LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego FINAŠ 24 kwietnia 2017 SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ

24 kwietnia 2017

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Dane s¡ dwie bli¹niacze (to znaczy ró»ni¡ce si¦ o 2) liczby pierwsze. Udowodnij, »e nie mog¡

one by¢ przyprostok¡tnymi trójk¡ta prostok¡tnego o wszystkich bokach o dªugo±ci caªkowitej.

ZADANIE 2.

Na tablicy napisano dwie liczby: pierwsz¡ i drug¡. Nast¦pnie napisano liczb¦ trzeci¡, która jest sum¡ pierwszej i drugiej, potem zapisano czwart¡ liczb¦, która jest sum¡ drugiej i trzeciej.

I tak dalej a» do dziesi¡tej liczby. Suma wszystkich dziesi¦ciu liczb napisanych na tablicy jest równa 5005. Wyznacz siódm¡ liczb¦.

ZADANIE 3.

Czy liczb¦ 1 mo»na przedstawi¢ jako sum¦ uªamków

,

,

,

, gdzie a, b, c, d s¡ nieparzystymi liczbami naturalnymi?

ZADANIE 4.

Danych jest 21 liczb rzeczywistych. Wiadomo, »e suma ka»dych jedenastu spo±ród tych liczb jest wi¦ksza od sumy pozostaªych dziesi¦ciu. Wyka», »e wszystkie liczby s¡ dodatnie.

ZADANIE 5.

Oblicz pole trapezu prostok¡tnego wiedz¡c, »e odlegªo±ci ±rodka okr¦gu wpisanego w ten trapez od ko«ców ramienia nieprostopadªego do podstaw, s¡ równe a oraz 2a.

ZADANIE 6.

W zbiorze liczb rzeczywistych rozwi¡» ukªad równa«



 

 

x

+ 9 = 4y y

+ 1 = 6z z

+ 4 = 2x.

ZADANIE 7.

Czworok¡t ABCD jest wpisany w okr¡g. Proste AB i CD przecinaj¡ si¦ w punkcie E, a proste

AD i BC przecinaj¡ si¦ w punkcie F . Udowodnij, »e je±li |BE| = |DF |, to |CE| = |CF |.