Zgodnie z analogią termodynamiczną w fizyce czarnych dziur następujące cztery wielkości :
θ = ħ κ/ 2πkc , SH = A/ 4l Pl2 , E = Mc2 (11.3.1)
κ - grawitacja powierzchniowa, A – pole czarnej dziury , M ≡ M∞ - masa czarnej dziury spełniają rolę odpowiednio : temperatury, entropii i energii wewnętrznej czarnej dziury.
W termodynamice równowaga jest niemożliwa, jeśli temperatura różnych części układu jest różna. Obecność stanu równowagi termodynamicznej i istnienie temperatury postulowane jest poprzez pierwsza zasadę termodynamiki.
W fizyce czarnych dziur słuszne są analogiczne postulaty.
Zerowe prawo fizyki czarnych dziur. Grawitacja powierzchniowa κ, stacjonarnej czarnej dziury jest stała wszędzie na powierzchni horyzontu zdarzeń. Prawo to wraz z założeniem spełnienia warunku dominacji energetycznej było
dowiedzione w poprzednim paragrafie.
Pierwsze prawo fizyki czarnych dziur. Zmiana masy δM układu zawierającego czarną dziurę, przy przejściu tego układu z jednego stanu stacjonarnego do drugiego, bliskiemu do niego stanu stacjonarnego zadane jest wyrażeniem : δM = θδSH + ΩH
δJ~H + ΦH
δQ + δq (11.3.2)
gdzie : δJ~H i δQ – zmiana całkowitego momentu kątowego i ładunku elektrycznego czarnej dziury, δq – wkład do zmiany masy całkowitej, związany ze zmianą stanu rozkładu stacjonarnego materii na zewnątrz czarnej dziury [ dla cieczy idealnej δq ma postać (11.2.50) ].
Przy opisie klasycznych procesów w polu czarnej dziury, dla których spełnione jest twierdzenie Hawkinga, można sformułować następujący analog drugiego prawa termodynamiki.
Drugie prawo fizyki czarnych dziur. Dla dowolnych klasycznych procesów pole powierzchni czarnej dziury A i odpowiednio jej entropia SH nie zmniejszają się :
δSH ≥ 0 (11.3.3)
W obu przypadkach ( w termodynamice i fizyce czarnych dziur ) drugie prawo oznacza globalną nieodwracalność danego układu i wyznacza tym samym strzałkę czasu. W termodynamice prawo wzrostu entropii prowadzi do tego, że część energii wewnętrznej, która nie może być przekształcona w pracę, zmniejsza się w czasie. Całkowicie analogicznie prawo wzrostu pola powierzchni czarnej dziury, oznacza, ze część energii wewnętrznej czarnej dziury , której nie można z niej odzyskać wzrasta w czasie. Podobnie jak w termodynamice, wielkość SH związana jest z niemożliwością
pozyskania informacji o budowie układu ( w danym przypadku – czarnej dziurze )
Efekty kwantowe naruszają warunki stosowalność twierdzenia Hawkinga. I tak przy kwantowym parowaniu czarnej dziury pole jej powierzchni zmniejsza się i odpowiednio nierówność (11.3.3) okazuje się być naruszona.
Istotnym jest tu jednak, że promieniowanie czarnej dziury posiada tutaj charakter termiczny i prowadzi do wzrostu entropii w otaczającej czarną dziurę przestrzeni. Można się przekonać, że w takim procesie wielkość S, nazywana entropią uogólnioną i równa sumie entropii czarnej dziury SH i entropii materii na zewnątrz czarnej dziury Sm
: S = SH + Sm
(11.3.4)
Nie zmniejsza się.
Aby tego dowieść, zauważymy, że prędkość ( względem zegara oddalonego obserwatora ) straty przez czarną dziurę masy i entropii w postaci promieniowania pola bezmasowego o spinie s, można zapisać w postaci :
dM/dt = ¼ σs hs Σs θ4 , dS/dt = 1/3 σs βs hs Σs θ3 (11.3.5) gdzie : hs – liczba polaryzacji pola, σs = π2 /30 dla bozonów i 7π2 /20 – dla fermionów, Σs – przekrój efektywny dla czarnej dziury, θ – temperatura czarnej dziury, βs – bezwymiarowy współczynnik rzędu jedności.
Z drugiej strony, dla nierotującej czarnej dziury zmiana jej entropii SH związana jest ze zmiana masy poprzez zależność
dSH = θ-1 dM (11.3.6)
Porównując (11.3.5) i (11.3.6), znajdujemy [ Zurek (1982) ]:
R ≡ dSm / dSH = 4/3 βs (11.3.7)
Obliczenia numeryczne prowadzone na podstawie wzorów (9.5.28) i (9.5.39a), które przeprowadził Zurek (1982) i Page (1983), pokazuje, że współczynnik β jest zawsze większy od ¾, skąd wnioskujemy, że uogólniona entropia S w procesie promieniowania pojedynczej czarnej dziury wzrasta. Można pokazać, że [ Zurek (1982)] jeśli na zewnątrz czarnej dziury istnieje promieniowanie o widmie ciała czarnego i temperaturze θ~ ,to uogólniona entropia tak jak poprzednio wzrasta - za wyjątkiem przypadku, kiedy θ~ = θ. W tym przypadku wzrost entropii w otaczającej czarną dziurę przestrzeni jest dokładnie kompensowane przez wzrost entropii czarnej dziury w wyniku akreacji na nią promieniowania cieplnego.
Przedstawione wyniki dają podstawę zakładać, że spełnione jest :
Uogólnione drugie prawo fizyki czarnych dziur. Dla wszystkich procesów fizycznych z udziałem czarnych dziur uogólniona entropia S, określona wzorem (113.4) nie zmniejsza się , tj. :
δS ≥ 0 (11.3.8)
(* Po raz pierwszy w takiej postaci uogólnione drugie prawo termodynamiki podał Bekenstein (1973b, 1974 ), zanim jeszcze odkryto efekt kwantowego promieniowania czarnych dziur *)
Współczesny status tego prawa w fizyce czarnych dziur w znacznej mierze przypomina status drugiego prawa
termodynamiki, do chwili pojawienia się mechaniki statystycznej. Różnorodne eksperymenty myślowe, przedstawiane w literaturze, potwierdzają to prawo, jednakże nie dysponujemy konsekwentnym wyprowadzeniem tego prawa z
podstawowych zasad mechaniki kwantowej i teorii grawitacji.
Zastanowimy się teraz dokładniej nad jednym z takich myślowych eksperymentów [ Bekenstein (1973b, 1974 )].
Wyobraźmy sobie, że promieniowanie ( lub materia ) o energii Em i entropii Sm umieszczono w pojemniku o
nieprzenikliwych ( odbijających ) ściankach, niech ten pojemnik zostaje wolno opuszczany na nierotującą czarną dziurę.
W chwili, kiedy dolna część pojemnika znajduje się w bezpośredniej bliskości powierzchni czarnej dziury, pojemnik otwiera się i cała jego zawartość spada do czarnej dziury. Następnie pojemnik jest podnoszony do pozycji pierwotnej.
Ocenimy zmianę uogólnionej entropii przy tym procesie. Niech wszystkie wymiary pojemnika, w tym jego wymiar pionowy L, są małe w porównaniu z rg. W chwili, kiedy dolna krawędź pojemnika osiąga czarną dziurę, jego górna krawędź znajduje się w pozycji : r = rg + ∆r , gdzie ∆r ≈ L2/4rg.
Przekazywana do czarnej dziury energia ( z uwzględnieniem przesunięcia ku czerwieni ) nie przewyższa wielkości : ε = [ 1 – ( rg /r) ]1/2 Em ≈ ( L/2rg )Em
a wzrost entropii czarnej dziury dany jest wyrażeniem : δSH <~ θ-1ε ≈ 2πLEm
Z powyższego rozumowania wynika, że uogólniona entropia w takim procesie nie zmniejsza się, jeśli tylko słuszna jest nierówność SH ≤ 2πLEm (* Co do spełnienia tego ograniczenia dla realnych układów fizycznych wypowiada się Bekenstein (1982, 1983) oraz Unruh i Wald (1983a) *)
Na pierwszy wzgląd, wydaje się, że jeśli wybrać L wystarczająco małym i dużo mniejszym od pozostałych dwóch wymiarów pojemnika, to ujawni się możliwość naruszenia wprowadzonego, uogólnionego drugiego prawa fizyki czarnych dziur. Unruh i Wald (1982, 1983a) pokazali jednak, że wywód ten nie jest słuszny, bowiem w przytoczonym rozumowaniu nie uwzględniono efektów, związanych z polaryzacją próżni. Uwzględnienie tych efektów istotnie zmienia sytuacje.
Zgodnie z założeniami, ścianki pojemnika są odbijające. Przy wolnym przemieszczaniu pojemnika w miarę jego przybliżania do czarnej dziury doznają one coraz większego przyspieszenia, a ruch przyspieszony odbijających ścianek w wyniku kwantowego efektu generuje strumień energii. Efekt ten jest dobrze znany w płaskiej czasoprzestrzeni [ de Witt (1975), Birrel, Davies (1982) ]. Fizyczna jego przyczyna jest następująca.
Przy odbiciu promieniowania od odbijającej ścianki indukują się na niej ładunki i prądy. Analogiczne zjawisko zachodzi w próżni, przy tym ładunki i prądy posiadające drgania zerowe, fluktuują, a ich średnie są równe zeru. Jeśli ciało porusza się z przyspieszeniem , to takie ładunki i prądy zaczynają promieniować. Przy ruchu zwierciadła płaskiego z coraz
większym przyspieszeniem w płaskiej czasoprzestrzeni w obu kierunkach od zwierciadła pojawiają się strumienie energii, których kierunek pokrywa się z wektorem przyspieszenia. (* Dla pola skalarnego bezmasowego w dwu wymiarowej czasoprzestrzeni strumień Tµν vν
Analogiczny efekt, jak pokazał Unruh i Wald (1982, 1983a ), zachodzi przy opuszczaniu na czarną dziurę pojemnika z odbijającymi ściankami.
Ponieważ przyspieszenie ścianki dolnej jest zawsze większe od przyspieszenia ścianki górnej, wolne opuszczanie pojemnika prowadzi do pojawienia się dodatkowego, dodatniego strumienia energii, który związany jest z polaryzacją próżni poprzez ścianki pojemnika wewnątrz czarnej dziury. W wyniku tego wielkość energii ε, przekazywana czarnej dziurze i związana z nią zmiana entropii SH będzie większa i uogólniona entropia nie zmniejsza się.
Zauważmy, że przy takim procesie promieniowanie odbijających ścianek wewnątrz pojemnika prowadzi do
zmniejszenia się energii jego zawartości. Jeśli opuszczamy pusty pojemnik, to energia zawarta wewnątrz niego, może stać się ujemna. W punkcie, w którym przyspieszenie spoczywającego pojemnika jest równe a ( a >> κ ), gęstość energii zawartej wewnątrz niego jest rzędu -σTµµ , gdzie Ta = a/2π – lokalna temperatura, mierzona przez spoczywającego obserwatora znajdującego się w tym punkcie ( zobacz paragraf 10.3 ). Jeśli teraz otworzymy pojemni, to pojawi się strumień ujemnej energii wewnątrz czarnej dziury, który zaniknie jak tylko gęstość energii-pędu w pojemniku będzie rzędu gęstości energii-pędu < Tµν > w otoczeniu rozpatrywanego punktu ( ~σ(κ/2π)4 ). Jeśli następnie zamkniemy pojemnik i wyciągniemy o na zewnątrz, to oddalony obserwator stwierdzi, że zapełniony on jest promieniowaniem termicznym o temperaturze Ta = a/2π. W wyniku takiego cyklicznego procesu masa czarnej dziury zmniejszy się ,a energia ( równa różnicy energii wyciągniętego promieniowania i pracy wykonanej w danym cyklu ) może być wykorzystana jako praca użytkowa. [ Unruh, Wald (1982, 1983a) ].
Powtarzając cykl możemy nieprzerwanie czerpać energii nawet z chłodnych ( masywnych ) czarnych dziur.
Ograniczenie na dopuszczalną moc, otrzymywana w omawianym procesie podali w swej pracy Unruh i Wald, ma ono postać :
| dE/dt | <~ c5/ G ≈ 3,6 • 1059 [ erg/s ]. Proces ten nie narusza również uogólnionego drugiego prawa fizyki czarnych dziur.
Fakt, że do uogólnionego prawa na jednakowych warunkach wchodzą, wydawać by się mogło, różne w swojej naturze wielkości : Sm – wielkość charakteryzująca „stopień nieporządku” budowy materii , oraz SH – geometryczna
charakterystyka czarnej dziury, pokazuje, że są to wielkości o głębokich powiązaniach.
W istocie bowiem, sama możliwość takiego powiązania jest ujęta już w równaniach Einsteina, które wiążą charakterystyki fizyczne materii z charakterystykami geometrycznymi czasoprzestrzeni.
Obecność zależności własności termicznych czarnych dziur z utratą informacji o obszarze czasoprzestrzeni wewnątrz nich, jest zgodne z ogólnym informacyjnym podejściem do termodynamiki, który został sformułowany przez Szillarda ( 1929 ) i rozwinięty przez wielu fizyków i matematyków.
Istota tego podejścia polega na tym, że istnieje prosty związek między brakami w informacji o układzie fizycznym i wartością jego entropii.
W czarnej dziurze informacja o stanie skolapsowanej materii „odcinana” jest poprzez siły grawitacyjne. Czarna dziura
„zapomina” swoją prehistorię i zachowuje pamięć tylko o „makroskopowych” charakterystykach : masie , ładunku, i momencie pędu. Zgodnie z tym entropia czarnej dziury SH służy jako miara straty informacji dokonująca się w procesie kolapsu, a liczba różnych ( „makroskopowych” ) stanów układu który kolapsując prowadzi do powstania czarnej dziury z zadanymi parametrami M, J, Q powinna być proporcjonalna do exp[ S(M, J, Q)/ k ][ Bekestein (1973b, 1980), Hawking (1976a) ].
Bezpośrednie obliczenie tej liczby stanów jest nadzwyczaj trudne i póki co nie zostało rozwiązane.
Istnieją również inne podejścia do definicji przestrzeni mikrostanów czarnej dziury. Omówimy, krótko dwa z takich podejść.
York (1983) zwrócił uwagę na to, że przy kwantowym parowaniu czarnej dziury następuje zaburzenie termiczne jej modów quasi-normalnych. Jego podejście polega na tym, aby entropie czarnej dziury zdefiniować jako logarytm liczby różnych stanów zaburzenia takich modów w procesie parowania czarnej dziury.
Zurek i Thorne (1985) wiążą entropie czarnej dziury z logarytmem liczby różnych stanów, które mogą istnieć w cienkiej warstwie powierzchniowej na zewnątrz czarnej dziury, leżącej między horyzontem zdarzeń i „rozciągniętym”
horyzontem ( zobacz paragraf 7.3 ).
Mimo pewnego postępu jakie przyniosły takie podejścia, ścisłe mikroskopowe zdefiniowanie entropii czarnej dziury i uzasadnienie drugiego prawa pozostaje póki co nierozwiązanymi problemami fizyki czarnych dziur.
Na zakończenie sformułujemy analog trzeciego prawa termodynamiki (* Należy szczególnie podkreślić, że inne sformułowanie trzeciego prawa termodynamiki głoszące, że entropia układu zeruje się przy temperaturze absolutnego zera jest niesłuszne w przypadku czarnych dziur, ponieważ pole powierzchni A pozostaje skończone przy κ → 0 *) Trzecie prawo fizyki czarnych dziur. Nie można sprawić za pomocą skończonej liczby operacji, aby temperatura czarnej dziury była równa zeru (* absolutnemu *).
Ponieważ θ zeruje się jednocześnie z κ, to jest to możliwe jedynie w tym przypadku, kiedy pojedyncza stacjonarna czarna dziura jest ekstremalną : M2 = a2 + Q2. Niemożliwość w skończonej liczbie kroków , za pomocą fizycznych procesów, przekształcenia czarnej dziury w ekstremalną jest związana ściśle z niemożliwością osiągnięcia stanu w którym
M2 < a2 + Q2 , przy którym, to pojawiłaby się goła osobliwość i nastąpiło naruszenie zasady „kosmicznej cenzury”.
Analiza konkretnych przykładów [ np. Wald (1974a) ] pokazuje, że im bliższy jest stan czarnej dziury do stanu ekstremalnego, tym bardziej ograniczone są warunki możliwości spełnienia następnego kroku procesów obniżania temperatury czarnej dziury.