgodnie ze wzorami (4.3.16), różna od zera jest tylko składowa Drφ. To oznacza, że chwilowe orientacje głównych osi tensora deformacji skierowane są pod kątem 45° do kierunków wektorów er^ i eφ^. Zauważmy, że linie współrzędnych φ
„przyczepione” są do układu odniesienia. Żyroskop nie obraca się względem osi głównych, jednak zgodnie z poczynioną uwagą, obraca się względem linii współrzędnościowej φ tzn. względem eφ^ ( i odpowiednio względem prostopadłego do niego wektora er^, który nie jest „przyczepiony” do układu odniesienia – zobacz dalszy tekst ). Zatem, jeśli lokalnie nie rotujący obserwator cały czas będzie orientował swój reper wzdłuż kierunków er^ , eφ^ , eθ^ , to żyroskop będzie doznawał precesji względem tego reperu zgodnie ze wzorem (4.3.18), bez względu na to, że w układzie tego obserwatora Aik = 0. Reper er^ , eφ^ , eθ^ - jest reperem naturalnym i precesje żyroskopu należy określi względem niego. Można jednak wprowadzić i inny reper np. reper który również związany jest z lokalnie nie rotującym obserwatorem, jednak tym razem nie obraca się on względem chwilowo współporuszajacego się układu lorentzowskiego. W takim reperze żyroskop nie doznaje precesji.
Na zakończenie zauważymy, że jeśli w pewnej chwili wybierzemy jeden układ linii współrzędnościowych
„przyczepionych” do lokalnie nie rotującego obserwatora i o kierunku ściśle zgodnym z r, a drugi układ ściśle zgodny z φ, to z upływem czasu linie współrzędnościowe linie zgodne z φ będą ślizgały się wzdłuż siebie samych w „absolutnej”
przestrzeni, a linie które były do nich prostopadłe będą „nawijały” się na czarną dziurę, przekształcając się w spirale.