Ponieważ mamy wszelkie podstawy przyjmować, że przy braku oddziaływań zewnętrznych oraz pomijając efekty kwantowe, stan końcowy dowolnej czarnej dziury jest stacjonarnym, to naturalnym jest przy opisie własności takich stanów finalnych rozpocząć właśnie od badania stacjonarnych czarnych dziur.
Własność stacjonarności czasoprzestrzeni oznacza możliwość wprowadzenia w niej współrzędnych takich, że
współczynniki metryki będą niezależne od jednej współrzędnej – współrzędnej „czasowej”. W języku geometrycznym oznacza to, że czasoprzestrzeń dopuszcza jednoparametryczną grupę ruchów, której generatorami są ξµ∂µ ,
ξλ – pole wektorowe Killinga, spełniające równanie :
ξ( µ ; ν ) = 0 (6.2.1)
Ponieważ chcielibyśmy, aby czasoprzestrzeń nie zmieniała się przy przesunięciu „w czasie”, to logicznym jest wymaganie, aby wektor ξ był czasopodobny oraz ξξ < 0. W ogólnym przypadku nie można jednak gwarantować, że ξξ ma jeden i ten sam znak w całej czasoprzestrzeni. Dlatego będziemy nazywali przestrzeń asymptotycznie płaską stacjonarną, jeśli dopuszcza ona wektorowe pole Killinga ξµ , będące czasopodobnym ( ξξ < 0 ) w otoczeniu ℑ+ i ℑ-.
Aby dowieść podstawowe twierdzenia dotyczące ogólnych własności stacjonarnych czarnych dziur musimy dodatkowo wprowadzić następujące dwa założenia :
1) czasoprzestrzeń jest regularnie prognostyczna
2) czasoprzestrzeń albo jest pusta albo zawiera pola opisywane równaniami hiperbolicznymi oraz spełniające warunek dominacji energetycznej : dla dowolnych czasopodobnych wektorów ξµ
1 i ξµ
2 tensor energii-pędu pola Tµν spełnia nierówność Tµν ξ1µ ξ2ν ≥ 0
Warunek pierwszy dotyczy ogólnej struktury przyczynowej czasoprzestrzeni i dokładnie omawiany jest w poprzednim rozdziale, w znacznej mierze ma on techniczny charakter. Warunek dominacji energetycznej ( z którego w szczególności wynika słaby warunek energetyczny ) oznacza : dowolny obserwator widzi, że lokalna energia jest nieujemna, a lokalny strumień energii jest przestrzennopodobny. Warunek drugi spełniony jest spełniony dla pola EM [ dokładniej zobacz Hawking, Ellis (1973) ].
W rozdziale tym, nie podkreślając tego będziemy przyjmowali, że oba warunki są spełnione.
W stacjonarnej czasoprzestrzeni pole powierzchni, czarnej dziury nie zależy od czasu. Dlatego zbieżność ρ promieni świetlnych, tworzących horyzont zdarzeń jest tożsamościowo równa zeru. Na skutek tego horyzont pozorny pokrywa się z horyzontem zdarzeń. Wykorzystując zależności (5.3.20), (5.3.22) i (5.3.23) łatwo się przekonać, że następstwem słabego warunku energetycznego ( Φ≥ 0 ) oraz stałości pola powierzchni czarnej dziury jest zerowanie się na powierzchni horyzontu wielkości σ, Φ, Ψ :
σ |H+ = 0 ; Φ|H+ = 0 ; Ψ|H+ = 0 (6.2.2)
Ostatnie dwie równości (6.2.2) można interpretować jako nie występowanie strumieni materii i pól fizycznych ( Φ = 0 ) oraz promieniowania grawitacyjnego ( Ψ = 0 ) przenikających przez horyzont zdarzeń.
Każda spójna składowa horyzontu ∂ℜ(τ) w zadanej chwili τ w stacjonarnej czasoprzestrzeni, tak jak i w przypadku ogólnym, jest zwarta i jednospójna. Oprócz tego, jak pokazał Hawking (1972a) w przypadku stacjonarnym topologia powierzchni każdej czarnej dziury pokrywa się z topologią dwuwymiarowej sfery S2. Topologie powierzchni czarnej dziury różne od S2, możliwe są w przypadku jeśli naruszony jest warunek dominacji energetycznej.
[ Geroch, Hartle (1982) ]
W zasadzie nie wykluczony jest przypadek, kiedy w stacjonarnej czasoprzestrzeni mamy wiele spójnych składowych
∂ℜ(τ) i odpowiednio wiele „nieruchomych” czarnych dziur. Taka równowaga jest możliwa tylko, jeśli przyciąganie grawitacyjne skompensowane jest przez odpychanie elektromagnetyczne ( lub odpychaniem sił o innej naturze ) W szczególności, jeśli mamy kilka naładowanych czarnych dziur, posiadających masy mi i ładunki Qi , spełniające zależność mi = Qi sqrt( G) , to układ takich czarnych dziur będzie znajdował się w równowadze.
W dalszej kolejności będziemy zakładali przypadek kiedy mamy tylko jedną stacjonarną czarną dziurę i ograniczymy się do rozpatrzenia obszaru czasoprzestrzeni lezącego na zewnątrz tej czarnej dziury. W przypadku ogólnym całkowita czasoprzestrzeń stacjonarnej czarnej dziury łącznie z horyzontem zdarzeń H+ może zawierać również horyzont zdarzeń przeszłości H- = J+ (ℑ- ) ( łatwo się o tym przekonać na przykładzie schwarzschildowskiej czarnej dziury, której
diagram Penrose’a dla pełnej czasoprzestrzeni pokazano na rys. 50c ). Obszar J+ (ℑ- ) ∩ J- (ℑ+ ) czasoprzestrzeni leżący na zewnątrz H- i H+ nazywamy „zewnętrznym”. Dla zdarzeń zachodzących w obszarze zewnętrznym charakterystyczne jest ta własność, że możemy znaleźć krzywe przyczynowe wiążące je zarówno ℑ- jak i z ℑ+ . Można dowieść, że w stacjonarnej przestrzeni pole wektorowe Killinga ξ jest różne od zera w całym zewnętrznym obszarze i na części H+ ∩ J+ (ℑ- ) horyzontu zdarzeń. Dla dalszego, szczegółowego opisu własności przestrzeni stacjonarnych dogodnie jest wprowadzić następujący inwariant różniczkowy ωα związany z wektorowym polem Killinga ξµ zależnością :
ωα = ξµ ; νξλ eµνλα (6.2.3)
gdzie : eµνλα - tensor całkowicie antysymetryczny.
Przestrzeń stacjonarną nazywamy „statyczną”, jeśli ωα = 0. Zerowanie się ωα zgodnie z twierdzeniem Forbeniusa jest warunkiem koniecznym i wystarczającym aby pole wektorowe ξµ było orotgonalne do pewnej powierzchni. Innymi słowy, jeśli ωα = 0, to możemy znaleźć takie dwie funkcje skalarne α, t, że spełnione jest równanie :
ξµ = αt, µ (6.2.4)
W obszarze w którym ξµ ≠ 0 można wykorzystać t w charakterze jednej ze współrzędnych ( współrzędnej czasowej ) uzupełniając je trzema innymi współrzędnymi xi. Współrzędne te wygodnie jest dobrać w następujący sposób.
Ustalmy dowolną powierzchnię t = const. i wprowadzimy na niej współrzędne xi , rozciągając je na całą przestrzeń, wymagając przy tym aby były one stałe wzdłuż krzywych całkowych ξµ. Metryka przestrzeni statycznej w takich współrzędnych ma postać :
ds2 = - V2 dt2 + hij dxidxj (6.2.5)
Wykorzystując równanie Killinga (6.2.1), łatwo przekonać się, że ∂t hij = 0 , a dowolność współrzędnych t → t’ = f(t) można wykorzystać tak aby osiągnąć spełnienie następujących zależności :
α = V2 = - ξµξµ , ∂t V = 0 , ξµ ∂µ = ∂t (6.2.6) Pozostała dowolność w wyborze współrzędnych odpowiada przekształceniom :
t → t’ = t + t0 , xi → x’i fi ( xj ) (6.2.7)
Zauważmy, że ponieważ V i hij nie zależą od t , to metryka (6.2.5) okazuje się inwariantna również względem przekształcenia t → -t. Słuszne jest również stwierdzenie odwrotne – każda metryka stacjonarna, dopuszczająca dodatkową symetrię odwrócenia czasu t → -t jest statyczna.
Ważną własnością statycznych czarnych dziur jest to, że w całym ich zewnętrznym obszarze pole wektorowe Killinga ξµ jest czasopodobne, a na części horyzontu zdarzeń H+ ∩ J+ (ℑ- ) ograniczającego zewnętrzny obszar, ξµ jest różne od zera, izotropowe i skierowane wzdłuż tworzących H+. Ostatnią własność łatwo jest dowieść następującym sposobem.
Wykorzystując równość ξ[µ ;ν ξα ] = 0 wynikającą z warunku ωα = 0, oraz zależność (6.2.1), mamy :
2 ξ[µ ;ν ξα ] = - ξµ ;ν ξα (6.2.8)
Z pomocą tej równości łatwo przekonać się ,że :
( V2 ); [µ ξν ] = - V2 ξµ ;ν (6.2.9)
i odpowiednio, powierzchnia V2 = 0 jest izotropowa, ponieważ normalna do niej ( V2 ); µ pokrywa się na tej powierzchni z wektorem izotropowym ξµ . Ponieważ ( V2 ); µ i ξµ są równoległe, to :
- ½ ( V2 ); µ = ξµ ; ν ξν = κξµ (6.2.10)
i odpowiednio ξµ - jest wektorem stycznym do geodezyjnej izotropowej ( obrazującej powierzchnie V2 = 0 ).
Te geodezyjne izotropowe nie wchodzą na ℑ+ , ponieważ cały czas znajdują się na powierzchni, gdzie ξµξµ = -1.
Z drugie strony, rozbieżność tworzących izotropowych które składają się na powierzchnię V = 0 jest równa zeru.
To oznacza, że taka powierzchnia jest zewnętrzną powierzchni złapanej, a ponieważ czasoprzestrzeń jest stacjonarna, to jednocześnie jest ona horyzontem zdarzeń
Jeśli stacjonarna czarna dziura nie jest statyczna, to wektorowe pole Killinga ξµ nieuchronnie będzie
przestrzennopodobnym w pewnej części obszaru zewnętrznego [ Hawking, Ellis (1973) ]. Obszar w którym ξ2 > 0 nazywamy „ergosferą”.
Pojawienie się ergosfery na zewnątrz niestatycznej stacjonarnej czarnej dziury prowadzi do szeregu ważnych następstw fizycznych. Dokładniej omówimy je w następnych rozdziałach. Teraz zastanowimy się jedynie na jednym z nich.
Przypomnijmy, że zgodnie z twierdzeniem Noether, symetrią czasoprzestrzeni odpowiadają prawa zachowania określonych wielkości fizycznych. W szczególności jednorodności czasu odpowiada prawo zachowania energii. Dla cząstki poruszającej się w stacjonarnej czasoprzestrzeni o wektorowym polu Killinga ξµ , ta wielkość zachowana ( energia ) ε, zapisana może być następująco :
(* Zachowanie ε ( pµ ε, ν = 0 ) wynika z zależności pν ε, ν = pν pµ; ν ξµ + pµ pν ξµ ; ν , geodezyjności ruchu pν pµ; ν = 0 oraz z równań Killinga (6.2.1) *)
ε = -pµξµ (6.2.11)
gdzie : pµ – 4-pęd cząstki.
Ponieważ pµ jest skierowanym ku przyszłości wektorem czasopodobnym lub izotropowym, to dla cząstki na zewnątrz ergosfery ε ≥ 0. Jednak dla cząstki lub promieni świetlnych znajdujących się w ergosferze możliwe jest spełnienie odwrotnej nierówności ε < 0. Takie cząstki, oczywiście mogą przeniknąć ergosferę tylko wpadając do czarnej dziury.
Jest to możliwe tylko w tym przypadku, jeśli ergosfera przecina horyzont zdarzeń.
Obecność stanów o ujemnej energii ε w ergosferze daje możliwość zajścia następującego mechanizmu w wyniku którego możemy uzyskać energię ze stacjonarnej niestatycznej czarnej dziury, został on zaproponowany przez Penrose’a (1969).
Wyobraźmy sobie ( rys. 64 ), że cząstka o pędzie pµ0 wpadając do ergosfery rozpada się na dwie mniejsze cząstki o pędach odpowiednio pµ1 i pµ
2 ( pµ 0 = pµ
1 + pµ
2 ), tak , ze ε2 = - pµ
2ξµ < 0, a następnie cząstka o pędzie pµ
1 wylatuje z powrotem z ergosfery. Wtedy energia wylatującej cząstki ε1 = - pµ
1ξµ = ε0 - ε2 będzie większa niż energia cząstki pierwotnie wpadającej do ergosfery ε0 = - pµ
0ξµ , co oznacza możliwość zwiększenia energii w takim procesie.
Rys. 64 Proces Penrose’a. Ciało spadające z pewnej odległości ( położenie A ), wpada do ergosfery, rotującej czarnej dziury, rozrywając się w punkcie B, w pobliżu powierzchni czarnej dziury na dwa kawałki. Jedne z tych kawałków wpada do wnętrza czarnej dziury – punkt D ( parametry „rozerwania” dobrane są tak, że energia cząstki wpadającej jest ujemna ). Drugi fragment ciała wylatuje z ergosfery ( punkt C ), posiadając energię większą niż energia pierwotnie spadającego ciała.
Istotną własnością różniącą czarne dziury o ωµ = 0 i ωµ ≠ 0 jest to, że niestatyczne stacjonarne czarne dziury rotują.
Pojawienie się ujemnej energii przy ruchu cząstek w polu rotującej czarnej dziury można objaśnić, jeśli tylko przyjąć do wiadomości dodatkowe oddziaływanie grawitacyjne własnego momentu pędu cząstki z momentem pędu rotującej czarnej dziury. Dodatkowa energia wylatującej w procesie Penrose’a cząstki, czerpana jest z energii obrotowej czarnej dziury.
Powrócimy teraz do omówienia ogólnych własności stacjonarnych czarnych dziur i rozpatrzymy zagadnienie dotyczące wzajemnego ułożenia ergosfery i horyzontu zdarzeń. W zasadzie możliwa jest sytuacja, kiedy ergosfera nie przecina się z powierzchnią horyzontu i całkowicie leży na zewnątrz niego. Jednak jak się wydaje konfiguracja taka jest niestabilna [ Hawking, Ellis (1973) ]. Dlatego też założymy, że w stacjonarnej czasoprzestrzeni, opisującej końcowy stan czarnej dziury, ergosfera przecina horyzont. To oznacza, że na horyzoncie zdarzeń istnieją punkty, w których pole wektorowe Killinga ξµ jest przestrzennopodobne. Pokażemy, że w tym przypadku czarna dziura obowiązkowo jest osiowo symetryczna.
Niech S0 – będzie powierzchnią czarnej dziury w pewnej chwili czasu. Jak pokazano wyżej, dla stacjonarnej czarnej dziury S0 posiada topologie dwu wymiarowej sfery S2. Przez Sv oznaczymy przecięcia horyzontu zdarzeń pojawiające się poprzez przesunięcie punktów S0 wzdłuż krzywych całkowych xµ(v) pola ξµ ( dxµ /dv =ξµ ) o wartość
odpowiadającą parametrowi v ( rys. 65 ). Niech punkt p0 ∈ S0 przechodzi przy takim przesunięciu w punkt pvξ ∈ S0.
Przez pv1 oznaczymy punkt przecięcia tworzącej horyzont zdarzeń, przechodzącej przez p0 z Sv. Ponieważ lµ i ξµ nie są
równoległe, to odwzorowanie pv → pvξ jest nietrywialnym przekształceniem Sv w siebie. Zerowanie się zbieżności ρ i przesunięcia σ na horyzoncie zdarzeń stacjonarnej czarnej dziury prowadzi do tego, że odległość między dowolną parą punktów pvl i qv1 na Sv pokrywa się z odległością między odpowiadającymi im punktami p0 i q0 na S0.
rys. 65 Stacjonarna rotująca czarna dziura jest aksjalnie (osiowo symetryczna ) symetryczna. Ilustracja do dowodu twierdzenia Hawkinga.
Z drugiej strony, ponieważ ξµ jest wektorowym polem Killinga, to ta odległość pokrywa się również z odległością między pvξ i qvξ. Tym samym przekształcenie pvl → pvξ jest przekształceniem symetrii, przeprowadzającym powierzchnię Sv w siebie. Ponieważ Sv posiada topologie sfery S2 , to pod działaniem opisanej grupy izometrii wszystkie jej punkty za wyjątkiem ( „biegunów” ) poruszają się, przy czym ich orbity są okręgami. Innymi słowy, powierzchnia stacjonarnej niestatycznej czarnej dziury jest osiowosymetryczna. Jeśli metryka, opisująca stacjonarną czarną dziurę jest analityczna (* O własnościach analityczności stacjonarnych osiowosymetrycznych, asymptotycznie płaskich rozwiązaniach równań Einsteina można przeczytać w pracy Mollera i Hagena (1970) *), to z symetrii osiowej horyzontu zdarzeń wynika symetria osiowa całej czasoprzestrzeni. Wynik ten stanowi treść następującego twierdzenia dowiedzionego przez Hawkinga (1972a).
Niech ergosfera w stacjonarnym niestatycznej przestrzeni przecina się z horyzontem zdarzeń H+ ∩ J+ (ℑ- ). Wtedy istnieje jednoparametryczna cykliczna grupa izometrii, której generatory komutują z ξµ i której orbity są
przestrzennopodobne w pobliżu ℑ+ i ℑ-.
Twierdzenie to jest słuszne również w tych przypadkach, kiedy metryka jest nieanalityczna w izolowanych obszarach na zewnątrz horyzontu.
Na zakończenie tego paragrafu dokonamy pewnego podsumowania. Stan końcowy pojedynczej czarnej dziury
opisywany jest stacjonarna metryką. Przy tym albo czarna dziura nie rotuje i metryka ta jest statyczna albo rotuje i wtedy czasoprzestrzeń posiada dodatkową symetrię osiową. Następne dwa paragrafy poświęcone są dowodowi tzw.
„twierdzeń o jednoznaczności”, zgodnie z którymi zarówno statyczne jak i niestatyczne stacjonarne czarne dziury zbudowane są względnie prosto. A dokładnie, będziemy rozpatrywali stacjonarne rozwiązania równań
Einsteina-Maxwella i pokażemy, że wszystkie takie rozwiązania ( opisujące stacjonarną czarną dziurę ) sprowadzają się do metryki Kerra-Newmana (6.4.33), a przy tym jeśli nie występuje rotacja, odpowiednie rozwiązania sprowadzają się do
rozwiązania Reissnera-Nordströma. Omówienie roli pozostałych pól fizycznych i ich „włosów” odłożymy do ostatniego paragrafu tego rozdziału.