Przy badaniu procesów, zachodzących na zewnątrz czarnej dziury naturalnym jest opisane w poprzednim rozdziale podejście, polegające na tym ,że z pomocą w odpowiednio ustalonych warunków brzegowych na powierzchni czarnej dziury , rozpatrywane zagadnienie fizyczne w całkowitej czasoprzestrzeni sprowadza się do zagadnienia rozpatrywanego w obszarze zewnętrznym. Podejście to posiada szereg zalet, jednak w swej istocie jest niezupełne, ponieważ
wykluczamy w nim z rozpatrywania wszystkie zjawiska zachodzące wewnątrz czarnej dziury. Należy podkreślić, że badanie zjawisk ,a w szczególności opis procesów fizycznych zachodzących w tych obszarach czasoprzestrzeni gdzie zgodnie z teorią klasyczną powinny znajdować się osobliwości jest istotnym zadaniem fizyki czarnych dziur. W obszarach w których krzywizna czasoprzestrzeni jest duża w pełnej skali przejawiają się również osobliwości kwantowe oddziaływań fizycznych. Ogólnym zagadnieniem dotyczącym struktury czasoprzestrzeni wewnątrz czarnej dziury zajmiemy się w rozdziale 12, po tym jak przedstawimy teorię efektów kwantowych zachodzących w czarnych dziurach.
W niniejszym paragrafie zajmiemy się szczególnym zagadnieniem dotyczącym struktury pól fizycznych generowanych przez cząstki próbne w całkowitej (zupełnej ) czasoprzestrzeni czarnej dziury. Przy jego rozpatrywaniu przyjmiemy , że na metrykę czarnej dziury nie wpływają pola ładunku próbnego.
Niech punktowy ładunek próbny elektrycznego (e) lub bezmasowego (g) pola spoczywa na zewnątrz naładowanej wiecznej czarnej dziury (* Zauważmy, że takie postawienie zagadnienia w znacznej mierze jest idealizacją w związku z niestabilnością takiej czarnej dziury , zobacz paragrafy 12.2, 13.2 *)
Na rys. 72 przedstawiono diagram Penrose’a dla rozpatrywanej czasoprzestrzeni, linia świata ładunku jest oznaczona jako γ.
Rys. 72 Diagram Penrose’a dla czasoprzestrzeni zupełnej czarnej dziury Reissnera-Nordströma.
Metryka Reissnera-Nordströma opisująca pole grawitacyjne naładowanej czarnej dziury we współrzędnych t, r, pokrywająca obszar I rys. 72, ma postać :
ds2 = -F(r)dt2 + F-1(r)dr2 + r2dω2 (8.2.1)
F = 1 – ( 2M/r ) + ( Q2 / r2 ) , dω2 = dθ2 + sin2 θdφ2 (8.2.1) Gdzie : M -masa , Q – ładunek elektryczny czarnej dziury.
Pola – elektryczne ( Aµ ) i skalarne ( φ ), generowane przez ładunek próbny, spoczywający w punkcie r0 , θ0 , φ0 , określone są jako rozwiązania następujących równań [ zobacz (D.47), (D.50) ] :
Fµν; ν = 4πj , Fµν = 2A[ ν, µ ] (8.2.2a)
φ = - 4πρ (8.2.2b)
gdzie :
jµ (x) = e δµ0 [ δ3 ( x – x0 ) / sqrt ( -g(x) ) ] , ρ = g δ3 ( x – x0 ) [ sqrt( - gtt (x) ) / sqrt( -g(x) ) ]
δ3 ( x – x0 ) ≡ δ( r – r0 ) δ( θ – θ0 ) δ( φ – φ0 ) (8.2.3)
Rozwiązania tych równań na zewnątrz czarnej dziury ( w obszarze I ) zostały otrzymane przez Linet’a (1976) i Linet’a , Leaute’a (1976). Rozwiązania te mają postać (* Ściśle mówiąc, równanie (8.2.2a) jest słuszne tylko dla całkowitego pola elektrycznego tj. dla sumy pola ładunku próbnego i pola czarnej dziury. Jeśli pole ładunku próbnego rozpatrywać jako zaburzenie, to równanie dla tego zaburzenia różnią się od (8.2.2a) członami opisującymi zaburzenie pola grawitacyjnego ( zobacz paragraf 8.4 ). Kierując się pracami Linet’a i Leaute’a opuszczamy te dodatkowe człony ,
co oczywiście nie zmienia ogólnego wywodu dotyczącego osobliwości pola wewnątrz czarnej dziury. Przy Q = 0 te
Wykorzystując metodę analitycznego przedłużenia można rozciągnąć to rozwiązanie z obszaru I na całą czasoprzestrzeń.
W tym celu w obszarach I, II, I’ ,II’ wprowadzimy współrzędne u, v, θ, φ regularne w tych obszarach i związane w obszarze I ze współrzędnymi r, t, θ, φ zależnościami :
u = - exp { [ - ( r+ – r- ) / 2r+2 ] ( t – r* ) } , v = exp { [ - ( r+ – r- ) / 2r+2 ] ( t – r* ) }
r* = r + [ r+2 / ( r+ – r- ) ] ln | ( r / r+ ) – 1 | - [ r-2 / ( r+ – r- ) ] ln | ( r / r+ ) – 1 | (8.2.6) Przy - ∞ < u, v < ∞ , ( θ, φ ) ∈ S2 współrzędne te pokrywają obszar I, II, I’, II’ , a analityczne przedłużenie metryki Reissnera-Nordströma (8.2.1) w takich współrzędnych ma postać :
ds = - 2B dudv + r2 dω2 (8.2.7)
gdzie :
B = 2 ( r+4 / r2 ) [ ( r – r+ ) ( r – r- ) / ( r+ – r- )2 ] exp [ -r* ( r+ – r- ) / r+2 ] r (u, v) określone jest równaniem :
uv = ( 1 – r /r+ ) exp { [ r – ( r-2 / ( r+ – r- ) ] ln | ( r / r+ ) – 1 | [ ( r+ – r- ) / r+2 ] (8.2.8) Różne od zera składowe analitycznego przedłużenia rozwiązań (8.2.2) w tych współrzędnych są następujące :
A ≡ Aµ dxµ = - ( e/ r r0 ) [ M + ( Π / R ) ] [ r+2 / ( r+ – r- ) ] [ ( dv/ v ) – (du /u) ] (8.2.9) Fuv = ( e/ B r2 r0 ) { M + ( Π / R ) – ( r/ R3 ) [ r0 – M – ( r – M ) cos θ ] ( r02 – 2Mr0 + Q2 ) }
Fvθ = ( e/ 2rr0 ) ( sinθ / R3 ) [ ( r+ – r- ) / r+2 ] ( r02 – 2Mr0 + Q2 ) v (8.2.10) Fuθ = - ( e/ 2rr0 ) ( sinθ / R3 ) [ ( r+ – r- ) / r+2 ] ( r02 – 2Mr0 + Q2 ) u
φ = g F( r0 )1/2 (1/ R ) (8.2.11) W tych wzorach r rozumiemy jako funkcje u, v, określoną zależnością (8.2.8). Łatwo pokazać, że to rozwiązanie jest inwariantne względem przekształcenia u → - u , v → -v , odwzorowującego obszar I na obszar I’. Dlatego razem z osobliwością odpowiadającą linii światowej γ ładunku, posiada ono również osobliwość na linii γ’, odpowiadającą dodatkowemu ładunkowi –e ( lub –g w przypadku pola skalarnego ) w obszarze I’. Dlatego wyrażenia (8.2.9) – (8.2.11) nie są rozwiązaniami postawionego zagadnienia dotyczącego znalezienia pola generowanego przez pojedynczy ładunek.
Szukane rozwiązanie może być otrzymane, jeśli uwzględnimy to, że w obszarach I’, II’ leżących na zewnątrz obszaru wpływu ładunków próbnych, pole możemy wybrać jako równe zeru. (* omówienie zagadnienia dotyczącego warunków brzegowych dla pola ładunku próbnego w czasoprzestrzeni wiecznej czarnej dziury można znaleźć w pracy
Demiańskiego, Nowikowa (1982 ) *).
Rozwiązanie to może być przedstawione w następującej postaci : F~µν = Freg
Osobliwe człony Fsingµν i φsing zapewniają spełnienie jednorodnych równań pola na powierzchni υ = 0.
Podstawiając (8.2.12a) do równania Maxwella (8.2.2a) otrzymamy :
Ψµν = 0 , (1/ √-g ) ∂ν ( √-g Ψµν ) = - Fµν | υ =0 (8.2.13) Rozwiązanie ograniczone H- tych równań ma postać :
Ψµν = - 2e δν [µ δθ
ν] sinθ [ sqrt ( M2 + Q2 ) / r0 ] [ M + sqrt ( M2 + Q2 ) / r0 – M - ( sqrt ( M2 + Q2 ) cosθ ] (8.2.14) Analogicznie, podstawiając (8.2.12b) do równania dla pola skalarnego (8.2.2b), otrzymujemy :
( 1 – λ2 ) (∂2Ψ/ ∂λ2 ) – 2λ (∂Ψ/∂λ) - [ ( r+ – r- ) / r+ ] Ψ = 0 (8.2.15)
∂Ψ/∂u = 0 , λ = cosθ
Jeśli czarna dziura nie jest ekstremalną ( Q < M ), to jedynym ograniczonym na H- rozwiązaniem (8.2.15) będzie Ψ = 0.
Dla ekstremalnej czarnej dziury ( Q = M ) istnieje również rozwiązanie Ψ = const. , jednak wartość Ψ | H- nie jest określona poprzez zewnętrzne pole skalarne i dlatego nie ma związku z ładunkiem g.
Zatem, w obszarach I, II, I’ , II’ rozwiązanie postawionego zagadnienia dane jest przez zależności (8.2.12a), (8.2.12b) i (8.2.13) przy Ψ = 0.
Przedłużenie analityczne pozwala w sposób łatwy określić Aµ i φ w obszarze III’. Na zewnątrz horyzontu Cauchy’ego ( np. w obszarze III ) rozwiązania , w sposób jednoznaczny rozszerzyć nie można, ponieważ w tym obszarze zależy ono od warunków, które należy zadawać dodatkowo. W granicy Q = 0 otrzymane rozwiązanie opisuje pola źródeł
punktowych w czasoprzestrzeni wiecznej schwarzschildowskiej czarnej dziury, metryka której we współrzędnych u, v, θ, φ ma postać (* Współrzędne takie związane są ze współrzędnymi u~ , v~ [ zobacz (2.7.12) ] następującymi zależnościami u = v~ - u~ , v = v~ + u~ *) :
ds2 = -2B dudv + r2 dω2 (8.2.16) gdzie :
B = (2rg3 / r) er/rg , rg = 2M
uv = [ 1 – r /rg ) ] er/rg (8.2.17)
Pojawienie się osobliwości typu delta w otrzymanym powyżej rozwiązaniu dla pola EM związane jest z postawieniem zagadnienia, przy którym przyjmuje się, że ładunek cały czas spoczywa koło czarnej dziury. Analogiczna osobliwość pojawia się również w całkowitym rozwiązaniu, opisującym masywne pole wektorowe generowane przez źródło na zewnątrz czarnej dziury. Opisane powyżej osobliwości przy v = 0wygładzają się, jeśli rozpatrywać rozwiązania, opisujące przypadek, kiedy ładunek wprowadzany jest do pola czarnej dziury.
Istotnym jest zauważyć, że istnieje ścisły związek między otrzymanym powyżej rozwiązaniem dla pola ładunku
próbnego w czasoprzestrzeni czarnej dziury, a rozwiązaniem dla pola ładunku równomiernie przyspieszanego w płaskiej czasoprzestrzeni [ Zelnikow, Frołow (1982*, 1983* ) ]. Aby ustanowić ten związek, należy zauważyć to, że jeśli w metryce (8.2.16) opisującej pole grawitacyjne czarnej dziury, przyjąć parametr M dążący do nieskończoności , to w skończonym obszarze czasoprzestrzeni , w pobliżu horyzontu zdarzeń wpływ krzywizny nieograniczenie się zmniejsza , a pole grawitacyjne w tym obszarze z dużym stopniem dokładności można przyjąć jako jednorodne.
Formalnie przejście do granicy jednorodnego pola w metryce (8.2.16) dokonywane jest formalnie w następujący sposób.
Wprowadza się współrzędne U, V, X, Y, związane z u, v, θ, φ zależnościami o postaci :
U = 4Me-1/2u , V = 4Me-1/2v (8.2.18)
X2 + Y2 = 16M2 tg2 ( θ/2) , Y/X = tgφ (8.2.18)
W tych współrzędnych metryka (8.2.16) przyjmuje postać :
ds2 = - (2M/r ) e1- r/2M dUdV + ( r/2M )2 { ( dX2 + dY2 ) / [ 1 + ( X2 + Y2 ) / 16M2 ] } (8.2.19) gdzie r związane jest z U i V zależnością :
UV = 16M2 [ 1 – (r /2M ) ] e(r/2M) -1 (8.2.20)
Jeśli teraz przy ustalonych wartościach współrzędnych U, V, X, Y przyjąć, że M → ∞ , to (8.2.19) przechodzi w metrykę przestrzeni płaskiej :
ds2 = - dUdV + dX2 + dY2 = - dT2 + dZ2 + dX2 + dY2 = - dT2 + dZ2 + dρ2 + ρ2dφ2 (8.2.21) gdzie :
T = ½ ( U + V ) , Z = - ½ ( U – V ) , ρ2 = X2 + Y2 , tgφ = Y/X (8.2.22) Równanie r = r0 ruchu ładunku próbnego przy tych zależnościach przyjmuje postać :
U0 V0 ≡ - Z02 + T2 = - w-2 , X0 = Y0 = 0 (8.2.23)
gdzie : w – moduł 4-prędkości ruchu ładunku.
W granicy M → ∞ powierzchnia horyzontów H± przekształca się w hiperpowierzchnie izotropowe opisywane równaniem UV = 0 [ „horyzonty” przestrzeni Rindlera (1966) ]
Inwariantna odległość do horyzontu dla cząstki posiadającej 4-przyspieszenie , dąży przy tym do skończonej wartości w-1.
Przy opisanym powyżej przejściu granicznym, wyrażenia (8.2.12) ( przy Q = 0 ) przyjmują następującą postać : F~UV = ( 2e/ w2 ) [ ( ρ2 + ξ + w-2 ) / S3 ] θ(V) F~Uρ = - ( 2eρV/ w2 S3 ) θ(V) (8.2.24) F~Uρ = ( 4eρU/ w2 S3 ) θ(V) – [ 2eρ/ ( ρ2 + w-2 ) ] δ(V)
φ = (g/ w) [ 2θ(V) / S ] (8.2.25)
gdzie :
S = [ ( ρ2 + ξ + w-2 )2 + 4 ξw-2 ]1/2 , ξ = UV (8.2.26)
Wyrażenia (8.2.24) dla F~µν mogą być otrzymane z następującego 4-potencjału :
A~µ dxµ = - (e/2) θ(V){ [ ( ρ2 + ξ + w-2 ) / S ] – 1 } [ (dV/V) – (dU/U) ]- 2eθ(V) [ ρdρ / ( ρ2 + w-2 ) ] ( 8.2.27) Łatwo się przekonać, że wzory (8.2.24) pokrywają się z wyrażeniem dla pola pochodzącego od jednostajnie
przyspieszanego ładunku, przy tym człon proporcjonalny do δ(V) w (8.2.24) poprawnie odtwarza człon osobliwy przy V = 0, wprowadzony w pracy Bondiego, Golda (1955).